Giúp HS phát hiện và chứng minh các trường hợp tam giác có diện tích bằng nhau lớp 5

Kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 5 nhận biết và chứng minh các trờng
hợp tam giác có diện tích bằng nhau.

A- Đặt vấn đề
I- Cơ sở lí luận
Nh chúng ta đã biết ,môn Toán là môn học có vị trí quan trọng trong bậc học Tiểu
học. Bởivì :
- Môn Toán với t cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới
thực có một hệ thống kiến thức cơ bản và phơng pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết
cho đời sống sinh hoạt, lao động .Đó cũng là công cụ rất cần thiết để học các môn
học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh, để hoạt động có hiệu quả
trong thực tiễn
- Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn, nó có nhiều khả năng để
phát triển t duy lô gích, bồi dỡng và phát huy những thao tác trí tuệ cần thiết để
nhận thức thế giới hiện thực nh trừu tợng hóa, khái quát, phân tích và tổng hợp , so
sánh, dự đoán, chứng minh và bác bỏ . Nó có vai trò to lớn trong việc rèn luyện ph-
ơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề , có căn cứ
khoa học toàn diện chính xác. Nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông
minh, t duy độc lập, linh hoạt sáng tạo trong việc hình thành và phát triển nền nếp,
phong cách và tác phong làm việc khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt
động của con ngời , góp phần giáo dục ý chí và những đức tính tốt đẹp nh cần cù,
nhẫn nại, ý thúc vợt khó .
Với vị trí quan trọng đó nên trong chơng trình môn học ở bậc Tiểu học, môn Toán
chiếm thời lợng rất lớn, chứa đựng nhiều nội dung nh nội dung về tập hợp số, nội
dung về đại lợng và phép đo đại lợng, nội dung về các yếu tố hình học
Về nội dung hình học, các đối tợng hình học đợc đa vào chơng trình đều cơ bản,
cần thiết và thờng gặp trong cuộc sống nh điểm, đoạn thẳng, đờng thẳng , hình
vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình lập phơng Dạy học các yếu tố hình học
góp phần củng cố kiến thức số học, đại lợng và phép đo đại lợng, phát triển năng
lực thực hành, năng lực t duy đối với học sinh Tiểu học. Đồng thời dạy các yếu tố

hình học là một biện pháp quan trọng gắn học với hành, nhà trờng và đời sống .
Song đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học ở các lớp đầu cấp học là năng lực
phân tích tổng hợp cha phát triển, tri giác đều dựa vào hình dáng bên ngoài, nhận
thức chủ yếu dựa vào cái quan sát đợc, cha biết phân tích để nhận ra các thuộc tính
đặc trng nên khó nhận biết các hình khi thay đổi vị trí của chúng trong không gian
hay thay đổi kích thớc. Đến các lớp cuối cấp trí tởng tợng đã phát triển, nhng vẫn
còn phụ thuộc vào mô hình vật thực, suy luận của học sinh đã phát triển song vẫn
còn là một dãy phán đoán, nhiều khi còn cảm tính. Vì vậy, việc nhận thức đợc các
khái niệm hình học theo lô gíc toán học không phải dễ dàng đối với các em. Nhất là
đối với những phần, những bài mang nội dung khá trừu tợng, đòi hỏi phải biết suy
diễn, khai triển và chứng minh thì các em lại còn hết sức lúng túng.
II- Thực trạng vấn đề :
1
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 5, tôi nhận thấy rằng khi dạy phần hình tam giác,
đại đa số học sinh đều nhận biết đợc hình tam giác và biết cách tính diện tích hình
tam giác theo công thức tính trong sách giáo khoa. Từ công thức tính diện tích đó,
nhiều em đã biết triển khai để tính cạnh đáy và chiều cao. Nhng để yêu cầu các em
phát hiện và chứng minh các tam giác có diện tích bằng nhau, hay có đáy bằng
nhau, chiều cao bằng nhau trong một số trờng hợp, nhất là trờng hợp hình tam giác
lồng ghép trong hình thang, hình vuông, hình chữ nhật thì các em còn khó hình
dung. Bớc đầu đại đa số các em không nhận ra hoặc còn ngộ nhận khi phát hiện và
chứng minh .
Cụ thể, khi cha thực nghiệm đề tài này tôi ra ba bài toán sau để khảo sát học sinh
lớp tôi trong thời gian 40 phút
Bài toán 1: Cho hình thang ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I . Hãy
tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau .
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC, D là điểm chính giữa cạnh BC, E là điểm chính giữa cạnh AC ;
AD và BE cắt nhau ở I. Hãy so sánh diện tích hai tam giác IAE và IBD
Bài toán 3:

Cho hình tam giác ABC , trên AB, AC, BC lần lợt lấy các trung điểm M, N, P. So
sánh diện tích của ba hình tam giác AOC , BOC, AOB.
Sau thời gian học sinh làm bai , tôi đã thu chấm và thu đợc kết quả nh sau
Qua thực trạng đó tôi rất băn khoăn và đã dành thời gian để tìm hiểu và phát hiện
những vớng mắc của học sinh khi chứng minh hình, từ đó phân tích làm rõ những
hạn chế ,tồn tại của các em còn mắc phải. Rồi trên cơ sở nghiên cứu tài liệu,dự giờ
thăm lớp , tham khảo đồng nghiệp và từ những kinh nghiệm của bản thân tôi đã xây
dựng một đề cơng dạy học sinh cách phát hiện và chứng minh các trờng hợp tam
giác có diện tích bằng nhau,đa vào thực nghiệm tôi thấy đã có hiệu quả nhất định
B- Giải quyết vấn đề
I- Giúp học sinh nhận dạng về đặc điểm của hình tam giác:
+ Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnhvà 3 góc
- Cả 3 cạnh đều có thể lấy làm đáy của hình tam giác đó.
II- Giúp học sinh nắm đợc khái niệm về đờng cao và biết xác định cạnh đáy.
Biết vẽ chiều cao tơng ứng với cạnh đáy trong các trờng hợp sau:
a) Trong tam giác ABC có 3 góc nhọn.
- Cạnh đáy AC thì có chiều cao BH.
- Cạnh đáy BC thì có chiều cao AK.
- Cạnh đáy AB thì có chiều cao CI.

Lớp TSHS Điểm giỏi Điểm khá
Điểm trung
bình
Điểm yếu
5B 34 0 em o % 3 em 9% 6 em 18% 25 em 73%
2
B
A
C
H

K
I
b) Trong tam giác vuông ABC, vuông ở A.
- Cạnh đáy AC thì có chiều cao BA.
- Cạnh đáy BC thì có chiều cao AH.
- Cạnh đáy AB thì có chiều cao CA.

c) Trong tam giác ABC có một góc tù.
- Cạnh đáy AC thì có chiều cao BH.
- Cạnh đáy BC thì có chiều cao AK.
- Cạnh đáy AB thì có chiều cao CI.
`
III- Xây dựng công thức tính diện tích, cạnh đáy, chiều cao của hình tam
giác.
1-Xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác (Dựa vào sách giáo khoa )
Ta có :
Với S là diện tích, h là chiều cao, a là cạnh đáy. Ta có:
S = a x h : 2 (cùng đơn vị đo).
2-Xây dựng công thức tính chiều cao và cạnh đáy của hình tam giác
Từ công thức tính diện tích hình tam giác mà học sinh đã học giáo viên yêu cầu
học sinh vận dụng kiến thức tìm thành phần cha biết trong phép tính để triển khai
công thức tính chiều cao, cạnh đáycủa tam giác
h = S x 2 : a a = S x 2 : h
3- Thiết lập mối quan hệ giữa ba yếu tố của tam giác
Diện tích hai tam giác bằng nhau thì cạnh đáy và chiều cao tơng ứng cũng sẽ bằng
nhau và ngợc lại
Diện tích hai tam giác bằng nhau mà chiều cao tam giác này bằng
1
2
chiều cao tam

giác kia thì đáy tơng ứng của tam giác này phải gấp hai lần đáy của tam giác kia và
ngợc lại
Biết chiều cao, cạnh đáy thì ta sẽ tính đợc diện tích tam giác đó, mà muốn tìm cạnh
đáy thì phải biết chiều cao và biết diện tích, muốn tìm chiều cao thì phải biết diện
tích và cạnh đáy.
Từ đó có định hớng cho học sinh khi chứng minh các trờng hợp tam giác có diện
tích bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố cạnh đáy, chiều cao mà chứng minh chiều
3
B
H
C
A
C
I
A
B
H
K
B
cao bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố diện tích và cạnh đáy , chứng minh cạnh
đáy bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố diện tích và chiều cao
IV- Hớng dẫn học sinh vận dụng lí thuyết để cơ bản đẻ giải bài tập trong một
số trờng hợp cụ thể
a) Trờng hợp 1.
* Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABC và MNQ với cạnh BC bằng cạnh NQ;
chiều cao AH bằng chiều cao MK.

GV định hớng giúp học sinh : Trong tam giác ABC với đáy BC thì có chiều cao
AH . Trong tam giác MNQ với đáy NQ thì có chiều cao MK
Khi xét tam giác ABC và MNQ Ta có :

+)Đáy BC = NQ ;
+) chiều cao AH = MK
Vậy SABC = SMNQ
Trên cơ sở đó giúp học sinh nhận biết đợc :
Nếu SABC = SMNQ và đáy BC = NQ thì chiều cao AH = MK.
Nếu SABC = SMNQ và chiều cao AH = MK thì đáy BC = NQ
* Ví dụ 2: Cho ABCD là hình chữ nhật . Hãy so sánh diện tích tam giác ADC và
ACB , diện tích tam giác ABD và BDC
GV gúp học sinh nhận ra vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có AB =DC, AD =BC
Mà AB, DC, AD, BC có thể nhận làm đáy hay chiều cao trong các tam giác ADB,
DBC, BAC, ACD
Bởi vậy khi xét tam giác ADB và BDC ta có
+ Đáy AB = DC , chiều cao DA = BC
Nên SADB= SBDC
Xét tam giác BAC và ACD ta có
4
A
C
B
H
M
N
Q
K
A
B
CD
+ Đáy AD =BC , chiều cao AB =CD
Vậy SACD = SBAC ;
Trên cơ sở đó giáo viên cho học sinh rút ra kết luận :

+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có đáy bằng nhau và có chiều cao
bằng nhau.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy bằng nhau thì hai chiều cao của hai
tam giác ứng với hai cạnh bằng nhau đó cũng bằng nhau.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì hai đáy của hai
tam giác đó ứng với hai chiều cao bằng nhau cũng bằng nhau.
b) Trờng hợp 2.
Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABC và ADC ; biết BH = DK ( Nh hình vẽ )
GV giúp học sinh phát hiện đợc hai tam giác ABC và ADC đều có chung đáy AC
mà chiều cao AH của tam giác ABC bằng chiều caoDK của tam giác ACD
Nên khi xét tam giác ABC và tam giác ADC ta có
+ Chung đáy AC,
+ Chiều cao BH = DK
Vậy SABC = SDAC
* Mặt khác: Nếu SABC = SADC và chung đáy AC thì chiều cao BH = chiều cao
DK
Ví dụ 2: So sánh diện tích tam giác ABC và ADC ; biết BH = DK

5
A
H
C
K
B
D
A
B
C
D
H

K
GV yêu cầu học sinh quan sát và nhận biết tam giác ABC có đáy AC và chiều cao
BH và tam giác ADC cũng có đáy AC và chiều cao DK
Nên khi xét hai tam giác ABC và ADC ta có
+ Chung đáy AC
+ Chiều cao BH = DK
Vậy Ta có : SABC = SADC
Mặt khác : Nếu SABC = SADC có chung đáy AC thì chiều cao BH = DK
Ví dụ 3: So sánh diện tích tam giác ABD và BCD ; biết chiều cao AH = CK
GV yêu cầu học sinh quan sát để nhận biết đợc :
Tam giác ABD có chiều cao AH thì cạnh đáy tơng ứng là BD và tam giác BCD có
chiều cao CK thì cạnh đáy tơng ứng là BD
Vậy khi xét tam gác ABD và BCD ta có
+ Chung đáy BD và chiều cao AH = CK
Nên ta có : SABD = SBCD
Mặt khác : Nếu SABD = SBDC và có chung đáy BD thì chiều cao AH = CK.
Kết luận : +)Hai tam giác có diện tích bằng nhau, khi chúng có chung đáy và
chiều cao bằng nhau.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà có chung đáy thì hai chiều cao của hai
tam giác ứng với cạnh đáy đó cũng bằng nhau.
c) Trờng hợp 3
Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABD và DBC ; biết D là trung điểm của cạnh
AC
6
A
B
C
D
K
H

A

GV yêu cầu học sinh biết đợc
- Nếu D là trung điểm của cạnh AC thì cạnh AD và CD sẽ nh thế nào ? ( Bằng
nhau)
- Cạnh AD là cạnh đáy của tam giác nào ? và có chiều cao nào là chiều cao tơng
ứng ? ( AD là cạnh đáy của tam giác ABD và chiều cao tơng ứng là BH)
- Cạnh DC là cạnh đáy của tam giác nào ? và có chiều cao nào là chiều cao tơng
ứng ? ( DC là cạnh đáy của tam giác BDC và chiều cao tơng ứng cũng là BH)
Vậy khi xét tam giác ABD và DBC ta có
+ Đáy AD bằng DC ; có chung chiều cao BH
Vậy : SABD = SDBC
Mặt khác : Nếu SABD = SBDC và có chung chiều cao BH thì đáy AD = DC.
Kết luận :
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có đáy bằng nhau và có chung chiều
cao.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chung chiều cao thì hai đáy của hai tam
giác ứng với chiều cao đó cũng bằng nhau.
d) Trờng hợp 4 :
Cho tam giác ACD và DBC ( Nh hình vẽ) có chiều cao AH = chiều cao BK . Hãy
so sánh diện tích tam giác AID và BIC

GV yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học ở bài trớc để so sánh diện tích tam
giác ADC và DBC
Ta có: SDAC = SDBC (vì có chung đáy DC và chiều cao AH = BK)
Mà: SADC - SDIC = Diện tích tam giác nào ? ( SADI )
7
A
C
D

H
D
A
B
C
H
K
I
SBDC - SDIC = Diện tích tam giác nào ? (SBIC)
GV hớng học sinh liên hệ với một bài toán đơn giản cụ thể nh
Thùng một đựng 10 kg gạo , thùng hai đựng 10 kg muối . Ta cùng bớt ra ở hai
thùng , mỗi thùng 5 kg thì lúc này số gạo và muối trong hai thùng nh thế nào ?
( Bằng nhau và đều bằng 5 kg)
Từ đó giúp học sinh khẳng định . Vậy SADI = SBIC
Hay SADB = SACB (vì có chung đáy AB, chiều cao DN = CM).
Mà: SADB - SAIB = SADI
SACB - SAIB = SBIC
Vậy : SADI = SBIC
Kết luận : +) Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà có chung một phần diện
tích thì phần diện tích còn lại sẽ bằng nhau.
e) Trờng hợp 5:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. D là điểm giữa của AC.So sánh SABI và S BIC

GV giúp học sinh nhận biết đợc tam giác ABD và DBC có chung chiều cao hạ từ B ,
tam giác AID và DIC có chung chiều cao hạ từ I
Mặt khác D là điểm giữa của AC nên AD = DC
Từ đó yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã biết để so sánh diện tích tam giác
ABD và DBC , diện tích tam giác AID và DIC
Trên cơ sở đó học chứng minh đợc : SADB = SBDC (vì có đáy AD = DC ; có
chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC)

SAID = SDIC (vì có đáy AD = DC ; có chung chiều cao hạ từ I xuống đáy AC).
GV định hơng thêm cho học sinh :
Mà : SABD - SAID = Diện tích tam giác nào ? (SABI)
SBDC - SAID = Diện tích tam giác nào ? (SBIC)
GV láy lại ví dụ tơng tự nh trên để giúp học sinh khẳng định đợc
SABD = SBDC và SAID =SAID
8
A
B
C
D
I
Vậy : SABI = SBIC
Kết luận :
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà cùng bớt đi một phần diện tích bằng
nhau thì phần diện tích còn lại sẽ bằng nhau.
g) Trờng hợp 6:
Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABM với diện tích tam giác AMC; biết AB=
12 cm ; AC = 24 cm ,MH = 6 cm , MK = 3 cm
GV yêu cầu học sinh quan sát và nhận biết tam giác ABM có đáy AB và chiều cao
MH , tam giác AMC có đáy AC và chiều cao MK
Mà AC so với AB thì nh thế nào ? ( AC gấp 2 lần AB vì 24 : 12 = 2)
Còn MK so với MH thì nh thế nào ? ( MK =
1
2
MH vì 3:6 =
1
2
)
Dựa trên mối quan hệ giữa cạnh đáy, chiều cao và diện tích của hình tam giác học

sinh tự chứng minh
Xét tam giác ABM và tam giác AMC ta có
+Chiều cao
3 1
6 2
MK
MH
= =
mà đáy
12 1
24 2
AB
AC
= =
Vậy SABM= SAMC
Kết luận : Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi tỉ số chiều cao của hai tam giác
đó tỉ lệ nghịch với tỉ số 2 cạnh đáy tơng ứng của chúng .
k) Trờng hợp 7:
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , M là điểm chính giữa cạnh BC , N là điểm chính giữa
cạnh AB . So sánh diện tích tam giác AMB và BNC ; ANC và AMC
9
B
C
M
K
H
M
N
A
B

GV định hớng dẫn dắt giúp học sinh biết đợc :
M là trung điểm của BC nên BM và MC sẽ nh thế nào? ( BM =MC =
1
2
BC)
Mặt khác tam giác ABM và AMC và ABC có chung yếu tố nào ?( Chung chiều cao
hạ từ A xuống BC)
Vậy hai tam giác ABM và ABC có chung chiều cao mà cạnh đáy BM của hình tam
giác ABM bằng 1/2 cạnh đáy của hình tam giác ABC thì diện tích của tam giác
ABM so với diện tích tam giác ABC sẽ nh thế nào ?
Từ đó học sinh có định hớng so sánh diện tích tam giác BAM và MAC và BAC
(SABM = SAMC =
1
2
SABC ( Vì có đáy BM = MC =
1
2
BC, có chung chiều cao
hạ từ A xuống BC ) (1)
Tơng tự giáo viên giúp học sinh phát hiện : N là trung điểm của BA nên BNvà AN
sẽ nh thế nào? ( BN =AN =
1
2
AB)
Mặt khác tam giác BCN và ANC và ABC có chung yếu tố nà ?( Chung chiều cao
hạ từ C xuống BA)
Từ đó học sinh có định hớng so sánh diện tích tam giác BCN và NAC và BAC
(SBCN = SANC =
1
2

SABC ( Vì có đáy BN = AN =
1
2
BA, có chung chiều cao
hạ từ C xuống BA ) (2)
GV lu ý học sinh vận dụng tính chất bắc cầu để khẳng định đợc rằng :
SABM = SAMC =
1
2
SABC ; SBCN = SANC =
1
2
SABC
Vậy ta có SANC= SAMC = SBNC = SBAM =
1
2
SABC
i) Trờng hợp 8 :
Ví dụ : Cho tam giác ABC , D là trung điểm của AC . Trên BD ta lấy điểm M sao
cho MD = 1/2 BM . So sánh diện tích tam giác AMC và ABM
10
A C
B

GV cho học sinh tự tìm hiểu và nhận biết đợc D là trung điểm của AC nên AD và
AC sẽ nh thế nào ? ( AD = 1/2 AC )
Tam giác AMD và AMC có yếu tố nào chung ? ( Chung chiều cao hạ từ M xuống
AC )
Trên cơ sở đã học học sinh tự chứng minh để so sánh diện tích tam giác AMD và
AMC )

*Ta có :SAMD =
1
2
SAMC ( vì có đáy AD =
1
2
AC , có chung chiều cao hạ từ
M xuống AC ) ( 1)

GV yêu cầu học sinh quan sát và nhận biết đợc MD là đáy của tam giác AMD; MB
là đáy của tam giác ABM mà MD = 1/2 BM
Mặt khác tam giác AMD và ABM có chung yếu tố nào ? ( chung chiều cao hạ từ
A xuống BD)
Từ đó giúp các em có định hớng so sánh diện tích tam giác AMD và ABM
* SAMD =
1
2
SAMB ( Vì có đáy MD =
1
2
BM , có chung chiều cao hạ từ A
xuống BD ) ( 2)
Vận dụng tính chất bắc cầu giúp học sinh nhận biết đợc
Từ (1) và ( 2) ta có : SAMC = SABM
C. Thực nghiệm s phạm:
Từ thực tiễn vận dụng kinh nghiệm trên vào dạy học sinh, tôi thấy đã có kết quả
thực sự. Tôi kiểm nghiệm kết quả bằng cách tôi ra lại ba bài tập khảo sát ban đầu và
đa thêm hai bài nữa vào yêu cầu học sinh làm trong 60 phút .
Bài toán 1: Cho hình thang ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I . Hãy
tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau .

Bài toán 2:
Cho tam giác ABC, D là điểm chính giữa cạnh BC, E là điểm chính giữa cạnh AC ;
AD và BE cắt nhau ở I. Hãy so sánh diện tích hai tam giác IAE và IBD
Bài toán 3:
Cho hình tam giác ABC , trên AB, AC, BC lần lợt lấy các trung điểm M, N, P. So
sánh diện tích của ba hình tam giác AOC , BOC, AOB.
Bài toán 4
Cho tam giác ABC ; M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC .So
sánh diện tích của các tam giác AMN, PNC, BMP, MNP
11
A
C
D
M
Bài toán 5:
Trên hình vẽ bên, cho MB = MC ; MQ là chiều cao của tam giác AMC ; MP là
chiều cao của tam giác AMB và MP = 6 cm ; MQ = 3 cm.
a) So sánh AB và AC
b) Tính diện tích tam giác ABC, biết : AB + AC = 21cm.
(Đề thi học simnh giỏi tỉnh năm học 2001 - 2002)
Kết quả thu đợc là :
Nh vậy thực tế cho thấy bài kiểm tra của học sinh có tiến bộ rõ rệt,và học sinh
trong lớp nhiều em từ chỗ rất ngại học hình học thì nay trở nên đam mê . Học sinh
có khả năng tự khám phá, phát hiện và khai triển, chứng minh từ những bài toán
đơn giản đến các bài toán tổng hợp. Các em học một cách tích cực, chủ động, sáng
tạo và tự tin hơn.
D- Kết luận
Trong thực tế dạy , tôi nhận thấy khi phân chia nội dung kiến thức theo từng mảng
và xây dựng đề cơng dạy một cách có hệ thống, lô gích từ đơn giản đến phức tạp,
Lớp TSHS Điểm giỏi Điểm khá

Điểm trung
bình
Điểm yếu
5B 34 13 em 38% 15em 44% 5 em 15% 1em 3%
12
A
B C
M
N
P
A
B
C
M
Q
P
từ cụ thể đến khái quát thì sẽ giúp giúp học sinh nắm bài rất vững, có kĩ năng phát
hiện một cách chính xác, chứng minh chặt chẽ, có khả năng suy luận, khai triển
trong làm bài. Từ đó hình thành đợc ở học sinh niềm đam mê và sự hứng thú khi
học hình học. Tôi thiết nghĩ với phơng pháp truyền đạt nh vậy đã có hiệu quả nhất
định . Bởi phần lớn học sinh của tôi, sau khi dạy phần này các em đều có kĩ năng
chứng minh hình rất tốt. Mặt khác phản ánh qua các cuộc thi cho thấy, hằng năm
số lợng học sinh tôi trực tiếp bồi dỡng đạt kết quả tơng đối cao về môn Toán.
E-Kiến nghị đề xuất
Với thời gian có hạn nên trong phạm vi kinh nghiệm này tôi mới chỉ đề cập đến
phần hình tam giác và trọng tâm là chứng minh các trờng hợp tam giác có diện tích
bằng nhau, chiều cao bằng nhau, cạnh đáy bằng nhau. Trong quá trình viết có thể
tôi cha đa ra đợc hết các trờng hợp tam giác có diện tích bằng nhau, cũng nh cha
khái quát đợc một cách đầy đủ các dạng bài và cha đa ra đợc cách chứng minh hay
nhất. Qua đây tôi mong nhận đợc sự trao đổi thêm của các đồng chí đồng nghiệp để

tôi có một đề cơng dạy hoàn hảo cho phần này cũng nh có định hớng để bổ sung
cách dạy các phần khác tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn
V) Một số bài toán vận dụng :
Trên cơ sở học sinh đã nắm đợc cách chứng minh các trờng hợp tam giác có diện
tích bằng nhau ,giáo viên đa ra một số bài toán liên quan để củng cố và khắc sâu
13
kiến thức cho các em , rồi từ đó có thể mở rộng đến những bài, những dạng khó hơn
nhằm phát huy khả năng t duy, suy luận, của học sinh .
Bài toán 1:
* Cho tam giác ABC (nh hình vẽ). Trong đó BM = MC ; AD = DE = EM
a) So sánh diện tích tam giác ABE và BEC
b) Kéo dài BE cho cắt AC ở điểm N. N có là điểm chính giữa cạnh AC không ? Vì
sao?
Bớc 1: Giáo viên hớng dẫn học sinh nối EC để có tam giác BEC.
Nối BD để có tam giác ABD và DBE.
Mà SADB + SDBE = SABE
Bớc 2: Hớng dẫn học sinh chứng minh.
* Xét tam giác BEM và BEC ta có:
+ Đáy BM =
1
2
MC
+ Chung chiều cao hạ từ E xuống đáy BC.
Vậy SBEM = SMEC =
1
2
SBEC (1)
* Xét tam giác MBE , EBD và DBA ta có:
+ Đáy ME = ED = DA

+ Chung chiều cao hạ từ B xuống AM.
Vậy SBME = SEBD = SDBA nên SBME =
1
2
SABE (2)
Từ (1) và (2) ta có: SBEC = SBEA
b) Mặt khác hai tam giác BEC và BEA có chung đáy BE nên chiều cao hạ từ A
xuống BE bằng chiều cao hạ từ C xuống BE.
* Xét tam giác AEN và ECN ta có:
+ Chung đáy EN
+ Chiều cao hạ từ A xuống EN bằng chiều cao hạ từ C xuống EN.
Vậy SAEN = SECN
* Mặt khác hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ E xuống AC nên đáy AN =
NC.
Vậy N là điểm chính giữa của cạnh AC.
Bài toán 2:
Trên hình vẽ bên, cho MB = MC ; MQ là chiều cao của tam giác AMC ; MP là
chiều cao của tam giác AMB và MP = 6 cm ; MQ = 3 cm.
14
B
A
C
M
N
D
A
E
a) So sánh AB và AC
b) Tính diện tích tam giác ABC, biết : AB + AC = 21cm.
(Đề thi học simnh giỏi tỉnh năm học 2001 - 2002)

Bớc 1: Giúp học sinh nhận biết : Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà
Chiều cao hình 1 =
1
2
chiều cao hình 2 thì đáy tơng ứng của hình 1 =
2
1
đáy tơng
ứng của hình 2.
Bớc 2: Hớng dẫn học sinh chứng minh:
* Xét tam giác BAM và MAC ta có:
+ Đáy BM = MC
+ Có chung chiều cao hạ từ A xuống BC.
Vậy SBAM = SMAC
Mà
6 2
3 1
MP
MQ
= =
nên
1
2
AB
AC
=
vậy
1
2
AB =

AC.
b) Hớng dẫn học sinh vẽ sơ đồ và giải theo dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số.
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E là một điểm trên AC sao cho
AE =
1
2
EC. Nối B với E, A với D chúng cắt nhau tại M. Hãy so sánh AM và MD
Bớc 1: Hớng dẫn học sinh vẽ hình:
Nối C với M để có tam giác DMC và MEC.
Giúp học sinh biết: Nếu hai tam giác có chung chiều cao mà
Cạnh đáy tơng ứng Hình 1/ cạnh đáy tơng ứng của hình 2 = 1/2 thì diện tích hình 1
/ Diện tích hình 2 = 1/2
Bớc 2: Hớng dẫn học sinh chứng minh
* Xét tam giác AME và MEC ta có :
15
A
B
C
M
Q
P
A
B
C
D
E
M
+ Có đáy AE =

1
2
EC
+ Có chung chiều cao hạ từ M xuống AC
Vậy SAME =
1
2
SMEC
* Mặt khác hai tam giác này có chung đáy ME nên chiều cao hạ từ A xuống ME
bằng
1
2
Chiều cao hạ từ C xuống ME.
* Xét tam giác ABM và BCM ta có:
+ Có chung đáy BM
+ Chiều cao hạ từ A xuống BM =
1
2
chiều cao hạ từ C xuống BM.
Vậy SABM =
1
2
SBCM (1)
* Xét tam giác BMD và DMC ta có:
+ Có đáy BD = DC
+ Chung chiều cao hạ từ M xuống BC.
Vậy SBMD = SDMC =
1
2
SBCM (2)

Từ (1) và (2) ta có: SABM = SBMD
* Mặt khác hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ B xuống AD
nên đáy AM = MD.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC ; M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,
AC, BC .So sánh diện tích của các tam giác AMN, PNC, BMP, MNP
Ta có SABN = SNBC =
1
2
SABC ( Vì đáy AN = NC =
1
2
AC , có chung chiều
cao hạ từ B xuống AC ) ( 1)
16
A
B C
M
N
P
SANM = SMNB =
1
2
SANB ( Vì có đáy AM = MB =
1
2
AB , có chung
chiều cao hạ từ N xuống AB ) ( 2)
* Vậy từ (1) và ( 2) ta có SANM =
1
4

SABC
SBNP = SPNC =
1
2
SBNC ( Vì có đáy BP= PC =
1
2
BC và có chung
chiều cao hạ từ N xuống BC ) ( 3)
* Từ (1) và ( 3) ta có SPNC =
1
4
SABC
Ta có : SAMC = SMCB =
1
2
SABC ( Vì có đáy AM = MB =
1
2
AB , có chung
chiều cao hạ từ C xuống AB ) (4)
SBMP = SPMC =
1
2
SBMC( Vì BP= PC , có chung chiều cao hạ từ M
xuống BC ) ( 5)
* Từ (4) và ( 5) ta có : SBMP =
1
4
SABC

Mà SMNP = SABC - SAMN - SPNC - SBPM = SABC -
1
4
SABC -
1
4
SABC -
1
4
SABC =
1
4
SABC
Vậy : SMNP = SAMN = SPNC = SBPM =
1
4
SABC
hân thành cảm ơn !
17