tuyển chọn CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO cơ học lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (613.99 KB, 50 trang )
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 1 -
TUYN CHN CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO.
Câu 1. Mt ht chuyn ng chm dn trên ng thng vi gia tc a mà ln ph thuc vn
c theo quy lut |a| = k
v
, trong ó k là hng s dng. Ti thi m ban u vn tc ca ht
ng v
0
. Tìm quãng ng ht i c cho n khi dng li và thi gian i ht quãng ng y.
Gii:
+ Ta có a =
dv
kv
dt
=- -kdt = v
-1/2
dv
+ Ly tích phân ta có v =
2
0
kt
v -
2
+ Thi gian chuyn ng cho n khi dng hn t =
0
2v
k
+ Quãng ng i c dS = vdt =
2
0
kt
v -
2
dt =
2
2
00
k
v - k v t + t dt
2
+ Vy quãng ng i c n khi dng hn S =
0
2v/
2
2
00
0
k
v - k v t + t dt
2
k
+ Kt qu là S =
3/2
0
2v
3k
.
Câu 2. Mt a khi lng M c treo bng mt si dây mnh, có h sàn hi k vào m O c
nh. Khi h thng ang ng yên thì mt vòng nh có khi lng m ri t do t cao h (so vi
t a) xung và dính cht vào a. Sau ó, h dao ng theo phng thng ng. Xem hình bên.
a) Tính nng lng và biên dao ng ca h.
b) Lc hi phc tác dng lên h trong quá trình dao ng có công sut cc i là bao nhiêu ?
Gii :
a) Sau va chm:
+ S bo toàn ng lng mv = (m + M)v
1
trong ó mgh = mv
2
/2 nên
1
m 2gh
v =
m + M
có ng nng ban u :
2
1
1
(m + M)v
2
+ Cng ngay sau va chm, h vt + a còn cách v trí cân bng x
1
=
k
mg
, ó chính là li x
1
ca
khi có vn tc v
1
. Vy nng lng toàn phn ca h dao ng là:
2
2
2 22
22
11
m 2gh
1 k 1 k mg ghm m g
E = m + M v + x = m + M + +
2 2 2 m + M 2 k m + M 2k
+ T E = kA
2
/2 suy ra biên dao ng
2E mg 2kh
A = = 1 +
k k (m + M)g
(1)
b) + Công sut ca lc hi phc có biu thc P = Fv = kxv (2) . Ly o hàm theo t tìm cc
i ta có:
P' = kx'v + kxv' = 0. Vi x' = v và v' = x" = - x
2
Ta có kv
2
– kx
2
2
= 0
+ Mt khác (m + M)v
2
/2 + kx
2
/2 = kA
2
/2 và
2
= k/(m +M) ta suy ra công sut cc i khi li
và vn tc có giá tr
A
x =
2
;
kA
v =
m + M
2
M
k
m
h
O
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 2 -
+ Thay vào (2) ta nhn c
23
max
Ak
P =
2 (m + M)
vi A xác nh (1)
Câu 3. t hình trng cht, khi lng m, bán kính R có th ln không trt trên mt phng
ngang (hình 1). Trc quay G ca nó c ni qua lò xo có cng k vi mt m cnh. H
c th không có vn tc ban u t v trí lò xo giãn mt n nh x
0
. Chng minh h dao ng
u hòa và tìm chu k dao ng.
Gii:
+ Khi vt li x lúc ang dao ng, c nng ca h là
W =
22
22222 2 2
2
3
2
22222224
mRv
kx mv I kx mv kx mv
R
w
´
+ + =+ + =+
+ Lc ma sát ngh có tác dng gi cho hình tr không trt không sinh công, c nng bo
toàn:
W =
22
3
24
kx mv
+ = const.
+ Vi phân hai v:
3'
'0
2
mvv
kxx
+=
. Chú ý
';'"
vxvx
==
2
"0
3
k
xx
m
+=
2
"0
xxw
+=
i
2
3
k
m
w = Vy chu k dao ng ca h là:
23
2
2
m
T
k
.
Câu 4. Mt qun rc-két ban u ng yên, sau ó t phóng thng ng t di lên trên bi
khi lng khí pht ra phía sau vi vn tc không i u (so vi rc-két). Coi gia tc trng trng
là không i bng g. Hãy tìm biu thc ph thuc thi gian ca gia tc và vn tc ca rc-két.
Gii:
+ Do chuyn ng là thng nên chn trc x trùng vi ng thng chuyn ng, chiu dng là
chiu chuyn ng, phng trình chuyn ng là
mdv udm
mg
dt dt
(*)
+ Do dm/dt = hng s và m = m
0
, dv/dt = 0 ti t = o nên phng trình trên cho
0
mg
dm
dtu
.
Ly tích phân phng trình trên ta có m = m
0
(1 -
gt
u
)
+ Thay vào (*) ta có m
0
(1 -
gt
u
)
dv
dt
= (m
0
– m)g =
2
0
mgt
u
Hay a =
dv
dt
=
2
gt
u gt
+ Vn tc thi m
là dv =
2
gt
u gt
dt
hay v =
0
g
gt
dt
u gt
v = -g
+ uln
u
ug
Chú ý:
trong biu thc vn tc v chính là t trong biu thc gia tc a
Câu 5.t qu cu nh nm chân nêm AOB vuông cân, cnh cnh l (hình v). Cn truyn
cho qu cu vn tc
0
v
bng bao nhiêu hng dc mt nêm qu cu ri úng m B trên
nêm. B qua mi masát, coi mi va chm tuyt i àn hi.
Gii:
Chn mc th nng mt phng cha AB
i
v
là vn tc ca qu cu khi lên n nh nêm
G
Hình 1
A
O
B
0
v
X
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 3 -
Áp dng nh lut bo toàn c nng:
2
2
2
2
2
2
0
22
0
glvv
l
mg
mvmv
Sau khi ri O, qu cu chuyn ng nh vt ném xiên vi
v
o vi phng ngang mt góc 45
0
.
+ Theo trc OY:
a
y
= - const
g
2
2
; v
y
= v -
t
g
2
2
; y = vt -
2
4
2
gt
g
Khi chm B: y = 0 t =
g
v22
n tc qu cu ngay trc va chm: v
y
= v -
g
vg 22
2
2
-v
Do va chm àn hi, nên sau va chm vn tc qu cu dc theo OY là
v
nên bi li chuyn ng
nh trên.
Khong cách gia hai ln va chm liên tip gia bi và mt nêm OB là t =
g
v22
+ Theo trc OX:
a
x
=
const
g
2
2
; v
0x
= 0 : qu cu chuyn ng nhanh dn u.
Quãng ng i c dc theo Ox sau các va chm liên tip:
x
1
: x
2
: x
3
: … = 1 : 3 : 5 :…: (2n-1)
x
1
=
2
1
a
x
t
2
=
g
glv )2(22
2
0
qu cu ri úng m B:
x
1
+ x
2
+ … + x
n
= [1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)]x
1
= n
2
x
1
= l
g
glv )2(22
2
0
n
2
= l
v
0
=
2
2
22
14
n
gln
.
Câu 6. Mt u máy xe la nng 40 tn, trng lng chia u cho 8 bánh xe. Trong ó có 4 bánh
phát ng. u máy kéo 8 toa, mi toa nng 20 tn. H s ma sát gia bánh xe vi ng ray là
0,07. B qua ma sát các trc. Trên trn toa xe có mt qu cu nh khi lng 200 gam treo
ng dây nh, không giãn.(cho g = 10 m/s
2
).
1/ Tính thi gian ngn nht k t lúc khi hành n lúc oàn tàu t vn tc 20km/h. Tính
góc lch ca dây treo so vi phng thng ng và lc cng ca dây treo.
2/ Sau thi gian trên, tàu hãm phanh. Bit rng lúc này ng c không truyn lc cho các
bánh. Tính quãng ng tàu i t lúc hãm phanh cho n lúc dng; góc lch ca dây treo so vi
phng thng ng và lc cng dây trong 2 trng hp:
a. Ch hãm các bánh u máy
b. Hãm tt c các bánh ca oàn tàu
Gii:
1. Lc phát ng chính lc ma sát tác dng lên 4 bánh u tàu
F
= f
ms
= k.M
d
.g /2 = 14.10
3
N.
Gia tc cc i mà tàu t c:
a
max
= F
/M = F
/ (M
d
+ M
t
) =0,07 m/s
2
.
Thi gian ngn nht :
V
t
= v
0
+ a.t
min
t
min
= v
t
/a
max
= 79,4 s(hay 1 phút 15 giây).
Góc lch
a dây treo và lc cng dây
A
O
B
0
v
X
g
y
x
v
p
F
qt
T
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 4 -
Dây treo b lch v phía sau (so vi vn tc).
+ Vì m rt nh so vi M nên không nh hng n gia tc ca tàu.
+ Trong h qui chiu gn vi tàu , vt m chu tác dng ca 3 lc:
Ta có : tan
= F
qt
/P = m.a
max
/m.g = 0,007.
= 0,4
t khác ta có :Cos
=P /T T = m.g /cos
=.2,0002N (h v).
2. a. Trng hp hãm u máy: Lúc này tàu chuyn ng chm dn u.
+ Gia tc ca tàu :a
1
= - f
ms1
/ M = - k.M
d
.g / M
a
1
= - 0,14 m/s
2
.
+ khi dng vn tc ca tàu bng không
S
1
= - v
1
2
/2.a
1
=110,23 m.
+ Góc lch : tan
1
= ma
1
/mg = 0,14 .
1
= 7,97 dây treo lch v phía trc.
+ Lc cng dây: cos
1
= P /T
1
T
1
= 2,0195N ( hình v).
b. Khi hãm tt c các bánh
+ Gia tc ca tàu : a
2
= - f
ms2
/M = - k.(M
d
+ M
t
).g /m.
Câu 7. Mt tm ván khi lng M c treo vào mt dây dài nh, không giãn. Nu viên n có
khi lng m bn vào ván vi vn tc v
0
thì nó dng li mt sau ca ván, nu bn vi vn tc
v
1
> v
0
thì n xuyên qua ván.
Tính vn tc v ca ván ngay sau khi n xuyên qua.Gi thit lc cn ca ván i vi n
không ph thuc vào vn tc ca n. Lp lun chn du trong nghim.
Gii:
Khi vn tc n là v
0
, sau khi xuyên qua, n và tm g cùng chuyn ng vi vn tc v
,
. Áp
ng nh lut bo toàn ng lng và nng lng ta có:
mv
0 =
(M+m)v
,
(1)
2
1
mv
0
2
=
2
1
(M+m)v
2
+ Q (2)
Q: Công ca lc cn bin thành nhit :
(1), (2)
Q =
2
1
mv
0
2
-
2
1
(M+m)
2
0
.v
mM
m
Q =
2
0
v
m)2(M
mM
(3)
Khi n có vn tc v
1
> v
0
. Gi v
2
là vn tc n sau khi xuyên qua tm g.
ng t ta có:
mv
1 =
Mv +mv
2
v
2 =
v
1
-
v
m
M
(4)
Q (5)mv
2
1
Mv
2
1
mv
2
1
2
2
22
1
Thay (3), (4) vào (5) ta suy ra:
2
0
2
1
22
1
v.
mM
M
v
m
M
vv
m
M
v
0
)mM(
vm
v.
mM
mv
2v
2
2
0
2
1
2
Gii phng trình ta c:
)vvv(
m
M
m
v
2
0
2
11
Nu chn du +, thay vào (4) ta suy ra:
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 5 -
)vvv(
m
M
m
v
m
M
vvMmv
v
2
0
2
11
2
0
2
11
2
u này vô lý vì vn tc n sau khi xuyên qua g không th nh hn vn tc tm g. Do
ó ta chn:
)vvv(
m
M
m
v
2
0
2
11
.
Câu 8. Mt qu nng nh khi lng m, nm trên mt nm ngang, c gn vi mt lò xo nh có
cng k (Hình 1). u t do ca lò xo bt u c nâng lên thng ng vi vn tc
v
không
i nh hình v. Xác nh giãn cc i ca lò xo.
Gii:
- Lò xo bt u nâng vt lên khi kx
0
= mg (1), vi x
0
là giãn ca lò xo ti thi
m vt bt u ri mt nm ngang.
- Trong HQC chuyn ng lên trên vi vn tc
v
, ti thi m vt bt u ri mt
m ngang, vt chuyn ng xung di vi vn tc
v
.
Gi x
M
là giãn cc i ca lò xo. Th nng ca vt khi va ri khi mt
ngang là mg (x
M
- x
0
). Theo nh lut bo toàn c nng:
2
2
2
0
M
M0
kx
kx
mv
+ mg(x -x ) + =
2 22
(2)
- T (1) và (2) ta có:
22
22
MM
mg
kx - 2mgx - mv + = 0
k
(*)
- Do x
M
> x
0
nên nghim ca phng trình (*)là n tr l:
M
mgm
x = + v
kk
*Chú ý : HS có th gii theo cách khác:
- K t khi ri mt ngang, vt dao ng u hoà quanh O (v trí ca vt thi m này).
Phng trình dao ng: x = A.cos(
t +
), vi
k
=
m
- Khi t = 0
x = Acos
= 0
v = - A
sin
Ta có: A =
sin
v
=
m
v
k
giãn cc i ca lò xo là: x
M
= x
0
+ A =
mgm
+ v
kk
Câu 9. Cho h dao ng nh hình bên. Các lò xo có phng thng ng và có cng k
1
và k
2
.
qua khi lng ca ròng rc và các lò xo. B qua ma sát. Xác nh cng tng ng ca
khi m thc hin dao ng u hoà theo phng thng ng.
Gii:
Chn trc Ox có phng thng ng, gc trùng vi VTCB ca vt.
Khi vt VTCB các lò xo có giãn ln lt là l
1
và l
2
ta có:
P=T=k
2
l
2
và 2P=2T=k
1
l
1
suy ra k
1
l
1
=2k
2
l
2
. (1)
Khi vt li x các lò xo k
1
, k
2
giãn thêm các n x
1
và x
2
so vi khi vt VTCB. Ta có:
T’=k
2
(l
2
+x
2
) (*) và 2T’=k
1
(l
1
+x
1
) suy ra k
1
(l
1
+x
1
)= 2k
2
(l
2
+x
2
) (2)
(1) và (2) ta có k
1
x
1
=2k
2
x
2
Suy ra x
1
=2 k
2
x
2
/k
1
(3)
t khác ta có x=2x
1
+x
2
(4) Thay (3) vào (4) Suy ra x=4k
2
x
2
/k
1
+x
2
=x
2
(4k
2
/k
1
+1)
v
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 6 -
Suy ra x
2
=
1
4
1
2
k
k
x
=
12
1
4 kk
xk
(5)
Ta có phng trình nh lut 2 Niu tn cho vt:
P-T’=ma (6) Thay (*) vào (6) ta có: P- k
2
(l
2
+x
2
)=ma (7)
Thay (5) vào (7) ta có: -
12
21
4 kk
xkk
=mx”
y cng tng ng ca h lò xo là k=
12
21
4 kk
kk
Câu 10.o gia tc trng trng g, ngi ta có th dùng con lc rung, gm mt lá thép phng
chiu dài l, khi lng m, mt u ca lá thép gn cht vào m O ca giá, còn u kia gn mt
cht m khi lng M. v trí cân bng lá thép thng ng. Khi làm lá thép lch khi v trí cân
ng mt góc nh
(radian) thì sinh ra momen lc c. (c là mt h s không i) kéo lá thép tr
v trí y (xem hình v).
Trng tâm ca lá thép nm ti trung m ca nó và momen quán tính ca riêng lá thép i vi
trc quay qua O là 3/
2
ml .
1. Tính chu kì T các dao ng nh ca con lc.
2. Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg. con lc có th dao ng, h s
c phi ln hn giá tr nào? Bit g không vt quá
2
/9,9 sm .
3. Cho l, m, M có các giá tr nh 2), c = 0,208. Nu o c T = 10s thì g có
giá tr bng bao nhiêu?
4. Cho l, m, M, c có các giá tr cho 3). Tính nhy ca con lc, xác nh
i
dg
dT
, dT là bin thiên nh ca T ng vi bin thiên nh dg ca g quanh giá
tr trung bình
2
0
/8,9 smg . Nu gn
0
g , gia tc
g
tng
2
/01,0 sm thì T
ng hay gim bao nhiêu?
5. Xét mt con lc n có chiu dài L = 1m cng dùng o g. Tính nhy
a con lc n gn giá tr trung bình
0
g ; g tng
2
/01,0 sm thì chu kì T ca con lc n tng
hay gim bao nhiêu? So sánh nhy ca hai con lc.
Gii:
1) Momen quán tính ca con lc J =
3
2
ml
+
2
Ml =
2
l (
M
+
3
m
)
Momen lc
M
=
mg
2
l
sin
+
sinMgl -
c
c
m
Mgl )
2
(
Phng trình
J
M
2
l (
)
3
m
M =
c
m
Mgl )
2
(
hay
)
3
(
)
2
(
2
m
Ml
m
Mglc
= 0
Gi thit
)
2
(
m
Mglc , con lc có dao ng nh vi chu kì
T =
)
2
(
)
3
(
2
2
m
Mglc
m
Ml
(1)
K
1
K
2
m
O
M
l
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 7 -
2)u kin
)
2
(
m
Mglc , vi
2
max
/9,9 smg cho 105,0.2,0.9,9
c hay 2079,0
c .
3)t ,004132,0)
3
(
2
m
Mla 021,0)
2
(
m
Mlb (n v SI).
(1)
bgc
a
T
2
(2), hay
bgc
aT
2
2
4
, vi T = 10 s tính c
2
/83,9 smg .
4) Ly ln hai v ca (2)
)ln(
2
1
ln
2
1
2lnln bgcaT
y o hàm i vi
g
, vi
T
là hàm ca
g
:
)(2
1
bgc
b
dg
dT
T
nhy
)(2 bgc
bT
dg
dT
(3)
i 021,0
b , 208,0
c thì vi 8,9
gg
2
/ sm và
sT 10
, ta có
48
dg
dT
.
g
tng
2
/01,0 sm thì
T
tng s48,0 , d dàng o c.
Chú ý: Nu tính trc tip
dg
dT
t (2), không qua ln thì phc tp. Cng không cn thay
T
trong
(3) bng (2), vì ta ã bit vi
0
gg thì
sT 10
.
5) Vi con lc n
g
L
T
2
, làm tng t:
gLT ln
2
1
ln
2
1
2lnln
. Ly o hàm i vi
g
gdg
dT
T 2
11
g
T
dg
dT
2
.
Con lc n có
mL 1
thì
sT 2
. Vi
2
/8,9 smg thì
1,0
dg
dT
;
g
tng
2
/01,0 sm thì
T
gim s001,0 , không o c. Vy con lc rung nhy hn con lc n.
Câu 11. Hai vt có cùng khi lng m ni nhau bi mt lò xo t trên mt bàn nm ngang. H s
ma sát gia các vt vi mt bàn là . Ban u lò xo không bin dng. Vt 1 nm sát tng.
1) Tác dng mt lc không i F hng theo phng ngang t vào vt 2 và hng dc theo trc
lò xo ra xa tng (hình 2a). S dng nh lut bo toàn
ntg lng, tìm u kin v ln ca lc F vt 1
di chuyn c?
2) Không tác dng lc nh trên mà truyn cho vt 2 vn
c v
0
hng v phía tng (hình 2b). cng ca lò
xo là k.
a. Tìm nén cc i x
1
ca lò xo.
b. Sau khi t nén cc i, vt 2 chuyn ng ngc li
làm lò xo b giãn ra. Bit rng vt 1 không chuyn ng.
Tính giãn cc i x
2
ca lò xo.
c. Hi phi truyn cho vt 2 vn tc v
0
ti thiu là bao nhiêu vt 1 b lò xo kéo ra khi tng?
Gii:
1 2
k
F
Hình 2
a
1 2
k
v
0
Hình 2
b
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 8 -
1. vt 1 dch chuyn thì lò xo cn giãn ra mt n là:
mg
x
k
.
c F nh nht cn tìm ng vi trng hp khi lò xo giãn ra mt n là x thì vn tc vt 2 gim
0. Công ca lc F trong quá trình này có th vit bng tng công mt i do ma sát và th nng
a lò xo:
2
2
kx
Fx mgx
y:
3
2
F mg
.
2. Truyn cho vt 2 vn tc v
0
v phía tng.
a. Bo toàn c nng:
1
2
1
2
0
mgx
2
kx
2
mv
0v
k
m
x
k
mg2
x
2
01
2
1
Nghim dng ca phng trình này là:
2
2
0
1
mv
mg mg
x
k kk
b. Gi x
2
là giãn cc i ca lò xo:
2
kx
)xx(mg
2
kx
2
2
21
2
1
2
2
0
21
23mv
mg mg mg
xx
k k kk
c. vt 1 b kéo khi tng thì lò xo phi giãn ra 1 n x
3
sao cho:
mgkx
3
(1)
n tc v
0
nh nht là ng vi trng hp khi lò xo b giãn x
3
nh trên thì vt 2 dng li. Phng
trình bo toàn nng lng:
Cho quá trình lò xo b nén x
1
:
1
2
1
2
0
mgx
2
kx
2
mv
(2)
Cho quá trình lò xo chuyn t nén x
1
sang giãn x
3
:
2
kx
)xx(mg
2
kx
2
3
31
2
1
(3)
(3)
k
mg2
xx
31
t hp vi (1), ta c:
k
mg3
x
1
. Thay vào (2), ta c:
0
15
m
vg
k
.
Câu 12. t thanh ng cht có khi lng m có th quay t do xung quanh mt trc nm ngang
i qua mt u ca thanh. Nâng thanh nó có phng thng ng ri th nh thì thanh xung
và quay quanh trc. Cho momen quán tính ca thanh ng cht có khi lng m, chiu dài L i
i mt trc i qua mt u ca thanh và vuông góc vi thanh là I = mL
2
/3. Ti thi m khi
thanh có phng ngang, hãy tìm:
1. Tc góc và gia tc góc ca thanh.
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 9 -
2.Các thành phn lc theo phng ngang và theo phng thng ng mà trc quay tác dng lên
thanh.
Gii:
1. Theo nh lut bo toàn c nng:
2
2
1
2
I
L
mg . Thay
2
3
1
mLI ta thu c tc góc ca thanh:
L
g3
.
Các lc tác dng lên thanh gm trng lc P và lc N mà lc mà trc quay tác dng lên thanh.
Mômen ca lc N i vi trc quay bng 0 nên nh lut II Niutn
cho chuyn ng quay ca thanh quanh trc O có dng:
IM
P
. Thay
2
3
1
mLI và
2
L
mgM
P
ta c gia tc góc ca
thanh:
L
g
2
3
.
2. Theo nh II Niutn cho chuyn ng tnh tin:
amNP
(1)
Chiu phng trình (1) lên phng ngang:
2
2
L
mmamaN
nxx
Thay giá tr tc góc tìm c phn 1 vào ta tìm c thành phn nm ngang ca lc mà trc
quay tác dng lên thanh:
3 /2
x
N mg
.
Chiu phng trình (1) lên phng thng ng:
2
L
mmamaNP
tyy
Thay giá tr gia tc góc tìm c phn 1 vào ta tìm c thành phn thng ng ca lc mà trc
quay tác dng lên thanh:
/4
y
N mg
.
Câu 13. Qu cu 1 có khi lng m
1
= 0,3 (kg) c
treo vào u mt si dây không dãn, khi lng không
áng k, có chiu dài
= 1 (m). Kéo cng dây treo
qu cu theo phng nm ngang ri th tay cho nó lao
xung. Khi xung n m thp nht, qu cu 1 va
chm àn hi xuyên tâm vi qu cu 2, qu cu 2 có
khi lng m
2
= 0,2 (kg) t mt sàn nm ngang.
c mô t nh hình v bên)
Sau va chm, qu cu 1 lên ti m cao nht thì dây treo lch góc
so vi phng thng
ng. Qu cu 2 s ln c n ng có chiu dài S trên phng ngang.
Bit h s ma sát gia qu cu 2 và mt sàn nm ngang là 0,02 và trong s tng tác gia
m
1
và m
2
thì lc ma sát tác dng vào qu cu 2 là không áng k so vi tng tác gia hai qu
u. Ly g = 10(m/s
2
).
Tính:
và S.
Gii:
i: A là v trí buông vt m
1
B là v trí thp nht (ni m
1
, m
2
va chm)
C là v trí cao nht vt 1 lên c sau va chm
Chn gc th nng bng không là sàn
So sánh c nng ca qu cu 1 A và B.
P
N
N
x
N
y
O
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 10 -
m
1
gh
1
=
2
1
m
1
v
2
1
n tc qu cu m
1
ngay trc khi va chm có ln: v
1
=
1
2gh = 2 5 (m/s)
i v
/
1
là vn tc ca m
1
ngay sau khi va chm.
So sánh c nng ca qu cu 1 B và C.
2
1
m
1
v
2/
1
= m
1
gh
2
v
/
1
=
2
2gh
ng nng ca qu cu 1 trc va chm chuyn hóa thành th nng ca nó C và công thc hin
thng ma sát ca qu cu 2 khi ln.
2
1
m
1
v
2
1
= m
1
gh
2
+ A
2
1
.0,3.20 = 0,3.10.h
2
+ 0,02.0,2.10.S
3 = 3 h
2
+ 0,04S (1)
i vi hai qu cu, thì lc ma sát gia qu cu 2 và sàn là ngoi lc. Lc ma sát tác dng vào
qu cu 2 có làm cho ng lng ca h hai qu cu gim i. Thi gian va chm gia hai qu cu
t ngn nên xung lc ca lc ma sát làm ng lng ca qu cu 2 gim i không áng k. Nh
y có th coi thi gian va chm gia hai qu cu thì tng ng lng ca chúng c bo toàn:
m
1
v
1
= m
1
v
/
1
+ m
2
v
/
2
0,3. 2 5 = 0,3.
2
2gh + 0,2. v
/
2
0,6. 5 = 0,3.
2
20h + 0,2. v
/
2
(2)
Áp dng nh lý ng nng cho qu cu 2 ta c:
0 -
2
1
m
2
v
2/
2
= -
m
2
g.S
0,5. v
2/
2
= 0,2.S
S =
4,0
2/
2
v
(3)
Thay (3) vào (1) ta c:
3 = 3 h
2
+ 0,04.
4,0
2/
2
v
3 = 3 h
2
+ 0,1. v
2/
2
h
2
=
3
.1,03
2/
2
v
(4)
Th (4) vào (2) ta c:
0,6.
5 = 0,3.
3
1,03
20
2/
2
v
+ 0,2. v
/
2
(5)
Gii phng trình (5) ta c: v
/
2
= 0 (loi); v
/
2
= 2,4.
5 (m/s)
(3)
S =
4,0
2/
2
v
= 72 (m)
(4)
h
2
=
3
.1,03
2/
2
v
= 0,04 (m)
t khác ta có : h
2
=
-
.cos
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 11 -
cos
=
2
h
=
1
04,01
= 0,96
16,26
0
Câu 14. Hai m A, B trên mt t, cách nhau 10 (m). T A bn vt 1 vi góc bn 30
0
. T B
n vt 2 vi góc bn 60
0
(nh hình v). Vn tc ban u ca hai vt u có ln bng 40 (m/s)
và ng phng. Cho bit vt 2 c bn sau khi bn vt 1 là
(s) và trên ng bay hai vt s va
nhau m M. Ly g = 10 (m/s
2
)
Xác nh
và ta m M.
Gii:
Chn h trc ta 0x, 0y, gc ta 0 trùng vi m
A.
Chn gc thi gian (t = 0) lúc bt u vt 1 i.
Theo phng 0x:
n tc vt 1 là :
V
x
= V.cos30
0
= 40.
2
3
= 20
3 (m/s)
n tc vt 2 là :
v
x
= v.cos60
0
= 40.
2
1
= 20 (m/s)
Theo phng 0y:
n tc ban u ca vt 1 là:
V
y0
= V.sin30
0
= 40.
2
1
= 20 (m/s)
n tc ban u ca vt 2 là :
v
y0
= v.sin60
0
= 40.
2
3
= 20
3 (m/s)
Theo phng 0x:
Phng trình chuyn ng ca vt 1: X = V
x
.t = 20
3 .t
Phng trình chuyn ng ca vt 2: x = v
x
(t -
) + 10
= 20(t -
) + 10
Theo phng 0y:
Phng trình chuyn ng ca vt 1: H = 20t -
2
1
gt
2
= 20t - 5t
2
Phng trình chuyn ng ca vt 2: h = 20
3 (t -
) -
2
1
g(t -
)
2
= 20 3 (t -
) - 5(t -
)
2
Khi hai vt gp nhau thì ta ca chúng ging nhau:
X = x
20 3 .t = 20(t -
) + 10 (1)
H = h
20t - 5t
2
= 20 3 (t -
) - 5(t -
)
2
(2)
Bin i phng trình (1) ta c: 20 3 .t = 20t - 20
+ 10
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 12 -
t =
20320
2010
=
232
21
(3)
Th (3) vào phng trình (2) ta c:
20(
232
21
) - 5(
232
21
)
2
= 20 3 (
232
21
-
) - 5(
232
21
-
)
2
Ta có phng trình bc hai theo
nh sau :
(10 + 10
3 )
2
+ 70
- (20 3 - 20) = 0
Gii phng trình ta c hai nghim nh sau :
0,2 (s) và
- 2,75 (s) (Loi)
i
0,2 (s) th vào (3) ta c : t =
232
)2,0(21
= 0,4 (s)
a giao m M là :
H = 20t - 5t
2
= 20.0,4 - 5.(0,4)
2
= 7,2 (m)
X = 20
3 .t = 20 3 .0,4 = 13,8 (m)
Câu 15. t hình trc ng cht có bán kính R = 10 (cm), ln
không trt trên mt phng nm ngang vi ln vn tc bng
v
0
, ri n mt phng nghiêng có góc nghiêng
= 45
0
so vi
t phng ngang. Tìm giá tr vn tc v
max0
ca hình tr ln trên
t phng ngang không b ny lên ti A (xem hình v).
y g = 10 (m/s
2
), I
hinh
tru
=
2
1
mR
2
.
Gii:
Tìm giá tr vn tc v
max0
ca hình tr ln trên mt phng ngang không b ny lên ti A
* Ta có ng nng ca vt trên mt phng ngang:
W
=
2
1
mv
2
+
2
1
I
2
Vì ln không trt nên v =
R.
t khác I =
2
1
mR
2
Suy ra W
=
2
1
mv
2
+
2
1
.
2
1
mR
2
.
2
R
v
=
4
3
mv
2
.
* Ti nh A ca mt phng nghiêng:
- Khi hình trang trên mt phng ngang, nng lng là:
W
0
=
4
3
mv
2
0
+ mgh.
- Khi hình tr trên mt phng nghiêng có tc khi tâm v;
ng lng là:
W =
4
3
mv
2
.
- Theo nh lut bo toàn nng lng ta có:
4
3
mv
2
0
+ mgh =
4
3
mv
2
(1)
- A là tâm quay tc thi: Vn tc tip tuyn là v nên lc hng tâm F = ma
ht
= m.
R
v
2
Phân tích trng lc P làm hai thành phn: F
1
= P.sin
và F
2
= P.cos
(có tác dng gây
áp lc lên mt phng nghiêng)
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 13 -
- Hình tr không ny lên khi A nu: F
F
2
(2)
- T hình v ta có: h = R - R.cos
= R(1 - cos
).
Phng trình (1)
4
3
v
2
0
+ g R(1 - cos
) =
4
3
v
2
v
2
= v
2
0
+
3
4
g R(1 - cos
) (3)
phng trình (2) và (3) ta c: m.
R
v
2
P.cos
m.
R
gRv )cos1(
3
4
2
0
mg.cos
v
2
0
+
3
4
g R(1 - cos
)
g.R.cos
v
2
0
g.R.cos
-
3
4
g R(1 - cos
)
v
2
0
3
gR
(7cos
-4)
v
0
)4cos7(
3
gR
)4
2
2
.7(
3
1,0.10
0,6 (m/s)
y không b ny lên ti A vn tc v
max0
ca hình tr ln trên mt phng ngang có giá tr
ng 0,6 (m/s).
Câu 16. Hai vt A và B có cùng khi lng M c ni vi nhau
ng mt lò xo nh có cng k. Hc t trên mt phng nm
ngang, vt B tip xúc vi tng (hình 1), ban u lò xo không bin
ng, hai vt ng yên. H s ma sát trt gia các vt vi mt
ngang gn bng h s ma sát ngh là . Truyn cho vt A vn tc ban
u
o
v theo phng ngang hng vào tng. Tìm u kin v tc v
o
lò xo b dãn mà vt B
n không dch chuyn.
Gii:
- Vì
o
v hng vào tng nên bin dng cc i ca lò xo là l tha mãn:
lMglk
2
1
Mv
2
1
22
o
k
Mv
k
Mg
k
Mg
l
2
o
2
-Áp dng bo toàn nng lng cho quá trình di chuyn hng ra xa
ng:
)xl(Mglk
2
1
kx
2
1
22
(*)
- u kin lò xo b dãn: (*) có nghim x > 0
- u kin B không dch chuyn thì khi lò xo b dãn, lc àn hi ca lò xo không vt quá
ma sát ngh cc i tác dng lên B
kx Mg x
max
= Mg/k
t
22
lklMg2Mgx2kxy
(**)
Phng trình (**) có nghim tha mãn 0 < x Mg/k
y
(0)
= 2Mgl - kl
2
< 0 (1)
y
(Mg/K)
=
0
k
Mg3
lMg2lk
2
2
(2)
(1) l 2Mg/k
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 14 -
k
Mg
2
k
Mv
k
Mg
k
Mg
2
o
2
2
2
o
k
Mg
8
k
Mv
k
M8
gv
o
ng xét du: y
(Mg/K)
=
k
Mg3
lMg2lk
2
2
(2) l 3Mg/k
k
Mg
3
k
Mv
k
Mg
k
Mg
2
o
2
2
2
o
k
Mg
15
k
Mv
k
M15
gv
o
k
M15
gv
k
M8
g
o
Câu 17. Mt qu cu c, khi lng m, bán kính R ang ng yên trên mt bàn nm ngang, tâm
O a qu cu cách mép thành bàn mt n . Tác ng lên qu cu mt lc
F
hng xung
theo phng hp vi mt phng ngang mt góc cho trc là , có ln F xác nh trong khong
thi gian t rt ngn (hình 2). Gi s xung ca lc gn nh không làm cho qu cu ch chuyn
trong thi gian ó. Sau ó, qu cu chuyn ng ri dng i ngay sát mép bàn. Cho h s ma sát
trt gia qu cu và mt bàn là , gia tc ri t do là g. Bit lc
F
có giá nm di tâm O, trong
mt phng thng ng vuông góc vi mt bàn qua tâm O.
Hãy tìm:
a/Thi gian gây xung lc t.
b/Khong cách d ln nht t giá ca lc n tâm O.
Gii:
- Xung a lc theo phng ngang gây ra bin thiên ng
lng: F.t.cos = mv
o
vi v
o
là tc tnh tin t c
ngay sau khi thôi tác ng lc.
- Sau thi gian t tác dng lc, qu cu va chuyn ng trt va chuyn ng quay quanh trc
qua tâm O nm ngang. Lc ma sát trt F
mst
= mg tác ng lên im tip xúc gây gia tc nh
tin làm qu cu chuyn ng trt theo phng trình vn tc: v = v
o
- at i a = g.
- di thc hin c là x = - R.
Thi gian chuyn ng là t = v
o
/a.
)(2
cos
Rg
F
m
t
- Lc F gây ra momen lc làm bin thiên momen ng lng i vi trc quay nm ngang qua
tâm O a qu cu: F.t.d = I
o
vi
o
là tc góc t c ngay sau khi thôi tác ng lc.
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 15 -
- Lc ma sát trt F
mst
= mg tác ng lên im tip xúc gây gia tc góc làm qu cu chuyn
ng quay quanh trc nm ngang qua O theo phng trình:
=
o
– t vi = mgR/I
-Bi dng i ngay trc thành bàn:
o
/ v
o
/g d Rcos
d
max
= Rcos
Câu 18. Mt cái bình hình tr có thành bên trong sut c treo lên mt cái lò xo thng
ng có u trên gn vào giá nh nh hình 4, np bình có mt l nh. Khi rót nc t
vào bình, ngi ta thy khong cách t mt thoáng ca nc trong bình n u trên
a lò xo không thay i. Khi nc y bình, gi s có th ly i tc thi ½ lng nc
trong bình thì vn tc cc i a bình nc là bao nhiêu? Cho khi lng a bình là M,
khi lng nc lúc y bình là m, chiu cao a bình là h, gia tc trng trng là g.
Xem bình nc dao ng iu hòa theo phng thng ng.
Gii: + Khi rót nc t t vào bình cho n khi y bình, ngi ta thy khong cách t
t thoáng ca nc trong bình n u trên ca lò xo không thay i tính c cng lò xo
là k = mg/h
+ trí cân bng mi a bình nc so vi lúc nc y bình là h/2
Biên dao ng là A = h/2
+ Vn tc ban u a bình nc trong cách kích thích dao ng trên bng 0
+ v
max
= A trong ó
mM
k
2
2
Câu 19. t xe trt dài L = 4 m, khi lng phân bu theo chiu dài,
ang chuyn ng vi vn tc
0
v
trên mt bng nm ngang thì gp mt di
ng nhám có chiu rng l = 2m vuông góc vi phng chuyn ng. Xe
ng li sau khi ã i c mt quãng ng S = 3m, nh trên hình v. Ly g
= 10 m/s
2
.
a, Tính h s ma sát gia b mt xe trt vi di ng nhám.
b, Tính thi giam hãm ca xe.
Gii:
a. Chn trc to Ox dc theo hng trt ca xe, gc O mép
ng nhám li xe i vào nh hình v.
- Khi u xe có to x (x
l), lc ma sát trt tác dng lên xe có
ln là :
ms1
mg
F =
x
L
. th biu din F
ms
(x) trên hình v. ln
công lc ma sát tính n khi u xe va qua khi di ng nhám c
xác nh bng din tích hình tam giác OMN:
2
1
1l
A =
mg
2L
.
-Sau ó (l
x
S), F
ms
không i:
ms2
l
F =
mg
L
- ln công F
ms
thc hin cho n khi xe dng li là:
2 ms2
l(S - l)
A = F (S - l) = mg
L
;
- Theo L bin thiên ng nng:
2
2
0
12
mv
1 l l(S - l)
= A + A = mg + mg
2 2LL
2
0
vL
=
gl(2S - l)
= 0,05
2
0
v
L
S
l
F
ms
x
O
M
N
S
l
O
X
x
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 16 -
b. Khi
0 x l
, phng trình ch. ng ca xe trt là:
mg
- x = mx
L
(*) hay
g
- x = x
L
(**),
là phng trình d..h vi tn s
= g/L
(rad/s)
- Dng nghim ca pt (*) là: x = Acos(
t + )
+ Khi t = 0 thì
x = Acos 0
và
0
v = x = - A
sin = v
0
v
x = cos(
t - )
2
(***)
+ Khi u xe va qua khi di ng, tc x = l thì :
0
1
v
cos(
t - ) = l
2
11
0
cos(
t - ) = sin t =
2v
Vy thi gian u xe i ht n ng nhám là :
1
0
1l
.arcsin
v
t
; và vn tc ca xe trt
lúc ó là :
101
ost
v vc
- Sau khi u xe ã ra khi n ng nhám, tc
lxS
, phng trình chuyn ng ca xe
là pt :
mg
- l = mx
L
, nên gia tc ca xe là :
2
lg
a = x = -
L
= const : xe chuyn ng chm dn u.
- Thi gian ch.ng chm dn u cho n khi dng li là :
1
2
2
v
t
a
.
- Vy thi gian hãm ca xe là :
12
ttt
=
0
00
1ll
.arcsin os arcsin
vlgv
Lv
c
Câu 20. Mt hình trc bán kính R, khi lng m
1
= 20 kg có th quay không ma sát quanh mt
trc cnh nm ngang trùng vi trc ca hình tr. Trên hình tr có qun mt si dây không giãn,
khi lng không áng k. u t do ca dây có buc mt vt nng m
2
= 4 kg, nh hình v. Tìm
gia tc ca vt nng và lc cng ca dây. Bit moment quán tính ca hình tri vi trc quay là
2
1
mR
I =
2
; ly g = 10 m/s
2
.
Gii:
- Do tác dng ca trng lc P
2
= m
2
g, h chuyn ng :hình tr quay và vt nng tnh
tin i xung.
- Gi a là gia tc dài ca vt nng,
là gia tc góc ca hình tr.
Ta có:a = R
.
- Áp dng nh lut II Newton cho vt nng: m
2
g – T = m
2
a (1)
(vi T là lc cng dây tác dng lên vt nng)
- Phng trình chuyn ng quay ca hình tr : M = I
, vi M = T’R = TR (vi T’ là lc cng
a dây tác dng lên hình tr, T’ = T)
2
1
mR
I =
2
,
a
=
R
(2)
- T (1) và (2) ta có : a =
2
21
2mg
2m + m
= 2,86 (m/s
2
)
và T = m
2
(g – a) = 286 (N)
Câu 21. Mt hình tr mng ng nht bán kính R và khi lng mc t lên mt mt phng
nghiêng mt góc
so vi phng ngang. H s ma sát trt gia mt nghiêng và hình tr là
.
qua ma sát ln.
O
1
2
m
m
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 17 -
a) Tìm s ph thuc ca gia tc a(
) ca hình tr vào góc nghiêng
ca mt phng. Kho
sát trng hp hình tr ln không trt và ln có trt.
b) Nu gn vào thành trong ca hình tr mt vt nh khi lng m
0
thì trong nhng u
kin nào ó, hình tr có th nm cân bng trên mt phng nghiêng. Hãy xác nh u kin ó và
ch ra các v trí cân bng ca h vi các m
0
khác nhau.
Gii:
a) * Khi ma sát ngh ln thì hình tr s ln không trt:
i thi m bt k, vn tc chuyn ng tnh tin ca hình tr
là: )1(Rv
ng nng toàn phn ca hình tr khi ln không trt c xác
nh bng tng ca ng nng chuyn ng tnh tin và ng nng ca
chuyn ng quay (nh lý Kiôning):
)2(
2
)(
2
2
22
mv
Rmmv
E
k
Gi s sau mt thi gian nào ó, hình tr ln xung theo mt nghiêng c mt n S thì
gim th nng ca nó là:
).3(sin
mgSmgh
Nhng do không có ta nhit (vì ln không trt) nên c nng bo toàn: tng ng nng
ng gim th nng: ).4(sin.sin
22
vgSmvmgS
Nh vy bình phng ca vn tc t l vi quãng ng i - ây chính là quy lut ca
chuyn ng nhanh dn u vi vn tc ban u bng không. Trong chuyn ng này thì
aSv 2
2
, so sánh vi (4), ta nhn c:
)5(
2
sin
g
a
y hình tr ln xung nhanh dn u vi gia tc bng mt na so vi trng hp trt
không ma sát theo mt nghiêng. Tó ta kt lun c chính lc ma sát ã làm gim gia tc ca
hình tri mt na:
)6(
2
sin
mg
F
ms
(6) ta xác nh c lc ma sát ln bo m cho hình tr ln không trt:
)7(
2
cos
2
sin
tg
mgN
mg
* Khi hình tr có th trt:
Khi h s ma sát không tha mãn u kin trên thì hình tr s trt và có s ta nhit. Khi
ó, ta áp dng nh lut II Niutn theo phng ca mt nghiêng:
)8()cos(sincossin
gamgmgma
Nh vy gia tc ca hình tr trên mt nghiêng ph thuc vào góc nghiêng theo quy lut:
*
**
)cos(sin
)2(;
2
sin
Khig
arctgKhi
g
a
b) * Sau khi gn vt nh vào thành trong ca hình tr thì h có th cân bng khi h s ma sát
gia mt nghiêng và hình tr ln và nh s cân bng ca mômen lc tác dng lên hình tri
i m tip xúc gia hình tr và mt nghiêng (m A trên hình v).
Giá tr nh nht ng vi trng hp n OB nm ngang. Phng trình cân bng mômen
i vi m A khi ó:
)10(
sin
1
sin
sin)sin(
00
mmmgRRRgm
u kin cân bng trc ht là không có s trt theo mt
nghiêng:
)11(
tg
R
B
O
A
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 18 -
* V trí cân bng c xác nh bi góc lch
ca vt so vi phng ng. u kin cân
ng khi ó là:
.sinsin)sin(sinsin
0
0
0
m
mm
gRmmgR
Phng trình này có 2 nghim trên n ]2;0[
, mt trong hai
nghim tng ng vi trng thái cân bng không bn. Vì vy ch
y c 1 góc có ln:
.sinarcsin
0
0
m
mm
Câu 22. Mt tm ván có khi lng là
1
m ta trên ba con ln ging nhau và có cùng khi lng
2
m . Tm ván chu tác dng ca lc ngang
F
hng v bên phi. Coi nh không xy ra hin t-
ng trt gia tm ván và các con ln cng nh gia các con ln và nn ngang. Tìm gia tc ca
m ván? Coi các con ln nh nhng khi trng cht. B qua ma sát ln.
Gii :
Xét nhng lc theo phng ngang (nhng lc trc tip gây ra gia tc cho các con ln và tm ván)
Xét con ln sau cùng (con ln 1) chu tác dng ca các lc:
c ma sát ngh do ván tác dng:
1V
F
c ma sát ngh do nn tác dng:
1N
F
.
ng ti vi con ln 2 chu tác dng ca các lc:
2V
F
,
2N
F
i vi con ln 3 chu tác dng ca các lc:
3V
F
,
3N
F
hình biu din và phân tích lc:
Mà
NNNN
VVVV
FFFF
FFFF
321
321
;
m ván chu tác dng ca lc
F
Và các lc ma sát ngh:
321
,, FFF
Và
321
FFF
;
Phng trình nh lut II Niu ton cho tm ván:
321
FFFF = am
1
(1)
Phng trình nh lut II Niuton cho các con ln ging nhau, i vi mt con ln bt kì ta luôn
có:
(I)
IMM
amFF
NV
FF
KTNV 2
; ( :
KT
a Là gia tc khi tâm ca mt con ln)
O
A
F
F
1N
F
2N
F
3N
F
1V
F
2V
F
3V
F
2
F
1
F
3
F
1
2
3
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 19 -
KT
KT
NF
VF
V
aa
R
a
Rm
I
RFM
RFM
FFFF
II
N
V
2
2
)(
2
2
321
Kt hp các h phng trình (I) ,(II) và phng trình (1) ta có:
12
89
8
mm
F
a
.
Câu 23. Trên mt mt bàn nhn nm ngang có mt thanh mnh AB ng cht có khi lng m,
chiu dài là 2
l
ang nm yên. Mt viên n có khi lng m bay ngang vi vn tc v
0
ti cm
vuông góc vào u B ca thanh. (va chm là hoàn toàn không àn hi)
a. Tìm v trí và vn tc ca khi tâm G ca h thanh và n sau va chm ;
b. Tìm vn tc góc quay quanh G ca thanh sau va chm ;
c. Tìm gim ng nng ca h do va chm.
d. Ngay sau va chm có mt m C trên thanh có vn tc tuyt i bng không (gi là tâm quay
c thi). Xác nh v trí ca C. Cho bit mômen quán tính ca thanh i vi ng trung trc ca
nó là m
2
l /3.
Gii:
a/ Khi n cm vào thanh thì v trí G ca khi tâm c xác nh:
2
21
l
m
m
mxmx
x
G
; (vi lxx
21
;0 );
Sau va chm n cm vào thanh và h chuyn ng song phng ;
- ng lng ca h trc va chm là:
01
mvP .
- ng lng ca h sau va chm là : mvP 2
2
;
Thi gian va chm rt ngn. áp dng nh lut bo toàn ng lng: mvmvPP 2
021
. Do
ó vn tc khi tâm tr sau va chm là:
2
0
v
v ;
b/ * Mômen ng lng ca hi vi G ngay trc va chm ch bng momen ng lng ca
n i vi G ó là:
2
.
0
1
mlv
IL
TT
; (vi :
4
2
ml
I
T
,
l
v
T
0
2
) ;
* Sau va chm h quay quanh G vi vn tc góc là
do ó mômen ng lng ca thanh i vi
G là: L’ = I
G
; vi I
G
= (
3
2
ml
+
4
2
ml
) – (nh lí Huyghen- Stenno);
Mômen ng lng ca n i vi G là: L”= I
D2
.=
4
2
ml
.
G
B
0
A
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 20 -
Do ó mômen ng lng ca hi vi G sau va chm là: L
2
=L’+L”=
6
5
2
ml
;
(Vi I
S
=
6
5
2
ml
là mômen quán tính ca hi vi G sau va chm)
Theo nh lut bo toàn mômen ng lng ta luôn có: L
1
=L
2
6
5
2
ml
=
2
0
mlv
=> vn tc góc
quay quanh G ca h là:
l
v
5
3
0
;
c. - ng nng ca h trc va chm là: K
1
=
2
2
0
mv
;(ng nng ca n)
- ng nng ca h sau va chm bng ng nng ca chuyn ng tnh tin ca khi tâm G
a h + ng nng ca h chuyn ng quay quanh G :
K
2
=
2
2
2
22
I
mv
=
2
1
)
5
3
(
6
5
4
2
0
2
2
0
l
v
ml
mv
=0,4
0
mv ;
=> gim ng nng ca h do va chm là:
K=K
1
-K
2
=
2
0
2
0
2
0
1,04,0
2
mvmv
mv
;
d. Chn m c bn là khi tâm G ca h. Khi ó sau va chm vn tc ca mt m C bt kì
trên vt c xác nh:
Rvv
C
;
mà 0
C
v
Rv . V ln ta luôn có
Rv
, R
l
vv
5
3
2
00
=>
6
5l
R . Vy ti
m có vn tc bng không cách G mt n
6
5l
R .
Câu 24. Mt máy bay ang bay nm ngang vi vn tc v
o
thì bt u ngóc lên trên v thành mt
ng tròn nm trong mt phng thng ng. Vn tc ca máy bay khi ó thay i t cao h
tính t mc ban u ca vòng tròn theo qui lut:
22
2
o
v v ah
. m cao nht ca quo vn
c ca nó bng v
o
/2. Hãy xác nh gia tc ca máy bay khi vn tc ca nó hng thng ng lên
phía trên?
Gii:
+Theo gt: ti m cao nht B vn tc máy bay v
B
=v
o
/2, nên bán kính qu
o r tha mãn:
2
2
2 .2
4
o
o
v
v ar
.(1)
+ Ti m C ni vn tc ca máy bay hng thng ng t trên
xung, gia tc ca máy bay là s tng hp ca hai gia tc:
- gia tc hng tâm:
22
2
co
n
v v ar
a
rr
(2)
- gia tc tip tuyn a
t
22
c nt
a aa
(3)
+ tính a
t
, ta xét s dch chuyn nh ca máy bay t C n C
/
, khi ó:
//
2 2 22
2( ) 2.
oc
cc
v v ar h v v ah
, gi
t
là thi gian máy bay i t C n C
/
ta
có:
/
22
2.
c
c
vv
ah
tt
, khi
0
t
thì
/
CC
suy ra:
A
B
C
C
/
h
V
o
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 21 -
2
2
2
2. . 2.
. 109 /3
ct ct
c
c
va avaa
v
aaa
r
Câu 25. Ngi ta ni mt si dây không giãn vào trc mt bánh xe khi
ng m, bán kính r. Si dây ó cng theo phng ngang trong mt
phng bánh xe. Bánh xe c quay và không ny lên khi va chm vào
các chn song song vi trc ca nó, t liên tip trong mt phng nm
ngang, khong cách gia chúng là l<<r.Hãy xác nh lc kéo trung bình
n có ca si dây vn tc trung bình ca bánh xe không i là v.
Xem nh khi lng banh xe tp trung trc ca nó.
Gii:
+Xét v trí th nht là v trí mà trc ca nó nm ngay phía trên mt thanh
ray và nó có vn tc bng
v
.
+V trí th hai là v trí va chm tip theo nó có vn tc
/
v
vuông góc vi thanh trc ó.
theo l bo toàn c nng:
2 /2
22
mv mv
mgh vi
22
2
48
ll
hrr
r
/ 22
1 /4
v v gl rv
+Theo k ca bài ra bánh xe không ny lên khi va chm, ngha là va p ca bánh xe lên thanh là
tuyt i không àn hi, u này cho thy rng khi va p xung lc tác dng lên bánh xe làm
ng nng ca bánh xe do thành phn vn tc hng theo phng ni thanh b trit tiêu
/ 2 /22
2
m(v.sin).
W=
22
mvl
r
+ vn tc trung bình ca bánh xe không i cn mt công do lc kéo T ca si dây trên quãng
ng bù vào s hao ht này là:
222 2 22
22 2 22
. (1). (1)
2 4. 4. 4. 2
mv gl l mv l gl mv l
TlT
rv r rv rv r
Câu 26. Mt a tròn ng cht bán kính R, b dày h. a ang quay vi tc góc
0
quanh
trc ca nó thì ngi ta t nó xung mt sàn ngang. H s ma sát gia a và sàn là
. Hãy xác
nh s vòng mà a quay c cho ti lúc dng?
Gii:
+ Theo nh lí ng nng:
2
.
2
0
I
A
ms
(1)
+ tính công ca lc ma sát, ta chia a thành nhng hình vành khn có
bán kính r b dày dr nh hình v, khi ó lc ma sát tác dng lên mu rt
nh trên hình vành khn xác nh bi góc
d là: ghdrrddF
ms
Mô men ca lc ma sát tác dng lên mu này là:
2
ddrrghdFrdM
ms
+ Mô men ca lc ma sát tác dng lên ca là:
2
00
32
.3/ 23/2
R
mgRRghddrrghM
(2)
l
r
/
v
R
d
dr
r
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 22 -
Cho ti lúc dng, a ã quay c mt góc
thì công ca lc ma sát tác dng lên ca
là:
3/.23/.2.
0 0
RmgdRmgdMA
ms
(3).
Thay (3) vào (1) ta c:
g
R
Rmg
mR
8
3
3
.2
4
.
2
0
2
0
2
Suy ra s vòng mà a quay c là:
g
R
N
16
3
2
2
0
Câu 27. t cái nêm có khi lng M có th trt không ma sát trên mt
phng nm ngang (nh hình v). Tnh nêm ngi ta th mt vt có khi
ng m (không vn tc ban u). Xác nh vn tc theo phng ngang ca
nêm ti thi m khi m trt n chân nêm? Xác nh góc hp bi gia véc
vn tc ca vt m vi phng ngang? Cho góc ca nêm là , cao ca
nêm là h, b qua ma sát gia vt m và nêm. Nhn xét kt qu khi m rt nh so
i M và khi m rt ln so vi M?
Gii:
i v
x
, v
y
là vn tc ca vt theo phng nm ngang và thng ng so vi
t t ta có:
MV- mv
x
=0 (1)
mgh=m(v
x
2
+v
y
2
)/2+MV
2
/2 (2)
i u
x
, u
y
là vn tc ca vt theo 2 phng so vi nêm, ta có:
u
x
=v
x
+V
u
y
=v
y
Trong ó
tg
u
u
x
y
tg
Vv
v
x
y
)(
(3)
(1), (2), (3) ta c
V
2
=
m
M
tg
m
M
m
M
gh
222
)1()(
2
Tg
x
y
v
v
=(1+
tg
M
m
)
Khi m<<M: V=0;
=
Khi m>>M: V
2
=2gh;
=
2/
Câu 28. Kho sát chuyn ng ca mt vt t khi bt u chuyn ng thng chm dn u cho
n khi dng li hn. Quãng ng i c trong giây u tiên dài gp 15 ln quãng ng i
c trong giây cui cùng. Tìm vn tc ban u ca vt. Bit toàn b quãng ng vt i c là
25,6m.
Gii:
Biu din quãng ng ca vt trên hình v.
- Xét n ng AB trong giây u tiên:
2
ABAA
1a
s = v .1 + a.1 = v +
22
(1)
- Xét n ng CD trong giây cui cùng:
DCC
v = v + a.1 = 0 v = - a
2
CDC
1 aa
s = v .1 + a.1 = - a + = -
2 22
(2)
- T (1) và (2) ta c:
AA
aa
v + = 15. ( - ) v = - 8a
22
.
A
B
C
D
v
v
v
A
C
D
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 23 -
- Xét c quãng ng AD:
222
2
DAA
AD
v - v - v
- (- 8a)
s = = 25,6 =
2a 2a 2a
.
Ta có:
2
a = - 0,8 (m/s )
Vy vn tc ban u ca vt là:
A
v = 6,4 (m/s)
Câu 29. Cho c h gm hai vt có khi lng m
1
và m
2
c ni vi nhau bng mt lò xo rt nh
có cng k, chiu dài t nhiên l
0
. Hc t trên mt mt phng ngang trn nhn. Mt lc
F
không i có phng nm ngang (dc theo trc ca lò xo) bt u tác dng vào vt m
2
nh hình
.
a, Chng t các vt dao ng u hoà. Tính biên và
chu k dao ng ca mi vt.
b, Tính khong cách cc i và khong cách cc tiu
gia hai vt trong quá trình dao ng.
Gii:
- Xét trong h quy chiu gn vi khi tâm G ca c h.
- Gia tc ca khi tâm:
G
12
F
a =
m + m
- Gi O
1
và O
2
ln lt là v trí ca m
1
và m
2
khi lò xo trng thái t nhiên : O
1
O
2
=
l
0
;
- V trí O
1
và O
2
ln lt cách G nhng n l
1
và l
2
, tho mãn u kin :
m
1
l
1
= m
2
l
2
= m
2
(l
0
- l
1
)
l
1
=
20
12
ml
m + m
; l
2
=
10
12
ml
m + m
.
- Ta coi h trên gm : vt m
1
gn vào mt u lò xo có chiu dài l
1
, u kia ca l
1
c gn c
nh vào G và vt m
2
gn vào mt u ca lò xo có chiu dài l
2
, u kia ca l
2
c gn cnh
vào G.
- cng ca các lò xo l
1
và l
2
:
12
1
2
k(m+ m)
k =
m
và
12
2
1
k(m+ m)
k =
m
;
* Phng trình dao ng ca các vt:
Chn các trc to cho mi vt gn vi khi tâm G ca c h nh trên hình v.
- t m
1
:
11
qt dh 11
F - F = m a
hay
1
11 11
12
mF
- k x = m x
m + m
11
11
1 1 21
k mF
x + (x - ) = 0
m (m +m )k
t :
2
1
1
1
k
=
m
;
1
11
1 21
mF
X = x -
(m + m )k
2
1 11
X +
X = 0
(*): vt m
1
dao ng u hoà.
Nghim phng trình (*) có dng :
11 11
X = A sin (
t + )
- t m
2
:
22
qt dh 2 2
F - F - F = m a
hay
2
22 22
12
mF
F - - k x = m x
m + m
.
t :
2
2
2
2
k
=
m
;
1
22
1 22
mF
X = x -
(m + m )k
2
2 22
X +
X = 0
: vt m
2
dao ng u hoà.
Nghim phng trình (*) có dng :
22 22
X = A sin (
t + )
* Chu kì dao ng ca các vt:
- t m
1
:
12
1
1 12
mm
T = = 2
(m + m )k
;
F
m
m
1
2
k
F
m
m
1 2
O O
1
2
F
F
F
F
qt1
qt2
dh1
dh2
x
x
1
2
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 24 -
- t m
2
:
12
2
2 12
mm
T = = 2
(m + m )k
.
* Biên dao ng ca các vt:
- t m
1
:
12
1 1 11
2
12
mmF
x = + A sin(
t + )
(m+ m)k
111 11
v = A
cos(t + )
Khi t = 0
12
1
2
12
mmF
A =
(m + m)k
x
1
= 0
1
/2
v
1
= 0
- t m
2
:
2
1
2 2 22
2
12
mF
x = + A sin(
t + )
(m+ m)k
222 22
v = A
cos(t + )
Khi t = 0
2
1
2
2
12
mF
A =
(m + m)k
x
2
= 0
2
/2
v
2
= 0
b, Khong cách cc i và cc tiu gia hai vt trong quá trình dao ng : Hai vt dao ng
cùng pha trên hai trc to cùng phng ngc chiu nên
l
max
= l
0
+ 2(A
1
+ A
2
) = l
0
+ 2
1
12
mF
(m + m )k
;
l
min
= l
0
Câu 30. Mt thanh cng AB ng cht, dài L, khi lng M có th quay không ma sát trong mt
phng thng ng quanh mt trc cnh nm ngang i qua m O trên thanh vi OA=L/4. Ban
u thanh ang ng yên thng ng thì mt vt nh có khi lng m=M/3 bay theo phng
ngang ti va chm vào u B ca thanh vi vn tc V (hình 5). Sau va chm, vt dính vào thanh
và h thanh - vt bt u dao ng vi góc lch bé xung quanh v trí cân bng. Chng t rng dao
ng ca h thanh - vt là dao ng u hoà. Lp công thc tính chu kì dao ng và vit phng
trình dao ng.
Gii:
Mômen quán tính ca h thanh-vt sau va chm: I=
)1(
3
1
)
4
3
(
12
1
2222
MllmOGMlM
Phng trình ng lc hc trong chuyn ng quay h thanh-vt:
OmgOMg
MMMlMI
//
2
3
1
Trin khai các mômen lc v phi và thay "
ta c:
sin
4
3
sin
4
"
3
1
sin
4
3
sin
4
"
2
l
mg
l
MgMl
l
mg
l
MgBHmgGIMgI
sin
2
1
"
3
g
l
. Vì bé nên sin 0"0
2
3
"
2
1
"
3
2
l
g
g
l
(vi
l
g
2
3
2
). Vy h thanh-vt sau va chm dao ng u hoà vi chu kì
g
l
T
3
2
2
Phng trình dao ng có dng: =
m
sin(t+)
i t=0 thì =0 và ’=d/dt>0 suy ra =0
m
V
B
A
O
Các bài vt lí nâng cao.
Nguyn Anh Vn.
- 25 -
nh lut bo toàn mômen ng lng cho:
'2
3
1
4
3
3
o
MllV
M
(’
o
là vn tc góc ban u h
thanh-vt) hay
l
V
o
4
3
'
. Phng trình vn tc góc ca thanh: ’=
m
cost.
i t=0 thì ’
o
=
m
suy ra:
t
l
g
gl
V
gl
V
m
)
2
3
sin(
8
3
8
3
Câu 31. t vt nh A bt u trt tnh ca mt bán cu cnh, bán kính R = 90cm, xung
i .Tìm v trí vt bt u tách khi mt cu và vn tc ca vt ti v trí ó. Cho gia tc trng
trng g = 10m/s
2
. B qua ma sát gia vt và bán cu.
Gii:
Áp dng nh lí ng nng Vn tc ti M:
2
v 2g.AH 2gR(1 cos )
(1)
hl
F PN
chiu lên phng OM c:
2
mv
P cos N (2)
R
(1) và (2) c: N = mg(3cos
-2)
t bt u tách khi mt cu khi N = 0 cos
=2/3, hay bi
Cao OH = Rcos
0
=60cm. Vn tc v
a vt ti v trí ó:
2
2gR
v 6 v 6m/s
3
Câu 32. Hai vt có khi lng m
1
và m
2
c ni vi nhau bng mt
i dây nh, không dãn vt qua mt ròng rc có trc quay nm ngang và
nh gn vào mép bàn . Ròng rc có momen quán tính I và bán kính
R. Coi rng dây không trt trên ròng rc khi quay. Bit h s ma sát
gia vt m
2
và mt bàn là , b qua ma sát trc quay.
a. Xác nh gia tc ca m
1
và m
2
.
b. Tìm u kin gia khi lng m
1
, m
2
và h s ma sát mt bàn
thng nm cân bng.
Gii:
a/ Xác nh gia tc ca m
1
và m
2
.
+ Biu din các lc trên hình
+ Xét vt m
1
: m
1
g – T
1
= m
1
a T
1
= m
1
(g –a) (1)
+ Xét vt m
2
: T
2
– F
ms
= m
2
a T
2
= m
2
(g + a) (2)
+ Xét ròng rc : (T
1
– T
2
)R = I
12
2
a
TTI
R
(3)
(1), (2), (3)
12
12
2
g(m m)
a
I
mm
R
b/ Tìm u kin gia khi lng m
1
, m
2
và h s ma sát mt bàn h thng nm cân bng.
h thng nm cân bng P
1
= F
msn
(F
msn
)
max
, m
2
µ m
1
Câu 33. t con lc n, gm vt nng m = 0,2kg, dây treo
nh, không dãn có chiu dài l = 1m c treo A cách mt t
là H = 4,9m. Truyn cho m mt vn tc theo phng ngang
nó có ng nng W
. Con lc chuyn ng n v trí dây treo
ch góc
0
60
so vi phng thng ng thì dây treo bt,
khi ó vt m có vn tc v
0
= 4 m/s. B qua mi lc cn và ma
sát. Ly g = 10m/s
2
.
O
A
H
M
v
P
N
m
1
m
2
A
