chuyên đề phương pháp giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ

SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Các phương pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ.
3) Phương pháp biến đổi thành tích.
4) Phương pháp nhân liên hợp
5) Phương pháp đánh giá.
6) Phương pháp hàm số.
- Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
3) Phương pháp nhân liên hợp
4) Phương pháp đánh giá.
Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn
Số điện thoại : 0988.503.138
Gmail :
BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Phương pháp lũy thừa.
- Nêu các dạng phương trình cơ bản.
Bài 1 Giải các phương trình
a)
2
3 2 1x x x− + = +
b)
2
3 9 1 2x x x− + = −
c)

2
2 3 4x x x− = −
d)
2 2
( 3) 4 9x x x− − = −
e)
3 7 2 8x x x+ − − = −
f)
2 3 5 2x x x+ − − = −
g)
2 2
( 3) 3 2 8 15x x x x x− − + = − +
h)
2 2
( 4) 10 2 8x x x x+ − = + −
i)
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
j)
2
4 3 1
4 3
x
x x

x
− − = −
−
Bài 2 Giải phương trình
a)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
b)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
c)
2 2 2
3 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − +
Bài 3 Giải phương trình
a)
3 3 3
5 6 2 11x x x+ + + = +
b)
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
c)
3 3 3
2 1 1 3 1x x x− + − = +

7
6
x =
(Phải thử , loại nghiệm)
Bài 4 Giải phương trình
a)

1 4 9 0x x x x− + − + + + =
. Bình phương 2 lần. nghiệm
0x
=
b)
1 16 4 9x x x x+ + + = + + +
Bình phương 2 lần. nghiệm
0x
=
c)
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
II. Phương pháp đặt ẩn phụ.
1) Dạng 1 : Phương trình có chứa
( ) à ( )f x v f x
Bài 1 Giải phương trình.
a)
2
( 1)( 4) 5 5 28x x x x+ + = + +
Nghiệm
4; 9−
b)
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + = − −
c)
2
(4 )(6 ) 2 12x x x x− + = − −
d)
23
( 5) 2 5 2 2x x x x+ = + − −
Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm

a)
2
2 4 (3 )(1 ) 2x x x x m− + + − + = −
[ 1;11]m∈ −
b)
2
2 5 4 (3 )(1 2 ) 2x x x x m− + + − + = −
41 56 2
[ 1; ]
8
m
+
∈ −
Bài 3 Giải phương trình :
a)
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ = + +
b)
3 1
3 2 7
2
2
x x
x

x
+ = + −
2) Dạng 2 : Phương trình có chứa
àA B v AB+
Bài 4 Giải phương trình
a)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + −
Nghiệm
25 6 17−
b)
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − = −
c)
2
4 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + −
d)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình :
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = −
- Đặt
2 2 2t x x= + − −
. Nghiệm
6
5
x =
Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
a)

2
1 8 7 8x x x x m+ + − = − + + +
[ ]
6 2 9
;3
2
m ∈
−
b)
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
c)
2
3( 1 2 1 ) 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + −
3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 7 Giải phương trình
a)
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x x+ − + = + +
Đặt
2
2t x= +
nghiệm
3;1t x= −
b)
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
c)
2 2
1 2 . 2x x x x− = −
Nghiệm

1 2x = ±
d)
2 2
3 48 (3 10) 15x x x x− + = − +
e)
2 2
2( 1). 2 1 2 1x x x x x− + − = − −
f)
2 2
4 ( 2). 2 15 39x x x x x+ = + − − +
g)
2 2
(1 4 ) 4 1 8 2 1x x x x− + = + +
h)
3 3
(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + +
i)
3 3
3 2 ( 2) 2 1x x x x x+ + = + + +
4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài 8 Giải phương trình.
a)
2
( 2) 4 2x x x x− − + =
bình phương, chia
2
x
Đặt
4
t x

x
= +
0;5t⇒ =
thử lại
4x⇒ =
b)
2 2
3 2 2 2 2x x x x x
+ − + − − =
chia cho
x ⇒
Nghiệm
2x =
c)
2
1 4 1 3x x x x+ + − + =
Chia 2 vế cho
x
và đặt
1 1
4;
4
t x x
x
= + ⇒ =
Bài 9 Giải phương trình
a)
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
b) (Thi thử ninh giang 2013)

2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + = − − +
-
2 2
2 2
2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)
4 5 4 5 5 61
2 3 5 8;
4 4 2
x x x x x x
x x x x
x
x x
⇔ − − + + = + − −
− − − − +
⇔ + = ⇔ =
+ +
c)
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + = − − +
- Chia 2 vế cho
( 5)x + ⇒
Nghiệm
61 11137

3 2 7;
18
+
+
5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.
Bài 10
a)
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
Đặt
2 2 2
1; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab= + = − + ⇔ + =
5 37
2
x
±
⇒ =
b)
2 3
2 5 1 7 1x x x+ − = −
Đặt
2 2 2
1; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv= − = + + ⇔ + =
4 6x⇒ = ±
- Phương trình đã cho có dạng
2 2
. . .a u b v c uv+ =
trong đó căn thường
uv=

c)
2 2 4 2
3 1 1x x x x+ − = − +

- Cách 1 : Đặt
2 2
; 1a x b x= = −
. PT
2 2
3a b a b⇔ + = −
nghiệm :
1x
= ±
- Cách 2 : Đặt
2
a x=
, thay vào PT ta được
3 2
36 136 200 100 0 1a a a a− + − = ⇔ =
d)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
(Thi thử NG 2013)
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + = − − +

2 2
5 61
2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5) 8;

2
x x x x x x x
+
⇔ − − + + = + − − ⇔ =
e)
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +
Nghiệm :
61 11137
3 2 7;
18
+
+
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + = − − +
Bài 11. Giải phương trình :
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
- Điều kiện :
1
2
x ≥
. Bình phương 2 vế ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )

2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − −
- Ta có thể đặt :
2
2
2 1
u x x
v x

= +

= −

khi đó ta có hệ :
2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v

−
=


= − ⇔

+

=


- Do
, 0u v ≥
. nên
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −
( ) ( )
2
2 2 1 5 5 1 0x x⇔ + − + + =
.
-
( ) ( ) ( )
2
'
1 5 2 5 1 4 1 5 0∆ = − − + = − <
.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Bài 12. Giải phương trình :
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
.
- Đặt
( )

2
2
4 5 1
, 0
2 1
x x a
a b
x x b

+ + =

>

− + =


. ta có :
( ) ( )
2 2
1 0
1
a b
a b a b a b a b
a b
=

− = − ⇔ − + − = ⇔

+ =


.
-
2 2
2 2
2 2
1
1
4 5 1 4 4 4
3
3
4
4 5 1 2 1 1
4 5 1 1 2 1
9
x
x
x x x x
x x x x
x
x x x x


=

=
+ + = − +

⇔ ⇔ ⇔



+ + + − + =


=

+ + = − − +



Bài 13 Giải phương trình :
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − =
- Đặt
2y x= +
ta được phương trình :
3 2 3 3 3
3 2 6 0 2 3 ( 2) 0x x y x x y x x− + − = ⇔ + − + =

3 2 3
3 2 0 êm 2; 2-2 3
2
x y
x xy y nghi x
x y
=

⇔ − + = ⇔ ⇒ =

= −


- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành :
3
( 2)(3 2 2) 0x x x x− + − + =
- Bài tập tương tự :
3 2 3
3 2 ( 1) 3 0x x x x− + + − =
- Bài tập tương tự :
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + =
6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x+ − + + + + + =
- Đặt
2 2
2 1
2 7 (1)
4
u x
v u
v x

= +

⇔ − =

= +


- Thay vào phương trình có :
3 6 7 0 (2)u v uv− + + =

- Thay (1) vào (2) và rút gọn được
(2 )( 3) 0 0v u u v x− + − = ⇔ =
Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)
a)
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =
(A – 2009)
Nghiệm
2x
= −
b)
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =
Nghiệm
2x
= −
c)
2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
Nghiệm
1; 4x =
d)
3 3
3 3
. 35 .( 35 ) 30x x x x− + − =
Nghiệm
2 ; 3x =
e)
2
1 1

2
2
x
x
+ =
−
Nghiệm
1 3
1;
2
x
− ±
=
f)
3
3
1 2. 2 1x x+ = −
Nghiệm
1 5
1;
2
x
− ±
=
g)
3
3
2 3. 3 2x x+ = −
7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.
Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt)

a)
2
1 4 5x x x+ = + +
PT vô nghiệm.
b)
2
4 9
7 7
28
x
x x
+
= +
Đặt
4 9 1
28 2
x
y
+
= +
c)
2
2 6 10x x x+ = + +
Đặt
2 3x y+ = +
d)
2
2 1 4 12 5x x x+ = − +
Đặt
2 1 2 3x y+ = −

III. Phương pháp biến đổi thành tích.
Bài 1 Giải phương trình
a)
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
- Phương trình
( 3 2 )( 1 1) 0 0; 1x x x x⇔ + − + − = ⇔ =
b)
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
HD
2
( 2 2 ) 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =
c)
2 2 2
5 97
2 3 9 4 : (1 3) 9 1;
18
x x x HD x x x
− −
+ = − − ⇔ + + = ⇔ =
Bài 2 Giải phương trình
a)
2

10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −
b)
2
8 15 3 3 2 5 6x x x x+ + = + + + −
c)
2
2 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − =
d)
2
7 4
4
2
x x
x
x
+ +
=
+
IV. Phương pháp nhân liên hợp.
1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm
0
x
hữu tỉ, khi đó
phương trình luôn viết được thành
0
( ) ( ) 0x x P x− =
và
( ) 0P x =
có thể vô nghiệm hoặc giải được.
2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị

0
x
để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1
a) (Khối B 2010) Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
- PT
3 1
( 5)( 3 1) 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + =
+ + − +
. Nghiệm duy nhất
5x =
b) Giải phương trình :
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =
Nghiệm duy nhất
2x = −
- PT
2
3 3
6 15
( 2)[ + ]=0 2
( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4
x x
x x x

⇔ + ⇔ = −
− − − + − +
c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình :
( )
2
3
4 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x− − − = − −
- ĐK:
5x ≤
. Pt
( ) ( )
2
3
4 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x⇔ + − + − − + − − =
0,25
-
( )
( )
2
3 3
4 27 9
8(6 2 )
( 3)(4 27) 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
x
x x

+
+
⇔ + + + − =
+ −
− − + −
0,25
- TH 1.
3 0 3x x
+ = ⇔ = −
(TMPT)
0,25
- TH 2.
3x ≠ −
- pt
( )
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
⇔ + + − =
+ −
− − + −
-
( )
2

3
36 16
4 27 0
4 10 2
12 9 37 2
x
x
x
⇔ + + − =
+ −
+ − −
- Do
5x ≤
nên
36 16
4.5 27 0
12 4
VT ≤ + + − =
. Đẳng thức xảy ra
5x⇔ =
- Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3
−
và 5
0,25
Bài 2 Giải phương trình
a)
2
1 4 1 3x x x+ + = +
Nghiệm

1
0;
2
x =
b)
2
1 9 1 4x x x+ + = +
c)
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
. Nghiệm duy nhất
2x =
- Nhận xét
2 2
5
12 5 3 5
3
x x x x⇔ + − + = − ⇔ >
để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.
d)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
e)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +

- Nghiệm
2, ( ) 0x P x= =
vô nghiệm.
Bài 3 Giải phương trình :

a)
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
.
- Ta có
2 2
0 ( 4) 0 2 9 2 1VT x x x x x> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − +

- Nhân với biểu thức liên hợp ta được :
-
2 2
2
2 2
2 9 2 1 2
8
2 2 9 6 0;
7
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x
x x x x x

+ + − − + =

⇔ + + = + ⇔ =

+ + + − + = +


b)

2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
. Từ phương trình
0x⇒ >
-
2 2
2 2
2 1 1
( 2 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 1)[ ]=0 1
2 1 2 1
x
x x x x x x x x
x x x x x x
+
+ + − + − + − = ⇔ − + ⇔ =
+ + + − + +
.
Bài 4. Giải phương trình :
2 33
1 2x x x− + = −
- Điều kiện :
3
2x ≥
.
- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
-
( )
( )
( )
( )

2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 
- Ta chứng minh :
( )
(
)
2

2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 Giải phương trình
a)
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
.
b)
4 3 10 3 2x x− − = −
c)
2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x− − = + − −

d)
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +
e)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − + = + + + − +
f)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
Bài 8 Giải phương trình :
a)
3 2
4 1 2 3x x x+ = − + −
b)
3 2 3
1 3 2 3 2x x x− + − = −
c)
2
3
2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =
d)
2 33
1 1x x x− + = −
V. Phương pháp đánh giá.
Bài 1 Giải các PT sau :
a)
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
Nghiệm
3x =

b)
2
2 10 12 52x x x x− + − = − +
c)
2
2 5 1 2x x x− + + − =
Nghiệm
1x =
d)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
Nghiệm
1x = −
e)
6
2 1 19 2
2
10 24
x x
x x
− + − =
− + −
Bài 2 Giải PT sau :
a)
3 2 2
2 7 11 25 12 6 1x x x x x− + − = + −
- VT :
2
2 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤
VP. Nghiệm

1;7x =
b)
3 2 2
2 5 3 3 2 6 1x x x x x+ + − = + −
Nghiệm
1; 3x =
c)
1 1
2
2 2 4 ( )
2
x x
x
x
− + − = − +
1 1
2
( 2 ) ( 2 ) 4
2
PT x x
x
x
⇔ − + + − + ≤
Bài 4. Giải phương trình:
2
2
2
6 15
6 18
6 11

x x
x x
x x
− +
= − +
− +
(1)

( )
( )
2
2
4
(1) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
Mà :
( )
2
4 4
1 1 3
2
3 2x
+ ≤ + =
− +
và
( )

2
3 9 3x − + ≥
.
Do đó ta có:
( )
2
3 0 3x x
− = ⇔ =
.
Bài 5 Giải phương trình
2 4 2 4
13 9 16x x x x− + + =
- Bình phương 2 vế ta được :
2 2 2 2
(13 1 9 1 ) 256x x x− + + =
.
- Áp dụng bđt bunhia :
2 2 2 2 2 2 2
(13 1 9 1 ) ( 13. 13 13 3 3. 3 3 ) 40(16 10 )x x x x x− + + = − + + ≤ −
-
⇒
VT
2 2
40(16 10 )x x≤ −
. Áp dụng cosi
VT VP
≤
. Nghiệm
2
5

x = ±
.
VI. Phương pháp hàm số.
1) Cơ sở phương pháp :
- Để giải phương trình :
( )f x m=
ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.
- Xét hàm số
( )f x
luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có
( ) ( )f a f b a b= ⇒ =
.
2) Bài tập.
Bài 1 Giải các phương trình.
a)
5 7 16 14 9x x x x x+ − + + + + = ⇒ =
.
b)
3
1 4 5x x x− = − − +
. Chuyển vế, nghiệm duy nhất
1x
=
.
c)
2
2 1 3 4x x x− + + = −
. Chuyển vế, nghiệm duy nhất
1x
=

.
Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình
3
4 ( 1) 2 1 0x x x x+ − + + =
- Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình
3
(2 ) 2 (2 1) 2 1 2 1x x x x x⇔ + = + + + +
- Xét hàm số
3 2
( ) '( ) 3 1 0f t t t f t t= + ⇒ = + > ⇒
Hàm số luôn đồng biến.
- Từ phương trình có
1 5
(2 ) ( 2 1) 2 2 1
4
f x f x x x x
+
= + ⇒ = + ⇔ =
Bài tập tương tự :
a)
2 2 2
3
4
2 (4 1) ( 3 1) 3 0;x x x x x x x+ = + + + ⇒ =
b)
3
4 ( 2) 2 3 0x x x x+ − + + =
Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm :
2 2
2 4 2 4m x x x x= + + + − +

-
' 0 0y x= ⇔ =
, vẽ bảng biến thiên
[4; )m⇒ ∈ +∞
Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm :
2
4 2x mx m− = − +
- Cô lập tham số,
8
' 0 0;
5
y x= ⇔ =
Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm :
1 1 5 18 3 2 1x x x x m+ + − − − − − = +
Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm :
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
- Cô lập tham số
4
1 1
2 3
1 1
x x
m
x x
− −
= −
+ +
Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm :

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
- Đặt ẩn phụ :
2 2
1 1t x x= + − −
Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi
0m >
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
- Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.
Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm
BÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I) Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :
- Dạng 1 :
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x g x g x
f x g x

≥

< ⇔ ≥


<


- Dạng 2 :
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) [ ( )]
f x
g x
f x g x
g x
f x g x

≥



<


> ⇔

≥



>




- Dạng 3 :
A B C+ <
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
2
2 15 3x x x− − ≤ −
Kết quả :
[5;6]x ∈
b)
2
6 5 8 2x x x− + − ≥ −
Kết quả :
[3;5]x∈
c)
2
2 8 3x x x− − < −
d)
2
3 10 2x x x− − ≥ −
Bài 2 Giải bất phương trình :
a)
2 2
( 3) 4 9x x x− + ≤ −
b)
5 1 1 2 4 ( 2005)x x x A− − − > − −
[2;10)x⇒ ∈
c)
7 13 3 9 5 27x x x− − − ≤ −
d)

1 2 2 5 1 ( 2009)x x x CD+ + − ≤ + −
e)
2
2( 16)
7
3 ( 2004)
3 3
x
x
x A
x x
−
−
+ − > −
− −
Bài 3 Giải bất phương trình :
a)
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
b)
2
8 2
1

6 3
x x
x
+ −
≥
−
c)
2
1 1
2 1
2 3 5
x
x x
>
−
+ −
5 3
( ; ) (1; ) (2; )
2 2
T
−
= −∞ ∪ ∪ +∞
Bài 4 Giải bất phương trình :
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ −
II) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + > − −

( ; 3) (1; )T = −∞ − ∪ +∞
b)
2 2
2 5 6 10 15x x x x+ − − > +
c)
2
( 3)(8 ) 11 0x x x x− − + − <
Bài 2 Giải bất phương trình :
a)
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ < + +
b)
1
2 3
1
x x
x x
+
− >
+
Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình
2
1 4 1 3x x x x+ + − + ≥
- Chia 2 vế cho

x
và đặt
1 5 1
[0; ] [4; )
2 4
t x t x
x
= + ⇒ ≥ ⇒ ∈ ∪ +∞
Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT :
2 2
2 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − −
- Điều kiện :
2x
≥
.
- Bình phương 2 vế và rút gọn ta được :
3 ( 2)( 1) 2 ( 2) 2( 1)x x x x x x− + ≤ − − +
- Chia 2 vế cho
( 1)x +
và đặt
( 2)
1
x x
t
x
−
=
+
. Nghiệm
[3 13; )x∈ + +∞

Bài 5 Giải bất phương trình
a)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − ≤ +
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + ≤ − − +

2 2
2 2
2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)
4 5 4 5 5 61
2 3 5 [ ;8]
4 4 2
x x x x x x
x x x x
x
x x
⇔ − − + + ≤ + − −
− − − − +
⇔ + ≤ ⇔ ∈
+ +
b)
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − < +
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + < − − +
- Nghiệm
x ∈

Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤
- Điều kiện :
1x
≥ −
. Đặt
2
0
1
1
y
y x
y x
≥

= + ⇔

= +

- Bpt trở thành
3 2 2
(3 4 ) 0x x y y+ − ≤
0,25
- TH 1.
0 1y x= ⇔ = −
. Thỏa mãn BPT
- TH 2.
0 1y x> ⇔ > −
. Chia hai vế cho

3
y
ta được

3 2
3 4 0
x x
y y
   
+ − ≤
 ÷  ÷
   
. Đặt
x
t
y
=
và giải BPT ta được
1t
≤
0,25
-
2
1 0
0
1 1 1
1 0
x
x
x

t x x
y
x x
− ≤ <


≥
≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔




− − ≤


0,25
-
1 0
0
1 5
1
2
1 5 1 5
2 2
x
x
x
x
− ≤ <



≥
+


⇔ − ≤ ≤



− +

≤ ≤



. Kết hợp
1x
> −
ta được
-
1 5
1
2
x
+
− < ≤
. Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5
1;
2

 
+
−
 
 
0,25
• Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích
-
3 2 3 2
3 2
2
(3 4 4) 1 0 3 1 4( 1) 1 0
[ ( 1) 1] [3 1 3( 1) 1] 0
( 1)( 1) 0
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
+ − − + ≤ ⇔ + + − + + ≤
⇔ − + + + + − + + ≤
⇔ − + + + ≤
• Bài tập tương tự :
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − ≤
Phương pháp nhân liên hợp.
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
1 1x x x+ − − ≥
b)
2
1 1 8

1
2
x
x
− −
<
Nghiệm
1 1
[ ;0) (0; )
3
2 2
T
−
= ∪
Bài 2 Giải bất phương trình :
a) Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − <
. Nhẩm nghiệm
5x
=
- BPT
3 1
( 5)( 3 1) 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + <
+ + − +
. Trong ngoặc

0
> ⇒
Nghiệm
1
[ ;5)
3
x
−
∈
b) Giải phương trình :
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + ≥
Nhẩm nghiệm
2x
= −
- BPT
2
3 3
6 15 6
( 2)[ + ] 0 x [ 2; ]
5
( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4
x
x x x
⇔ + ≥ ⇔ ∈ −
− − − + − +
III) Phương pháp đánh giá.
Bài 1 Giải các PT sau :
a)
2

2 4 6 11x x x x≥− + − − +
Nghiệm
3x =
b)
2
2 10 12 52x x x x≥− + − − +
c)
2
2
2 5 1 1 2x x x x x
− + + − ≤ + −
Nghiệm
1x =
d)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x≤+ + + + + − −
Nghiệm
1x = −
e)
6
2 1 19 2
2
10 24
x x
x x
≥− + −
− + −
Bài 2 Giải PT sau :
a)
3 2 2

2 7 11 25 12 6 1x x x x x≥− + − + −
VT :
2
2 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤
VP
b)
3 2 2
2 5 3 3 2 6 1x x x x x
≥
+ + − + −
Bài 5 (A – 2010) Giải BPT :
2
1
1 2( 1)
x x
x x
−
≥
− − +
- Ta có
2
1 2( 1) 0x x− − + <
nên
2
2( 1) 1 (1)BPT x x x x⇔ − + ≤ − +
.
- Mặt khác ta lại có :
2 2 2
2( 1) 2(1 ) 2( ) 1 (2)x x x x x x− + = − + ≥ − +
- Từ đó

2
2( 1) 1x x x x⇒ − + = − +
.
- Dấu bằng khi
3 5
1 ( / 0)
2
x x x t m x
−
− = ⇔ = ≥