Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


276
CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ
VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRAL
THE ORDER OF ALL ELEMENTS AND
CONJUGACY CLASSES OF DIHEDRAL GROUP

SVTH: NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN
Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm
GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm


TÓM TẮT
Mục đích của đề tài là xác định cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral.
ABSTRACT
The aim of this topic is to determine the order of all elements and conjugacy classes of
Dihedral group.

1. Mở đầu.
Xét đa giác đều n cạnh P
n
với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của
P
n
một góc bằng 2

/n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của P
n

và một
đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứ ng của P
n
( tức là các phép biến đổi đẳng cự của
mặt phẳng biến P
n
thành chính nó ) được liệt kê như sau:
e, a, a
2
, …, a
n-1
, b, ab, a
2
b, …, a
n-1
b.
Các phép đối xứng này lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai
phép đối xứng, ký hiệu D
n
, và được gọi là nhóm Dihedral.

2. Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral.
2.1 Quan hệ liên hợp trong một nhóm.
2.1.1. Định nghĩa.
Cho nhóm G và a, x thuộc G. Phần tử x
-1
a x

G, ký hiệu a
x

, được gọi là liên hợp
với a bởi phần tử x.
Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi R như sau:
a, b

G, a R b nếu

x

G sao cho b = a
x
.
2.1.2 Mệnh đề.
Quan hệ R được xác định như trên là một quan hệ tương đương trên nhóm G, và còn
gọi là quan hệ liên hợp.
2.1.3 Cấp của một phần tử trong một nhóm.
Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử a
có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nào
sao cho a
n
= e. Phần tử a có cấp m nếu A có cấp m, với m là số nguyên dương bé nhất
sao cho a
m
= e. Ta ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord (a) = m, thì < a > = { a
0
=
1, a
1
, a
2

, … ,a
m-1
}, và ta còn viết < a/ a
m
= 1 > , a

X,

Ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e.
2.1.4 Mệnh đề.
Cho nhóm G. Với quan hệ liên hợp trên G , ta có
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

277
i) a

Z (G)

C
a
= { a }.
ii) a, b, x

G , b = a
x


ord ( a ) = ord ( b ).
2.2. Nhóm Dihedral.
Xét đa giác đều n cạnh P

n
với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm
của P
n
một góc bằng 2

/n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của P
n

và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứng của P
n
( tức là các phép biến đối đẳng
cự của mặt phẳng biến P
n
thành chính nó ) được liệt kê như sau:
e, a, a
2
, …, a
n-1
, b, ab, a
2
b, …, a
n-1
b.
Chúng lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai phép đối xứng, ký
hiệu D
n
và được gọi là nhóm Dihedral. Nhóm không giao hoán, có cấp 2n và có thể biểu thi
như sau
D

n
= < a,b/ a
n
= e, b
2
= e, (ab)
2
= e >
Về mặt tập hợp D
n
= { e, a,……., a
n-1
, b, ab, ………, a
n-1
b}.
hoặc D
n
= { a
k
b
t
/
0 k n-1
,
0 t 1
}.
2.3.Cấp của các phần tử của nhóm Dihedral.
2.3.1 Mệnh đề.
Xét nhóm Dihedral D
n

, x

D
n
, x = a
k
b
t
,
0 k n-1
,
0 t 1

Khi đó:
i) Nếu t = 1 , thì ord( a
k
b ) = 2,
0 k n-1

ii) Nếu t = 0 , thì ord ( a
k
) =
n
d
, với d = ( k, n ),
0 k n-1

2.3.2 Hệ quả.
Xét nhóm D
4

= < a, b / a
4
= e; b
2
= e; (ab)
2
= e >
= { e, a, a
2
, a
3
, b, ab, a
2
b, a
3
b }.
D
4
có cấp 8 nên các phần tử có thể có các cấp sau: 1, 2, 4.
 Các phần tử cấp 1: e
 Các phần tử cấp 2: b, a
2
, ab, a
2
b, a
3
b
 Các phần tử cấp 4: a
3
; a

2.3.3 Hệ quả.
Xét nhóm D
6
= < a, b / a
6
= e; b
2
= e; (ab)
2
= e >
= { e; a; a
2
; a
3
; a
4
; a
5
; b; ab; a
2
b; a
3
b; a
4
b; a
5
b }
D
6

có cấp 12 nên các phần tử của nhóm có thể có các cấp sau: 1, 2, 3, 4, 6
 Các phần tử cấp 1: e
 Các phần tử cấp 2: b; a
3
; ab; a
2
b; a
3
b; a
4
b; a
5
b
 Các phần tử cấp 3: a
2
; a
4

 Các phần tử cấp 6: a; a
5

2.3.4 Hệ quả.
Xét D
p
= < a, b / a
p
=e; b
2
= e; (ab)
2

= e > , với p là số nguyên tố lẻ.
= { e, a, a
2
, a
3
, a
4
, ..., a
p-3
, a
p-2
, a
p-1
, b, ab, a
2
b, a
3
b, …, a
p-2
b, a
p-1
b }.
D
p
có cấp 2p nên các phần tử có thể có các cấp sau: 1, 2, p.
 Các phần tử cấp 1: e
 Các phần tử cấp 2: b, ab, a
2
b, …, a
p-2

b, a
p-1
b
 Các phần tử cấp p: a, a
2
, a
3
, ….., a
p-2
, a
p-1


2.4. Các lớp liên hợp của nhóm Dihedral D
n
.
2.4.1 Mệnh đề.

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


278
Nhóm Dihedral D
n
= < a,b/ a
n
= e; (ab)
2
= e > với n = 2k , k > 1 , được chia thành
k + 3 lớp ( theo quan hệ liên hợp ) như sau:

C
e
= { e }.

k
a
C
= {a
k
}.

t
a
C
= { a
t
, a
2k - t
} ,
0 -1tk


b
C
= { b, a
2
b, …, a
2k-2
b }.

ab
C
= {ab, a
3
b,…, a
2k-1
b }.
Nhóm D
2k
được chia thành k + 3 lớp và có tâm là { e, a
k
}.
( Phần chứng minh được trình bày ở bản chính ).




Hình 2.4.1
2.4.2 Mệnh đề.
Nhóm Dihedral D
n
= < a,b/ a
n
= e; (ab)
2
= e > với n = 2k + 1, k > 0 , được chia thành k
+ 2 lớp ( theo quan hệ liên hợp ) như sau:
C
e
= { e } ,

t
a
C
= { a
t
, a
2k +1 - t
} ,
0 tk


b
C
= { b, ab, a
2
b, a
3
b, …, a
2k-2
b, a
2k-1
b }
Nhóm D
2k +1
được chia làm k + 2 lớp và có tâm là { e }.
( Phần chứng minh được trình bày ở bản chính ).

Hình 2.4.2
3. Kết luận
Đề tài đã xác định được nhóm con tâm, cấp của các phần tử của nhóm Dihedral và
phân hoạch nhóm này theo quan hệ liên hợp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Serge Lang (1978), Đại số, Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Đạo, Hoàng Kì, NXB
Đại Học và Trung Học chuyên nghiệp.

[2] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập Đại số và số học,
NXB Giáo Dục.
[3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục.
[4] Hoàng Xuân Sính (1998). Đại số đại cương, NXB Giáo Dục.

e
a
.........
k
a
k-1
a; a
2k-1
; a
k+1
b,a b,...,a b
2k-2

2
a b
2k-1
ab,a b.....
3
e
.........
a
k
a; a
2k-1
; a
k+1
b,a b,...,a b
2k-1
2
a b
2k
ab,a b.....
3