Quan hệ song song hình học lớp 11 (có lời giải)

I
O
B '
A
S
D
K
B
C
A '
S
I
H
D
A
B
C
M
E
N
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 :
QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009
Dạng toán : Tìm thiết diện
Bài 1 : (Ví dụ 2 - tr 48 - sgk) Cho hình
chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng
AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một điểm
nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các
giao tuyến của mp(A’CD), (SAB), (SBC),
(SCD), (SDA).

Bài giải

Cách 1:
Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên , ta có mặt phẳng (A’CD) cắt các cạnh
SA,SB,SC,SD lần lượt tại A’,B’,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI cới cạnh
SB (ở I là giao điểm của hai đường thẳng SO và CA’)
Từ đó đễ thấy :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( D) ' D D;
' D ' ';
' D ';
D ' D D;
D ' D ';
ABC A C C
SAB A C A B
SBC A C CB
SC A C C
S A A C DA
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Cách 2:
Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD thì rõ ràng giao tuyến của
mp(A’CD) và mp (SAB) là đường thẳng A’K. Khi ấy giao điểm B’ của mp(A’CD) và
cạnh SB của hinh chóp chính là giao điểm của đường thẳng A’K và SB. Từ đó ta tìm
ra các giao tuyến của các mặt phẳng chứa các mặt còn lại của hình chóp với

mp(ACD).

Bài 2 (bt 11- tr 50 -sgk) Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S
nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và
B; Giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO.
b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
Bài giải
a) Trong mp(SCA) , Gọi I là giao điểm của CM và SO. SO.Khi
đó I cũng là giao điểm của NI và SD, Dễ thấy M và E là hai
điểm của mp (CMN) và đường thẳng SO
b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của NI và SD,
Đễ thấy M và E là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và
(CMN) nên đường thẳng ME là giao tuyến của hai mp này
- 1 -
Bài 3 (BT 15 - tr51 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần
lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’).
Bài giải
Ký hiệu O là giao điểm của hai đường thẳng chéo AC và BD ,
gọi O’ là giao điểm của A’C’ và SO;
D’ là giao điểm của hai đường thẳng B’O’ và SD
Nếu D’ thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
Nếu D’ nằm trên phần kéo dài của cạnh SD, ta có E là giao
điểm của CD và C’D’ , F là giao điểm của AD và A’D’
Khi ấy thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF
Bài 4 ( Bt 16 - 51 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là
một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC).

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài giải
a) Gọi
D,N SM C O AC BN= ∩ = ∩
Ta thấy SO=(SAC)
∩
(SBM)
b) Trong mp (SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I
Ta có
( )
I BM SAC= ∩
c) Trong mp (SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P, ta
có P và M là hai điểm chung của mp (ABM) và
mp (SCD)
Vậy
( ) ( )
ABM SCD MP∩ =
đường thẳng PM cắt SD
tại Q.Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp
(ABM) là tứ giác ABPQ
Bài 5 ( Ví dụ 2 - tr 54 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó
M là là một điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Bài giải
a)mp(SAB) và mp)SCD) có điểm chung S và lần lượt đi qua
hai đường thẳng song song AB và CD nên chúng cắt nhau
theo giao tuyến
∆
đi qua S và song song với AB và CD

b)mp(MBC) và mp(SAD) lần lượt đi qua hai đường thẳng
song song với BC và AD và có điểm chung M nên giao tuyến
chúng là đường thẳng MN song song với AD
( D)n S∈
Vậy
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB
Bài 6 ( vd -tr 58 - sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB
( M khác A và B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC
- 2 -
I
M
P
N
C
B
A
D
S
O
O'
D'
C'
B'
A'
C
B
A
D
S
E

F'
O'
D'
C'
B'
A'
C
B
A
D
S
N
M
S
D
C
B
A
và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện
ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình
gì.
Bài giải
Từ M kẻ đương thẳng song song với AC cắt BC tại
N và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại
F.Khi ấy , (P) chính là mp(MNF). Gọi E là giao
điểm của (P) với CD thì thiết diện là tứ giác MNÈ,
vì đường thẳng MN song song với mp(ACD) nên mp(P) qua MN
cắt mp(ACD) theo giao tuyến EF song song với MN.Tương tự
.NE song song với MF , Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành
MNEF

Bài 7 ( bt 27 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó
là hình gì?
Bài giải
Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N, cắt
BC tại M. Qua M vẽ đường thẳng song song với SC cắt SB
tại Q.qua Q vẽ đường thẳng song song với AB cắt SA tại P .
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNPQ
Bài 8 ( bt 28 - tr 60 - sgk) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB,
song song với BD và SA.
Bài giải
Qua O vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N
và cắt AC tại I. Qua M,T,N vẽ các đường thẳng song
song với SA lần lượt cắt SB,SC,SD tại R,Q,P.Thiết diện
là ngũ giác MNPQR
Bài 9 ( Bt 36- tr 68 - sgk ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung
điểm của cạnh A’B’.
a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d
song song với mp(BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d)
Bài giải
a)Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C. Xét tam giác A’B’C’ thì HI là một đường
trung bình của nó, nên
'/ /CB HI
. Mặt khác HI m\nằm trong mặt phẳng (AHC’), Vậy
CB’//mp(AHC’)

- 3 -
F
E
N
M
D
C
B
A
O
M
N
P
Q
S
D
C
B
A
J
I
Q
R
P
M
N
S
D
C
B

A
d
H
J
N
M
I
E
C'
B'
A'
C
B
A
b)Gọi J là tâm của hình bình hành AA’B’B. Rõ ràng I, J là là hai điểm chung của hai
mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Vậy giao tuyến d của chúng là đường thẳng Ị. Rõ
ràng d//B’C’ nên d//(BB’C’C)
c)Đường thẳng HJ cắt mp(H,d)
Vậy mp(AA’C’C) cắt mp (H,d) theo tiếp tuyến qua I và song song với AA’, giao
tuyến này cắt AC và A’C lần lượt tại N và E. Vậy Thiết diện của hình lăng trụ khi cắt
bởi mp(H,d)là hình bình hành MNEH
Bài 10 ( Bt 27 - tr 55- sbt ) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
cạnh BC và BD ; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là
hình thoi.
J
I
F

E
D
C
B
A
Bài làm
a)Ta có IJ là đương trung bình của tam giác BCD nên IJ//CD
Mặt khác
( ) ( )
IJ IJE ; D DC AC⊂ ⊂
suy ra mp (IJE) cắt mp(ACD) theo giao tuyến
Ex//CD gọi F là giao điểm của Ex và AC. Thiết diện là hình thang EFIJ.
b)Để thiết diện là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF//Jekhi và chỉ khi AE=ED
c)Thiết diện EFIJ là hing thoi
khi và chỉ khi EFIJ là hình bình hành có IF=IJ
khi và chỉ khi E là trung điểm của AD thì
1
IF
2
AB=

Bài 11 (bài 35 - tr 57- sbt) Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ
diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau :
a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với
AD.
b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD.
- 4 -
Bài làm
L
Q

K
I
J
N
M
F
D
C
B
A
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD thì G là trung điểm của IJ
Mặt phẳng (IAD) chứa AD,AD//(P) nên (IAD) cắt (P) theo giao tuyến MN qua G và
song song AD
( )
,M AI N DI∈ ∈
Khi E trùng với I, thiết diện không tồn tại
Khi E không trùng với I, ta có thiết diện là tam giác EFK
b)Theo câu a) mặt phẳng (P) song song với AH và chúa MN . Mặt khác (P) song
song với BC nên nó cắt mp(ABC)và mp(BCD) theo giao tuyến lần lượt qua M và
song song với BC. Vậy thiết diện của hình bình hành là LFKQ
Bài 12 ( Bt 37 - tr57 - sbt) Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.
a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài làm
S
D'
C'
B'
A'

F
E
D
C
B
A
a)Thiết diện A’B’C’D’ là hình thang khi và chỉ khi A’B’//C’D’ hoặc A’D’//B’C’
Ta có
*)A’B’//C’D’ khi và chỉ khi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song
với A’B’
*) A’D’//C’B’ khi và chỉ khi giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC) song song
với A’D’
- 5 -
K
I
J
N
M
G
F
E
D
C
B
A
b)tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi mp(P) song song với cả hai
đường thẳng giao tuyến
Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy
Bài 13 (VD1 tr24- sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt
các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’

cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB tại điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài làm
C'
B'
A'
S
F
E
D
C
B
A
( )
D BC D mp ABC∈ ⇒ ∈
( )
' ' ' ' ' 'D B C D mp A B C∈ ⇒ ∈
Do đó :
( ) ( )
' ' 'D mp ABC mp A B C∈ ∩
Tương tự
( ) ( )
( )
' ' '
( ) ' ' '
E mp ABC mp A B C
F mp ABC mp A B C
∈ ∩
∈ ∩
Vậy ba điểm D,E,F thuộc mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng
Bài 14 ( VD 3 - tr 24 - sCĐLT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm

trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.
a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC).
b) Gọi
O AD BC ; M SC OK.= =I I
CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài làm
Gọi
;H AC BI G AC BD= ∩ = ∩
Trong mặt phẳng (SBI), IK cắt SH tại E và trong mặt phẳng (SBD), DK cắt SG tại F,
ta có :

( )
( )
E IK mp SAC
F DK mp SAC
= ∩
= ∩
b)Các điểm A,E,F,M thuộc mặt phẳng (AKO) vì chúng lần lượt
thuộc các đường thẳng AO,IK,DK,OK của mặt phẳng này .Mặt phẳng khác các điểm
A,E,F,Mcungx thuộc mặt phẳng (SAC)vì chúng lần lượt thuộc các đường thẳng
SA,SH,SG,SC
của mạt phẳng (SAC) này.Vậy bốn điểm A,E,F,M là bồn điểm chung của hai mặt
phẳng (AKO) và (SAC) nên chúng cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mp
đó
- 6 -
Bài 15 ( VD 4 - tr 25 - sCĐLT
vào ĐH )
Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là
3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh
AB,AC, BD sao cho EF cắt BC

tại I, EG cắt AD tại H. CMR :
CD, IG, HF đồng quy.
Bài làm
I
H
G
F
E
D
C
B
A
Ta có
( )
( )
EF EFI I mp G
I BC I mp BCD
∈ ⇒ ∈
∈ ⇒ ∈
Do đó
( ) ( )
EFI G BCD∈ ∩
Vậy
( ) ( )
EFIG G BCD= ∩
Lập luận tương tự ta có

( ) ( )
EFHF G ACD= ∩
Gọi K là giao điểm của IG và CD

Ta có
( )
EFIG G⊂
và
( )
CD ACD⊂
Gọi K là giao điểm của IG và CA
Ta có
( )
EFIG G⊂
và
( )
CD ACD⊂
Suy ra:

( ) ( )
EFK G ACD FH∈ ∩ =
Vậy CD,IG,HF đông quy
- 7 -
O
M
K
I
H
G
F
E
S
D
B

C
A
Bài 16 ( vd -tr 47 - sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO
đồng quy với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy.
Bài làm
K
I
O
B'
A'
S
D
C
B
A
Áp dụng kết quả của hoạt động 6 ở trên, ta có mạt phẳng (A’CD) cắt các cạnh SA,
SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’ ,C,D thì B’ là giao điểm của đường thẳng DI với cạnh
SB (ở đây I là giao điểm của hai đường thẳng SO và CA’)
Từ đó dễ thấy:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
' ' '
' '
'

' '
ABCD A CD CD
SAB A CD A B
SBC A CD CB
SCD A CD CD
SDA A CD DA
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Bài 17 ( ví dụ 1 - tr 54 sgk) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là
trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN,
PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ
diện ABCD đã cho.
Bài làm
D
R
S
G
Q
P
M
N
C
B
A
Vì MN là đương trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác
ADC nên MP//AC, NQ//AC,
1

2
MP AC=
,Vậy MP//NQ và MP=NQ, do đó tứ giác
MNPQ là hình bình hành.Từ đó ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại
trung điểm mỗi đoạn.
Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi
đoạn. Vậy ba đương thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điẻm G mỗi đoạn thẳng
đó.
- 8 -
Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song
với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
Bài 18 ( VD 1 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là
trọng tâm các tam giác ABC. CMR : MN song song với CD.
Bài làm
E
D
M
N
C
B
A
Gọi E là trung điểm của AB, Ta có
M EC∈
,
N ED∈
.
Do đó MN và CD đông phẳng .
Mặt khác
1
3

EM EN
EC ED
= =
Vì M và N là trọng tâm tam giác ABC và ABD.
Vậy MN//CD
Bài 19 ( ( VD 2 - tr 40 - S CĐ LT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) CM : MN // CD
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt
nhau tại I. CM SI // AB và SA // IB.
Bài làm
I
E
D
S
P
M
N
C
B
A
a)M,N là trung điểm của tam giác SAB nên MN//AB, mà AB//CD, theo gia thiết, nên
suy ra MN//CD
b) Gọi
E AD BC= ∩
.Trong mặt phẳng SBC, NE cắt SC tại P, ta có P là giao điểm của
SC và mặt phẳng (ADN). Ta có

( )
( ),AB SAB CD SCD⊂ ⊂

- 9 -
Mà AB//CD và
( ) ( )
SI SAB SCD= ∩
nên SI//AB//CD
Vì SI=2MN và AM=NI nên SABI là hình bình hành
Do đó SA//IB
Bài 20 ( VD 1 - tr 47 - - S CĐ LT vào ĐH ) Cho hai hình bình hành ABCD và
ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các
mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song
với mặt phẳng (CEF).
Bài làm
a) OO’ không chứa trong mặt phẳng (ADF) và (BCE). Ta có OO’//DF mà
( )
DF ADF⊂
. Do đó OO’//mp(ADF)
Tương tự : OO’//CE mà
( )
CE BCE⊂
do đó OO’//mp(BCE)
b) Kéo dài BM cắt CD tại G ta có AB//CD nên:
1
3
BM AM
BG AC
= =
Mặt khác, ta có :

1
3
BN
BF
=
Do đó MN//GF
Mà GF
⊂
mp(CDFE) và mặt phẳng này không chứa MN, nên ta suy ra
MN//mp(CEF)
Bài 21 ( VD 2 - tr 48 CĐ LT vào ĐH ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP)
c) Gọi G
1
; G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G
1
G
2
song
song với mặt phẳng (SAB).
Bài làm
G2
G1
D
Q
P

O
N
M
S
C
B
A
a) MN//mp(SBC) vì MN không thuộc mp(SBC) và MN //BC
⊂
mp(SBC)
Tương tự MN // mp(SAD) vì MN không thuộc mặt phăng (SAD)và MN//AD
⊂
mp(SAD)
b)
- 10 -
( )
( )
/ /
/ /
SB PM PMN
SC mp MNP
⊂
Vì (MNP) không chứa SC và ta có SC//NQ với Q là trung điểm của đoạn SD và
NQ
⊂
mp(MNP)
c) Gọi I là trung điểm của đoạn BC ta có G
1
∈
AI và G

2
∈
SI
Vì G
1
và G
2
là trọng tâm tam giác ABCvaf SBC nên ta có
G
1
G
2
//SA
⊂
(SAB) và G
1
G
2
không thuộc mặt phẳng (SAB).
Vậy G
1
G
2
//mp(SAB)
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 :

QUAN HỆ SONG SONG Ngày phát 05/12/2009
Dạng toán : Tìm thiết diện
Bài 1 :
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là

một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A’CD), (SAB),
(SBC), (SCD), (SDA).
Bài 2
Cho hình bình hành ABCD nằm trong mp(P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng
(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B; Giao điểm của hai
đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO.
b) Xác định giao tuyến của của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
Bài 3
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’ , B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA,
SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt
bởi mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC) trong đó
M là là một điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Bài 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M khác A và B).
Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác
định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình
gì.
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O,
song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
- 11 -
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình

chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và
SA.
Bài 9 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’.
a) CMR đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d
song song với mp(BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mặt phẳng (H, d)
Bài 10 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BC và BD ; E là
một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(ỊE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là
hình thoi.

Bài 11 Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt
bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau :
a) Mp (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc BC và song song với
AD.
b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD.
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lượt tại A’, B’, C’, D’.
a) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
b) Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Dạng toán : CM 3 điểm thẳng hàng; CM 3 đường thẳng đồng quy
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt
tại A’, B’ , C’ sao cho B’C’ cắt BC tại điểm D, C’A’ cắt CA tại điểm E, A’B’ cắt AB
tại điểm F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm
trên cạnh SB.
a) Tìm các giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC).

b) Gọi
O AD BC ; M SC OK.= =I I
CMR bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài 15 Chotứ diện ABCD. Gọi E,F, G là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh AB,AC,
BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. CMR : CD, IG, HF đồng quy.
Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lượt tại A’, B’, C’, D’. CMR các đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy với O là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy.
Bài 17 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. CMR 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung
điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.
Dạng toán : CM đường thẳng song song với dường thẳng, đường thẳng song song
với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
Bài 18 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC. CMR :
MN song song với CD.
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) CM : MN // CD
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt
nhau tại I. CM SI // AB và SA // IB.
- 12 -
Bài 20 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không
nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CM: OO’ song song với các
mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trong tâm các tam giác ABD và ABE. CM : MN song song
với mặt phẳng (CEF).
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Cm : MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)

b)Gọi P là trung điểm của SA. Cm : SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNP)
c) Gọi G
1
; G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. CM : G
1
G
2
song
song với mặt phẳng (SAB).
- 13 -