CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

CHUYÊN ĐỀ III :PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Các dạng cơ bản
3
3
2
0
)0(0
BABA
BA
B
BA
BA
BhayA
BA
=⇔=•



=
≥
⇔=•



=
≥≥
⇔=•
2). Các dạng khác
- Phương trình chứa nhiều dấu căn

- Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
II). MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ :Giải các phương trình sau
2
2
2
1). 4 2 2
2). 25 1
3). 3 9 1 2
x x x
x x
x x x
+ − = −
− = −
− + + =

4 / 4 1 1 2x x x+ − − = −
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy
theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
1
( 3)( 1) 4( 3) (1)
3
x
x x x m
x
+
− + + − =
−
Giải phương trình với m = -3

Giải: Đặt
2
1
( 3) ( 3)( 1)
3
x
X x X x x
x
+
= − ⇒ = − +
−
nên pt (1) đưa về :X
2
+4X +3=0
⇔
X = - 1 v X = - 3
+ Nếu

2
3
3
1
1 1 ( 3)
1 ( 3)( 1)
3
2 4 0
3
1 5
1 5
<

<


+
= − ⇔ − = − ⇔ ⇔
 
= − +
−
− − =


<


⇔ ⇔ = −

= ±


x
x
x
X x
x x
x
x x
x
x
x
+ Nếu

2
3
3
1
3 3 ( 3)
9 ( 3)( 1)
3
2 12 0
3
1 13
1 13
<
<


+
= − ⇔ − = − ⇔ ⇔
 
= − +
−
− − =


<


⇔ ⇔ = −

= ±



x
x
x
X x
x x
x
x x
x
x
x
Ví dụ 2: Giải phương trình
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x
+ + − − + − =
. Hướng dẫn: Đặt
3 6X x x
= + + −
.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ = + +
.
Hướng dẫn: Đặt
1

2
t x
x
= +
.9đk t
≥
2
phương trình trở thành
2
2
2 5 2 0
1
2
t
t t
t
=


− + = ⇔

=

Ví dụ 4: Giải phương trình: – 4
)2)(4( xx
+−
=
2
x
– 2x – 8 (1)

* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta
sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình
Ví dụ 5: Giải phương trình (4x – 1)
1x
2
+
= 2
2
x
+ 2x + 1 (1)
Hướng dẫn: Đặt t =
1x
2
+
(t
≥
1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2
2
t
+ 2x – 1

∆
=
2
)3x4( −
(chính phương)
⇒
t =
4
)3x4()1x4( −±−

⇔






−=+
=+
1x21x
2
1
1x
2
2
Ví dụ 6: Giải phương trình: 2
2
x
– 3x + 2 = x
2x3 −
(1)
Hướng dẫn: Đặt t =
2x3 −
(t
≥
0)
(1) trở thành
2
t

+ xt – 2
2
x
= 0.
• Cách 1:
∆
= 9
2
x
(chính phương)
⇒
t =
2
x3x
±−

⇔





−=−
=−
x22x3
x2x3
• Cách 2: phương trình đẳng cấp
⇒
đặt x = ty:
2

t
+ y
2
t
– 2
2
y
2
t
= 0
⇔

2
t
(1 + y – 2
2
y
) = 0.
Ví dụ 7 : Giải phương trình: 2(1 – x)
1x2x
2
−+
=
2
x
+ 2x – 1.
+ Nếu phương trình mới
∆
không chính phương thì coi t và x
là 2 ẩn của 1 hệ phương trình.

Ví dụ 8: Giải phương trình
2
x
+
5x
+
= 5 (1)
Hướng dẫn: Đặt t =
5x
+
(t
≥
0) Ta có hệ phương trình





+=
=+
5xt
5tx
2
2
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0.
⇔





+=
−=
1xt
xt

⇔





+=+
−=+
1x5x
x5x
Ví dụ 9: Giải phương trình
3
3
1 2 2 1x x
+ = −


Hướng dẫn: Đặt
3
3
3
3
1 2
2 1 1 2
1 2

x y
y x y x
y x

+ =

= − ⇔ + = ⇒

+ =


Đáp số: x=1;
1 5
2
x
− ±
=

Ví dụ 10: Giải phương trình :
1x
x
−
+
x
1x
−
=
2
3
(1)

Hướng dẫn: Đặt t =
1x
x
−

⇒

x
1x
−
=
t
1
(t > 0) (1) trở thành: t +
t
1
=
2
3

⇔

2
2
t
– 3t +
2
= 0.
Ví dụ 11: Giải phương trình :
1x

+
+
x4
−
+
)x4)(1x(
−+
= 5
(1) Hướng dẫn: Đặt t =
1x
+
+
x4
−

⇒

)x4)(1x(
−+
=
2
5t
2
−
(1) trở thành: t +
2
5t
2
−
= 5.

Ví dụ 12: Giải phương trình:
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x
+ − = +
( Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ
phương trình đại số)
Giải:
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x
+ − = +
(1) Điều kiện:
2
3
3 0
0
x
x x
x

≤ −
+ ≥ ⇔

≥

2 2
(1) ( 3 ) 10 3 3x x x x
⇔ − + + = +
Đặt
2
3 ( 0)t x x t

= + ≥
. Phương trình trở thành:
2
2( )
3 10 0
5( )
t n
t t
t l

=
+ − = ⇔

= −

2 2
1
2 3 2 3 4 0
4
x
t x x x x
x

=
= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= −

(nhận)Vậy tập nghiệm của phương trình là:
{ }

4;1S
= −
IV PHƯƠNG PHÁP : Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0
Ví dụ: Giải phương trình:
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
(1)
Giải:
Điều kiện:
3
3 2 0
2
x x− > ⇔ >
 
⇔ − + = − − ⇔ − − + − − = ⇔ − − + − =
 

=

=

⇔ ⇔  ⇔ =
≤





− = −



− = − +



2
2
(1) 3 2 (1 ) 3 2 ( 1)( 2) (1 ) 3 2 0 ( 1) ( 2) 3 2 0
1
1
1
2
3 2 2
3 2 4 4
x x x x x x x x x x x
x
x
x
x
x x
x x x
So với điều kiện ban đầu ta được: x=1. Vậy tập nghiệm của phương trình là:
{ }
1S

=
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1)
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
2)
2 2
2 8 6 1 2( 1)x x x x
+ + + − = +
V. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG GIẢI PT CĂN THỨC
Ví dụ1: Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
(Nhận xét: ta tìm số làm cho cả hai biểu thức dưới căn chính phương và là nghiệm , x= 5
là nghiệm nên ta đưa PT về dạng (x-5) . Q(x) )
Giải: Điều kiện :
1
6
3
x
−
≤ ≤
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =

⇔

2
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x
+ − + − − + − − =

⇔
3 1
( 5) (3 1) 0
3 1 4 6 1
 
− + + + =
 
+ + − +
 
x x
x x
Với
1
6
3
x
−
≤ ≤
thì
3 1
(3 1) 0
3 1 4 6 1
 
+ + + >
 
+ + − +
 
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Ví dụ2: Giải phương trình
2
2x 1 x x 3 0
− + + − =
Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-1).f(x) =0 như
sau.)
ĐK :
1
x
2
≥
Ta có :
2
2x 1 x x 3 0
− + + − =

⇔

( )
2
x 1
2 x 1
2x 1 1 x x 2 0 x 1 x 2 0
2
x 2 0 vn
2x 1 1
2x 1 1

=
−


− − + + − = ⇔ + − + = ⇔

+ + =
− +

− +

( )
( )( )
(*)( )
Vậy PT đã cho có nghiệm : x = 1
Ví dụ3: Giải phương trình
3 2 x 2 2x x 6( )+ − = + +
Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như
sau.)
ĐK x
≥
2
3 2 x 2 2x x 6( )+ − = + +

( )
3 2 x 2 2x x 6 2 x 3 x 6 3 x 2 0
8 x 3
2 x 3 0
x 6 3 x 2
x 3 0
x 3
x 3
8

11 3 5
2 0
x 6 3 x 2 4
x
x 6 3 x 2
2
⇔ + − = + + ⇔ − + + − − =
−
⇔ − − =
+ + −

− = 
=

=


⇔ ⇔ ⇔

−


− =
+ + − =
=




+ + −



( ) ( )
( )
( )
Ví dụ4: Giải phương trình :
2
2
1 x 2x x
x
1 x
− +
=
+
Giải:(Phân tích: Nhận thấy x =
1
2
là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (1-2x).f(x) =0
như sau.)
Đ K: 0< x
≤
1
2
2
1 x 2x x
x
1 x
− +
=
+

⇔

2
2 2
1 x 1 x 2x x x x 1 x x 1 x 2x x 0( ) ( ). ( ) ( )+ − = + ⇔ − − + − − =
2 3 2 2
2 2
x 1 2x 1 x 4x x 2x x 1
0 1 2x 0
1 x x 1 x 2x x 1 x x 1 x 2x x
1 2x 0
x 2x x 1
0
1 x x 1 x 2x x
 
− − − + +
⇔ + = ⇔ − + =
 ÷
− + − + − + − +
 

− =

⇔
 
+ +

+ =
 ÷


− + − +
 

( )
( )
(*)
Với 0< x
≤
1 thì (*) vô nghiệm. Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x =
1
2
Ví dụ5: Giải phương trình
3
2 3
x 1 x 52 x− + = −
(x
0)
≥
Giải:(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như
sau.)
ĐK :
3
0 x 2
≤ ≤
3 3
2 3 2 3
2
2
2 2 2 3
3 3

2 2 2 3
3 3
x 1 x 52 x x 1 2 x 3 52 x 5
x 3
x 3 x 3x 9
x 3 1 0
x 3 x 3x 9
1 0 vn
x 1 2 x 1 4 52 x 5
x 1 2 x 1 4 52 x 5
− + = − ⇔ − − + − = − −

=
 

+ + +
 
⇔ − + + = ⇔
+ + +

+ + =
 
− + − + − +

 
− + − + − +

( )
( )
( ) ( )

( ) ( )
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3
Một số phương trình căn thức giải được nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý các biểu thức liên
hợp trong mỗi phương trình. Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ6: Giải phương trình :
( ) ( )
1 x 1 1 x 2x 5 x
+ + + + − =
Giải: ĐK : x
≥
-1Ta có x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta nhân hai vế PT với :
1 x 1
+ −
0
≠
ta
được PT:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2x 5 x 1 x 1 1 x 2x 5 1 x 1 x 2
+ + − = + − ⇔ + + − = + − ⇔ =
Ví dụ7: Giải phương trình
2 2
2x 3x 5 2x 3x 5 3x+ + + − + =
Giải:Vì VT > 0
⇒
ĐK x >0
Nhân hai vế PT đã cho với :
2 2
2x 3x 5 2x 3x 5 0+ + − − + ≠
Ta được PT:

(
)
2 2 2 2
6x 3x 2x 3x 5 2x 3x 5 2x 3x 5 2x 3x 5 2
= + + − − + ⇔ + + − − + =
(*)
Cộng hai vế PT đã cho với PT (*) ta được PT:
2
2 2x 3x 5 2 3x x 4+ + = + ⇔ =
Thử lại thấy x = 4 là nghiệm.
BÀI TẬPTỰ GIẢI: Giải phương trình
1)
2 2
x 12 5 3x x 5+ + = + +
(Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT
2)
x 7 2x 3 6 x
+ + − = −
(Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT.)
3)
2
x 2 4 x 2x 5x 1
− + − = − −
(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT.)
5)
3
x 24 12 x 6
+ + − =
6)
2x 3 x 2x 6

− − = −

VI. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ : Giải phương trình :
x3
+
x
1
= 4
8
x
(1) Giải .TXĐ: x > 0
Có
4
x
1
x3
+
=
8
x
1
x
1
xxxxxx
+++++++

≥

8

x
(2)
∀
x > 0 (BĐT Côsi)
Vậy (1)
⇔
dấu “=” ở (2) xảy ra
⇔

x
=
x
1

⇔
x = 1.
VII. PP ĐỐI LẬP:
Ví dụ : Giải phương trình
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
+ + + + + = − −
(1)
Giải.
2 2 2
(1) 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)
⇔ + + + + + = − +
VT(1) 5, VP(1) 5, x
⇒ ≥ ≤ ∀
VT(1) 5
(1) x 1 0 x 1

VP(1) 5
=

⇔ ⇔ + = ⇔ = −

=

Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình
VIII .PP HÀM SỐ: Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) = c có không quá một nghiệm
trong khoảng (a;b). Do đó nếu tồn tại x
0
∈(a,b) sao cho f (x
0
) = c thì x
0
là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = c
Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì phương trình f
(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) . Do đó nếu tồn tại x
0
∈(a,b) sao cho f (x
0
) = g(x
0
) thì đó là
nghiệm duy nhất của phương trình
ð Ví dụ: Giải phương trình:
5 3
1 3 4 0x x x+ - - + =

Giải:
Điều kiện:
1
3
x
≤
. Đặt
( )
5 3
1 3 4 0f x x x x= + − − + =
. Ta có:
( )
4 2
3
5 3 0
2 1 3
f x x x
x
′
= + + >
−

1
3
x
∀ <
⇒ f (x)
đồng biến trên
(
1

,
3

−∞


. Mặt khác f (−1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = −1.
IX . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
2
2
27583
1)3 34 3 3 1 :
9
1 1 1 1
2) 5 5 : 17; 21
2 2 2 2
1
3) 3 9 1 2 0 :
2
11
4) 2 9 4 3 1 : ; 0
3
5) 5 1 3 2 1 0 : 2
x x kq x
x x kq x x
x x x kq x
x x x kq x x
x x x kq x
+ − − = =
−

+ + = = + = −
−
− + + − = =
+ = − + + = =
− − − − − = =

6)
1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x
+ + − + + − =
7)
2 2
3 15 2 5 1 2x x x x+ + + + =
8)
2 3 2
3( 2) ( 1) 2 3 3 8 0x x x x
− − + − + − =
9)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng cơ bản

2
A 0
A B B 0
A B

≥


< ⇔ >


<


2
A 0
B 0
A B
B 0
A B

≥



<


> ⇔

≥





>




2). Các dạng khác * BPT chứa nhiều dấu căn
* PP đặt ẩn số phụ
II). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: giải các bất phương trình sau
1)
26
2
+≥−+
xxx
(
3
−≤
x
)
2)
1)1(2
2
+≤−
xx
(
311
≤≤∨−=
xx
)
3)
xxx
<−−
12

2
(
4
≥
x
)
4)
xxx
−>−+
2652
2
(
110
≥∨−≤
xx
)
5)
3
7
3
3
)16(2
2
−
−
>−+
−
−
x
x

x
x
x
Bài 2 Giải các bất phương trình sau
1)
12411 −+−≥+ xxx
(
54
≤≤
x
)
2)
1553
>+−
xx
(
4
>
x
)
3)
xxx
≤+−+
12
(
3
323
+−
≥
x

)
4)
2 2
2 5 4 2 4 3 ( 1; 1 2 6; 1 2 6; 1)x x x x x x x x
+ + ≤ + + ≤ − ≥ − − ≤ − + ≥ −
5)
2 2
2 4 3 3 2 1 ( 3; 1)x x x x x x+ + − − > ≥ − ≤

6)
xxxx 271105
22
−−≥++
(
13
≥∨−≤
xx
)
7)
2855)4)(1(
2
++<++ xxxx
(– 9< x< 4)
B. M ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC:
I. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để dẫn đến
kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình đang xét.
Ví dụ : Giải bất phương trình:
9 2 4 5x x
+ + + >

.
Giải: Xét hàm số
9 2 4y x x= + + +
, ta thấy ngay hàm số này đồng biến trên tập xác định
2x
≥ −
.Ta có f(0) =
5 do đó :
+ Với x > 0 thì f(x) > f(0) = 5 nên x > 0 là nghiệm.
+ Với
2 0 ( ) (0) 5x f x f
− ≤ ≤ ⇒ ≤ =
nên
2 0x
− ≤ ≤
không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm.
II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
Ví dụ :
a)Giải bất phương trình:
2
1 1 4x
3
x
− −
<
nhân lượng liên hợp của mẫu Đ S: S=
1 1
2 2
x
−

≤ ≤
và x
≠
0
b)Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
+ − − + − − <
. Nhẩm nghiệm
5x
=
- BPT
3 1
( 5)( 3 1) 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + <
+ + − +
. Trong ngoặc
0
> ⇒
Nghiệm
1
[ ;5)
3
x
−
∈
c) Giải phương trình :

3
2 3 2 3 6 5 16 0x x
− − − + ≥
Nhẩm nghiệm
2x
= −
BPT
2
3 3
6 15 6
( 2)[ + ] 0 x [ 2; ]
5
( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4
x
x x x
⇔ + ≥ ⇔ ∈ −
− − − + − +
BTĐN: Giải bất phương trình :
a)
1 1x x x
+ − − ≥
b)
2
1 1 8
1
2
x
x
− −
<

Nghiệm
1 1
[ ;0) (0; )
3
2 2
T
−
= ∪
I) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Bài 1 Giải các BPT sau :
a)
2
2 4 6 11x x x x
≥
− + − − +
HD: VT
≤
2 & VP
2
≥
Nghiệm
3x
=
b)
2
2 10 12 13x x x x
≥
− + − − +
HD: VT
≤

4 & VP
≥
4
Nghiệm x = 6

CÁC DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC
A2009
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x
− + − − =

B2012. Giải bất phương trình
2
1 4 1 3 .
+ + − + ≥
x x x x
CĐ2009
1 2 2 5 1x x x+ + - £ +
A2010.
( )
2
1
1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
B2010
2

3 1 6 3 14 8 0x x x x
+ − − + − − =
B2011.
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x
+ − − + − = −
CĐ2011. Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm
( )
6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2+ + − − = + − + −
(
x R
∈
).
KD 2014: Giải bpt:
2
(x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x 12
+ + + + + ≥ + +