DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THCS

DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THCS
Đặng Hải Giang – THCS thị trấn Cẩm Xuyên
ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn Toán là môn học khó, khó đối với HS trong việc lĩnh hội và vận dụng
các kiến thức, khó đối với GV trong việc tổ chức dạy học như thế nào để HS học
tốt đặc biệt là với hình học. Tri thức về hình học mà HS thu nhận được chủ yếu
thông qua các khái niệm, các định lí và các hoạt động giải bài tập. Vì thế để giúp
HS lĩnh hội và vận dụng được các kiến thức thì GV cần phải tổ chức tốt các hoạt
động dạy học nói trên khi dạy Hình học ở trường THCS.
NỘI DUNG
I. Dạy học khái niệm Hình học.
Trong môn Toán nói chung và Hình học nói riêng, việc dạy học các khái
niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ thống
các khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền đề hình
thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp
phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện thứng cho HS.
1. Yêu cầu của việc dạy học khái niệm:
- Hiểu được các tính chất đặc trưng của khái niệm đó.
- Biết nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán cũng như trong ứng dụng thực tiễn.
- Hiểu được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một
hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Tuy nhiên, trên thực tế
dạy học không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng
loại khái niệm. Chẳng hạn khái niệm “Hình bình hành” được định nghĩa một cách
tường minh: “Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song”. Nhưng
có một số khái niệm chỉ được mô tả bằng trực quan dựa vào kinh nghiệm của HS
như (Điểm; Đường thẳng; Mặt phẳng …).
1

2. Các con đường hình thành khái niệm:
a) Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình,
hình vẽ, thí dụ cụ thể, ) giáo viên dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng hóa và
khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những
trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của một
loạt đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm
chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách
nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Để hình thành khái niệm “ Tứ giác ” theo con đường quy nạp, ta có
thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:

1d)

1c)

1b)

1a)

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A
Hoạt động 2: GV cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau (mỗi hình đều
có 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA) và khác nhau (các đoạn thẳng ở các hình 1a,

1b, 1c không cùng nằm trên một đường thẳng; hình 1d có hai đoạn BC, CD cùng
nằm trên một đường thẳng). Từ đó GV giới thiệu mỗi hình 1a, 1b, 1c cho ta một tứ
giác và yêu cầu HS nêu định nghĩa về tứ giác.
Ví dụ 2: Để hình thành khái niệm “Tam giác cân” theo con đường quy nạp
ta có thể làm như sau:
Hoạt động 1: Cho HS quan sát các hình vẽ sau:
2

b)

c)

a)

9, 5

7

4, 5

4

2

4

4

3

5

5

Q

K

H

N

P

M

C

B

A
Hoạt động 2: GV tổ chức cho HS rút ra những đặc điểm giống nhau và khác
nhau rồi giới thiệu các tam giác ở hình a) và hình b) là tam giác cân và cho HS nêu
định nghĩa tam giác cân.
Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát
triển những năng lực trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi
cho hoạt động tích cực của học sinh. Vì thế cần chú trọng khai thác con đường này
trong dạy học Toán ở trường THCS.
b) Con đường suy diễn:
Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm

mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như
sau:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận
trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.
Ví dụ:
“Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song” (Hình bình hành
được định nghĩa thông qua khái niệm của hình thang)
“Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông” (Hình chữ nhật được
định nghĩa thông khái niệm của hình bình hành)
Con đường này nên thực hiện khi trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn,
vốn kiến thức đã nhiều lên và được sử dụng khi đã phát hiện ra một khái niệm làm
điểm xuất phát cho con đường suy diễn. Vì vậy, con đường này ít được sử dụng
trong dạy học hình học ở trường THCS.
3

H

G

F

E

D

C

B

A
c) Trình tự dạy học khái niệm Hình học ở THCS:
Việc dạy học khái niệm Hình học ở THCS thường bao gồm các hoạt động sau:
- Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm
- Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
- Hoạt động 3: Củng cố khái niệm
- Hoạt động 4: Vận dụng khái niệm
Ví dụ 1: Dạy khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ:
HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ GV cho HS làm bài tập sau: Cho các đoạn thẳng AB, CD, EF, GH (hình
vẽ). So sánh các tỉ số
AB
CD
và
EF
GH
?
+ GV gợi ý cho HS chọn một đoạn nhỏ làm đơn vị để tính từng tỉ số rồi so
sánh.
HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ Từ bài tập trên GV giới thiệu: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn
thẳng EF và GH.
+ GV nêu câu hỏi: Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/

và C
/
D
/
khi có điều kiện nào ?
+ GV chốt lại vấn đề bằng cách nêu định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD
tỉ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
nếu có tỉ lệ thức:
/ /
/ /
AB A B
CD C D
=
hay
/ / / /
AB CD
A B C D
=
.
HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ HĐ 3.1: Cho HS nhắc lại khái niệm đoạn thẳng tỉ lệ.
+ HĐ 3.2: Hai đoạn thẳng a và b có tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và d hay
không nếu a = 1cm; b = 2cm; c = 3cm; d = 4 cm (phản ví dụ).

4
+ HĐ 3.3: Cho các đoạn thẳng AB = 2cm; CD = 4cm; EF = 5cm; MN =
6cm; PQ = 3cm. Hãy chỉ ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
(AB và CD tỉ lệ với PQ và MN; AB và PQ tỉ lệ với CD và MN)
HĐ 4: Vận dụng khái niệm:
GV có thể cho HS làm các bài toán sau:
1. Cho tam giác ABC có M, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh
rằng các cặp đoạn thẳng: AM và AB; AN và AC; MN và BC tỉ lệ với nhau.
2. Cho hai đoạn thẳng a và b có tổng bằng 15cm. Tìm a, b biết rằng cặp đoạn
thẳng a, b tỉ lệ với cặp đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm và 3cm.
Ví dụ 2: Dạy học khái niệm tam giác đồng dạng:
HĐ 1: Tiếp cận khái niệm:
+ HĐTP 1: Hình đồng dạng
GV treo các bức tranh có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau
rồi cho HS nhận xét, mỗi em một ý kiến.
+ GV chốt lại: Trong thực tế ta thường gặp những hình có hình dạng hoàn
toàn giống nhau nhưng kích thước có thể khác nhau. Những cặp hình như thế gọi
là những hình đồng dạng.
+ HĐTP 2: Cho hai tam giác ABC và A
/
B
/
C
/
(hình vẽ)
5

2, 5

3

2

6

5

4

C

/

B

/

A

/

C

B

A
+ GV cho HS nêu nhận xét về hai tam giác trong hình vẽ.
+ Cho HS viết các cặp góc bằng nhau và so sánh các tỉ số:
/ / / / / /
A B B C C A

; ;
AB BC CA
.
HĐ 2: Hình thành khái niệm:
+ GV giới thiệu hai tam giác ở ví dụ trên đồng dạng với nhau và yêu cầu HS
phát biểu định nghĩa.
HĐ 3: Củng cố khái niệm:
+ Cho HS diễn đạt nội dung của định nghĩa theo các cách khác nhau, chẳng
hạn: “Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu các góc tương ứng bằng nhau và các
cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau”.
+ Cho HS làm các bài tập để củng cố:
Bài 1: Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào sai?
a. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
b. Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Bài 2: Khi nói ABC đồng dạng với tam giác MPQ theo tỉ số đồng dạng k = 2
thì ta suy ra được điều gì ?
HĐ 4: Vận dụng khái niệm:
GV có thể cho HS vận dụng khái niệm tam giác đồng dạng để làm các bài tập
sau:
Bài 1: Cho ABC đồng dạng với tam giác MPQ theo tỉ số đồng dạng k = 2.
Biết AB = 2 cm; AC = 3 cm; PQ = 4 cm. Tính độ dài các cạnh MP, MQ, BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC
theo tỉ số
1
2
.
6
Lưu ý :
- Tùy vào chất lượng của HS mà GV có thể đưa ra các bài tập với mức độ
khác nhau.

- Không phải khái niệm nào khi dạy cũng được tiến hành đầy đủ các bước
nêu trên, phần củng cố và vận dụng đôi khi được đặt ở cuối tiết học.
II. Dạy định lí Hình học:
1. Vị trí và yêu cầu của dạy học định lí Hình học:
Việc dạy học các định lí toán học nhằm cung cấp cho HS một hệ thống kiến
thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suy
luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực tư duy.
Việc dạy các định lí toán học cần đạt các yêu cầu sau:
- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán.
- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận
chính xác (phù hợp với HS THCS).
- Phát triển năng lực chứng minh toán học.
2. Các con đường dạy học định lí:
a) Con đường có khâu suy đoán:
Gồm các hoạt động: tạo động cơ; phát hiện định lí; phát biểu định lí; chứng
minh định lí (hoặc thừa nhận đối với các định lí không yêu cầu chứng minh hoặc
đối tượng HS có năng lực hạn chế); vận dụng định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường có
khâu suy đoán GV có thể tiến hành như sau:

b)

a)

C

B

A

- Vẽ một tam giác bất kì, dùng thước đo góc đo ba góc của mỗi tam giác rồi
tính tổng của chúng (hình a).
7
m
∠
BCA
=
37,56
°
m
∠
BAC
=
67,17
°
m
∠
ABC
=
75,27
°
B
A
C
(kết quả đo trên Geometer
/
s Sketchpad )
- Cắt một tấm bìa hình tam giác, cắt rời hai góc rồi đặt chúng kề với góc còn
lại. Hãy nêu dự đoán về tổng ba góc của tam giác (hình b).
- HS sinh nhận thấy tổng ba góc của một tam giác bằng 180

0
.
- GV chốt lại vấn đề bằng định lí về tổng ba góc của một tam giác.
- Tổ chức cho HS chứng minh định lí (lấy ý tưởng từ hoạt động cắt bìa tam
giác để vẽ đường phụ).
- Củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí về góc nội tiếp theo con đường có khâu suy đoán GV
có thể tiến hành như sau:
- GV cho HS tính số đo góc BAC nội tiếp (O) và cung bị chắn (BC) trong các
trường hợp sau và tìm quan hệ giữa chúng.

b)

a)

C

A

B

O

O

C

B

A

+ HS nhận thấy số đo góc BAC bằng một nửa số đo cung BC.
- Cho HS đo một góc nội tiếp bất kì và so sánh với cung bị chắn: Dưới đây là kết
quả đo trên phần mềm Geometer
/
s Sketchpad.
8
m
ADC
=
87,94
°
m
∠
ABC
=
43,97
°
C
A
B
D
+ GV chốt lại vấn đề: Kết quả trên cũng đúng với góc nội tiếp BAC tùy ý và
đó là nội dung của định lí sau: “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp
bằng một nửa số đo của cung bị chắn”.
- Chứng minh định lí (Dựa vào vị trí tương đối giữa tâm O và các cạnh của
góc thì ta phải xét ba trường hợp. Tuy nhiên GV chỉ cần chứng minh một trường
hợp, hai trường hợp còn lại giao về nhà cho HS).
- Bài tập củng cố và vận dụng định lí nên gắn với việc hình thành các hệ quả
của định lí.
b) Con đường suy diễn:

Gồm các hoạt động: tạo động cơ; suy luận lôgic dẫn tới định lí; phát biểu
định lí; củng cố định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường suy
diễn GV có thể tiến hành như sau:
- Cho HS làm bài toán: Hãy tính tổng ba góc của tam giác ABC cho trước.
- GV gợi ý chuyển các góc B và C về kề với góc A để sử dụng được tính chất
cộng góc (học ở lớp 6). Để thực hiện điều đó HS cần vẽ đường thẳng xy qua A và
song song với BC để tạo các cặp góc so le trong bằng nhau.
9

y

x

2

1

C

B

A

x

C

B

A
- Sau khi tính được A + B + C = 180
0
bằng suy luận lôgic thì GV tổ chức cho
HS phát biểu định lí: “Tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
”
- Cuối cùng tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí về góc ngoài
của tam giác theo con đường suy diễn GV
tổ chức cho HS suy luận để đi đến các
khẳng định sau:
+ Tổng ba góc của tam giác ABC bằng
180
0
nên:
µ
µ µ
0
A B 180 C+ = −
(1)
+ Vì ACx là góc ngoài của tam giác ABC nên
·
µ
0
ACx 180 C= −
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra
·
µ

µ
ACx A B= +
Từ kết quả trên GV tổ chức cho HS phát biểu định lí về góc ngoài của tam giác:
“Góc ngoài của mỗi tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó”.
Cuối cùng GV tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.
Lưu ý :
Việc chọn con đường nào không phải là tùy tiện mà phụ thuộc vào nội dung
định lí và điều kiện cụ thể về HS. Ban đầu, ở mức độ thấp dạy học định lí nên theo
con đường có khâu suy đoán, về sau ở trình độ cao hơn, có thể dạy định lí theo
con đường suy diễn.
3. Trình tự dạy học định lí:
Dạy định lí hình học thường theo ba giai đoạn sau:
+ Phát hiện, tiếp cận định lí (nêu định lí).
+ Chứng minh định lí (hoặc thừa nhận đối với những định lí không yêu cầu
chứng minh hoặc không yêu cầu chứng minh đối với những học sinh yếu).
+ Củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ: Khi dạy định lí về tính chất đường phân giác của tam giác ta có thể
tiến hành như sau:
HĐ 1: Tiếp cận định lí:
Tạo động cơ: Chỉ dùng thước đo chiều dài
và bằng phép tính có thể nhận biết được tia phân
giác của tam giác hay không ?
- Cho HS làm ?1 ở SGK
+ Vẽ ∆ABC biết: AB = 4cm; AC = 5cm;
10

5

4
D

B
A
C
+ Dựng phân giác AD
+ Đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số:
AB
AC
và
DB
DC
.
(Khi thực hiện ?1 cần lưu ý: Để tiết kiệm thời gian và đảm bảo được độ chính xác
thì GV nên cho HS đo trực tiếp hình vẽ ở SGK. Ngoài ra có thể sử dụng phần mền
Geometer
/
s Sketchpad để hổ trợ cho việc dựng hình, đo đạc và tính toán). Dưới
đây là kết quả đo trên Geometer
/
s Sketchpad.
AC
=
5,00
cm
AB
=
4,00
cm
DC
=
2,87

cm
BD
=
2,29
cm
D
B
A
C
- Sau khi thực hiện xong ?1 và có được kết quả
AB DB
AC DC
=
thì GV cho khẳng định
kết quả trên đúng với tất cả các tam giác và đi đến định lí:
“Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai
đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy”.
HĐ 2: Chứng minh định lí:
GV tổ chức cho HS chứng minh định lí theo các bước sau:
- Vẽ hình, điền các kí hiệu thích hợp
- Xác định giả thiết và kết luận của định lí
- Chứng minh:
GV tổ chức phân tích GT, KL để tìm cách
chứng minh:
+ Vì nội dung của định lí liên quan đến đoạn
thẳng tỉ lệ và ở bài trước HS đã được học định lí
Ta-lét nên GV định hướng cho HS sử dụng định lí
Ta-lét để chứng minh.
+ Muốn sử dụng định lí Ta-lét thì phải tạo ra
các đường thẳng song song. Từ giả thiết AD là phân giác nếu vẽ BE // AC thì AB

11

E

D

C

B

A
được chuyển thành EB rất thuận lợi cho việc sử dụng định lí Ta-lét. Khi đó ta có:
DB BE AB
DC AC AC
= =
(do BE = AB).
+ Cách chứng minh trên được trình bày trong SGK, đối với lớp chọn có thể
yêu cầu HS tìm thêm cách chứng minh khác, chẳng
hạn: Vẽ BF // AD ta được:
DB AF AB
DC AC AC
= =
(do AF
= AB);
hoặc cho HS sử dụng phương pháp diện tích để
chứng minh: Ta có:
DB S AB.DH AB
DC S AC.DK AC
ABD
ACD

= = =
(với DH, DK là
khoảng cách từ D tới AB, AC và DH = DK).
+ Đối với lớp đại trà chất lượng HS hạn chế, GV chỉ cần giúp HS nắm được
định lí để vận dụng làm bài tập là chính, đừng mất quá nhiều thời gian cho chứng
minh.
HĐ 3: Củng cố và vận dụng định lí:
- Nhận dạng và thể hiện:
Bài 1: a) Tính tỉ số
x
y
trong các hình vẽ sau:
b) Trong hình thứ nhất cho biết x + y = 5. Hãy tính các độ dài x, y.
Bài 2: Trong hình vẽ sau AD có phải là phân giác của góc A hay không ?
12

F

D

C

B

A

A

B

C

D

4

2, 5

x

y

y

x

3, 5

2, 5

D

C

B

A

4

3, 5

A

B

C

D

6

8
(Hướng dẫn: Nếu AD là phân giác thì 3,5 và 4 tỉ lệ với 6 và 8, điều này là vô lí.
Vậy AD không phải là phân giác của góc A).
- Hoạt động ngôn ngữ:
Khuyến khích HS thay đổi hình thức phát biểu định lí, ví dụ:
“Nếu AD là phân giác của tam giác ABC (D thuộc cạnh BC) thì
DB AB
DC AC
=
”.
- Các hoạt động củng cố khác: như đặc
biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa, phát
biểu mệnh đề đảo, chẳng hạn cho HS thực
hiện các công việc sau:
+ Phát biểu mệnh đề đảo và kiểm tra xem
mệnh đề đảo có đúng không ?
+ Nếu thay phân giác trong bởi phân giác
ngoài thì kết quả sẽ thế nào ?

* Ở tình huống thứ nhất, ta có:
Nếu
DB AB
DC AC
=
(với D thuộc cạnh BC)
thì AD là phân giác của góc A.
+ GV hướng dẫn HS về nhà chứng minh khẳng định trên bằng cách vẽ phân
giác AE khi đó ta có
EB AB
EC AC
=
suy ra
EB DB
EC DC
=
; do đó E trùng với D.
* Ở tình huống thứ hai GV dùng để chuyển tiếp sang tính chất phân giác
ngoài của tam giác. Tuy nhiên cần lưu ý rằng trường hợp AD là phân giác ngoài
thì tính chất trên chỉ đúng trong trường hợp tam giác ABC không cân tại A.
III. Dạy học sinh giải bài tập Hình học:
1. Phương pháp chung để tìm lời giải một bài toán:
a) Tìm hiểu nội dung bài toán:
13

E

D

C

B

A
+ Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Hình vẽ , kí hiệu thế nào ?
+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán.
+ Dạng toán nào ?
+ Các kiến thức cần có là gì ? (Các khái niệm, các định lí, các phương pháp…)
b) Xây dựng chương trình giải: Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành theo một
trình tự thích hợp.
c) Thực hiện lời giải: Trình bày theo các bước đã chỉ ra.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Xét xem có sai lầm không ?
+ Có phải biện luận kết quả không ?
+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. H, K thứ tự là hình chiếu của
B, C trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC.
CMR:
a) BH = AK
b) BH + CK = HK.
Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
- Vẽ hình và xác định GT, KL:
+ Vẽ hình: Đây là một kĩ năng mà GV
cần lưu ý khi dạy hình học các lớp 6, 7.
Thông thường thì nên hướng dẫn HS vẽ hình
theo trình tự xuất hiện các hình hình học ở đề
bài. Chẳng hạn: vẽ tam giác ABC vuông cân
tại A; vẽ đường thẳng d đi qua A mà không
cắt cạnh BC; vẽ các đường vuông góc từ B, C tới đường thẳng d và xác định vị trí
các điểm H, K.

Yêu cầu HS vẽ hình phải đúng và đủ lớn để dễ quan sát đồng thời cho HS điền
các kí hiệu thích hợp trên hình vẽ (như các đoạn thẳng bằng nhau, các góc
vuông, )
+ Xác định GT, KL: GV cho HS quan sát hình vẽ, kết hợp với đề bài để xác
định GT, KL của bài toán.
14
d
GT
∆ABC vuông cân tại A
A
∈
d
BH
⊥
d, CK
⊥
d
KL
a) BH = AK
b) BH + CK = HK
- Xác định dạng toán: Bài toán thuộc dạng chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau.
- Kiến thức cần có: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác; tam giác cân;
Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải:
Bằng hệ thống câu hỏi và các gợi ý phù hợp với đối tượng HS mình đang dạy GV
tổ chức cho HS hình dung được các bước giải bài toán đã cho.
- Bước 1: Chứng minh ∆BHA = ∆AKC
- Bước 2: Suy ra BH = AK
- Bước 3: Chứng minh CK = AH
- Bước 4: Chứng minh: BH + CK = HK
Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải:

Thực hiện lời giải bài toán theo trình tự trên.
Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
- Cho HS kiểm tra lại lời giải
- Tùy vào đối tượng HS mà GV có những khai thác, mở rộng phù hợp. Chẳng hạn
cho HS xét bài toán tương tự khi đường thẳng d cắt cạnh BC, khi đó ta có kết quả
BH - CK = HK.
Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu
của D, E trên BC. CMR: DM + EN = BC
a. Tìm hiểu nội dung bài toán
- Đọc kĩ đề, vẽ hình, xác định GT, KL
- Phân tích tìm lời giải:
Việc chứng minh đẳng thức dạng
DM + EN = BC ban đầu có thể chưa
quen với HS lớp 7 nên GV định hướng
cho HS chuyển bài toán về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
- Chẳng hạn ta có thể tìm điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = DM và HC = EN.
15

H
- Nếu HB = DM thì ∆MDB = ∆HBA (c.g.c)
⇒
·
·
0
90AHB BMD= =
. Vậy H là chân
đường cao vẽ từ A đến BC.
b. Xây dựng chương trình giải:
Bước 1: Vẽ AH

⊥
BC.
Bước 2: Chứng minh HB = MD và HC = NE
Bước 3: Kết luận
c. Thực hiện chương trình giải: Thực hiện theo các bước trên
d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải
- Cho HS kiểm tra lại lời giải: Kiểm tra xem lời giải có mắc sai lầm nào
không ?
- Hoạt động tìm điểm phụ H trên BC là là rất quan trọng cần lưu ý HS để áp
dụng vào các tình huống tương tự.
- Đưa ra một số bài tương tự để HS luyện tập.
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB,
AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M.
Chứng minh rằng AM + AN = BM.
2) Cho hình vuông ABCD. Lấy M, N thứ tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho
góc MAN bằng 45
0
. Chứng minh rằng MN = BM + DN.
Ví dụ 3: Tổ chức cho HS lớp 8 giải bài toán sau:
“ Cho tam giác ABC có góc A bằng 120
0
và AD là phân giác trong của góc A.
Chứng minh rằng:
1 1 1
AB AC AD
+ =
”.
a. Tìm hiểu nội dung bài toán:
- Yêu cầu HS vẽ hình, xác định GT, KL của bài toán
- Phân tích tìm lời giải:

16

D

C

B

A
Để chứng minh đẳng thức dạng
1 1 1
AB AC AD
+ =
ta nên chuyển về chứng minh
đẳng thức liên quan tới tỉ số của hai đoạn thẳng, chẳng hạn
AD AD
1
AB AC
+ =
; hoặc
a b c
AB AC AD
+ =
(với các đoạn thẳng a, b, c bằng nhau). Việc biến đổi kết luận bài
toán như trên tạo điều kiện để chúng ta áp dụng được định lí Ta – lét.

E

D

C

B

A
- Với giả thiết
· ·
0
BAD CAD 60= =
thì vẽ DE // AB ta được tam giác ADE
đều. Sử dụng định lí Ta-lét, kết hợp với AD = AE = DE ta sẽ có được lời giải.
b. Xây dựng chương trình giải:
Bước 1: Vẽ DE // AB.
Bước 2: Chứng minh tam giác ADE đều.
Bước 2: Áp dụng định lí Ta – lét cho tam giác ABC với DE // AB.
Bước 4: Thực hiện các biến đổi đại số để đưa về đẳng thức cần chứng minh.
c. Thực hiện chương trình giải:
Vẽ DE // AB. Suy ra được AD = AE = DE.
Áp dụng định lí Ta-lét cho DE // AB ta có:
DE CD AE BD
;
AB CB AC BC
= =
DE AE CD BD
1
AB AC CB BC
⇒ + = + =

⇒
AD AD

1
AB AC
+ =
⇒
1 1 1
AB AC AD
+ =
d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải:
- Nghiên cứu lời giải trên ta thấy nếu thay góc A bằng 90
0
; bằng 60
0
thì ta được
các kết quả sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
và AD là phân giác trong của góc A.
Chứng minh rằng:
1 1 2
AB AC AD
+ =
.
17
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60
0
và AD là phân giác trong của góc A.
Chứng minh rằng:
1 1 3
AB AC AD
+ =

.
(việc giải 2 bài toán trên hoàn toàn tương tự)
- Áp dụng kinh nghiệm tìm lời giải (như ở ví dụ 3), HS làm được các bài sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = m. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G
của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
Chứng minh rằng:
1 1 3
AM AN m
+ =
.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt
tia BC và các cạnh AC, AB lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
1 1 1
GM GN GP
+ =
.
Một số lưu ý:
- Không nên nhầm lẫn giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập.
Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng chứ chưa hướng dẫn HS cách
tìm lời giải đó.
- Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian cho
bài tập trọng tâm, rồi lựa chọn bài có cách giải tương tự để HS tự luyện tập.
- Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán được tốt thì trước hết GV phải đóng
vai trò người học, tự mình tìm ra các cách giải. Trên cơ sở đó, GV phân bậc hoạt
động phù hợp với đối tượng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi
mở để giúp HS không những tìm được lời giải bài toán mà còn học được cả tri
thức về phương pháp giải toán. Đây chính là công việc khó khăn nhất đối với mỗi
GV dạy toán; vì nếu HS nhận được sự giúp đỡ quá nhiều từ GV thì HS đó không
còn gì để làm; nhưng nếu HS đó nhận được quá ít sự giúp đỡ của GV thì khó mà

tiến bộ được. Vì vậy khi đưa ra một bài toán nào đó GV phải cân nhắc thật kĩ xem
với đối tượng HS của mình thì giúp đỡ đến đâu là vừa.
2. Xây dựng chuỗi bài toán:
Cùng với việc hướng dẫn HS tìm lời giải một bài toán GV nên xây dựng
chuỗi các bài toán trong đó bài toán mở đầu có tính chất như một chìa khóa để giải
các bài còn lại. Chẳng hạn, từ ví dụ 1 ta có thể xây dựng một chuỗi các bài toán
như sau:
18
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, H, K thứ tự là hình chiếu của B,
C trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC.
CMR:
a) BH = AK
b) BH + CK = HK.
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu
của D, E trên BC.
CMR: DM + EN = BC
(HD: Vẽ AH vuông góc với BC và áp dụng bài toán 1)
Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, vẽ các
tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Vẽ tam giác CDE vuông cân tại C, trong đó C
thuộc đoạn AB, D thuộc tia Ax, E thuộc tia By.
CMR: AD + BE có giá trị không đổi khi C, D, E thay đổi.
(HD: Áp dụng bài toán 1 ta được AD + BE = AB)
Bài toán 4: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác vuông cân tại A là ABD và ACE.
CMR: Đường thẳng qua A và vuông góc BC đi qua trung điểm của DE.
(Vẽ DP và EQ cùng vuông góc với AH và áp dụng bài toán 1)
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các
cạnh AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M. Chứng minh rằng tổng
2AM + AN không phụ thuộc vào vị trí của M, N, P.

(HD: Vẽ PH vuông góc với AB rồi áp dụng bài toán 1)
BÀI TẬP:
1. Bạn hãy chỉ ra các khái niệm hình học nào trong chương trình THCS có
thể dạy theo con đường qui nạp ?
2. Bạn hãy chỉ ra những định lí nào có thể dạy theo con đường suy diễn,
những định lí nào có thể dạy theo con đường có khâu suy đoán ?
3. Tổ chức cho HS tìm lời giải các bài toán sau:
Bài 1 (Lớp 7): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD
sao cho góc MAN bằng 45
0
. Chứng minh MN = BM + CN.
Bài 2 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BH. BE + CH. CF = BC
2
.
19
Bài 3 (Lớp 8): Cho hình thang ABCD có
µ
µ
0
1
A B 90 , AD = BC
2
= =
. Gọi H là
trung điểm của BC, K là hình chiếu của H trên AC. Chứng minh BK vuông góc
với DK.
Bài 4 (Lớp 9): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD
sao cho góc MAN bằng 45
0

. Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn
cố định.
Bài 5 (Lớp 9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). D là một điểm
di động trên cung BC (cung BC không chứa A). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
của D trên AB, AC. Xác định vị trí của D để MN lớn nhất.
Trong các bài toán trên GV vừa hướng dẫn cho HS tìm lời giải vừa đưa ra các
bài tập tương tự để HS luyện tập.
20