Hệ thống bài tập Tổ hợp Xác suất lớp 11

1

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
PHAN CÔNG TRỨ - TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 – ðỒNG THÁP


Quy tác cộng, Quy tắc nhân:
1. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Thành lập một
ñoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên Toán và một học sinh chuyên Tin. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một ñoàn như trên ?
2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số ñôi một khác nhau ?
b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số ñôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?
3. Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số: 0,2,3,6,9 ?
4. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số ñôi một khác nhau ?
5. Từ các số 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 ?
Hoán vị.
1. Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau ?
b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số ñôi một khác nhau và bắt ñầu là số 3 ?
c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số ñôi một khác nhau và không bắt ñầu bằng số 1?
d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt ñầu là chữ số lẻ ?
2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi hai ñầu ghế ?
3. Một học sinh có 12 cuốn sách ñôi một khác nhau trong ñó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn
Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn
nằm kề nhau ?

4. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a. Các học sinh ngồi tuỳ ý ?
b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn ?
5. Xét các số gồm 9 chữ số trong ñó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu
cách sắp nếu:
a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau ?
b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý ?
Chỉnh hợp.
1. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số ñôi một khác nhau ?
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số ñôi một khác nhau ?
3. Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau:
a. Chia hết cho 5 ?
b. Không chia hết cho 5 ?
4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong ñó:
a. Số tạo thành là số chẵn ?
b. Một trong 3 chữ số ñầu tiên phải có mặt số 1 ?
c. Nhất thiết phải có mặt chữ số 5 ?
d. Phải có mặt hai số 0 và 1 ?
5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập ñựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276 ?
6. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a.
2 2
·
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P+ = +

2

b.
3 2
5 21
x x
A A x
+ ≤

c.
10 9 8
9
x x x
A A A
+ =

Tổ hợp.
1. ðề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi . Học sinh cần chọn trả lời 8 câu.
a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý ?
b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu ñầu là bắt buộc ?
c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu ñầu và 4 trong 5 câu sau?
2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 ñề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi ñề
kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn ?
3. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ ñó ra 3 tem thư và 3 bì
thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư ñã chọn. Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như thế ?
4. Một lớp có 20 học sinh trong ñó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người ñi dự Hội
nghị sao cho trong ñó có ít nhất 1 cán bộ lớp ?
5. (ðH Y-2000) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một ñoàn

công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán học lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ?
6. Một ñội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong ñó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia ñội văn
nghệ:
a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ?
b. Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong ñó không quá một nam ?
7. Có hai ñường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 15 ñiểm phân biệt, trên d
2
lấy 9 ñiểm phân
biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 ñỉnh là các ñiểm ñã lấy ?
8. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu ñỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu ñều khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a. Trong 4 quả cầu chọn ra có ñủ cả ba màu ?
b. Không có ñủ ba màu ?
9. Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
nữ ?
10. (ðH-Cð khối B-2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi
khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi ñó lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề
gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2 ?
11. ðội TNXK của một trường có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A ; 4 học sinh lớp B ; 3 học
sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3
lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

12. ðội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh
khối 10. Cử 8 em ñi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em. Hỏi có bao nhiêu cách cử như
vậy ?
13. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 nam và 3 nữ ñể
ghép thành 3 cặp nhảy ?
14. Bill Gate có 5 người bạn thân.Ông muốn mời 5 trong số họ ñi chơi xa .Trong 11 người này có
2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời ?
16. ðH-Cð khối B-2005
Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách
phân công ñội tình nguyện ñó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh ñều có 4 nam và 1 nữ ?
17. *ðH-Cð khối B-2002



3

Cho ña giác ñều A1,A2, A2n(n
∈
N và n
≥
2) nội tiếp ñường tròn (O). Biết rằng số tam
giác có ñỉnh là 3 trong 2n ñỉnh A1, A2, ,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4
trong 2n ñỉnh A1, A2, ,A2n. Tìm n.

RÚT GỌN BIỂU THỨC
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a. A =
4 7 8 9
10 3 5 2 7
P P P P

P P P P P
 
−
 
 
b. B =
6 5
n n
4
n
A +A
A
c. C =
2
5 34 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
3 2
P PP P
A
A A A A
P 2P
 
+ + +
 
 
−

d. D=

n+1
4
n n-k
P
A P
+
5 6 7
15 15 15
7
17
C +2C C
C
+
e. E =
2 3 3
6 8 15
3
3 5
1 1 1
C - C C
3 28 65
P A
+
f. F=
3 2
5 5
2
A - A
P
+

5
2
P
P

2/ . Chứng minh :
a.
n
n
P
=
n-1
1
P
+
n-2
1
P
b.
n+2 n+1 2 n
n+k n+k n+k
A A A
k+ =

c.
2 2 2 5
k n+1 n+3 n+5 n+5
P A A A n.k!A
=
d.

k n-k
n n
C C
=


Phương trình liên quan ñến công thức tổ hợp:
Giải các PT và BPT sau:
1.
1 2 2 1
6 6 9 14
x x x
C C C x x+ + = −
2. P
2
x
2
-P
3
.x=8 3.
2 2
x 2x
2A +50=A , x N
∈

4.
3 2 1
14
x
x x x

A C C
−
+ =
5.
1 2 3
x x x
7
C +C +C = x
2
6.
3 2 2
x-1 x-1 x-2
2
C C = A
3
−

7.
1 2 1
x x+1 x+4
1 1 7
=
C C 6C
−
8.
3 n-2
n n
A +C =14n
9.
3 4 2

2 3
n n n
A C A
− =

10.
2 2
1
2 3 30
x x
C A
+
+ <
11.
2 3
2
1 6
10
2
x
x x x
A A C
x
− ≤ +
12.
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −

=
+

13. Giải bất phươngtrình
4
2 1
15
.
n
n n n
P
P P P
+
+ −
<

14. Giải hệ: a)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =



15.
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
− −
−

=


=


16.
3 2
2
20
n n
C C=


Các bài toán tổng hợp:

1. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6. trong ñó 1 và 6 có mặt hai lần, các số
còn lại 1 lần ?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong ñó chữ số ñầu tiên là số lẻ ?
3. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong ñó có ñúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ?
4, Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số ñôi một khác nhau trong ñó có mặt số 0 nhưng không
có mặt số 1?
5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng số 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ
số còn lại không quá một lần ?
6.Cho hai ñường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên ñường thẳng d
1
lấy 10 ñiểm phân biệt, trên
ñường thẳng d
2
có n ñiểm phân biệt (n >1). Biết rằng có 2800 tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã
cho. Tìm n.



4

7.Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6, có thể lặp ñược bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau
trong ñó có ñúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ ñó ñứng cạnh nhau ?
8. Từ các số 0,1,2,3,4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng tất cả
các số tự nhiên ñó ?
9. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 có mặt hai lần, số 1 có mặt 1 lần, 2 số
còn lại phân biệt ?

10. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại 3 lần ?
11. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho: Số 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các số còn
lại không quá một lần ?
12. Cho ña giác ñều A
1
, A
2
, A
2n
nội tiếp ñường tròn tâm O, biết rằng số tam giác có các ñỉnh
là 3 trong 2n ñiểm A
1
, A
2
, A
2n
gấp 20 lần số hình chữ nhật có ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm.Tìm n.
13. Từ các số 1,2, ,6. Lập bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 ?
14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và không bắt ñầu bằng 123 ?

Nhị thức Newton

I. Áp dụng công thức khai triển:
1. Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển
10
1
x
x
 
+

 
 

2. Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển
40
2
1
x
x
 
+
 
 

3. Tìm hạng tử chứa x
2
của khai triển:
(
)
7
2
3
x x
−
+

4. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:
a.
12
3

3
x
x
 
+
 
 
b.
7
3
4
1
x
x
 
+
 
 

5. Tìm hệ số của x
12
y
13
trong khai triển của (2x-3y)
25

6. Tìm hạng tử ñứng giữa trong khai triển
10
3
5

1
x
x
 
+
 
 
.
7. Trong khai triển
21
3
3
a b
b a
 
+
 
 
. Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau ?
II. Khai triển với giả thiết có ñiều kiện.
1/ Biết khai triển
2
1
n
x
x
 
+
 
 

. Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng
không chứa x ?
2/ Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng ñầu tiên trong khai triển
2
2
n
x
x
 
− =
 
 
là 97. Tìm hạng tử
của khai triển chứa x
4
?
3/ Cho khai triển
0 1 1
1 1 1
( 1)
3 3 3
n
n n n n
n n n
n
x C x C x C
−
 
− = − + −
 

 
. Biết hệ số của số hạng thứ ba trong
khai triểnlà 5. Tìm số hạng chính giữa ?
4/ Cho khai triển
3 0 3
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
n n
x C x C
x x
+ = + +
. Biết tổng ba hệ số ñầu là 33.Tìm hệ số



5

của x
2
.
5/ Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển
5
3
1
n
x

x
 
+
 
 
. Biết rằng
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
.
6/ Tìm hệ số của x
7
trong khai triển (2 - 3x)
n
trong ñó n thoả mãn hệ thức sau:

1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n
C C C
+
+ + +

+ + + =

7/ Giải phương trình sau:
2 4 2 2007
2 2 2
2 1
n
n n n
C C C
+ + + = −

8/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển
7
4
1
n
x
x
 
−
 
 
biết n thoả mãn hệ thức

1 2 3 2 1 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n

n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + = −
.
9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
khi khai triển (2+x)
n
biết :

0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n
n n n n
C C C C
− −
− + + + − =

10/ Cho:
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
.Trong khai triển nhị thức
28

3
15
n
x x x
−
 
+
 
 
, hãy tìm số hạng không
phụ thuộc vào x ?
11/ Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức
7
4

1
n
x
x
 
+
 
 
, biết tổng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1

n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −

12/.Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
( )
2
1 3
n
A x x
= − −
. Trong ñó n là số nguyên dương
thỏa mãn:
( )
2 2 2 2 2
2 3 4 1
2 3
n n
C C C C A
+
+ + + + =

13. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức f(x) chính là f(1).
Cho
( )

100
1 2
0 1 2 100
( ) 1 f x x a a x a x a x= + = + + + +

a)Tính
97
a

b)
0 1 2 100
S a a a a= + + + +

c)M =
1 2 100
1. 2. 100.a a a+ + +


III. Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp:

1/ Khai triển (3x -1)
16
. Từ ñó chứng minh:
16 0 15 1 16 16
16 16 16
3 3 2C C C− + + =

2/ Chứng minh:
a.
0 1 2

2
n n
n n n n
C C C C+ + + + =

b.
1 3 2 1 0 2 2
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +

3/ Chứng minh rằng:
0 1 2
3
1 1 1
3 4
3 3 3
n n n
n n n n
n
C C C C
 
+ + + + =
 
 

4/ Tính tổng:
a. S=
0 2 2
2 2 2

n
n n n
C C C+ + +

b. S =
1 3 2 1
2 2 2

n
n n n
C C C
−
+ + +

5/ Chứng minh rằng:
a.
0 2 2004 1002
2004 2004 2004
2C C C+ + + =

b.
2004
0 2 2 4 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
3 1

2 2 2
2
C C C C
+
+ + + =




6


6/ Chứng minh rằng:
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
, 0 k 2000
k k
C C C C
+
+ ≤ + ∀ ≤ ≤

7/ Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
. , 0,
n n n
n k n k n
C C C k n
− +

≤ ∀ =

8/ Chứng minh rằng:
1
0 1
1 1 2 1

2 1 1
n
n n
C C
n n
+
−
+ + + =
+ +

9/ Chứng minh rằng:
( )
1 2
2 1 0
n
n
n n n
C C nC− + + − =

10/ Chứng minh rằng :
1 2 3 4
4
4 6 4

k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
, (
4 k n≤ ≤
)
11/ CMR:
( )
0 2 1 3 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C
−
+ + + + = +

12/ CMR:
( )
0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
3 3 3 2 2 1C C C C+ + + + = −

13/ Chứng minh rằng:
1
1 1

k k k k
k k k m k m
C C C C
+
+ + − +
+ + + =
.Từ ñó suy ra ñẳng thức sau:
0 1 2 1 1
1 2 1

m m
k k k k m k m
C C C C C
− −
+ + + − +
+ + + + =


IV. Khai triển nhiều hạng tử:

1/ Tìm hệ số của x
6
trong khai triển [1+x
2
(1+x)]
7
.
2/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển (1+ 2x + 3x

2
)
10
.
3/ Tìm hệ số chứa x
10
trong khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)
2
+3(1+x)
3
+ +15(1+x)
15
.
4/ Tìm hệ số của x
5
trong khai triển : x(1-2x)
5
+ x
2
(1+3x)
10

5/.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển P(x) =
9
2
1
1 2x
x
 
+ −

 
 

6/.Tìm hệ số của số hạng chứa
3
1
x
trong khai triển P(x) =
7
2
3
1
1 2
x
x
 
− +
 
 

V. Sử dụng ñạo hàm hoặc tích phân
1/ Chứng minh hệ thức sau :
a.
1 2 3 1
2 3 2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + + =

b.
1
0 1 2
1 1 1 2 1

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +

2/ Tính tổng :
a. S =
1 2 3 14
14 14 14 14
2 3 14
C C C C− + + −
b. S =
0 1 2 2008
2008 2008 2008 2008
2 3 2009
C C C C+ + + +

3/ Chứng minh rằng
2

1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+

4/ Tìm n nguyên dương sao cho:

1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2 . 2007
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =

5/ Tính tổng: S =
2 3 1
0 1 2

2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+

6/ Chứng minh rằng:
0 1 2 2000 2000
2000 2000 2000 2000
2 3 2001 1001.2
C C C C+ + + + =

7/ Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
0 1 2
1
1 1 1 1

2 4 6 2 1 2 1
n
n
n n n n

C C C C
n n
−
− + + =
+ +

8/ Xác ñịnh số lớn nhất trong các số:
0 1 2
, , , , , ,
k n
n n n n n
C C C C C

9/ CMR:
1 1 2 2 3 3 4 1
2 2 3.2 4.2 .3
n n n n n n
n n n n
C C C nC n
− − − − −
+ + + + + =

10/ CMR: .
( ) ( )
1
1 0 2 1 1 1 2 1
.4 1 4 1 4 .2
n
n n n n n
n n n n n n

n C n C C C C n C
−
− − − −
− − + − = + +




7

XÁC SUẤT
TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ðỊNH NGHĨA

1. Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẩu nhiên 1 sản phẩm
từ lơ hàng.
a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b. Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lơ hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy
ra có đúng 8 sản phẩm tốt
2. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi đỏ và
9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
3. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho :
a. Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8.
b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau
4. Một lơ hàng có n sản phẩm trong đó có k sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng k sản
phẩm. Tìm xác suất để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu.
5. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để :
a. Người thứ nhất được 3 sản phẩm
b. Mỗi người được 4 sản phẩm
6. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để :

a. Mỗi toa có 3 hành khách
b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách.
7. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang
phải. Tìm xác suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số.
8. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời
được 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được
9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1
câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4
câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thò một cách
ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính
xác suất để học sinh A :
a/ không trả lời được lý thuyết.
b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít
nhất 2 bài tập.
10. Trong hộp có 8 bi đen và 5 bi trắng. Lấy hú họa lần lượt 3 lần,mỗi lấn 1 viên ko hồn lại.
Tìm XS để viên bi lấy thứ 3 là trắng.
11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ
trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ
trước và mỗi phòng nhận 1 người”.
a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ.
b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.
c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ trọ.
12.Có 2 lô hàng :
Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế phẩm
Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xác suất :

8

a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
13. Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm
các xác suất :
a/ có 4 người đến quầy số 1;
b/ có 4 người đến một quầy nào đó;
c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2.
14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quầy
hàng. Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm xác suất
của các sự kiện sau:
a. Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng
b. Có 3 người vào cùng 1 quầy.
c. Có 5 người vào 2 quầy tức là có đúng 2 quầy có khách.
d. Mỗi quầy đều có người tới mua
15 .Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14
người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp, 5
người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết tiếng Pháp và Nha, không có ai biết nói cả 3 thứ
tiếng trên. Có 1 người trong cơ quan ấy đi công tác. Tính xác suất để người ấy :
a/ Biết nói tiếng Anh hay Pháp.
b/ Biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên.
c/ Chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên.
16. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ :
a. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có đúng 3 qn bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3
con 4)
b. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có 4 qn bài thuộc một bộ
17. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con
xúc xắc bằng 4 “

a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A
b. Tính xác suất của biến cố A
18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hồn tồn với kết quả thì
bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì.
a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất.
b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì.
19. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau.
5. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh. Tính
xác suất để 3 học sinh được chọn có tổng các số ngày sinh là số chẵn.
20. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình x
2
+
bx+ c =0. Tính xác suất để :
a. Phương trình vơ nghiệm
b. Phương trình có nghịêm kép
c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt
21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu.



9

Tính xác suất ñể :
a. Hai quả cầu lấy ra màu ñen
b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất ñể :
a. A, B ngồi cạnh nhau

b. A,B ngồi cách nhau một ghế.
24. Gieo 3 con ñồng xu. Tính xác suất ñể
a. Có ñồng xu lật ngửa
b. Không có ñồng xu nào sấp
25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất ñể :
a. x lẻ , y chẳn
b. x>y
c. x+y <4
d. x chia hết cho y
26.Có 4 tấm bìa ñỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác suất
ñể :
a. Rút ñược tấm ghi số chẵn
b. Rút tấm bìa ñỏ
27: Một lớp có 28 sinh viên trong ñó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên 4
SV ñi dự ðH ñoàn trường.Tính XS ñể có ít nhất 2 SV giỏi ñc lấy.
28. Có 100 tấm bìa hình vuông ñược ñánh số từ 1 ñến 100.Ta lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa.Tìm xác
suất ñể lấy ñược:
a/Một tấm bìa có số không chứa chữ số 5 P
a
= 0,8
b/Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5 P
b
= 0,6
29. Một hộp có chứa a quả cầu trắng và b quả cầu ñen.Lấy ra lần lượt từ hộp từng quả cầu(một
cách ngẫu nhiên).Tìm xác suất ñể
a/Quả cầu thứ 2 là trắng b/ Quả cầu cuối cùng là trắng
ðáp số : P
a
= P
b

= a/a+b
30. Gieo ñồng thời 2 ñồng xu.Tìm xác suất ñể có :
a/Hai mặt cùng sấp xuất hiện (P=0,25)
b/Một mặt sấp,một mặt ngửa (P=0,5 )
c/Có ít nhất 1 mặt sấp (P=0,75 )
31 Gieo ñồng thời 2 xúc xắc ñối xứng và ñồng chất.Tìm xác suất ñể ñược:
a/Tổng số chấm xuất hiện bằng 7 (P=1/6)
b/Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 8 (P=7/12)
c/ Có ít nhất 1 mặt 6 chấm xuất hiện (P=11/36)
32.Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ tấng 1 với 3 khách.tìm xác suất ñể :
a/Tất cả cùng ra ở tầng 4 (P=1/216)
b/Tất cả cùng ra ở một tầng (P=1/36)
c/Mỗi người ra ở một tầng khác nhau (P=5/9)
33. Mỗi vé xổ số kí hiệu bởi 1 số có 5 chữ số.Tìm xác suất ñể 1 người mua 1 vé ñược:'
a/Vé có 5 chữ số khác nhau (P=0,3024)
b/Vé có 5 chữ số ñều chẵn (P=0,03125)
34. 5 người A,B,C,D,E ngồi một cách ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất ñể:
a/Người C ngồi chính giữa (P=0,2)
b/Hai người A,B ngồi ở 2 ñầu (P=0,1)
35. Trong một chiếc hộp có n quả cầu ñược ñánh số từ 1 ñến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2 quả
cầu.Tính xác suất ñể người ñó lấy ñược 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số hiệu nhỏ hơn



10

k (ñáp số :
2( 1)( )
( 1)
k n k

P
n n
− −
=
−
)
36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất ñể 3 người
cùng ñến quầy số 1 là bao nhiêu?
HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau ñể dến 3 quầy.Số biến cố ñồng khả năng là: 3
10
.Còn số
biến cố thuận lợi là:
3 7
10
.2C suy ra
3 7
10
10
.2
3
C
P
=

37. Có n người (trong ñó có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất ñể m
người trùng tên ñó ñứng cạnh nhau là bao nhiêu?
ðáp số :
( 1)! !
!
n m m

P
n
− +
=

SỬ DỤNG CÁC ðỊNH LÝ XÁC SUẤT

Bài 1: Kiểm tra theo thứ tự một lô hàn gồm n sản phẩm. các sản phẩm lấy ra ñều thuộc một trong
hai loại tốt hoặc xấu . Kí hiệu A
k
(k= 1,2,3 …N) là biến cố sản phẩm thứ k thuộc loại xấu. Viết
các biến cố sau ñây theo các biến cố A
k
.
a. Cả N sản phẩm ñều xấu
b. Có ít nhất một sản phẩm xấu
c. M sản phẩm ñầu tốt , các sản phẩm còn lại xấu
d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu còn lẻ là tốt

Bài2: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu.Gọi
k
A
là biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu
(k=1,2,3).Các biến cố sau ñây ñược viết bằng kí hiệu ra sao?
a/Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu
b/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
c/Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu
d/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm ñều thuộc 1 trong 2 loại
tốt hoặc xấu).Gọi A

k
là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu".Viết bằng kí hiệu các biến cố sau:
a/Cả 10 sản phẩm ñều xấu
b/Có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c/Sáu sản phẩm ñầu là tốt còn lại là xấu
d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt,thứ tự lẻ là xấu
Bài4: Có 2 hộp ñựng bi:hộp 1 ñựng 3 bi trắng,7 bi ñỏ,15 bi xanh ; hộp 2 ñựng 10 bi trắng,6 bi
ñỏ,9 bi xanh.Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.Tìm xác suất ñể 2 viên bi lấy ra cùng màu
(P= 207/625)
Bài5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9.Tìm
xác suất của các biến cố sau
a/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu (P=0,26)
b/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu (P=0,98)
c/Cả hai người bắn trượt (P=0,02)
Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu ñến khi viên ñạn ñầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất
sao cho phải bắn ñến viên ñạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên ñạn là 0,2.Và
các lần bắn ñộc lập với nhau (P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc xắc ñối xứng và ñồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là số
lẻ.B là biến cố ñược ít nhất một mặt một chấm.Hãy tính
a/ P( A B∪ ) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng ñiện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (Việc chúng hỏng là ñộc lập với nhau).Tính
xác suất ñể mạch không có ñiện do bóng hỏng nếu



11

a/Chúng được mắc song song P=0,02
b/Chúng được mắc nối tiếp P=0,28
Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp. Ai giei được mặt sấp trước thì thắng cuộc.

Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé.

Bài 10 : Xác suất để 1 sản phẩm của nhà máy A bò hỏng là 0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm
các sản phẩm của nhà máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm trong lô hàng, lô hàng bò
loại nếu có ít nhất k phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để lô hàng bò loại với :
a/ n = 3 ;k = 1 b/ n = 5; k = 2
Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng điện Đ1, Đ2 được ghép nối tiếp.
Mạng điện bò tắt nếu ít nhất một trong ba bộ phận trên bò hỏng.
Tìm xác suất để cho mạng điện bò tắt, biết rằng xác suất bò hỏng tương ứng K, Đ1, Đ2, là 0,4 ;
0,5 ; 0,6 và các bộ phận đó hỏng hóc một cách độc lập với nhau.
Bài 12: Một máy bay gồm có ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau. Muốn bắn rơi máy bay,
thì chỉ cần có một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, hoặc hai viên đạn trúng bộ phận thứ hai,
hoặc ba viên đạn trúng bộ phận thứ ba.
Xác suất để một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, thứ hai, thứ ba với điều kiện viên đạn đó đã
trúng máy bay tương ứng bằng 0,15 ; 0,30 và 0,55.
Tìm xác suất để máy bay bò bắn rơi khi
a/ có một viên đạn trúng máy bay ;
b/ có hai viên đạn trúng máy bay;
c/ có ba viên đạn trúng máy bay;
d/ có bốn viên đạn trúng máy bay.
Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã đònh. Mỗi máy bay có mang theo
ba quả bom và mỗi lần lao xuống chỉ ném một quả. Xác suất trúng đích của một quả bom ở
máy bay thứ nhất bằng 0,4 còn của máy bay thứ hai là 0,5. Mục tiêu bò phá hủy ngay sau khi
qủa bom đầu tiên rơi trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bò phá hủy sao cho không sử dụng
hết tất cả số bom ở hai máy.
Bài 14: Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh.
a. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được bi xanh thì thôi.
Tìm xác suất để lấy được bi xanh không quá 2 lần lấy bi
b. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được 2 bi đỏ thì thôi. Tìm xác
suất để lấy được 2 bi đỏ khi lấy ra không quá 3 bi.

Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần, xác suất ném trúng đích của mỗi cầu
thủ theo thứ tự là 0,6 và 0,7. Tính xác suất :
a/ Số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ
thứ hai.
b/ Số lần ném trúng rổ của hai người như nhau.
Bài 16 : Một căn phòng điều trò có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng
một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho trong vòng
một giờ :
a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu.
b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu.



12

Bài 17 : Một công ty đầu tư 2 dự án A và B. Xác suất thua lỗ dự án A là 10% và xác suất thua
lỗ dự án B là 20%. Sự thua lỗ của 2 dự án là phụ thuộc với nhau và biết xác suất để công ty
thua lỗ cả 2 dự án A và B là 5%.
a/ Tìm xác suấ để cả 2 dự án A và B đều không bò thua lỗ.
b/ Tìm xác suất để có đúng 1 dự án bò thua lỗ.
Bài 18: Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, dự án A đấu thầu trước. Khả năng thắng thầu
dự án A là 90%. Nếu dự án A thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 80%. Nếu dự án A
không thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 50%
a. Tìm xác suất Công ty thắng thầu ít nhất một dự án.
b. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu một dự án
c. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu dự án B.
Bài 19 Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, khả năng thắng thầu dự án A là 90%; khả năng
thắng thầu dự án B là 77% và khả năng thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 72%
a. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu 1 dự án
b. Tìm xác suất Công ty có ít nhất 1 dự án không thắng thầu

c. Tìm xác suất Công ty đều không thắng thầu cả 2 dự án .
Bài 20 : Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm
mẫu đại diện. Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu
mẫu cho một hoặc hai quả hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong trường hợp còn lại (có từ 3 quả
hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3.
Trên thực tế 3% số cam trong sọt bò hỏng. Tìm xác suất để sọt cam được xếp loại :
a/ Loại 1 ;
b/ Loại 2 ;
c/ Loại 3.
Bài 21 : Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu
trả lời, trong đó chỉ có một câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả
lời sai bò trừ 1 điểm.
Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để:
a/ Anh ta được 13 điểm ;
b/ Anh ta được điểm âm.
Bài 22. Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lẫy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một
không hoàn lại cho tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại.
a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần thứ tư thì dừng lại.
b. Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản phẩm
Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vò trí A với xác suất
3
2
và ở vò trí B với xác suất
3
1
. Có ba phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau :
Phương án 1 : 3 khẩu đặt tại A, một khẩu đặt tại B.
Phương án 2 : 2 khẩu đặt ở A, 2 khẩu đặt ở B.
Phương án 3 : 1 khẩu đặt ở A và 3 khẩu đặt ở B.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động

độc lập với nhau, hãy chọn phương án tốt nhất.



13

Bài 24. Một thiết bò có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả năng chỉ có một bộ phận bò hỏng là
0,38. Tìm xác suất để bộ phận thứ nhất bò hỏng, biết rằng khả năng để bộ phận thứ 2 bò hỏng là
0,8
Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi
xuất ra thò trường, mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể
tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt và một bóng
đèn hỏng có xác suất 0,95 bò loại bỏ. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm
tra chất lượng.
Bài 26 : Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5 người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm
thứ ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong
nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5.
Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác đònh xem xạ thủ này có khả
năng ở trong nhóm nào nhất.
Bài 27 : Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều trò bệnh A, 30% điều trò bệnh B và
20% điều trò bệnh C. Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này tương ứng
là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã
được chữa khỏi bệnh.

Bài 28 : Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm (1 cách độc lập). Phân
xưởng 1, 2, 3 sản xuất 36%, 34%, 30% tổng sản phẩm của nhà máy, tỉ lệ phế phẩm của phân
xưởng 1, 2, 3 lần lượt là 0,12 ; 0,10 ; 0,08.
a/ Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.
b/ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, giả sử sản phẩm đó là thành phẩm, khả
năng thành phẩm đó thuộc phân xưởng nào nhiều hơn.

Bài 29: Có 2 lô hàng, lô 1 có 10 thành phẩm, 4 phế phẩm ; lô II có 12 thành phẩm, 5 phế phẩm.
Từ lô 1 lấy ra 1 sản phẩm, từ lô II lấy ra 3 sản phẩm. Rồi từ số sản phẩm lấy ra đó lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm, tính xác suất để :
a/ 2 sản phẩm chọn ra lần cuối đều là thành phẩm.
b/ có ít nhất 1 thành phẩm.
Bài 30 : Có 2 thùng hàng, thùng thứ I chứa 10 sản phẩm, thùng thứ II chứa 8 sản phẩm và trong
mỗi thùng đều có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở thùng hàng thứ I cho vào thùng
hàng thứ II rồi lại lấy ngẫu nhiên từ thùng hàng thứ II 1 sản phẩm rồi bỏ lại vào thùng hàng thứ
I, cuối cùng lấy 1 sản phẩm từ thùng hàng thứ I. Tính xác suất :
a/ sản phẩm lấy ra cuối cùng là phế phẩm.
b/ sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc thùng hàng thứ II ở lúc ban đầu.
Bài 31 : Tỉ số khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào 1 cửa hàng A trong 1 ngày là 8 : 4 :
1. Xác suất để khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào cửa hàng và mua hàng lần lượt là
0,4 ; 0,3 và 0,2.
a/ Tính xác suất để có 1 khách hàng vào cửa hàng mua hàng.
b/ Giả sử có 1 người khách mua hàng. Tính xác suất để người đó là khách ngoại quốc.
Bài 32 : Một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh lần thứ nhất lấy ra 1 bi và quan sát, nếu là bi đỏ thì bỏ bi
đó vào hộp cùng với 2 bi đỏ khác nhữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi đó vào hộp cùng 1 bi xanh khác
nữa. Lần thứ hai lấy ra 1 bi và quan sát.



14

a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần 2 là bi đỏ.
b/ Giả sử bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ đó là bi của hộp lúc ban đầu (tức
không phải bi đỏ mới bỏ vào).
Bài 33 : Trong việc truyền tin bằng điện tín ta thường dùng các tín hiệu chấm (.) và gạch ngang
(−). Do tiếng ồn ngẫu nhiên nên trung bình có
4

1
dấu chấm và
5
1
dấu gạch ngang truyền đi bò
sai (tín hiệu này chuyển thành tín hiệu kia). Tỷ số của các tín hiệu chấm và gạch ngang được
truyền đi là 3/5. Tìm xác suất để tín hiệu sau truyền đi đến nơi nhận đúng như ban đầu là :
a/ tín hiệu chấm.
b/ tín hiệu gạch ngang.

Bài 34 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 2 thành phẩm, 1 phế phẩm, hộp II có 3 thành phẩm, 1 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm bỏ vào hộp kia, sau đó từ hộp kia
lấy ra 1 sản phẩm.
a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bỏ vào hộp kia và sản phẩm lấy từ hộp kia ra đều
thành phẩm.
b/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần sau cũng là thành phẩm.
Bài 35 : Trong một kì thi vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt thi 3 môn. Khả năng để một thí
sinh A nào đó thi đạt môn thứ 1 là 0,8, nếu thi đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn 2 là 0,8
nhưng nếâu thi không đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn thứ 2 là 0,6, nếu thi đạt cả 2 môn
đầu thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,8, nếu thi không đạt cả hai môn đầu thì khả năng thi đạt
môn 3 là 0,5 ; nếu chỉ có một môn trong 2 môn thi trước đạt thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,7.
Tính xác suất để thí sinh đó thi
a/ đạt cả 3 môn.
b/ không đạt cả 3 môn.
c/ chỉ đạt có 2 môn.
Bài 36 : Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ
theo thứ tự là 0,9 và 0,8.
a/ Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất viên đạn đó
trúng đích.
b/ Nếu lấy ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên, thì khả năng của hai viên đều trúng đích là

bao nhiêu ?
Bài 37 : Có 2 lô sản phẩm.
Lô 1 : Gồm toàn chính phẩm.
Lô 2 : Có tỉ lệ phế phẩm và chính phẩm là ¼.
Chọn ngẫu nhiên một lô, trong lô này lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy nó là chính phẩm, rồi
hoàn lại sản phẩm này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên (cũng từ lô đã chọn) một sản phẩm
thì xác suất để sản phẩm này là phế phẩm bằng bao nhiêu ?
Bài 38 : Có 2 lô hàng.
Lô 1 : Có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm.
Lô 2 : Có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm.
Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm được lấy
ra lại lấy tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong hai sản phẩm đó có ít nhất một
thành phẩm.



15

Bài 39 : Xí nghiệp A sản xuất một loại sản phẩm với xác suất hỏng của mỗi sản phẩm bằng p,
ở phân xưởng, sản phẩm có thể được một trong ba nhân viên kiểm tra chất lượng với xác suất
như nhau. Xác suất phát hiện sản phẩm hỏng của người thứ i là pi (i = 1,3). Nếu sản phẩm
không bò loại ở phân xưởng thì được chuyển đến KCS của nhà máy và ở đó, sản phẩm hỏng sẽ
được phát hiện với xác suất po, tìm xác suất để sản phẩm bò loại.
Bài 40 : Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra
ba quả để thi đấu. Sau đó lại trả ba quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ba quả. Tìm xác suất
để cả ba quả bóng lấy ra lần thứ hai đều là bóng mới.
Bài 41: Có 3 chiếc hộp:Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2 có 5 bi đỏ và 2 bi xanh
Hộp 3 có 4 bi đỏ bà 5 bi xanh
Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 sau đó lấy 1 bi bỏ vào hộp 3 rồi từ hộp 3 lấy ra 1 bi.

a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đó là bi của hộp 3 lúc đầu.
Bài 42 Có hai chiếc hộp:
- Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh - Hộp 2 có 4 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 bi bỏ vào hộp kia. Sau đó từ hộp kia lấy 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ.
b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để trong đó có 1 bi đỏ của hộp này
và 1 bi của hộp kia.
Bài 43: Có 2 chiếc hộp :
Hộp 1 : có 3 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 2 : có 5 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 trộn đều. Sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 có 1 bi của hộp 1 bỏ vào và 1 bi của hộp 2 lúc ban
đầu. Khi biết 2 bi đã lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
Bài 44. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lần 1 lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi, nếu là bi đỏ thì bỏ
bi đỏ đó trở lại hộp và thêm vào 2 bi đỏ nữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi xanh đó trở lại hộp và
thêm vào 4 bi xanh nữa. Lần 2 lấy từ hộp ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra lần 2 là bi xanh.
b. Biết 2 bi lấy lần 2 là 2 bi xanh. Tìm xác suất để 2 bi xanh lấy ra đó là 2 bi xanh của
hộp lúc ban đầu.
Bài 45. Có 2 chiếc hộp: Hộp 1: Có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2: Có 5 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp là 2 bi đỏ.
b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để 2 bi đỏ là 2 bi của hộp 1 bỏ vào.
c. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ và không bỏ 2 bi đó trở lại mà lấy ra tiếp thêm 1 bi.
Tìm xác suất bi lấy ra tiếp đó là bi đỏ.
Bài 46 Có 3 chiếc hộp: Hộp 1: Có 3 bi đỏ và 2 bi xanh
Hộp 2: Có 7 bi đỏ và 3 bi xanh
Hộp 3: Có 4 bi đỏ và 3 bi xanh

Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và từ hộp 2 ra 1 bi đem bỏ vào hộp 3 trộn đều. Sau đó lấy từ



16

hộp 3 ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đỏ lấy
Bài 47 : Tỷ số xe vận tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là
2
5
.
Xác suất để cho một xe tải qua phố được nhận dầu là 0,1. Còn xác suất để một xe con qua phố
được đến nhận dầu là 0,2.
Có một xe ô tô đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để xe đó là xe tải.
Bài 48: Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Trong quá
trình kiểm nghiệm, xác suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,95 và xác
suất để chấp nhận một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,08.
Tìm xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm được chấp nhận.
Bài 49: Có 2 quả tên lửa bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của
quả tên lửa thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1 quả trúng mục
tiêu thì mục tiêu bò diệt với xác suất là 80%. Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt
với xác suất là 90%.
a. Tìm xác suất để mục tiêu bò diệt
b. Biết mục tiêu đã bò tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 thành và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận
chuyển thì bò mất đi 2 sản phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 8 sản
phẩm còn lại.
a. Tìm xác suất để 2 sản phẩm ta lấy là thành phẩm.

b. Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất. Biết rằng 2 sản phẩm ta lấy đều
thành phẩm.
Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá trong 1 lần thả
câu ở chỗ thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng người đó đã chọn 1 chỗ
và thả câu 3 lần độc lập và chỉ câu được 2 con cá. Tìm xác suất để người đó câu ở chỗ thứ
nhất.
Bài 52 :Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách : hoặc đi theo đường
ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi
lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi lối
cầu thì chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để cn đó đã đi lối cầu
biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 53: Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác đònh người ta làm phản
ứng miễn dòch, nếu không bò bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%. Mặt khác biết rằng khi
phản ứng là dương tính thì xác suất bò bệnh là 0,5.
a/ Tìm xác suất phản ứng dương tính của nhóm có bệnh.
b/ Tìm xác suất chẩn đoán đúng.
Bài 54 : Hai người thợ cùng may một loại áo với xác suất để may được sản phẩm chất lượng
cao tương ứng là 0,8 và 0,9. Biết có một người khi may 6 áo thì có 5 sản phẩm chất lượng cao.
Tìm xác suất để người đó may 6 áo nữa thì có 5 áo chất lượng cao.
Bài 55 : Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 20, 15, 10. Lấy
ngẫu nhiên một kiện hàng (giả sử 1 kiện có cùng khả năng bò rút) rồi từ đó lấy hú họa 1 sản



17

phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm đó lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản
phẩm thì được sản phẩm tốt.
Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3, biết rằng các kiện hàng đều có 20
sản phẩm.

Bài 56: Một cái hộp có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển bò mất đi 2
sản phẩm không rõ chất lượng . Lấy ngẫu nhiên 2 sản trong 8 sản phẩm còn lại.
a/ Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm.
b/ Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất , biết rằng 2 sản phẩm láy ra là thành
phẩm.
c/ Biết rằng 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm. Tìm xác suất để lấy tiếp một sản phẩm
nữa dược phế phẩm.
Bài 57: Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bò
mất 1 chai không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai còn lại.
a. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai thật
b. Biết chai lấy ra là chai thật. Tìm xác suất để lấy tiếp ra 2 chai nữa có 1 chai thật và 1
chai giả.
Bài1: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi
tiết loại 3(chi tiết C).Hãy mơ tả các biến cố sau đây
a/ A B∪ b/ A B+ c/( . )A B C∪ d/
.AC

Bài 58 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần
lượt là 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Gọi Ai là sự kiện chỉ người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, 3. Hãy biểu
diễn các sự kiện sau theo các sự kiện Ai,
i
A
; i = 1, 2, 3 và tính xác suất của các sự kiện đó.
a/ A = sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích.
b/ A = sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích.
c/ C = sự kiện mục tiêu (đích) bò bắn trúng.
Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một
trong hai loại : tốt hoặc xấy. Ta ký hiệu Ak (k =
10,1
) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k

thuộc loại xấu. Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây :
a/ Có 10 sản phẩm đều xấu.
b/ Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c/ Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự
lẻ là xấu.
BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Bài60: Một hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy
được quả cầu trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra

Bài61: Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập.Mỗi người vào thi được
lấy 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập.Trả lời đúng được 5 điểm,trả lời sai được 0 điểm (cho mỗi
câu).Việc trả lời câu lý thuyết và câu bài tập là độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý
thuyết và có thể làm được 6 câu bài tập.
a/Tính xác suất để A đạt điểm 0 (P= 4/25)
b/Gọi X là số điểm A đạt được.CMR: X là một biến ngẫu nhiên rời rạc
- Lập bảng phân bố xác suất của X.



18

- Tính xác suất ñể A ñạt từ 5 ñiểm trở lên (P= 21/25)
c/Tính số ñiểm trung bình mà A có thể ñạt ñược (Kỳ vọng E(X)=6)

Bài62: Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt ñộng ñộc lập với nhau.Xác suất trong thời gian t các bộ
phận bị hỏng tương ứng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t
a/Lập bảng phân bố xác suất của X
b/Xác suất ñể trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng là bao nhiêu?

Bài63: Một người ñi từ nhà ñến cơ quan phải qua 3 ngã tư.Xác suất ñể người ñó gặp ñèn ñỏ ở các
ngã tư tương ứng là : 0,2 ; 0,4 ; 0,5.Mỗi khi gặp ñèn ñỏ người ấy phải dừng lại 3 phút.Hỏi thời
gian trung bình mà người ñó phải dừng lại trên ñường là bao nhiêu? (ñáp số : khoảng 3,3 phút)

Bài64: Hai cầu thủ lần lượt ném bóng vào rổ cho ñến khi trúng với xác suất ném trượt của từng
người là: 0,7 và 0,6.Người thứ nhất ném trước
a/Lập bảng phân bố xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người
b/Lập bảng phân bố xác suất của tổng số lần ném rổ của cả hai người