Tổng hợp dạng toán hình học giải tích không gian

Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(1)
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Các bài toán về điểm, đường thẳng, mặt phẳng
Dạng 1: Cho .)( dPA


Lập phương trình đường thẳng d’ qua A,
d


+ Xác định tọa độ giao điểm A
+ Lập phương trình mặt phẳng (Q)
- Đi qua A
-
d




+ ).()(' QPd





Dạng 2: Cho d
1
và d
2

chéo nhau. Viết phương trình (P) // và cách đều d
1
và d
2

+ Xác định
21
,
dd
uu
+ Lấy






2
1
dB
dA
tọa độ trung điểm I
+ Lập (P) đi qua I và có cặp vtcp
21
,
dd
uu


Dạng 3: Cho d

1
//d
2
. Viết phương trình đường thẳng d // và cách đều d
1
, d
2
và thuộc mp chứa d
1
, d
2

+ Xác định
21
dd
uu 
+ Lấy






2
1
dB
dA
tọa độ trung điểm I
+ Khi đó d đi qua I và có vtcp
21

dd
uuu 


Dạng 4: Cho d
1
cắt d
2
. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và d
2

+ Tìm tọa độ
21
ddI  . Lấy )(
1
IAdA 
+ Gọi
2
dB thỏa mãn AI = BI => hai điểm B
1
, B
2

- Với B
1


tọa độ trung điểm I

1
của AB
1








1
1
IIvtcpcó
Iqua

- Với B
2
(tương tự)

Dạng 5: Cho d
1
và d
2
đồng phẳng. Viết (P) chứa d
1
và d
2
Trường hợp d
1

//d
2
+ Lấy


ABun
dB
dA
dP
,
1
)(
2
1






và (P) đi qua A (hoặc B)
Trường hợp d
1
cắt d
2
+ Lấy
1
dA hoặc
2
dA



21
,
)( ddP
uun  và (P) đi qua A






Trường hợp d
1
cắt d
2
Trường hợp d
1
//d
2


P
A
d
P
A
I
B
u

1
u
2
I
A
A
d
u
1
u
2
d
1
d
2
I
A
I
B
1
I
2
d
1
d
2
d'
d''
1
B

2
P
Q
A
d
d'
P
A
u
1
u
2
d
1
d
2
P
d
1
d
2
u
1
u
2
A
B
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(2)

Dạng 6: Cho d
1
và d
2
chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc chung.
Cách 1:
+ Xác định
21
,
dd
uu . Gọi
u
là vtcp của d u
uu
uu
d
d









2
1

+ Viết (P

1
) chứa d
1
và có cặp vtcp uu
d
,
1

+ Viết (P
2
) chứa d
2
và có cặp vtcp uu
d
,
2

+ Khi đó )()(
21
PPd 

Cách 2: (d
1
và d
2
cho dạng tham số)
+ Gọi AB là đoạn vuông góc chung






2
1
dB
dA
. Do đó tọa độ A, B thỏa mãn phương trình d
1
và d
2

và suy ra tọa độ
AB
.
+ 







2
1
dAB
dAB
tọa độ A, B
+ Viết phương trình đường thẳng AB
Cách 3: (nếu d
1

và d
2
chéo nhau và
21
dd  )
+ Dựng (P
1
):





21
11
)(
)(
dP
Pd

+ Dựng (P
2
):





12
22

)(
)(
dP
Pd

+ Khi đó )()(
21
PPd 


Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt d
1
và d
2
cho trước
+ Viết (P):





)(
)(
1
Pd
PA

+ Viết (Q):






)(
)(
2
Qd
QA

- Nếu (P)

(Q) => bài toán có vố số nghiệm
- Nếu (P)

(Q). Gọi )()( QPd



 Nếu d//d
1
hoặc d//d
2
: bài toán vô nghiệm
 Nếu không thì d là đường thẳng cần tìm.

Cách 2: (nếu d
1
, d
2
viết dưới dạng tham số)

+ Giả sử:





Cdd
Bdd
2
1
.
Khi đó tọa độ của B, C thỏa mãn phương trình của d
1
và d
2

+ Do A, B, C thẳng hàng nên:
 ACkAB
tọa độ của B, C
+ Viết phương trình đường thẳng AB

d
P
d
1
d
2
1
P
2

u
1
u
2
d
P
d
1
d
2
1
P
2
u
1
u
2
d
d
1
d
2
u
u
2
A
B
1
d
Q

P
A
d
1
d
2
u
1
u
2
d
A
d
B
C
u
2
u
1
2
d
1
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(3)

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với d
1
và d
2

Cách 1:
+ Dựng (P):




1
)( dP
Aqua

+ Dựng (Q):




2
)( dQ
Aqua

+ Khi đó )()( QPd



Cách 2: + Xác định
21
,
dd
uu .
+ Gọi
u

là vtcp của d
 
21
1
,
2
dd
d
d
uuu
uu
uu









+ Viết phương trình d:





uvtcpcó
Aqua

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng qua A,
1
d và cắt d
2

Cách 1: + Dựng (P):




1
)( dP
Aqua

+ Dựng (Q):



 )(
2
Qd
Aqua


- Nếu (P)

(Q) => bài toán có vố số nghiệm
- Nếu (P)


(Q). Gọi )()( QPd



 Nếu d//d
1
hoặc d//d
2
: bài toán vô nghiệm
 Nếu không thì d là đường thẳng cần tìm.
Cách 2: (d
1
và d
2
cho dưới dạng tham số)
+ Giả sử dxd
2
= B => B thỏa mãn phương trình của d
2

AB

+ Vì  0.
11
1
dd
uABuABdd tọa độ B
+ Viết phương trình đường thẳng d:






ABvtcpcó
Aqua


Dạng 10: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)
+ Viết phương trình tham số của d:



 )(P
Aqua

+ Khi đó )(' PdA





Dạng 11: Tìm điểm đối xứng của A qua (P)
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)
+ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên (P)
+ H là trung điểm của AA’ => tọa độ của A’


2
A
d

d
2
u
1
u
A
d
Q
d
1
d
2
P
u
1
u
2
d
d
1
d
2
u
1
u
2
AB
P
A
A'

A
d
1
P
Q
d
2
d
u
1
u
2
P
A
H
A'
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(4)

Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua (P)
Trường hợp 1: d//(P)
+ Lấy
dA


+ Xác định A’ đối xứng với A qua (P)
+ Lập phương trình d’ qua A’ và song song với d

Trường hợp 2: APd


)(
+ Lấy
dB


+ Xác định B’ đối xứng với B qua (P)
+ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và B’

Dạng 13: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
+ Viết phương trình (Q) chứa d và )(P


+ Khi đó )()(' QPd









Dạng 14: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d
Cách 1:
+ Viết (P):




 d
Aqua

+ Tọa độ giao điểm )(' PdA




Cách 2: (d cho dưới dạng tham số)
+
dA

'
nên A’ thỏa mãn phương trình của d

tọa độ
'
AA

+ A’ là hình chiếu vuông góc của A xuống d nên
 0.'
d
uAA
tọa độ điểm A’.

Dạng 15: Tìm điểm đối xứng của A qua d
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên d.
+ H là trung điểm của AA’ => tọa độ A’.



Dạng 16: Cho 2 điểm




BBBAAA
zyxBzyxA ,,,,, và (P). Tìm M )(P

sao cho MA + MB nhỏ nhất?
Bước 1: Xác định vị trí tương đối của A và B so với (P)
+ Nếu A và B khác phía so với (P): thực thiện theo bước 2
+ Nếu A và B cùng phía so với (P): thực hiện theo bước 3
Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Tìm )(PABN


. Thực hiện bước 4
Bước 3: Tìm tọa độ A
1
đối xứng với A qua (P)
B
B'
H
d'
P
A

d
P
d
d'
A
u
d
Q
P
A
A'
u
d
d
A
A'
u
d
d
A
H
A'
d
u
d
P
A
A'
H
d

d'
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(5)
+ Viết phương trình tham số của A
1
B
+ Tìm )(
1
PBAN  . Thực hiện bước 5.
Bước 4: Chứng minh MN min khi và chỉ khi M
N


+ Lấy )(PM

ta có MA + MB

AB = NA + NB
+ Dấu “=” xảy ra
NM



Bước 5: Chứng minh MN min khi và chỉ khi M
N


+ Lấy )(PM

ta có MA + MB = MA

1
+ MB

A
1
B = NA
1
+ NB
+ Dấu “=” xảy ra
NM




P
M
A
B

P
A
A
1
B
M=N

Trường hợp A và B nằm khác phía với (P) Trường hợp A và B nằm cùng phía với (P)

Đối với các bài toán về tìm điểm thuộc đường thẳng d hay tìm điểm thuộc (P) thỏa mãn một
tính chất K nào đó thì các em áp dụng các phương pháp đã học để thiết lập tính chất K cho điểm M từ

đó tìm ra được tọa độ điểm M.

14 ĐIỀU RĂN
1. Kẻ thù lớn nhất của đời người là chính mình.
2. Ngu dốt lớn nhất của đời người là dối trá.
3. Thất bại lớn nhất của đời người là tự đại.
4. Bi ai lớn nhất của đời người là ghen tỵ
5. Sai lầm lớn nhất của đời người là đánh mất mình.
6. Tội lỗi lớn nhất của đời người là bất hiếu.
7. Đáng thương nhất của đời người là tự ti.
8. Đáng khâm phục nhất của đời người là vươn lên sau khi vấp ngã.
9. Phá sản lớn nhất của đời người là tuyệt vọng.
10. Tài sản lớn nhất của đời người là sức khỏe và trí tuệ.
11. Món nợ lớn nhất của đời người là tình cảm.
12. Lễ vật lớn nhất của đời người là khoan dung.
13. Khuyết điểm lớn nhất của đời người là kém hiểu biết.
14. An ủi lớn nhất của đời người là bố thí.

Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
(6)

CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. DẠNG 1: Viết ptmp(

) đi qua ba điểm M,N,P cho trước (M, N, P không thẳng hàng)
CÁCH GIẢI
 Tính
MN


,
MP


 Tính
n MN,MP

 

 
  

 Dạng(

):
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
     

 Thế
0 0 0
M(x ,y ,z ), n (A,B,C)



vào pt( )

 Đặc biệt: mp(

) đi qua A,B,C với A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0,c); (a,b,c


0)
 Dạng(

):
x y z
1
a b c
  


2. DẠNG 2: Viết ptmp(

) đi qua M cho trước và song song mp(

): Ax+By+Cz+D=0
CÁCH GIẢI


mà
( )//( ) n n
n (A,B,C)
n (A,B,C)
 



    

 





 



 Dạng(

):
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
     

 Thế
0 0 0
M(x ,y ,z ), n (A,B,C)



vào pt( )


3. DẠNG 3: Viết ptmp đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước
CÁCH GIẢI

d
u


Tìm


d
( ) (d) n u

   
 

 Dạng(

):
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
     

 Thế
0 0 0
M(x ,y ,z ), n (A,B,C)



vào pt( )

Ghi chú
: Mặt phẳng trung trực (

) của đoạn AB là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm I
của AB, nên (


) đi qua I và
n AB


 


4. DẠNG 4: Viết ptmp (

) đi qua M và đường thẳng (d); (với M

d)
CÁCH GIẢI
Cách 1:
Tìm và
là cặp vtcp của mp( )
d
d
A d u
AM,u




 

Dạng
Thế và Vào pt( )
d
0 0 0

0 0 0
n AM,u
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
M(x ,y ,z ) n (A,B,C)


 

 
      

  





Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
(7)
Cách 2:
Thực hiện khi pt (d)
1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
:
A x B y C z D 0
   


   



Ptmp( )
thế tọa độ điểm M vào pt ( ).Tìm ,
Thế , vào pt( ).
1 1 1 1 2 2 2 2
: (A x B y C z D ) (A x B y C z D ) 0
M ( ) :
          
    
  





5. DẠNG 5: Cho pt hai đường thẳng d
1
,d
2
(với d
1
chéo d
2
).Viết ptmp(

) chứa d
1
và song song d
2

CÁCH GIẢI
1
M d đi qua M

là cặp vtcp của (
1 2
1 2
d d
d d
Tìm ( )
Tìm u ,u
u ,u )
  


 
 


Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
1 2
d d
0 0 0
0 0 0
n u ,u
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A,B,C)



 

 
      

  





6. DẠNG 6: Viết ptmp(

) CHỨA
1
d
và VUÔNG GÓC đường thẳng
2
d

CÁCH GIẢI
1
M d đi qua M

Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
2
2 d
0 0 0

0 0 0
Tìm ( )
( ) d n u
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A,B,C)


  
   
      


 





7. DẠNG 7: Cho pt hai đường thẳng
1
d
,
2
d
(với
1
d
cắt
2
d

). Viết ptmp(

) chứa
1
d
,
2
d

CÁCH GIẢI
1 2
Tìm M thuộc d hoặc d
có cặp vtcp nên
1 2 1 2
d d d d
mp( ) qua M
mp( ) u ,u n u ,u

 
 
 
 

    

Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
0 0 0
0 0 0
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0

x y z n (A,B,C)

      






8. DẠNG 8: Cho pt hai đường thẳng
1
d
,
2
d
(với
1
d
//
2
d
) .Viết ptmp(

) chứa
1
d
,
2
d

CÁCH GIẢI
1 2
1 2
1 2 d d
d d
1 2
1 2
Chú y ù : vì d d nên cùng phương
Nên không phải là cặp vtcp của
( )
Tìm vtcp của d hoặc
Tìm M d d
có cặp vtcp nên
// u , u
u , u
u d
,N
mp( ) u,MN n u


 
 
 
 


  
Dạng
nên M (
Thế M( , , ) , vào pt ( )

0 0 0
1
0 0 0
,MN
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
M d )
x y z n (A,B,C)

 
 
      
  

 




Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
(8)

9. DẠNG 9: Cho đường thẳng (d) và mp(

), (với d không vuông góc (

)).
Viết ptmp (

) chứa d và
vuông góc (


)

CÁCH GIẢI
d
Tìm M d
Tìm u
là 1 vtcp của ( )
có cặp vtcp là và nên
Dạng
Thế M( , , ) ,
d d
0 0 0
0 0 0
mp( ) qua M
( ) ( ) n
mp( ) u n n u ,n
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n

  

  
    
 
 
 
      




    


 vào pt ( )(A,B,C) 


10. DẠNG 10: Cho d và mp(

), “d không vuông góc (

)”.Viết ptmp(

) đi qua một điểm M song
song với d và vuông góc(

).
CÁCH GIẢI
d
Tìm u
,n

 

có cặp vtcp là và nên
Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
d d
0 0 0
0 0 0

( ) u n n u ,n
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A,B,C)
  

 
 
 
      

    





11. DẠNG 11:
Viết ptmp ( ) tiếp xúc với mặt cầu
tại M( , , ) (s).
2 2 2
0 0 0
(s) : x y z - 2ax - 2by - 2cz d 0 x y z     

CÁCH GIẢI
Cách 1:
Dạng ( ) :
Thế M( ) vào pt ( ).
0 0 0 0 0 0
0 0 0
x x y y z z -a(x x)- b(y y)-c(z z) d 0

x ,y ,z
       




Cách 2:
Tìm tâm I của mặt cầu (s)
( ) đi qua M( ) có
Dạng
Thế M( , , ) , vào pt ( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x ,y ,z n IM
( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
x y z n (A,B,C)


 
      


 




12. DẠNG 12:
Viết ptmp( ) tiếp xúc với mặt cầu (s) cho trước và song song với mp(P)

: Ax By Cz D 0
    

CÁCH GIẢI
Tìm tâm I, bk R của (s)

tiếp xúc (s) d(I,( ))=R (Giải tìm D'
)
Thế D' vào pt ( )
( )//(P) ( ): Ax By Cz D' 0;(D D')
( )
       
  






13. DẠNG 13: Viết ptmp
( )

tiếp xúc với mặt cầu (s) cho trước và song song với hai đường thẳng

d
1
,d
2
cho trước (với d
1

chéo d
2
)
CÁCH GIẢI
Văn Phong Hình học giải tích trong khơng gian
(9)
1 2
song song với d ,d ta được
Dạng là ẩn số phải tìm
Tìm tâm I, bk R của (s)
( tiếp xúc (s) , Giải tìm D)
The
1 2
d d
( ) n u ,u n (A,B,C)
( ) : Ax By Cz D 0 (D )
) d(I,( )) R (
 
 
  
 
    
   
   



 á D vào pt( )

14. DẠNG 14:
Viết ptmp( ) tiếp xúc với mặt cầu (s) cho trước và vuông góc với đườn
g thẳng (d) cho tr ước.


CÁCH GIẢI

(d) ta được
Dạng là ẩn số phải tìm
Tìm tâm I, bk R của (s)
( tiếp xúc (s) , Giải tìm D)
Thế D vào pt( )
d
( ) n u n (A,B,C)
( ) : Ax By Cz D 0 (D )
) d(I,( )) R (
 
   
    
   

  





15. DẠNG 15:
Viết ptmp( ) tiếp xúc với mặt cầu (s) cho trước, song song với đường tha
úng (d) cho trước

và vuông góc mp(P) cho trước.


CÁCH GIẢI
và
ta được =(A,B,C)
Dạng là ẩn số phải tìm
Tìm tâm I, bk R của (s)
( tiếp xúc (s) , Giải tìm D)

d (P)
d (P)
Tìm u n
n u ,n n
( ): Ax By Cz D 0 (D )
) d(I,( )) R (
 
 

 
    
   
 

   



 Thế D vào pt( )

16. DẠNG 16:
pt mặt cầu (s) và đthẳng (d)
Viết ptmp( ) chứa (d) và tiếp xúc (s).
1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
Cho :
A x B y C z D 0
   


   




CÁCH GIẢI
2
Dạng
với:

Tìm tâm I bán kính R của (s)
( ) t
1 1 1 1 2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) : (A x B y C z D ) (A x B y C z D ) 0
( 0)
( ) :( A A )x ( B B )y ( C C )z D D 0
          

   
                




 iếp xúc (s) (giải tìm
Thế vào pt( )
d(I,( )) R , )
,
    
  



Văn Phong
Vì cuộc sống là khơng chờ đợi!
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(10)

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp
sau:
a) Đi qua điểm M(2;1;-3) và có vectơ chỉ phương
( , , )
u 
1 2 2

.

b) Đi qua điểm N(-2;0;3) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình:
x y z
 
 
 
1 2
2 3 1
.
c) Đi qua điểm K(-4;1;1) và vuông góc mặt phẳng (P) có phương trình:
x y
  
2 3 0
.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm A(1;-2;3) cắt và vuông góc với đường thẳng
(d’):
x t
y t
z t
 


  


 

1
1
1

Bài 3: Cho 2 đường thẳng: (d):
x y z
 
 
1 2
2 3 1
và (d’):
x t
y t
z
 


  




1 2
1
3

a) Chứng minh rằng (d) và (d’) chéo nhau.
b) Tìm điểm A

(d), B

(d’) sao cho AB nhỏ nhất.
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):

x y z
  
 

2 4 4
2 3 5
lên mặt
phẳng (P):
x y z
   
2 2 0
.
Bài 5: Cho hai đường thẳng song song: (d):
x y z
  
 

7 5 9
3 1 4
và (d’):
x y z
 
 

4 18
3 1 4

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và (d’).
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’).
Bài 6: Cho hai đường thẳng (d):

x y z
  
 

2 3 4
2 3 5
và (d’):
x y z
  
 
 
1 4 48
3 2 1
. Viết phương
trình chính tắc đường vuông góc chung của (d) và (d’).

Bài 7: Tìm một điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:
a)
x t
y t
z t
 





 

1 2

3
3
b)
x t
y t
z
 


  




1 2
1
3

c)
x y z
 
 

1 3
2 1 5
d)
x y z
 
 
1 2

2 3 1

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng

trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua M(1,-2,3) và có vectơ chỉ phương
( , , )
u
 
1 0 2

.
b) Đi qua A(1,-1,2) và B(1,2,3).
c) Đi qua A(1,-1,2) và song song với BC biết B(2,-1,3); C(1,0,4).
Bài 9: Viết phương trình đường thẳng

biết:
a)

qua A(-1,2,-5) và song song với (d):
x t
y t
z
 


  





1 2
1
3

b)

qua B(1,-1,2) và song song với (d):
x y z
 
 
1 2
2 3 1

c)

qua D(-1,0,3) va song song với 2 mặt phẳng



:
x y z
   
2 3 0
và



:
x y z

  
3 0
.
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(11)
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng

biết:
a) Đường thẳng

đi qua A(1,-2,0) và vuông góc với mặt phẳng
x y z
   
2 3 5 0
.
b) Đường thẳng

đi qua B(-1,2,-3) và vuông góc với mặt phẳng
x y z
   
2 3 5 0
.
c)

qua E(-2,1,0) và vuông góc với 2 đường thẳng:


1
 :
x t

y t
z
 


 




1 2
1



2
 :
x y z
 
 

1 2
3 1 2

Bài 11: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của:
a)

:
x y z
  

 
2 2 1
3 4 1
lên mặt phẳng



:
x y z
   
2 3 4 0
.
b)

:
x t
y t
z t
 





  

2
2
1 2
lên mặt phẳng




:
x y z
   
3 0
.
c)

:
x y z
  
 
1 2 3
2 3 1
lên mặt phẳng Oxy.
Bài 12: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
x y z
  
 

2 2 3
3 2 1
trên mặt
phẳng



:

x y z
   
3 2 15 0
.

Bài 13: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
x y z
  
 
1 2 3
2 3 1
trên các mặt
phẳng: Oxy, Oxz,Oyz.

Bài 14: Viết phương trình đường thẳng

nằm trong mặt phẳng (

):
y z
 
2 0
và cắt các đường thẳng
(d
1
):
x t
y t
z t
 








1
4
(d
2
):
x t
y t
z
 


 




2
4 2
1


Bài 15: Viết phương trình đường thẳng


nằm trong mặt phẳng



:
x y z
  
2 0
và cắt hai đường
thẳng (d
1
):
x t
y t
z t
 





  

1
1
và (d
2
):
x y z
 

 

3 1
1 3 0


Bài 16: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

qua M(1,5,0) và cắt cả hai đường thẳng
(
d
1
):
x y z

 
1
2 3 1
(d
2
):
x t
y t
z t
 


 



  

1 2
2
1

Bài 17: Cho (d
1
):
x y z
  
 

2 1 1
3 1 2
và (d
2
):
x t
y t
z t
  


 


 

2 2

5
2
. Viết phương trình đường thẳng

qua
M(1,1,1) và cắt cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).

Bài 18: Viết phương trình đường thẳng

vuông góc với mp(P):
x y z
   
1 0
và cắt cả hai đường
thẳng (d
1
):
x y z
 
 

1 1
2 1 1
(d
2
):

x y z
 
 

1 1
1 2 1
.

Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(12)
Bài 19: Lập phương trình đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng xOz và cắt cả hai đường thẳng:
(d
1
):
x t
y t
z t



  


 

4
3
(d

2
):
x t
y t
z t
 


  


 

1 2
3
4 5

Bài 20: Viết phương trình đường thẳng

song song với đường thẳng
x t
y t
z t



 


 


3
1
5
và cắt cả hai đường
thẳng (d
1
):
x y z
  
 
1 2 2
1 4 3
(d
2
):
x t
y t
z t
 


  


 

1
1 2
2

Bài 21: Viết phương trình đường thẳng

song song với
x y z
  
 
 
1 3 2
3 2 1
và cắt cả hai đường thẳng:
(d
1
):
x y z
  
 
2 2 1
3 4 1
(d
2
):
x y z
  
 

7 3 9
1 2 1

Bài 22: Viết phương trình đường thẳng

qua M(0,1,1), vuông góc với đường thẳng (d
1
), cắt đường
thẳng (d
2
):
x t
y t
z t
 





  

1
2
2

Bài 23: Viết phương trình đường thẳng

qua M(0,1,-1), vuông góc và cắt đường thẳng (d):
d:
x t
y t
z t

 





  

2
1 2

Bài 24: Cho mặt phẳng (P):
x y z
   
2 5 0
và đường thẳng (d):
x y z
  
 
3 1 3
2 1 1

a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’).
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) lên mp (P).
c) Viết phương trình đường thẳng )(P


và

đi qua giao điểm của (d) và (P) và


(d’).

Bài 25: Cho mặt phẳng (P):
x y z
  
0
và đường thẳng (d):
x y z
 
 

1 2
2 3 2

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng

qua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P).

Bài 26: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau. Nếu cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao điểm
a) (d
1
):
x t
y t
z t







  

9
5
3
và (d
2
):
x t
y t
z t



  


  

8 4
3 3

b) (d
1
):
x t
y

z t
  


 


 

2 3
1
4
và (d
2
):
x y z
  
 
 
2 1 1
1 2 3

Bài 27: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng sau. Nếu cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao
điểm:
a) (d):
x y z
  
 
 
1 2 2

1 1 3
và (

):
x y z
   
3 1 0
.
b) (d):
x y z
 
 
1 3
2 4 3
và (

):
x y z
   
3 3 2 5 0
.
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(13)
c) (d):
x t
y t
z t
  



 


 

1 2
2
3
và (

):
x y z
   
4 0
.
d) (d):
x t
y t
z t
 


 


 

1
1 2
2 3

và (

):
x y z
   
4 0
.
Bài 28: Cho hai đường thẳng có phương trình:
(d
1
):
x y z
 
 

1 1
2 1 1
(d
2
):
x y z
 
 

3 1
1 2 1
và mặt phẳng




:
x y z
   
2 1 0

a) Xét vị trí tương đối giữa d
1
và d
2
.
b) Chứng minh rằng d
1
cắt (

).Tìm toạ độ giao điểm.

Bài 29: Cho hai đường thẳng có phương trình:
(d
1
):
x y z
  
 

1 2 5
2 3 4
và (d
2
):
x t

y t
z t
 


 


 

7 3
2 2
1 2

a) Chứng tỏ d
1
và d
2
đồng phẳng.
b) Lập phương trình mặt phẳng xác định bởi d
1
và d
2
.

Bài 30: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương
trình:
(d):
x t
y t

z
 







1 3
2
1
và (d’):
x y z
 
 

1 1
2 1 1

a) Chứng minh hai đường thẳng d va d’ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1,2,3) và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 31: Viết phương trình mặt phẳng



qua A(0,1,1) và vông góc với (d):
x y z
 
 

1 2
3 1 1

Bài 32: Viết phương trình mặt phẳng



chứa đường thẳng (d):
x y z
 
 

1 1
2 1 1
và vuông góc với
mặt phẳng (P):
x y z
   
2 5 0
.
Bài 33: Viết phương trình mặt phẳng



qua đường thẳng (d):
x y z
  
 

2 1 5

1 2 2
và song song với
(d’):
x t
y t
z t
 


  


 

2
1 2
3 3

Bài 34: Cho hai đường thẳng có phương trình sau đây:
(d
1
):
x y z
  
 
1 1 2
2 3 1
(d
2
):

x y z
 
 

2 2
1 5 2

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của chúng.
Bài 35: Cho điểm A(3,2,1) và đường thẳng (D)
x t
y t
z t






 

2
4
3
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
qua A và vuông góc với (D) và cắt (D).

Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(14)
Bài 36: Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng

x y z
   
3 2 0
và cắt hai đường
thẳng
x
y t
z t
 


 




1
1
và
x
y z

   
1
2 12
3

Bài 37: Viết phương trình đường vuông góc hạ từ điểm A(2,3,1) đến đường thẳng (d):
x y z
 

 

1 2
2 1 3

Bài 38: Cho A(0,1,2) và (d):
x t
y t
z t
  


  


  

1
2
3 2
.Lập phương trình đường thẳng (

) qua A, cắt (d) và vuông
góc với (d).

Bài 39: Cho hai mặt phẳng



:

x y z
   
2 2 0
; (

):
x y z
   
2 1 0

a) Chứng minh



và



cắt nhau. Viết phương trình tham số giao tuyến (d) của



và



.
b) Cho điểm A(1,1,1). Gọi H, K là hình chiếu của A lên




và



.Tính độ dài đoạn thẳng HK.
c) Tìm toạ độ hình chiếu I của điểm A lên (d).
Bài 40: Xác định toạ độ điểm P’ đối xứng với điểm P(-3,1,-1) qua đường thẳng d:
x t
y t
z t

 





 


13
3
4
4
5
2
2

Bài 41: Cho điểm M(1,2,-1) và (d):

x y z
  
 

1 2 2
3 2 2
.Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d). Tính
độ dài đoạn thẳng MN.
Bài42: Cho đường thẳng d:
x y z
  
 
2 1 1
2 3 5
và mp (P):
x y z
   
2 8 0

a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình đường thẳng

ở trên mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng

vuông góc với
đường thẳng d và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng

bằng
14

3
.
Bài 43: Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
x y z x y z
      
2 2 2
10 2 26 113 0
và
song song với hai đường thẳng (d
1
):
x y z
  
 

5 1 13
2 3 2
(d
2
):
x y z
  
 

7 1 8
3 2 0

Bài 44: Lập phương trình mặt cầu có tâm là I(2,3,-1) cắt đường thẳng (D):
x t
t

y
z t



 


  

11
2 2
14
tại hai điểm A và
B sao cho AB = 16.
Bài 45: Cho đường thẳng (d):
x t
y t
z t






 

2
2
va hai mặt phẳng (P

1
):
x y z
   
2 2 3 0
và (P
2
):
x y z
   
2 2 7 0
.Viết phương trình mặt câu tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
).

Bài 46: (KHỐI A – 2004)
1)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD
tại gốc toạ độ O.Biết A(2,0,0), B(0,1,0), S(0,0,2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a.tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b.Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N.Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(15)
Bài 47: (KHỐI A – 2005)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d:
x y z

  
 
1 3 3
1 2 1
và mặt phẳng (P):
x y z
   
2 2 9 0

a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của
đường thẳng (P), biết

đi qua A và vuông góc với d.
Bài 48: (KHỐI A – 2006)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0,0,0), B(1,0,0),
D(0,1,0), A’(0,0,1).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc

biết cos

=
1
6
.
Bài 49: (KHỐI D – 2007)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai điểm A(1,4,2), B(-1,2,4) và đường thẳng

:

x y z
 
 

1 2
1 1 2

1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt
phẳng (OAB).
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng

sao cho
MA MB

2 2
nhỏ nhất.
Bài 50: (KHỐI A – 2009)
Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2,-1,2), song song với Oy và vuông
góc với mặt phẳng (Q): x y z
   
2 3 4 0
.
Bài 51: (CĐ KHỐI A,B,D – 2010)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(0,3,1), đường thẳng (d) có phương trình
x y z

 
1
1 2 1
và mặt phẳng (P): x y z

   
4 0
.Viết phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với
mặt phẳng (P), cắt đường thẳng (d) tại M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng khoảng
cách từ M đến điểm A.
Bài 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z
   
3 1 0
và hai đường
thẳng chéo nhau (d):
x y z
  
 

2 2 1
1 2 1
, (d’):
x y z
  
 
2 1 1
3 2 1
. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
vuông góc với mặt phẳng (P), đồng thời cắt hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt tại M,N sao cho độ dài
đoạn thẳng MN ngắn nhất.
Bài 53: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1,0,0), B(0,2,0), C(1,2,-3).
a) Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
Bài 54: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1,0,0), B(0,2,0), C(1,2,-3).
a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng qua C và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và
(Oyz).
Bài 55: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2,3,2), B(6,-1,-2), C(-1,-4,3), D(1,6,5). Tìm
trên cạnh CD điểm M sao cho
AMB

có chu vi nhỏ nhất.
Bài 56: Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(1,2,3).Viết phương trình mặt phẳng (
)

qua M, cắt
chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất
Bài 57: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1,2,3), B(1,-1,4),
C(3,2,1), D(4,2,5). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) để biểu thức
F MA MB MC MD
   
   
đạt giá trị nhỏ nhất.Gía trụ nhỏ nhất đó là bao nhiêu.
Văn Phong Hình học giải tích trong không gian
(16)
Bài 58: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1,2,5), B(1,4,3),
C(5,2,1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho biểu thức
F MA MB MC
  
2 2 2
có giá trị nhỏ
nhất. Giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu.
Bài 59:
a. Viết phương trình mp () đi qua điểm M(9; 1; 1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.

b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất
Bài 60: Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d:
2 1
4 6 8
x y z
 
 
 

và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 61: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :
1 3
1 1 4
x y z
 
 

và điểm M(0 ; - 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng 
đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.
Bài 62: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường
thẳng d có phương trình :









tz
ty
tx
24
2
32
. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến
A và B là nhỏ nhất.
Bài 63: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho


052:  zyxP và đường thẳng
31
2
3
:)( 

zy
x
d , điểm A( -2; 3; 4). Gọi

là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (
d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên

điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Bài 64: Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng










1
2:
z
ty
tx
và điểm )1,0,1(

A
Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng

để tam giác AEF là tam giác đều.
Bài 65: Trong không gian Oxyz cho, cho mặt phẳng


: 2 2 1 0
P x y z
   
và các đường thẳng:
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z
d
 

 


2
5 5
: .
6 4 5
x y z
d
 
 


Tìm điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một
khoảng bằng 2.
Bài 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
( ):
1 1 2
x y z
d
 
và
2
1 1
( ):

2 1 1
x y z
d
 
 

.
Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
( )
d
và N thuộc
2
( )
d
sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
(P): x – y + z + 2012 = 0 độ dài đoạn MN bằng 3 .
Chúc các em cùng gia đình sức khỏe và hạnh phúc!
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
Tứ Dân, 26 tháng 7 năm 2012
Văn Phong