bài tập số phức giải chi tiết

I: Cộng trừ, nhân, chia số phức
Bài toán 1: Tìm số phức , biết:
a) ;
b)
Cách giải 1:
a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho ta được:
Nhân hai vế cho (vì chưa sử dụng phép chia số phức nên ta chỉ dùng phép nhân), ta được:
b) Làm tương tự câu a) ta được:
.
Chú ý rằng , do đó để có được ta nhân 2 vế với , ta được:
.
Cách giải 2:
b) Đặt , ta có:
Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:
.
Vậy
a) Câu này giải tương tự.
Bài toán 2: Tìm biết :
.
Cách giải 1: Để có được ở vế trái, chúng ta sử dụng tính chất .
Vì vậy, chúng ta chỉ cần nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với , sau đó nhân tiếp với
.
Lời giải: Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
.
Cách 2: Đặt và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm .
Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau:
(*)
Lời giải:
Nhân tử và mẫu của phân thức với
Khi đó (*) trở thành =

Chú ý: Thông thường những dạng bài tập như trên ta thường biến đổi để ”mẫu” là một số thực.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức ( )
a)
b)
c)
Lời giải:
Cách giải 1:
a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho (3-5i) ta được:
Nhân hai vế cho , ta được:
b) Làm tương tự câu a), ta được.
Chú ý rằnh , do đó để có được ta nhân vế với , ta được:
=
=
Cách giải 2 câu b):
Đặt , ta có:
=
=
Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:
Vậy
c)
Cách giải 1:
Chuyển vế , ta được :
Để có được ở vế phải, chúng ta sử dụng tính chất
=
Nhân hai vế cho , ta được:



Cách giải 2: Đặt và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm
Bài tập 3: Giải phương trình:

Lời giải:
Ta có
Phương trình có hai nghiệm phức
;
Bài tập 4: Tìm căn bậc hai của số phức
Lời giải:
Gọi số phức (nếu có ) là căn bậc hai của , khi đó ta có



Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình


Giải hệ ta được: và
Vậy có hai căn bậc hai của số phức là : và
Bài tập 5: Giải phương trình sau trên tập số phức.
Lời giải:
• Ta có :
• Tìm căn bậc hai của
Gọi số phức (nếu có ) là căn bậc hai của , khi đó ta có



Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình


Giải hệ ta được: và
Có hai căn bậc hai của số phức là : và
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
II. Các bài toán về phương trình

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b) c)
Bài 2. a) Tìm các số thực để phương trình nhận làm nghiệm. Chứng minh khi đó
nghiệm còn lại là
b) Cho phương trình , trong đó là số thực.
1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
2. Tìm để phương trình nhận là nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chú ý:
1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức
Bước 1. Đặt (hoặc )
Bước 2. Tìm một căn bậc hai của .
Bước 3. Phương trình có hai nghiệm và
2. Cách tìm căn bậc hai của . Tức là tìm sao cho
Đặt . Ta có
Suy ra
Ta tìm các số thực thỏa hệ (I)
Bài 1.
a) Ta đi tìm căn bậc hai của . Đặt , trong đó là các số thực. Khi đó ta có hệ
Từ
Trường hợp 1: , thế vào (2) ta có hoặc
• Với thì
• Với thì
Trường hợp 2: thế vào (2) ta có (không tồn tại vì
Vậy phương trình có hai nghiệm
b) Ta có
Vậy phư ơng trình có hai nghiệm
c)Ta có
Ta đi tìm một căn bậc hai của
Đặt

Khi đó ta có hệ
Thế vào , ta có
Với suy ra
Với
Chọn . Phương trình có hai nghiệm
Bài 2. a) Vì là nghiệm của phương trình nên ta có .
Hay
Suy ra và
Giải ra ta được Vậy phương trình trở thành
Phương trình có hai nghiệm
b) Giả sử là một nghiệm thực của phương trình . Khi đó ta có:
Giải hệ ta được hoặc
2. Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:
Ta có nên không tồn tại để phương trình (1) nhận là nghiệm.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b)
c)
Bài 2 Tìm các số phức thỏa
a) b)
Bài 3. Tìm để phương trình có một nghiệm phức là
III. Dạng lượng giác của số phức.
1. Chuyển đổi ra dạng lượng giác của các số phức
Ví dụ 1. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác
a) b) c)
Hướng dẫn giải
Chú ý:
Để chuyển đổi một số phức dạng đại số sang dạng lượng giác (trong đó
là modul của số phức và ta làm như sau:
• Tính modul của :

• Tìm Argumen của bằng cách sau: Đặt thì ,
a) Ta có .
Đặt thì . Suy ra
Vậy
b)
Đặt thì . Ta chọn
Vậy
c)
Đặt thì . Chọn . Khi đó ta có:
Ví dụ 2. Tìm dạng lượng giác của số phức
Hướng dẫn giải
Ta có
Nếu thì , suy ra . Do đó, dạng lượng giác của :
Với và
Nếu thì , suy ra .
Khi đó dạng lượng giác của là
Với ,
Bài tập.
Bài 1. Chuyển đổi các số phức sau ra dạng lượng giác
a) b)
c)
Bài 2. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác
a) b) c)
Bài 3. Tính với