bài tập hình học 12

********** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
TOẠ ĐỘ ĐIỂM & TOẠ ĐỘ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
* Ta có :
→→
+=
jyixOM
⇒ M(x;y)..
* Cho A(x
A;
y
A
) và B(x
B;
y
B
)

);(
ABAB
yyxxAB
−−=
→


22

)()(
ABAB
yyxxAB
−+−=
* Khi M(x
M;
y
M
) là trung điểm của AB thì
2
;
2
BA
M
BA
M
yy
y
xx
x
+
=
+
=
* Nếu G là trọng tâm
∆
ABC thì
x x x
A B C
x

G
3
y y y
A B C
y
G
3
+ +
=
+ +
=





* M nằm trên trục hồnh(Ox) thì M(x
M
;0)
* N nằm trên trục tung(Oy) thì N(0;y
M
)
Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
Cho
→→→
+=
jyixu
⇒
);( yxu
=

→
.

);();;(
,,
yxvyxu
==
→→
Khi đó
1*
,
,
x x
u v
y y

=

= ⇔

=


r r
2*
, ,
( ; )u v x x y y
→ →
± = ± ±
.

3 *
2 2
u x y= +
r
.
4*
).;(. kykxuk
=
→
.
5 *
)..(.
,,
yyxxvu
+=
→→
.
6 *
2,2,22
,,
..
).cos(
yxyx
yyxx
vu
++
+
=
→→
.

7 *
0..0.
,,
=+⇔=⇔⊥
→→→→
yyxxvuvu
.
8*
0..//
,,
,,
=−⇔=⇔
→→
yxyx
y
y
x
x
vu
.
Bài Tập
Bài 1 Cho bốn điểm A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;y) ; D(x,-2);
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 1 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn

*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
a.Tìm y để tam giác ABC vuông tại đỉnh C.
b.Tìm x để A,B,D thẳng hàng.
Bài 2 Cho A(1;2); B(2;-3);C(-4;-3);
a.Chứng minh rằng A,B,C không thẳng hàng.
b.Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c.Tìm toạ độ điểm I sao cho
→→→
+=
ICIBIA 42
.
d.Tìm toạ độ điểm E thuộc trục hoành sao cho A,B,E thẳng hàng.
e.Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
f.Tìm toạ độ hình chiếu K của A lên cạnh BC.
g.Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
h.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
i. Tìm toạ độ giao điểm của đ t AB với trục hồnh và của đường thẳng AC với trục tung.
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 2 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ ĐỀ CÁC
VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG

-----------&----------
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Phương trình đường thẳng :
0
r
≠
→
u
là véctơ chỉ phương của d
du //
⇔
0
r
r
≠
n
là véctơ pháp tuyến của d
dn
⊥⇔
r
Phương trình tổng qt của đường thẳng :Phương trình tổng qt của đường thẳng có dạng :
2 2
Ax + By + C = 0 (A +B 0)
≠
Vectơ pháp tuyến
( )
n A;B=
r
,
Vectơ chỉ phương

( )
a B;A= −
r
.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y
và có vectơ pháp tuyến
( )
n A;B=
r
là:
( ) ( )
0 0
A x x + B y y = 0
− −
.
Phương trình tham số của đường thẳng :
Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
1 2
a a ;a=
r

có phương trình tham số
là:
( )
0 1
0 2
x x a t
t
y y a t
= +

∈

= +

¡
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng :
0 0
1 2
x x y y
a a
− −
=
Chú ý:
Đường thẳng song song với
∆
: Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng :
Ax + By + C’ = 0 (C’ ≠ C)
Đường thẳng vng góc với
∆
: Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng :

–Bx + Ay + C’ = 0
Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng :
(∆
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 (1)
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 (2)
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 3 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****

*** * * ***** * * ***** * * * **
→ Toạ độ giao điểm của (∆
1
) và (∆
2
), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2)
Ta có kết quả sau :
- Nếu
1 1
2 2
A B
A B
≠
thì (∆
1
) cắt (∆
2
)
- Nếu
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ≠
thì (∆
1
) // (∆
2
)
- Nếu

1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= =
thì (∆
1
) ≡ (∆
2
)
Ghi chú:
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
A .A + B .B 0
∆ ⊥ ∆ ⇔ =
Chùm đường thẳng :Cho 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
) cắt nhau.
Phương trình của chùm đường thẳng đi qua giao điểm của (∆
1
) và (∆
2
) có dạng :
λ(A
1
x + B
1
y + C

1
) + µ(A
2
x + B
2
y + C
2
)=0 ( λ
2
+µ
2
≠0)
Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là
1
n
và
2
n
. Gọi ϕ là
góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
), ta có:

2
1
1 2
n .n
Cos =
n . n
ϕ
uur r
uur uur
[Ghi chú: ϕ
≤
90
0
]
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Định lý:
Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
M x ;y
đến đ.thẳng (∆): Ax + By + C = 0 được cho bởi:

( )
0 0
2 2
Ax By C
d M,( )
A B
+ +
∆ =

+
Phương trình đường phân giác:
Cho hai đường thẳng cắt nhau
(∆
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
) là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C

A B A B
+ + + +
= ±
+ +

Bài Tập:
Bài 1 Cho A(1;2) ; B(1;-1) ; C(-2;1) ; D(4;-2)
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 4 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
a. Điểm nào thuộc đường thẳng d
1
: x + 3y +2 = 0.
b.Điểm nào thuộc đường thẳng d
2:



−=
+=
ty
tx
2

31

(t∈R).
Bài 2 Cho A(2;1) ; B(4;-5).
a.Viết phương trình thamsố,chính tắc,tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình thamsố tổng quát,chính tắc của đường thẳng trung trực AB.
Bài 3 Cho A(1;-1) ; B(7;6) ; C(11;22).
a.Chứng minh rằng A,B,C không thẳng hàng.
b.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và trung điểm của BC.
c.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với BC.
d.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với BC.
Bài 4:Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết trung điểm các cạnh của nó có
toạ độ là: M(2 ; 1 ) ; N( 5 ; 3 ) ; P( 3; 4)
Bài 5: Cho 3 điểm A ,B , C được xđ bởi hệ thức:
kiCjiBjiA
r
rrrrr
230;30;20
−=+=+=
a.Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB
b.Tìm toạ độ hình chiếu A
’
của A lên BC
c.Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác ABC biết trung điểm các cạnh của nó là M(-1 ; -1);N(1 ; 9 ); P( 9 ; 1 )
a.Tìm toạ độ các điểm A ,B , C
b.Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC
c.Tìm toạ độ trọng tâm trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 7: Cho điểm M(2 ; 3 ) và đường thẳng d:
1

2
1
3
+
=
+
yx
a. Viết phương trình đường thẳng d
1
đi qua M và tạo với d 1 góc 45
0
b. Với giá trò nào của m thì đường thẳng d
’
: y = mx + 1song songvới đường thẳng d
Bài 8: Biện luận theo m vò trí tương đối của 2 đường thẳng d
1:
4x – my + 4 – m = 0 ;
d
2
: (2m + 6 )x + y – 2m –1 = 0
Bài 9: Cho tam giác ABC có các cạnh
AB : 2x+y+5 = 0 AC : 2x-y-5 = 0 BC : x+2y-5 = 0
1. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
2. Tìm các góc của tam giác ABC
3. Lập phương trình phân giác trong của gócA
4. Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và bán kính.
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 5 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++

+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Bài 10 Trên mặt phẳng Oxy cho A(2;4) B(1;1) C( 4;2)
a) Tính tọa độ véctơ
b) Chứng tỏ rằng tam giác ABC cân tại B
c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát đường thẳng AC
d.Viết phương trình đường thẳng (d) qua B vuông góc với AC chứng tỏ rằng (d) là đường
trung tuyến của tam giác ABC
e.Cho D(1+2m ;7-m) Tìm m để ABCD là hbh .Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.
Bài 11: Trên mặt phẳng Oxy Cho A(3;3) ; B(-2;1) ; C(0;-4)
a.Tính tọa độ các vectơ AB ; AC và độ dài AB ; AC.
b. Tính gócA của tam giác ABC vàtính diện tích tam giác ABC .
c. Viết phương trình đường thẳng AB ,tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa độ.
d. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hbh .Chứng tỏ ABCD là hình vuông.
Bài 12: Lập phương trình đường thẳng quaM(2;7) và cách điểmN(1;2) một khoảng bằng 1
Bài 13:Trong mặt phẳng Oxy, cho
OA(2;3)
uuur
;
OB( 2;1)-
uuur
.
a.Lập phương trình đường thẳng AB.
b.Lập phương trình đường thẳng trung trực của AB.
c.Lâïp phương trình đường thẳng ( D) song song với AB sao cho đường thẳng (D) tạo
với 2 trục toạ độ 1 tam giác có diện tích bằng 4.

d.Viết phương trình đường thẳng (D) qua A cách điểm B một khoảng bằng 1.
Bài 14.Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;2) và đường thẳng d có phương trình 3x+4y-2 =0.
a.Viết phương trình đường thẳng (d
1
) qua A song song với d.
b.Viết phương trình đường thẳng (d
2
) qua A vuông góc với d.
Bài 15: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:5x – 3y + 2 = 0 và có hai đường cao
qua đỉnh A và B là đường thẳng d
1
: 4x – 3y + 1 = 0 và d
2
: 7x + 2y – 22 = 0 lập phương
trình 2 cạnh AC và BC và đường cao thứ 3
Bài 16: Cho A(1;3) và hai trung tuyến kẻ từ B,C nằm trên đường thẳng có phương trình
d
1
: x-2y+1=0 ; d
2
: y-1=0
a.Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC
b.Gọi A’ là điểm đối xứng A qua G tìm tọa độ A’
c.Tìm tọa độ hai đỉnh B;C của tam giác ABC
Bài 17 Cho tam giác ABC gọi M; N;P làn lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA Cho M(-
1;-1) N(1;9) P(9;1) tìm tọa độ điểm A của tam giác ABC
Bài 18 Cho tam giác ABC AB:x+y-2=0 AC:2x+6y+3=0 ; M(-1;1) là trung điểm của BC
a.Tìm tọa độ A
b.Tìm tọa độ trung diểm N của AB
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++

+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 6 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
c.Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC
Bài 19 Cho hai đường thẳng ∆
1
:
)(
2
1
Rt
ty
tx
∈



−=
+=
và ∆
2
:
2
0

3
2/1
−
=
−
yx
a)Chứng tỏ rằng hai đường thẳng cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng
b)Tính góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆
1
; ∆
2

Bài 20 :Cho
∆
ABC biết phương trình các đường thẳng như sau :
BC : x – 3y – 6 = 0 ; CA : x + y – 6 = 0 AB: x - y – 8 = 0
a. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
b. Tìm phương trình đường thẳng chứa đường cao BH và trung tuyến BM của
∆
ABC
c. Tìm tọa độ điểm đối xứng của B qua đường thẳng AC
Bài 21: Cho 2 đường thẳng: (∆
1
): x + 2y + 16 = 0 , (∆
2
): x – 3y + 9 = 0
a) Tính góc tạo bởi (∆
1
) và (∆
2

).
b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) tới (∆
1
) và (∆
2
).
c) Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1
)và (∆
2
).
Bài 22: Trong mp oxy cho ∆ABC với A(2, 3); B(-2, -1); C(4, 0)
a. Viết pt tham số của đt (∆
1
) đi qua 2 điểm A, B
b. Viết pt tổng quát của đường cao AH
c. Tìm điểm M nằm trên đt AB và cách điểm C một khoảng bằng 5.
ĐƯỜNG TRÒN
-----&-----
A. Kiến thức cơ bản :
1. Phương trình đường tròn :
 Phương trình đường tròn tâm I(a; b) , bán kính R là : ( x – a )
2
+ (y – b )
2
= R
2
 Phương trình : x
2
+ y

2
+ 2Ax + 2By + C = 0 với A
2
+ B
2
– C > 0 là phương trình đường tròn
tâm là I( - A; - B ) và bán kính R =
CBA
−+
22
.
2. Phương tích của điểm M(x
0
; y
0
) đối với đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 là
+P M / (C) = x
0
2
+ y
0
2
+ 2Ax
0
+ 2By
0

+ C
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 7 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
+ P M / (C) > 0
⇔
M nằm bên ngoài đường tròn (C)
+ P M / (C) = 0
⇔
M thuộc đường tròn (C)
+ P M / (C) < 0
⇔
M nằm bên trong đường tròn (C)
3. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn :
Cho hai đường tròn không đồng tâm (C
1
) và (C
2
) lần lượt có phương trình là :
(C
1
) : x
2

+ y
2
+ 2A
1
x + 2B
2
y + C
1
= 0
(C
2
) : x
2
+ y
2
+ 2A
2
x + 2B
2
y + C
2
= 0
Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là :
2 (A
1
– A
2
)x + 2(B
1
-B

2
)y + C
1
– C
2
= 0
4. Vò trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn :
Cho đường thẳng
)(
∆
và đường tròn (C) tâm I , bán kính R . Gọi d là khoảng cách từ I đến
)(
∆
+ Nếu d > R thì
)(
∆
và (C) không có điểm chung
+ Nếu d = R thì
)(
∆
và (C) có một điểm chung . Khi đó ta nói
)(
∆
là tiếp tuyến của (C) và
điểm chung duy nhất đó gọi là tiếp điểm
+ Nếu d < R thì
)(
∆
và (C) có hai điểm chung ( cắt nhau tại hai điểm phân biệt )
B. Bài tập :

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn. Khi đó
xác đònh tâm và bán kính của đường tròn
a. x
2
+ y
2
– 6x + 4y –12 = 0 b. 4x
2
+ 4y
2
+ 4x – 16y + 26 = 0
c. x2 + y2 + 4x + 4y –17 = 0 d. 2x
2
+ 2y
2
– 11 = 0
Bài 2. Cho ba điểm A( 1; 3 ) ; B( 5;6) và C( 7; 0 ).
a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng .
b. Viết phương trình đường tròn (C
1
) tâm A và đi qua B.
c. Viết phương trình đường tròn (C
2
) đường kính AC
d. Viết phương trình đường tròn (C
3
) ngoại tiếp tam giác ABC
e. Viết phương trình đường tròn (C
4
) tâm A và tiếp xúc với BC

f . Tìm phương trình trục đẳng phương của (C
3
) và (C
4
)
Bài 3 Viết phương trình đường tròn qua A(-3;-5) ; B(-4;2) và có tâm nằm trên : x – y + 5 = 0
Bài 4. Cho đường tròn (C) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 6y – 12 = 0
a. Viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đ/thẳng(d) : 3x + 4y – 6 = 0
b. Viết ptrình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến vuông góc với
)(
∆
: 4x + 3y + 12 = 0
Bài 5 Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 8 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
a. Đi qua 3 điểm A(0; 1) ; B(1;-1) ; C(2;0 )
b. Có tâm I(-4;2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + 4y –16 = 0
c.Đi

qua 2 điểm A(1;2) ; B(3;1) và có tâm nằm trên đường thẳng 7x + 3y + 1 = 0
Bài 6 Cho 2 điểm A( 3; 2 ) B(4;-1)
a.Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A , B và có tâm nằm trên trục 0x
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A và B
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến ss với đthẳng 4x – 3y + 2 = 0
d.Với giá trò nào của m thì đường thẳng d: y = x + m có diểm chung với đường tròn
Bài 7: Cho đường tròn ( C) có phương trình: x
2
+ y
2
–2x –6y –6 = 0
aTìm tâm và bán kính của đường tròn.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua A(4 ; -1 )
c.Viết pt tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x + 4y - 1 = 0
Bài 8 Gọi (C
m
) là đường tròn có phương trình: x
2
+ y
2
+ (m+2)x –(m+4)y + m + 1 = 0
a.Xác đònh m để (C
m
) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất
b.Hãy tìm phương tích của điểm M(2;3) đối với đường tròn có bán kính nhỏ nhất
c.Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
)
Bài 9 Cho đường tròn(C) có phương trình: x

2
+y
2
+2x-2y=0.
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại P(1;1)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của(C) biết tiếp tuyến vuông góc với đthẳng d
2
:2x+y-1=0.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đthẳng d
1
:2x+y-1=0.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(4;7).
Bài 10 Cho 2 đường tròn(C
1
) có phương trình: x
2
+y
2
-4x-6y+4=0và(C
2
) có phương trình: x
2
+y
2
-
10x-14y+70=0.
a.Chứng minh rằng 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tại tiếp điểm.
Bài 11: Cho hai đường tròn: (C
1

): x
2
+ y
2
– 4x + 2y – 4 = 0;(C
2
): x
2
+ y
2
– 10x – 6y + 30 = 0.
a) Xác định tâm và bán kính của (C
1
) và (C
2
). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm của
(C
1
) và (C
2
).
b) Chứng minh (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngồi với nhau. Xác định toạ độ tiếp điểm H. Suy ra phương
trình tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2

) tại H.
ELIP VÀ HYPEBOL
---&---
1/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 9 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
ELIP HYPEBOL
1) Định nghĩa:
( ) { }
1 2
E M / MF MF 2a
= + =
F
1
F
2
= 2c, a > c
2) Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
x y
1

a b
+ =
với b
2
= a
2
– c
2
3) Hình dạng và các yếu tố:
Cho elip (E):
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:
• A
1
A
2
= 2a: trục lớn
• B
1
B
2
= 2b : trục nhỏ
• Các đỉnh: A

1
(-a;0),A
2
(a;0),B
1
(0;-b),B
2
(0;b)
• Các tiêu điểm: F
1
(-c;0), F
2
(c;0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bán kính qua tiêu của điểm M
)(E
∈
:
1 M
2 M
c
MF a x
a
c
MF a x
a


= +




= −


1) Định nghĩa:
( )
{ }
1 2
H M / MF MF 2a
= − =
F
1
F
2
= 2c, c > a
2) Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
với b
2
= c

2
– a
2
3) Hình dạng và các yếu tố
Cho Hypebol (H):
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
• A
1
A
2
= 2a: trục thực
• B
1
B
2
= 2b : trục ảo
• Các đỉnh:A
1
(-a;0), A
2
(a;0)
• Các tiêu điểm: F
1

(-c;0), F
2
(c;0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bán kính qua tiêu của điểm M
)(H
∈
+ x
M
> 0 :
1 M
2 M
c
MF x a
a
c
MF x a
a

= +




= −



+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 10 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
• Tâm sai: e =
1
<
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x =
2
a a
e c
− = −
;
(∆
2
): x =
c
a

e
a
2
=
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho elip (E):
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
o
(x
o
;y
o
)
∈ (E) có dạng:
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp

tuyến của (E) <=> A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
+ x
M
< 0 :
1 M
2 M
c
MF x a
a
c
MF x a
a

= − −




= − +



• Tâm sai: e =
1
>
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x =
2
a a
e c
− = −
;
(∆
2
): x =
c
a
e
a
2
=
• Phương trình tiệm cận:
(d
1
): y = -
x
a
b

;
(d
2
): y =
x
a
b
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho Hypebol (H):
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
o
(x
o
;y
o
)
∈ (H) có dạng:
0 0
2 2
x x y y
1
a b
− =

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp
tuyến của (H) <=> A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
Bài Tập :
Bài 1 Tìm tọa độ các tiêu điểm , đỉnh, tính độ dài các trục và tâm sai của Elip (E) trong các
trường hợp sau :a.
1
1625

22
=+
yx
b.
4595
22
=+
yx
c.
2594
22

=+
yx
Bài 2. Viết phương trình chính tắc của Elip (E) trong các trường hợp sau :
1. (E) có độ dài trục lớn bằng 10 ; tiêu cự bằng 6.
2. (E) có hai tiêu điểm là F
1
( -2 ; 0 ) ; F
2
( 2 ; 0 ) và đi qua điểm M( 2 ; 3 )
3. (E) có một tiêu điểm F
1
( - 8 ; 0 ) và có tâm sai bằng
5
4
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 11 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
Trường THPT Long Kiến Gv:Trần Thanh Tuấn
*** * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * **** * * * **** * * * **** * * * ***** * * ***** * * * ****
*** * * ***** * * ***** * * * **
4. (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự
5. (E) có đỉnh A
1
(-8 ; 0 ) và tâm sai bằng
4
3

6. (E) có tiêu cự bằng 8 và qua M(
)1;15
−
7. (E) đi qua hai điểm
)3;22( , )3;4( NM
−
8. (E) đi qua M(
)
3
5
;2
−
và có tâm sai e =
3
2
Bài 3 Cho Elip (E) :
1
916

22
=+
yx
Viết phương trình tiếp tuyến của (E) trong các trường hợp sau:
a. Tiếp tuyến đi qua A( 4; 0)
b. Tiếp tuyến đi qua B( 2; 5 )
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) : x – y + 6 = 0
d.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d2) : 2x – y + 2 = 0 .
Bài 4. Trên mặt phẳng oxy cho Elip (E):4x
2
+9y

2
=36
a) Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn, tâm sai của (E)
b) Chứng tỏ rằng đường thẳng
0872
=−+
yx
là tiếp tuyến của (E)
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1) và cắt (E) tai hai điểm M
1
M
2
sao cho M là
trung điểm của M
1
M
2
Bài 5 :Tìm Tọa độ các đỉnh , các tiêu điểm , tính tâm sai , tìm phương trình các đường chuẩn và
các đường tiệm cận của Hypebol (H) dưới đây :
1. x
2
– 4y
2
– 16 = 0 2. 16 x
2
– 9y
2
= 144
2. 9x
2

– 8 y
2
– 2 = 0 3. 25x
2
– 9y
2
– 25 = 0
Bài 6 : Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) trong các trường hợp sau :
1. (H) có độ dài trục ảo bằng 12 và một tiêu điểm F
1
(-10 ; 0 )
2. (H) có độ dài trục thực bằng 8 và tâm sai bằng
4
5
3. (H) có một tiêu điểm F
2
(
5
; 0 ) và phương trình một tiệm cận là y = 2x
4. (H) có tiêu cự bằng 10 và tâm sai bằng
3
5
5. (H) có độ dài tiêu cự bằng 8 và hai đường tiệm cận vuông góc nhau
6. (H) qua điểm M( 5; - 3 ) và khỏang cách giữa hai đỉnh bằng 8
7. (H) qua M(- 4 ; 3 ) và có tiêu cự bằng 10
8. (H) qua M(
6;4
−−
) và N(
6

; 1 )
9. (H) có tiêu cự bằng 2
13
, một tiệm cận là y =
x
3
2
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++
Bài tập Hình Học 12 Trang 12 Năm Học 2007- 2008
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++ +++ + + + ++
+++++ + + + ++ +++ + + + ++ ++