Bài tập số phức Toán 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1022.91 KB, 70 trang )
Giáo viên: Nguy
ành Long
www.MATHVN.com
(DÙNG CHO ÔN THI TN –
G
Email:
–
)
: www.Mathvn.com
B
10.04.2011
www.mathvn.com
1
Giáo viên: Nguy
ành Long
Email:
www.MATHVN.com
I. D
là m
à z và vi
i
1. M
Ký hi
i
z
à ph
Re z
à ph
z
T
à s i tho
a bi
a bi (d
ãn i 2
1.
a
a bi , ký hi
à C.
Im z
b
Chú ý:
-M is
-S
z a bi có
-S
às
às
2. Hai s
Cho z a bi và z’ a’ b’i .
a a'
z z’
b b'
3. Bi
ình h
M
às
ên m
à z a bi .
4. Phép c
à phép tr
Cho hai s
z a bi và z’ a’ b’i
z z ' (a a ') (b b ')i
z z ' (a a ') (b b ')i
5. Phép nhân s
Cho hai s
z a bi và z’ a’ b’i .
zz ' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i
6. S
ên h
Cho s
z a bi . S
z a bi g
V z a bi a bi
Chú ý:
1) z z
z và z g
2
2) z. z = a + b2
- Tính ch
à hai s
às
nh ngh
às
ên h
ên.
ên h
ên h
(1): z z
(2): z z ' z z '
(3): z.z ' z.z '
(4): z. z =
a2 b2 ( z
a bi )
www.mathvn.com
2
Giáo viên: Nguy
ành Long
Cho s
a bi . Ta ký hi
z
-N
ph
-N z
8. Phép chia s
Cho s
z
z'
z
1
www.MATHVN.com
a bi , thì
z
a bi
z
1
1
z
z
2
2
2
a b
z
z
a bi , thì z
z
a2
z .z
z
1
à a2
0 (t
c
Email:
a2
OM
b2
b2
b2
0)
às
z'
c
z
z '.z
1
z.z
z
2
V
ên nó c
ph
II. D
z
1. Cho s
0. G
àm
à Ox, tia cu
àm
là m
2. D
Xét s
z
ìm
a bi
a, b
R, z
z = a + bi (a, b
r
a
b
R) g
+ 2k , k
r
àd
0
z.
là m
a
r
b
r
z th
sin
3. Nhân và chia s
N z r cos
i sin
r.r ' cos
0.
àd
2
cos
thì: z.z '
Z.
0
G
à là m
Ta có: a = rcos , b = rsin
z r cos
i sin
2
gumen c
, z'
'
r ' cos ' i sin '
i sin
'
r
0, r’ 0
z
z'
r
cos
r'
r n cos n
i sin n
và
'
i sin
'
4. Công th
V
n
N * thì r cos
i sin
n
www.mathvn.com
3
Giáo viên: Nguy
ành Long
z
r cos
i sin
2
r cos
r cos
2
Email:
www.MATHVN.com
isin
2
A. BÀI T
r cos
(r > 0) là
i sin
i sin
2
2
và
2
À CÁC THU
D
:
-S
Chú ý:
Trong khi tính tốn v
h
ình ph
à lu
ho
3
2
z
Bài 1: Cho s
1
i . Tính các s
2
3
z ; z2 ; z ; 1 z
z2
Gi
3
2
a. Vì z
1
i
2
z
3
2
3
2
1
i
2
1
i
2
2
b. Ta có z
2
3
4
1 2
i
4
3
i
2
1
2
3
i
2
2
z
z
3
2
1
i
2
z
1
2
2
3
z
2
z2
Ta có: 1 z
3
4
1 2
i
4
3
i
2
3
2
3
2
1
i
2
1
3
i
2
1
2
1
i
2
3
i
2
3
4
1
2
3
i
2
1
i
2
3
3
i
4
3
3
4
1
3
2
2
i
i
Nh
3
z ta có th
z
Cho s
Ta có z 2
1
4
Bài 2:
a. Tính t
b. Cho hai s
3
4
3
i
2
: 1 i i 2 i3
z1 , z 2 tho
1
2
trong s
3
i . Hãy tính : 1 z z 2
2
1
3
1 z z2 1
i
2 2
1
2
3
i
2
0
i 2009
ãn z1
z2
1; z1
z2
3 . Tính z1
z2 .
Gi
www.mathvn.com
4
Giáo viên: Nguy
Ta có 1 – i 2010
Mà 1
b.
1 – i 1 i i2
a1
b1i; z2
a2
a12
b12
(a1
a2 ) 2
T
Suy ra 2(a1b1
Email:
www.MATHVN.com
i3
2
2 . Nên 1 i i
i 2010
z1
ành Long
i 2009
3
i
... i
2
2009
1 i
1 i
b2 i .
2
a2
a2 b2 ) 1
2
b2
1
b2 )2
(b1
a2 ) 2
( a1
3
b2 ) 2
(b1
1
z1
z2
1
Bài 3: Tính giá tr
i 5 i 7 i 9 ... i 2009
a. P
(i 2
1)
4
6
7
2010
i i i ... i
b. M 1 (1 i) 2 (1 i )4 ... (1 i )10
c. N
100
1 i
Gi
a. Ta có i 5
i7
i4
... i 2010
i5
i6
1 i 2011
1 i
b. M là t
... i 2009
(1 1 i )
Ta có : M
c. N
i9
u1 .
1 i
1 i2
1 i
i3
i 1
1 q10
1 q
100
i5 1 i 2
1.
2
P
i4
i4
i5
i 1
ên c
50
( 2i )
i 6 ... i 2010
1
2
i
1 (2i )10
1 2i
... i 2004
i2
1003
i
1 i2
1 i 2 i3
1
i
2
ên u1
1 210
1 2i
50
i.
1
50
( 2) ( i )
1025(1 2i)
5
50
2
1 , cơng b
q
(1 i )2
2i
205 410i
50
Bài 4:
1 i
. Tính giá tr
1 i
2010
31 i
4i 1 i
a. Cho s
z 2010 .
z
b. Ch
2008
41 i
2006
Gi
1 i
1 i
a. Ta có : z
nên z 2010
i 2010
b. Tacó: 3 1 i
(1 i )2
i
2
i 4 502 2 i 4 502 .i 2
2010
4i 1 i
2008
1.( 1)
41 i
1
2006
31 i
4
4i 1 i
2
4
1 i
4
4
4i 2
4
Bài 5: Tính s
a. z
1 i
1 i
16
1 i
1 i
8
b. z
1 i
15
www.mathvn.com
5
Giáo viên: Nguy
ành Long
Email:
www.MATHVN.com
Gi
a. Ta có:
1 i
1 i
16
1 i
1 i
V
(1 i)(1 i )
2
1 i
1 i
2i
2
1 i
1 i
i
i
8
i16
8
i
2
b.
Ta
2
1 i
z
1 2i – 1 2i
15
i
i
1 i
14
Bài 6: Tính: i105
14
2i
i
i 23
i
i 20
7
128.i
7
có:
128.i
i
i
i
i 34
Gi
Ta có: i
B
V in
ài này, ta chú ý
1; i 3
i; i 4 i 3 .i
àng ch
1;1; i; i , n N .
2
N
i
105
i
23
i
20
i
34
i
i
ên âm, i
n
1
i
n
1
1; i 5
4.26 1
ên, ta d
i 4.5 3
i; i 6
1
i 4 n 1; i 4 n
1
i; i 4 n
3i) 2
(1
1; i 4 n
2
3
i;
n
N*
n
i
i 4.5
i 4.8
n
2
.
i
i
Bài 7:
1
a. Tính :
1
3
i
2 2
b. (TN – 2008) Tìm giá tr
Gi
P
1
a. Ta có:
b. P
D
Lo
1
2
3
i
2
1
2
3
2
3
1
2
1
2
i
2
(1
1
i
3
2
3
2
2
1
i
i
3i) 2
1
2
3
2
i
4
2: S
ìm ph
Bi
à thu
à ph
z
a bi , suy ra ph
à a, ph
àb
Bài 1: Tìm ph
www.mathvn.com
6
Giáo viên: Nguy
a. z
i
ành Long
2 4i
Gi
a. z
V
b. K
0 2 3
1 4 2 i
ã cho có ph
h
à
21004 i (1 i)
i
b. (TN – 2010) Cho hai s
c. (TN – 2010) Cho hai s
z1
z1
z
Gi
a. Ta có: i
V
b. Ph
c. Ph
2 . Tìm s
i
z
ên h
à – 1, ph
a2
b2
2
2
2
i
2
2
2
i
2
2
z
...
z
21004 i
2 3i . Xác
3 4i . Xác
ã cho có ph
– 3 ; Ph
d. Theo gi
(1 i) 2010
1 i
à ph
à ph
z1 2 z2 .
z1 .z 2 .
1
z
21004
1 2i, z2
2 5i, z 2
0 2
b2
c. z
2 – 4i – 3 – 2i
2 – 4i – 3 – 2i
a2
(2i)3
à
Bài 2:
a. Tìm ph
ãn
Email:
1 i.
(2i )1005 (1 i )
2
d. Cho s
( 1 i) 3
b. z
3 2i
(1 i) 2010
1 i
c. z
www.MATHVN.com
1 4 i
z
ab
2ab 1
2
2–3
3 2 i
1– i
à – 1.
1
2
3 2i
41
a2
1
2
b2
1
2
2
2
i
2
2
2
i
2
2
z
Bài 3: Tìm ph
1 i
a.
b. z 1
c. 1 i
3
1 i
3
3
1 i
2
1 i
3
1 i
20
2009
Gi
a. Ta có:
3
1 i
2i
2i
23 i 3
1
3
3
2
1 i 3
1 i 2 i3
2 2i
8i
www.mathvn.com
7
Giáo viên: Nguy
1 i
3
ành Long
Email:
www.MATHVN.com
3
2i
2 10i
ã cho có ph
V
à 2, ph
à 10.
21
(1 i) 1
b. Ta có P 1 (1 i ) ... (1 i )20
i
(1 i )21
10
(1 i) 2
210 (1 i ) 1
i
P
(2i )10 (1 i )
.(1 i)
210
210 1 i
210 , ph
V
2009
c. Ta có 1 i
210 (1 i )
210 1
2
1 i
1004
( 2i)1004 (1 i )
(1 i )
ên là 21004 và
V
21004 (1 i )
21004
21004 i
à 21004
– A 2010) Tìm ph
z
z, bi
2 i
2
1
2i
Gi
Ta có: z
z
2 i
5
2
1
2i
1 2 2i 1
2i
1
2i 2 2i 4i 2
5
2i
2i
Ph
2.
Bài 5: (CD – 2010) Cho s
Gi
G z
a bi a R , b R
ã cho tr
ành
2 3i a bi
theo i)
z
2
8 i
2i 1
V
Bài 8: Tìm ph
2 i
1 2i
8 i 1 2i
5
ã cho có ph
n 2 3i z
ãn
4 i z
2
1 3i . Tìm ph
à ph
a bi
1 3i
a
2
b 5
ã cho có ph
Bài 5: (CD – A 2009) Cho s
z.
Gi
2
Ta có: 1 i 2 i z 8 i
z 1 i
z
4 1 a bi
6a 4b 8
2a 2b 6
V
z th
2
6a 4b 2(a b)i
à 2 , ph
8 6i
ình b
à5
ãn 1 i
2
2 i z
8 i
1 2i z . Tìm ph
à ph
1 2i z
8 i
z 2i 2 i
1 2i
8 i
8 15i 2 10 15i
2 3i
5
5
à 2, ph
à -3
z
1 i
n
, bi
N th
www.mathvn.com
ãn ph
ình
8
Giáo viên: Nguy
log 4 n – 3
ành Long
log 4 n 9
Email:
www.MATHVN.com
3
Gi
n N
n 3
ình log 4 n – 3
(n – 3)(n + 9) = 43
log 4 n 9
3
log 4 n – 3 n 9
n 7
n
13
n2 + 6n – 91 = 0
3
(tho mãn)
(không tho mãn)
V
z
1 i
n
7
1 i
1 i . 1 i
V
2
3
1 i .(2i) 3
(1 i).( 8i)
8 8i
à 8.
Lo
ình h
-S
M a; b bi
ên m
Chú ý:
V
M a; b
z
a bi
Lo
Bi
Bài 1:
a. Tìm mơ
b.
a bi , suy ra modun là z
z
c. Cho s
1 i
1 i
ãn i. z
Z
Gi
a. Vì (1 i)3
13
3i 3i 2
Suy ra : z 1 4i (1 i)3
Ta có 1
(1
ãn z
d.
b. z
b2
z 1 4i (1 i )3
– A 2010) Cho s
(1
a2
i3
11
1 4i
1 3i 3 i
1 2i
. Tìm mơ
w
z
iz .
3
2 2i .
( 1) 2
z
z iz
8
2i
1 i
1– i
3i )2
. Tìm mơ
1 i
22
5
3i)3
.
1 i
3i
3
13
3.12
3i
3.1.
3i
2
3 3i3
8
www.mathvn.com
9
Giáo viên: Nguy
www.MATHVN.com
81 i
8
4 4i
z
1 i
2
4 4i
4 4i i
8 8i
z
z iz
V
ành Long
z iz
Email:
4 4i
8 2.
Cách 2: (Dành cho ban nâng cao)
Bi
Ta có
(1
3i )
i sin
2 cos
3
3
8
8(1 i )
z
4 4i
1 i
2
z iz
4 4i i( 4 4i)
8(1 i)
1 i
1 i
c. Ta có i. z
iz
i
w
d. Z
1 i
z
8
i.z
16 i
z
iz
1 16i i
2
1– i
1
2
3
1 16i
8
8 2
11
2i 1 i
2
1 16i
)
8
2
z
1 16i
17 2
1 4i
Z
1 i
) i sin(
8 cos(
z iz
8
2i
1 i
17 2 17 2
w
V
11
11
3i )3
(1
1 4i 1 3i 3i
22
17 17i
i
1
2i
5
Bài 2: Tìm mơ
z
(1 i )(2 i)
1 2i
Gi
Ta có : z
5 i
5
1
z
V
Lo
1
1
5
2
26
5
ìm s
Bi
Lo
1
i
5
z
ìm s
Bi
Bài 1: Tìm nghi
a bi , suy ra s
z
a bi
ên h
v
z
a bi , suy ra s
ình z
z2
ên h
à z
z là s
www.mathvn.com
a bi
ên h
10
Giáo viên: Nguy
ành Long
Gi
G z a bi
Ta có : z a bi và z 2
z2
z
(a 2
www.MATHVN.com
b 2 ) 2abi
a2
Tìm các s
b2
2ab
a
b
1 3
;
,
2 2
Gi
Bài 2: Tìm s
Email:
ên h
: z
3 i
(3 i)(3 i)
5 i
ên h
à: z
(1 i)(3 2i)
1
;
2
3
2
.
1
3 i
Gi
Ta có: z
5 i
Suy ra s
Lo
ìm s
3 i
10
53 9
i
10 10
c
1
z
S
1
z
2
z
Lo
Cho z
ìm các s
a bi và z’ a’ b’i .
a a'
z z’
b b'
Ta có ( x
Gi
yi)
3
18 26i
V z 3 i.
Bài 2: Tìm các s
Coi
x3
3 xy 2
2
3x y
y
ình b
Gi
Ta có 1 3i 2 x
z
ên x, y sao cho s
Bài 1: Tìm các s
Gi
y
1 i
ình b
26
tx ( x
ên x, y sao cho s
yi
18
3
2x 3y
x
18(3 x 2 y
0)
t
z
x
ãn z 3
18 26i .
y3 )
26( x 3
3 xy 2 ) .
1
3
x
yi tho
yi th
3, y 1.
ãn 1 3i 2 x
yi
1 i
y 6x i 1 i
i
www.mathvn.com
11
Giáo viên: Nguy
ành Long
Email:
1
10
x
2x 3 y 1
y 6x 1
www.MATHVN.com
2
5
y
x, y tho ãn: x(3 5i) y (1 2i) 3 9 14i
Bài 3: Tìm hai s
Gi
Ta có x(3 5i) y (1 2i )3 x (3 5i ) y ( 11 2i) (3 x 11y ) (5 x 2 y)i
3 x 11y 9
x, y tho ãn h
.
5 x 2 y 14
172
3
Gi
x
và y
61
61
z2 z
Bài 9: Gi
ình nghi
Gi
a2 b2 a
2
2
z a bi (a, b R) , ta có: z
z
(a bi)
a bi
2ab
b
ên ta tìm
Gi
V
z
D
(a; b)
0; z
1
2
1; z
3
.
2
3
i.
2
ãn
Tìm s
Bài 1: Tìm s
a. 2 3i z
1
;
2
(0;0); (1;0);
ãn
b. z
z 1
2
2 z.z
z
2
8 và z z
2
Gi
a. Ta có: z (1 3i )
b. z
2
z z
T
V
2 z. z
z
2
2
2x 2
à (2) tìm
Bài 2: Tìm s ph
1
8
1
1 3i
z
4( x 2
3i 1
10
y2 ) 8
1
10
(x2
3
i
10
y2 )
2 (1)
x 1 (2)
; y= 1
ìm là 1 i và 1 i
z i
z i
ãn :
4
1
Gi
Ta có
z i
z i
4
1
z i
z i
2
1
z i
z i
2
1
0
www.mathvn.com
12
Giáo viên: Nguy
TH 1:
z i
z i
TH 2:
z i
z i
ành Long
2
z i
z i
1 0
2
z i
z i
1 0
V
Email:
www.MATHVN.com
1
z
0
2
i2
i
z i
z i
i
0
z i
x
yi 1
x
yi i
yi 3i
x
yi i
x2
z i
z i
0
z
1
ãn
Bài 3: Tìm s
z 1
z i
ãn h
1
z 3i
z i
1
1 2
Gi
z
Gi
x 1
x
2
z 1
z i
yi
y2
x2
y 1
z 3i
1
z i
y 1 x 1. V
2
z 3i
Ta l
z 1
1
x
y.
z i
x
ìm là z
y–3
2
x2
y 1
2
1 i
ình h
Nh
z và z '
V
T
z 1
z 1
z i
z
z'
z
z'
0 ta ln có
z i.G
T
z'
àit
MB ,
MA
V
2
th
T
Bài
y
z 3i
z i
1
à (2) ta có M n
M
M z
AB t
àMn
'
MA MB hay M n
y
'
ên giao c
– D 2010) Tìm s
à A 1;0 , B 0;1
A' B ' t
ên trung tr
ên t
x
à M 1;;1
z
àMn
1 i
2 và z 2 là s
ãn: z
Gi
G
u c
a
ài tốn t
Gi
G
R , ta có: z
ãn khi và ch
ìm là: 1 i; 1 – i;
V
Bài 5:
R, b
–B 2009) Tìm s
a
R, b
a 2 b 2 và z 2
a2 b2
2
2
2
a b 0
1 i; 1 – i.
ãn z
2 i
a 2 b 2 2abi
a2
1
2
1
b
a
b
10 và z.z
1
1
25 .
R ,
www.mathvn.com
13
Giáo viên: Nguy
Ta có: z
ành Long
2 i
a 2
z
T
và z.z
b 1 i;
2 i
a 2 b2
25
V
Bài 6: Tìm s
Gi
G
25
x, y
z2
K
10
2
a 2
x yi
2
10
1
5
R ,
0
b 1
2
a 3 a 5
b 4 b 0
ìm là: z 3 4i ho z
ãn: z 2 z 0
Gi
2
x2
y2
x2
y2
x
0
y
z
0
x2
y2
y2
0
0
x2
y2
x
x2
y2
2 xy
x2
y2
0
0
x2
y
y
x
x
0
2
y
y 1
0
0
2
x
y
0
x 1
y
y
0
ìm là: z
Bài 7: Tìm s
0; z
i; z
x2
y2
0
x2
y2
0
0
y2
x
0
0
x
0, y
y
0
1
x
x
0, y 1
0, y
1
y
0
x
0
x
1
V
y2
y
0
0
x
x
0
1
0
0
0
y
y
x2
x2
0
2 xyi
0
y
x
x
Email:
www.MATHVN.com
0 do x 1 0
x
0, y
0
0
0
i
2 . Bi
ãn : z 2 i
Gi
G
z a bi
Theo bài ra ta có:
a
a 2
b
b 1 i
2
a 3
a 2
b
2
b 1
2
4
a 2
2
1
b
a
ìm là: z
Bài 8: Tìm s
cz
2
2
1
2 i ; z
2
2
2
1
b
V
2
2
2
2
a mãn z 1 z 2i là s th c và z 1
1
2 i
5.
Gi
www.mathvn.com
14
Giáo viên: Nguy
t z
Ta có
ành Long
www.MATHVN.com
Email:
a bi (a,b là s th c)
a 2 b 2 a 2b
z 1 z 2i
z 1
5
2
a 1
2a b 2 i là s th c
b2
2a b 2
0 1
5 2
0; 2 ; 2; 2
T (1) và (2) ta có a; b
V z 2i; z 2 2i
Bài 9:
a. Tìm s
z. z 3 z z 4 3i .
b.
– D 2009) Trong m
z – 3 – 4i
2
Gi
G
Ta có
z.z 3 z
x
2
x
z
2
x
z
b. Gi
3 x
3 2 yi
yi
4 3i
y
2
x
x
yi
y
2
2
4 3i
6 yi
4 3i
1
2
có z – 3 – 4i
z – 3 – 4i
2
15
2
15 1
i
2
2
c z
x
15 1
i; z
2
2
M a; b bi
Theo gi
V
yi ( x , y R )
yi
x
y
4
6y
3
V
ãn
4 3i
yi x
y
2
z
ìm t
x
yi ( x , y R )
x–3
( x 3)2
y
4 i
( y 4) 2
2
x–3
2
y 4
2
4
òn tâm I 3; 4 và bán kính R = 2.
2z i
Bài 10: Tìm s
Gi
G
H
z
ãn:
x
2 x ( y 1)i
4 xyi
4
z2
z
z 2i
( z )2
4
yi ( x , y R )
(2 y 2)i
2x
4 xyi
y 1 i
2 y 1 i
4
www.mathvn.com
15
Giáo viên: Nguy
2 x
2
xyi
ành Long
y 1
2
x2
y
4
1
y
x
2
y 1
2
1
3
ìm là : z
z
b2
1
y
3
a
b 1i
a2
b
V
ìm t
1 i a bi
a b
b2
a2
a2
a b i
b2
x
x 2
T
y 3 i
ãn
z)
M trùng v
Ta có: OI
K
1H
M 1H
3
z 2 3i
2
3
. Tìm s
2
1
3
2
x 2
ã cho là
2
y 3
2
9
.
4
òn C tâm I 2; 3 và bán kính R
là giao c
OI v
3
2
ịn C và g
ịn C .
13
13
3
2
13
9 6 13 9
2
2
6 13 9 78 9 13
26
2 13
13M 1 H
M1 H
(a b ) 2
2
b
à ch
4 9
OM1
OI
(a b) 2
:
3
2
z – 2 3i
(b 1)2
a2
b
ãn
yi
a b i
òn I 0; 1 và bán kính R
Bài 12: Trong các s
z
di
a –b
bi
Gi
Gi
4
i
a (b 1)i và 1 i z
(1 i ) z
a2
4
4
R .
a bi a, b
Suy ra : z i
Theo gi
z i
3
3
x
– B 2010) Trong m
1 i z
Bài 11:
mãn z i
Gi
Gi
1
4
0
1
x
y
V
Email:
www.MATHVN.com
3 13
www.mathvn.com
16
Giáo viên: Nguy
3
2
13
OH
2
L
ành Long
ìm là: z
V
Bài 13: Trong các s
Gi
G z = x + yi, M(x ; y
Ta có
2
z 1 2i 2
x 1
26 3 13
13
z th
ãn
78 9 13
26
z 1 2i
y 2
2
ãn
OI v
y
Ch
x 1
x 1
C
x 1
2x
2
2
y 2
2
5
y
4
x 1
y 2
2
V
2
5
i
y 2
2
4 có tâm I 1; 2 và R
2
M 1 2 sin t ; 2 2 cos t
ài c
OM
2
sin t
z min
Chú ý:
N
êu c
5
x 1 2 sin t
y 2 2 cos t
1 2sin t
2
OM
2
2 2cos t
sin t
x 1
4
2
4
M
5
2
1
ịn (C) : x 1
Modun c
Ta có z
5
z
òn v
2
5
2
z
ph
Chuy
àm
2
4
nên s
5
2
Cách 2:
G z = x + yi, M(x ; y
2
Ta có z 1 2i 2
x 1
V
2
ịn (C) : x 1
y 2
4 có tâm (1;2)
ình y 2x
à có mơdun nh nh
à ch
ịn (C) và g
O nh
th
ãn h
OI
z th
z có modun nh
4
2
S
di
2 , tìm s
z
V
V
26 3 13
13
OH
13
Email:
www.MATHVN.com
2 cos t
5
9 4 5
2
5
,y
2
9 4 5
sin t
4
5
2cos t
z
1
z
5
2cos t
12
2cos t
22 sin 2 t cos 2 t
5
9 4 5
5
2
9 4 sin t
1
sin t
2
4
5
5
, cos t
2
5
i
ìm
www.mathvn.com
17
Giáo viên: Nguy
z max
ành Long
9 4 5
2
x 1
sin t
,y
5
2cos t
4
2
www.MATHVN.com
5
z
5
2
1
1
sin t
5
4
2
5
Bài 14: Tìm s
2
, cos t
5
Email:
5
i
z 1 5i
z 3 i
ãn:
2
Gi
G z
a bi (a,b thu
z a bi
a 1
b 5 i
z 1 5i a bi 1 5i
Ta có
a bi 3 i
a 3
b 1 i
z 3 i
Theo gi
2
a 1
z 1 5i
z 3 i
2
a 3
2
a 1
a 3
b 1
a2
2
2
b 1
*
2
2
2
b 5
2
2
b 5
ình c
b 2 10a 14b 6
òn trong m
Nên s
I
IO :
z
à ph
5; 7 là tâm c
G
5
I
5t
7t
7
34 2 370
,z
37
5
Bài 15: Trong s
c z
x
z 2i
2
74t 3
0
t
ìm là z
x 2
I 1 3t; 1 t ; t , R
ình 37t 2
34 2 370
37
Gi
Gi
s
Theo gi
z 2 4i
d
t
V
ịn *
à nghi
IO v
òn
à tâm c
a
b
0 *
y 4
34 2 370
37
ãn
37 2 370
37
7
11t 2
2t 1
34 2 370
37
37 2 370
37
7
34 2 370
37
z 2 4i
37 2 370
loai
37
z 2i . Tìm s
yi ( x , y R )
x 2
2
5
IA
x2
y 4 i
y 2
2
x
x
y 2
y 4
0
y
x 4
www.mathvn.com
18
Giáo viên: Nguy
ành Long
Email:
www.MATHVN.com
y
M
x2
z
z min 2 2
x
Nh
Qua các bài ta th
2
y2
x2
y
2
z
ìm ta có th
2
2 x2
8 x 16
2 x 2
2
8
2 2
2 2i
ùng hình h
1 m
1 m m 2i
ãn z
Bài 16: Xét s ph
x 4
x 4
m
R
1
2
a. Tìm m
z. z
b. Tìm m
z i
1
4
c. Tìm s
HD:
a. m
m2 1
c. Ta có z
D
1
b.
1
m
2
15
1
15
z max
1
m2 1
1
1
m
1
m
4: Tìm t
z
i
ãn
z
ãn v
b2
ãn:
às
àb
às
0
à
às
às
à a
a
b
0
0
a 0
à
b 0
0
Bài 1: Tìm t
a. z
a2
z tho
S
S
às
Lo
Lo
0
z i
b.
z i
z 3 4i
1
Gi
z
a.
x2
V
x
yi ( x, y
R) , ta có z
y2
( x 3)2
(4
y) 2
ìm là
z 3 4i
x2
y2
x2
x2
y2
x 3
6 x 9 16 8 y y 2
ình 6 x 8 y
www.mathvn.com
2
4
y
6x 8y
25 .
2
25
19
Giáo viên: Nguy
z
b.
x2
x
ành Long
yi ( x, y
( y 1)2
x2
V
Email:
www.MATHVN.com
z i
1
z i
z i
( y 1)2
y 0.
ìm là tr
Ox
R) , ta có
z i
x ( y 1)i
Bài 2: Tìm t
tho
x ( y 1)i
(1 i 3) z
ãn: z 1
2 bi
2.
Gi
z a bi (a, b R) và
x yi ( x, y
2
2
Ta có z 1 2
(a 1) b
4 (1)
R)
( x 3)
T
2
2
(y
x
3)
2
yi
4 (a 1)
2
b
2
b. 2
Gi
a. Cách 1:
Ta có
ên m
MI 2 .
Theo gi
V
Cách 2:
z x yi suy ra z 1 i
( x 1) 2
2
V
z
a b 3
2
(y
3a b
3) 2
z 1 i
z
3(a 1) b
4.
1 i.
z
2.
y 1 i.
2
( x 1)2
( y 1)2
4.
ịn tâm I 1; 1 bán kính
ên m
R 2
b. Ta có: 2
3
2
à I 1; 1
ịn tâm I 1; 1 bán kính là R
( y 1) 2
y
a 1 b 3
16 , tâm I (3; 3) , bán kính R
ìm t
c. 1
z 2
ph
x 1
x 3
16 (do (1)).
ìm là hình trịn ( x 3) 2
ên m
V
Bài 3: Gi
M th a mãn m
a. z 1 i 2
nên z 1 i
(1 i 3)(a bi ) 2
x
y
(1 i 3) z
T
z –1 2
Ta có
ên m
à A
2; 0
z
2,
z
1 i.
B 2; 0
D
vào gi
M (n
ên ph
MA
MB
c. Ta có: z 1 i z ( 1 i)
Ta có
ên m
Ta có:1 MA 2 .
V
ình vành kh
Bài 4:
t
x
0 c
à B. Hay x
và A
ịn tâm A
0.
1;1
1;1 bán kính l
à 1 và 2.
õa mãn m
www.mathvn.com
20
Giáo viên: Nguy
a. z
z 3
ành Long
z2
b.
4
Email:
www.MATHVN.com
z
2
4
Gi
z a bi
a. Ta có:
a
4z
2a 3
z
z 3
z
2a 3
4
1
2
7
2
a
1
2
7
2
x
V
x
b. Ta có:
z2
z
2
4abi
4 ab
M
M
4
xy 1
xy
1
Gi
G z a bi ta có:
a bi 3 a (b 1)i
8a
2
8 b
9
b
4
2
a2
81
64
b2
9
8
9 a2
0
8a
b2
2
8a 2
2b 1
8 b
9
8
2
9
8
V
Bài 6: Tìm t
Gi
G z
z
th
Bài 5:
z i
8b 2 18b 9
3
0
2
2
9
3
a
b
8
8
9
3
ịn tâm I 0;
bán kính R
8
8
z i
là s
các s
z i
2
a bi ta có:
a2
(b 1)2
V
Bài 7: Gi
(1 b 2 )
a2
2abi
(b 1) 2
i
x
i
yi
a
a (1 b)i
0
0
b
0
ên 2 tr
ìm t
ên m
z
ab
R
à nh
2
Gi
Cách 1:
2 x yi
a2
a (b 1)i a (1 b)i
a (b 1)i
a (1 b)i
0
( a; b )
i
(0;1)
ãn
z
x
2
2
y2
x2
1 y
2
4x
www.mathvn.com
2y
3
0.
21
Giáo viên: Nguy
ành Long
www.MATHVN.com
V
Cách 2:
G A 2; 0 , B 0;1 .
2
V
Bài 8:
– D 2009) Trong m
ki
z 3 4i
2.
Gi
G z
x
yi x
z
4x + 2y + 3 = 0.
i
z
2
x 3
z i hay là M z A
z ( 2)
Oxy, tìm t
R , ta có: z 3 4i
R, y
T
th
Email:
y 4
2
x 3
2
x 3
2
T
M z B.
i
ãn
y 4 i
y 4
2
4
òn tâm I 3; 4 , bán kính R = 2.
Bài 9
– B 2010) Trong m
th
ãn: z i
1 i z
Gi
G z
x
z i
yi x
x2
y 1
x
2
y 1i
x y
z
R , ta có:
R, y
1 i z
Oxy, tìm t
2
x y
x y
2
x y i
x2
y2
2y 1 0
T
Bài 10:
x2
y 1
2
2
ịn tâm I(0;-1), bán kính R
ãn: z i z i 4
2.
Gi
z x yi (x, y R)
Gi
Suy ra M(x; y) bi
Ta có: z i
z i
4
x ( y 1)i
x ( y 1)i
x2
4
( y 1)2
0; b 2
a2
x2
( y 1)2
4 (*)
F1 0; 1 , F2 0;1
Thì (*)
Suy ra T
Ta vi
MF2
MF1
4
F1 F2
2
à F1, F2.
ình elip (E):
x2
a2
ình chính t
Ta có:
MF2
F1 F2
2c
x2
4
y2
3
4
2
1 a
b
c2
c2
3
1.
E :
V
2a
MF1
y2
b2
a
2
c
1
b2
a2
ãn h
Bài 11:
2z 1
z z 2
Gi
z
x
yi x, y
. Ta có
www.mathvn.com
22
Giáo viên: Nguy
ành Long
2z 1
z
2x
2
x 1
z
2
2
y2
yi 1
4 4 y2
V
Bài 12: Trên mp ph
1. z 1
Email:
www.MATHVN.com
x
x2
yi
x
yi 2
2x
0
x
x
ìm là 2
ìm t
2. z 2
2 x 1 yi
2 2 yi
0
2
3. z
z 1 2i
3.
Gi
z
x
1
x2
x
Ta có: z
V
2.
z
yi x, y
y2
x2
Ta có: z
V y: T
3. Bi di
z
h
yi x, y
y2
z
z 1 2i
3
x2
1
y2 1 .
ịn tâm O(0;0) bán kính R = 1.
ên m
2
x2 y2 4 .
à hình trịn tâm O(0;0) bán kính R = 2.
x yi x, y
b
1 2 y 1 i
T
Bài 13: Trên mp ph
1. z 1 1
ên m
12
3
2y 2
2
3
y 1
2
2
y
song v
1
2
ành y 1
2.
ìm t
2. z i
1
Gi
z
x
ên m
yi x, y
Ta có: z 1
1
x
yi 1
1
x 1
V
z
x
1
x
yi i
1
x
V
Bài 14:
2. z 2
Gi
1.
z
x
z2
x
yi
Do z 2 là s
2
y2
y 1 i
1
x2
y 1
z
2
3. 2 z i
2
x2
1
x 1
2
y2
1.
2
x2
1
y 1
2
1.
z 2i
ên m
y2
x2
2 xyi
y2
0
x
y x
y
y
x
z
yi x, y
V
z
x 1
òn tâm I(0;1) bán kính R = 1.
1. z 2 là s
2.
1
ịn tâm I(1;0) bán kính R = 1.
ên m
yi x, y
Ta có: z i
yi
0
x, y
x
x
x.
y
y
0
0
y
y
x
x
ên m
yi x, y
www.mathvn.com
23
Giáo viên: Nguy
z2
z
V
3.
2
y2
x
z 2i
y 1i
2
y2
2 xyi
4 xyi
0
x. y
y 1
x
y 1
0
.
0
ên m
yi i
2 y 1 i
2
x
y
0
à các tr
yi x, y
z
2z i
Email:
www.MATHVN.com
x2
2 xyi
x
z
x
x2
ành Long
x
x
2
yi
x
yi 2i
y 1i
y 1 i
y 1i
x
x2
y 1
2 yi 2i
2
y 1
2
x2
4
y
V
D
x2
.
4
à parabol y
ài toán ch
- Trong d
h
ày ta g
ài toán d
ài toán ch
ên, ta áp d
Bài 1: Ch
1
z 1
ho
2
Gi
z2 1
1
1
z 1
(1 a )2
b2
(1 a 2
b2 )2
2
1
2
4a 2 b 2
và z 2 1
2(a 2
1
Bài 2: Cho s ph
z
b2 )2
b 2 )2
ãn z 3
0 tho
Gi
D
z
1
a bi (a, b
2(a 2
b2 )
(2a 1)2
1
z3
z
a
z
Bài 3: Ch
3
z
1
z
3
1
z3
3 z
a3
2 . Ch
z
1
, suy ra z
z
3a 2
2
z
1
0
0; z
1
z
2
3
z
; z
3
z2
1
z3
z3
1
1
z
z
(a 2)( a 1) 2
z
0 (2)
0
z1 , z 2 ta có z1
1
z
)
b 2 ) 4a 1 0 (1)
(a 2
(a 2
C
T
ên
z, có ít nh
Gi
Ta có:
h ch
ã
z1
z2
3z
1
z
a
2
0
1. v
2.
z
1
2
2 3z
3
1
z
i
2
Gi
www.mathvn.com
24
Giáo viên: Nguy
1
Do z 2
3
2
ành Long
z2
i
2
L
1
z
3
2
2
Suy ra z
3
2
1
1
2
z 1 (
1
1
www.MATHVN.com
i
1
2
1
i
3
1
i) (
2
2
3
2
Email:
3
i) 1 0 ;
2
i.
2
2
1
z
z3
z
Bài 4: Cho z1 , z2
z 2 .z
C. Ch
1.
: E
z1 z2
z1 .z2
Gi
ài toán này ta s
Th
z = x – yi.
Gi
x + yi = x – yi
y=0
z= z
Gi ài tốn trên:
Ta có E = z1 z2
Bài 5: Ch
z1 .z2
1. E1 = 2 i 5
2. E2 =
7
z=x
z1 z 2 = E
2 i 5
n
19 7i
9 i
z1 z2
ên h
20 5i
7 6i
à: z
z= z
R
R
E
R
7
R
n
R
Gi
1. Ta có: E1 = 2 i 5
2. E2
19 7i
9 i
n
164 82i
82
E2
E2
E2
7
7
2 i 5
20 5i
7 6i
n
n
170 85i
85
7
7
2 i 5
7
2 i 5
19 7i (9 i )
n
2 i 5
20 5i (7 6i)
82
7
2 i 5
E1
E1 R
n
85
n
2 i
n
2 i
n
R
Bài 6: Trong m
trình z 2 6 z 18 0 . Ch
Gi
P
ình : z 2 6 z 1 8 0 có ' 9 18
nên có hai nghi
t1 3 3i ho t2 3 3i
Trong m
t1
s
t2
OAB có OA OB 3 2 nên OAB cân t
O A (3; 3) , O B (3; 3)
O A .O B 0
OA
9
9i 2
à A(3 ;3)
à B(3 ;-3)
OB
www.mathvn.com
25
