Tài liệu Tuyển chọn các bài toán điển hình luyện thi đại học pdf

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(Tài liệu tự ôn tập)
LÊ TRUNG TÍN
Thành viên nhóm Administrators diễn đàn toán học boxmath.vn
Email:
1. Khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan: (Bổ sung sau)
2. Phương trình lượng giác:
1. Giải các phương trình sau:
(a) sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1 = 0
(b) 6(sin x − cos x) − sin x cos x − 6 = 0
(c) sin
3
+ cos
3
x = 2(sin x + cos x) −1
(d) sin
3
x + cos
3
x = 1
(e) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3 sin 2x
2
(f) sin
3
x + cos
3

x = sin 2x + sin x + cos x
2. Giải các phương trình sau:
(a) sin x − sin 3x + 2 sin 5x = 0
(b) cos
4x
3
= cos
2
x
(c) 8 cos
3

x +
π
3

= cos 3x
(d) sin
3
x + cos
3
x = 1 −
1
2
sin 2x
(e) 2 cos
3
x + sin x + 1 = 2 sin
2
x

(f) 8 sin x =
√
3
cos x
+
1
sin x
(g) tan
2
x =
1 − cos
3
x
1 − sin
3
x
3. Giải các phương trình sau:
(a) (2 cos 2x + 1)(sin 2x − cos 2x + 1) = 2(cos x + sin x)
(b) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
(c) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1

(d) sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0
4. Giải các phương trình sau:
(a) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0
(b)
(1 + sin x + cos 2x) sin

x +
π
4

1 + tan x
=
1
√
2
cos x
(c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
(d) sin
3
x −
√
3 cos
3
x = sin x cos
2
x −
√
3 sin
2
x cos x

(e) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x
(f)
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
=
√
3
(g)
1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot
2
x
=
√
2 sin x sin 2x
(h) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 1
3. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số:
3.1. Phương trình vô tỷ:
3.1.1. Phương pháp nâng lũy thừa:
Giải các phương trình sau:
1.

x
2
−

7
x
2
+

x −
7
x
2
= x
2.
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1
3.
√
1 + x
2
=
3x
1−x
4.

x

3
+ 1
x + 3
−
√
x + 1 =
√
x
2
− x + 1 −
√
x + 3
3.1.2. Phương pháp đưa về tích:
Giải các phương trình sau:
1. 2x + (4x
2
− 1)
√
1 − x
2
= 4x
3
+
√
1 − x
2
2.
4
√
x =

3
8
+ 2x
3. x +
4x
x + 4
√
x + 4
= 12
3.1.3. Phương pháp trục căn thức:
Giải các phương trình sau:
1.
√
2x − 1 +
√
x + 2 =
√
x + 6 + 3
2.
√
2x
2
+ x + 9 +
√
2x
2
− x + 1 = x + 4
3. 2
√
3x + 4 + 3

√
5x + 9 = x
2
+ 6x + 13
3.1.4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số:
1. Giải các phương trình sau:
(a)
√
x + 1 +
√
8 − x +

(x + 1)(8 − x) = 3
(b)

x −
√
x
2
− 1 +

x +
√
x
2
− 1 = 2
(c) x
2
+ 2x


x −
1
x
= 3x + 1
(d) 3
√
2 + x − 6
√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x
2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
(a) 2(x
2
− 2x) +
√
x
2
− 2x − 3 − m = 0
(b) m(
√
3x − 2 +
√
x − 1) = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2

3. Cho phương trình
√
x + 3 +
√
6 − x +

(x + 3)(6 − x) = m
(a) Giải phương trình khi m = 3;
(b) Tìm m để phương trình có nghiệm;
(c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(

1 + x
2
−

1 − x
2
+ 2) = 2

1 − x
4
+

1 + x
2
−

1 − x

2
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 2
3.1.5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp:
1. 2(x
2
+ 1) = 5
√
x
3
+ 1
2. x
2
− 7x + 1 = 4
√
x
4
+ x
2
+ 1
3. 2x
2
− 5x + 22 = 5
√
x
3
− 11x + 20

4. x
3
− 3x
2
+ 2

(x + 2)
3
= 6x
5. (x + 3
√
x + 2)(x + 9
√
x + 18) = 168x
3.1.6. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
1. Giải các phương trình sau:
(a)
√
x
3
+ x
2
+ 2 +
√
x
3
+ x
2
− 1 = 3
(b)

4
x
+

x −
1
x
= x +

2x −
5
x
(c) 3x
2
− 4x − 15 = 2
√
2x
2
− 2x − 5
(d)
√
4x + 5 = 2x
2
− 6x − 1
(e)
3
√
3x − 5 = 8x
3
− 36x

2
+ 53x − 25
(f) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1
2. Tìm để các phương trình sau có nghiệm:
(a)
√
x +
√
4 − x = m
(b)
3
√
1 − x +
3
√
1 + x = m
3.1.7. Phương pháp hằng số biến thiên, tham số biến thiên:
Giải các phương trình sau:
1. x
2
+
√
x + 5 = 5
2. 9x
2

+ 3(2x − 1)
√
9 − x − 10x + 11 = 0
3. (x + 1)
√
x
2
− 2x + 3 = x
2
+ 1
4. x
3
+ 6x
2
− 2x + 3 = (5x − 1)
√
x
3
+ 3
3.1.8. Phương pháp hàm số:
1. Giải các phương trình sau:
(a)
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1
(b) (4x − 1)(
√

x + 3 +
3
√
3x + 5) = 4x + 8
(c)
3
√
x
3
− 12x + 17 = −3x
2
+ 16x − 19
(d) (9x + 1)
√
9x − 1 = 8x
3
+ 20x
2
− 41x + 5
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x
2
− x + 1 +

x
2
+ x + 1 = m
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x

√
x +
√
x + 12 = m(
√
5 − x +
√
4 − x)
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 3
3.2. Bất phương trình vô tỷ:
3.2.1. Phương pháp nâng lũy thừa
Giải các phương trình sau
1.
√
1 + x +
√
1 − x ≤ x
2.
√
x + 3 >
√
x − 9 +
√
5 − x
3.
3

√
x
2
+ 6x > x
4.
3
√
2x + 1 +
3
√
6x + 1 >
3
√
2x − 1
3.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải các phương trình sau
(a)
√
5x
2
+ 10x + 1 ≥ 7 −x
2
− 2x
(b)
x
x + 1
−

x + 1
x

> 3
(c) (x + 1)(x + 3) ≤
√
x
2
+ 4x + 5
2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2; −2 +
√
3]:
(x + 1)(x + 3) ≤ m(

x
2
+ 4x + 5)
3. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6]:

(4 + x)(6 − x) ≤ x
2
− 2x + m
3.2.3. Phương pháp hàm số
1. Giải bất phương trình
(a)
√
x + 1 +
√
2x + 3 > 5
(b)
4
√
15 + x −

4
√
2 − x > 1
(c)
√
x
2
− 2x + 3 −
√
x
2
− 6x + 11 >
√
3 − x −
√
x − 1
(d) x
3
− 5x
2
+ 6x + 2 ≤
3
√
2x
2
− 2x − 4
2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
√
4x − 2 +
√

16 − 4x ≤ m
3.2.4. Phương pháp đánh giá
Giải các bất phương trình sau
1.

x −
√
x
2
− 1 +

x +
√
x
2
− 1 ≤ 2
2.
2x
2
− 13x + 38
√
2x
2
− 10x + 44 +
√
3x + 6
≤ 4 −x
3. (x
2
+ 4)

√
2x + 4 ≤ 3x
2
+ 6x − 4
4.
x −
√
x
1 −

2(x
2
− x + 1)
≥ 1
5.
(2x − 1)
√
x + 3
2
√
x + (2 +
√
x)
√
1 − x + 1 − x
≥ 1
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E

X 4
3.3. Hệ phương trình đại số:
3.3.1. Sử dụng phép biến đổi đại số và thế:
Giải các hệ sau:
1.

5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) + 2 = (x + y)
2
2.

x
4
+ 2xy + 6y −(7 + 2y)x
2
= −9
2x
2
y −x
3

= 10
3.

y
3
− 7x
3
− 6xy
2
+ 12x
2
y = 3x
2
− 3x + 1
y
2
− 4x − 5 = 0
4.

x
3
+ y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x + 4y
5.






1
x
+
1
2y
= (x
2
+ 3y
2
)(3x
2
+ y
2
)
1
x
−
1
2y
= 2(y
4
− x
4
)
6.


x
3
+ 3xy
2
= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y −17x
7.

9y
3
(3x
3
− 1) = −125
45x
2
y + 75x = 6y
2
8.

−x
2
y + 2xy
2
+ 3y
3

− 4(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) − 1 = 3xy −(x + y)
2
9.

x
2
− 2xy + x + y = 0
x
4
− 4x
2
y + 3x
2
+ y
2
= 0
10.

2x
3
− 9y
3
= (x − y)(2xy + 3)
x
2

− xy + y
2
= 3
11.

x
3
+ y
3
= 1
x
5
+ y
5
= x
2
+ y
2
12.

x
3
+ y
3
= 1
x
3
+ y
4
= x

4
+ y
3
13.

x
2
+ y
2
= 1
(2x
2
− 1)(2x
3
+ y
3
) = (2y
2
− 1)(2y
3
+ x
3
)
14.

x
4
+ 2x
3
y + x

2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 5
3.3.2. Sử dụng phép đặt ẫn phụ:
Giải các hệ sau:
1.





x +
1
x
+ y +
1
y
= 5
x
2
+

1
x
2
+ y
2
+
1
y
2
= 9
2.

x + y + x
2
+ y
2
= 8
xy(x + 1)(y + 1) = 16
3.

(x
2
+ x + 1)(y
2
+ y + 1) = 3
(1 − x)(1 − y) = 6
4.

(x
3

+ x
2
+ x + 1)(y
3
+ y
2
+ y + 1) = 60
x + xy + y = 5
5.





x + y +
x
y
+
y
x
= 4
x + y +
x
2
y
+
y
2
x
= 4

6.





8(x
2
+ y
2
) + 4xy +
5
(x + y)
2
= 13
2x +
1
x + y
= 1
7.





x
2
+ y + x
3
y + xy

2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
8.



x
2
+ y
2
+
x
2
y
2
= 9
xy
3
+ 4y
2
= x

2
+ xy
9.





3(x
2
+ y
2
) +
1
(x − y)
2
= 2(10 − xy)
2x +
1
x − y
= 5
10.

8x
3
y
3
+ 27 = 18y
3
4x

2
y + 6x = y
2
11.



x(x + 1) +
1
y

1
y
+ 1

= 4
x
3
y
3
+ x
2
y
2
+ xy + 1 = 4y
3
12.






(x + y)(1 +
1
xy
) = 5
(x
2
+ y
2
)(1 +
1
x
2
y
2
) = 49
3.3.3. Sử dụng phương pháp hàm số
Giải các hệ sau
1.

(17 − 3x)
√
5 − x + (3y −14)
√
4 − y = 0
2
√
2x + y + 5 + 3
√

3x + 2y + 11 = x
2
+ 6x + 13
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 6
2.

3
√
x −
3
√
y = y −x
√
1 − x
2
+ y = 2y
√
2 − 2x
2
3.

x
5
+ xy
4
= y

10
+ y
6
√
4x + 5 +

y
2
+ 8 = 6
4.

x
2
=
√
y −1 + 2x − 1
y
2
=
√
x − 1 + 2y −1
4. Tích phân và ứng dụng: (Bổ sung sau)
5. Hình học không gian tổng hợp:
1. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B

là
trung điểm của SB, C

là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SAC.
(a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

(b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB

C

)
(c) Tính thể tích khối chóp S.A

B

C

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60
0
. Tính
tang của góc hợp bởi giữa hai mặt (SAB) và (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
3. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích hình lập phương có
một mặt thuộc mặt đáy của hình chóp còn mặt đối diện có các đỉnh nằm trên cạnh của hình chóp.
4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA ⊥ (ABCD), SB = a. Góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α.
(a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α.
(b) Tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD và H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt đáy
phẳng (ABCD) và SH = a
√
3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM và SC theo a.
6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A

B


C

có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A

BC) và (ABC)
bằng 60
0
. Gọi G là trọng tâm của tam giác A

BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a, hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) thuộc cạnh AC, AC = 4AH. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a.
8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A

B

C

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA

= 2a, A

C =
3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A

C


, I là giao điểm của AM và A

C. Tính theo a thể tích
khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
9. Cho lăng trụ ABC.A

B

C

có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
a, AC = a
√
3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A

trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh
BC.
(a) Tính theo a thể tích của khối trụ, và thể tích khối chóp A

.ABC, A

.BCC

B

(b) Tính khoảng cách từ B

đến mặt phẳng A

ACC


.
(c) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA

, B

C

Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 7
(d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B

C

.
10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A

B

C

có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Xét hình trụ nội
tiếp trong lăng trụ này, nghĩa là hình trụ có hai đường tròn đáy, mỗi đường tròn nằm trên mặt đáy
của lăng và tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy.
(a) Tính thể tích khối hình trụ nội tiếp đó.
(b) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng A


I cắt hình trụ nói trên theo một đoạn thẳng. Tính
độ dài đoạn thẳng này.
6. Bất đẳng thức, cực trị của hàm nhiều biến:
6.1. Sử dụng bất đẳng thức cô-si:
1. Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
(x + y)
3
xy
2
2. Cho x ∈ [0; 3], y ∈ [0; 4]là số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = (3 − x)(4 − y)(2x + 3y)
3. Cho x, y, z là số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
3
√
a + b +
3
√
b + c +
3
√
c + a
4. Cho x, y, z là số thực không âm thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = 6x
2
+ 6y
2
+ 2z

2
5. Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2x + 3y +
6
x
+
10
y
6. Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
1
x
2
+ y
2
+
1
xy
+ 4xy
7. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
1
x
2
+ y
2
+ z
2
+

1
xy
+
1
yz
+
1
zx
8. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x

x
2
+
1
yz

+ y

y
2
+
1
zx

+ z

z
2
+

1
xy

(Đại học khối B, năm 2007)
9. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P =
3

2x + y +
3

2y + z +
3
√
2z + x
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 8
10. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = 10x
2
+ 10y
2
+ z
2
11. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
a

1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + a
2
12. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
a
2
a + 2b
2
+
b
2
b + 2c
2
+
c
2
c + 2a
2
13. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
a
2

a + 2b
3
+
b
2
b + 2c
3
+
c
2
c + 2a
3
14. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
a
2
b
2
+ 1
+
b
2
c
2
+ 1
+
c
2
a
2

+ 1
15. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
a
2
b
2
+ a
+
b
2
c
2
+ b
+
c
2
a
2
+ c
6.2. Sử dụng bất đẳng thức bunhicốpski
1. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =

a
2
+
1
b

2
+

b
2
+
1
c
2
+

c
2
+
1
a
2
2. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ 2y
2
+ z
2
3. Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 36x
2
+ 16y
2
= 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

P = y −2x + 5
4. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =

a
2
+
1
a
2
+

b +
1
b
2
+

c +
1
c
2
5. Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 3x − 4y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3x
2
+ 4y
2
6. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x
2

+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x + 3y + 5z
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 9
7. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤
4
3
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
P = x + y + z
8. Cho a, b, c là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ y
2
+ z
2
9. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2

= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
1
xy + 2
+
1
xy + 2
+
1
yz + 2
+
1
zx + 2
10. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x

xy + y
2
+
y

yz + z
2
+
z
√
zx + x
2

11. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
12. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn
√
ab +
√
bc +
√
ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức
P =
a
2
a + b
+
b
2
b + c
+
c
2
c + a
6.3. Sử dụng hàm số
1. Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = a
4
+ b
4
+ c
4
− 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) − 6
2. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức
P =
a
1 + bc
+
b
1 + ca
+
c
1 + ab
3. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
1
a
+
1
b
+
1
c
−

1
a + b
+
1
b + c
+
1

c + a

4. Cho a, b, c ≥ −
3
4
là các số thực thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
a
a
2
+ 1
+
b
b
2
+ 1
+
c
c
2
+ 1
5. Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
(b + c − a)
2
(b + c)
2
+ a
2

+
(c + a − b)
2
(c + a)
2
+ b
2
+
(a + b − c)
2
(a + b)
2
+ c
2
6. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
a
(b + c)
2
+
b
(c + a)
2
+
c
(a + b)
2
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A

T
E
X 10
7. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
P =
1
1 − ab
+
1
1 − bc
+
1
1 − ca
8. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
2x + 3y
+
y
y + z
+
z
z + x

9. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P = 4

a
3
b
3
+
b
3
a
3

− 9

a
2
b
2
+
b
2
a
2


10. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c
2
11. Cho các số thực a.b thay đổi và thỏa mãn (a + b)
3
+ 4ab ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3(a
4
+ b
4
+ a
2

b
2
) − 2(a
2
+ b
2
) + 1
12. Cho các số thực không âm a.b thay đổi và thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P = (4a
2
+ 3b)(4b
2
+ 3a) + 25ab
13. Cho hai số thực a.b thay đổi và thỏa mãn a
2
+ b
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P =
2(a
2
+ 6ab)
1 + 2ab + 2b
2
14. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2
+ b
2

+ c
2
= 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = a
3
+ b
3
+ c
3
− 3abc
15. Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn a + b + c ≤
3
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

a
2
+
1
b
2
+

b
2
+
1
c

2
+

c
2
+
1
a
2
16. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤
3
2
. Chứng minh rằng
x + y + z + 4

1
x
+
1
y
+
1
z

≥
51
2
17. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤
3
2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x + y + z +
1
xyz
18. Cho x, y là các số thực khác 0 thay đổi và thỏa mãn (x + y)xy = x
2
+ y
2
− xy. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
P =
1
x
3
+
1
y
3
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 11
19. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y + 1 = 3xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
3x
y(x + 1)
+
3y
x(y + 1)

−
1
x
2
−
1
y
2
20. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy = 3(x + y + z). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P = x + y + z +
20
√
x + z
+
20
√
y + 2
7. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
1. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh B(2; 5) và hai đường cao có phương trình
2x + 3y + 7 = 0 và x − 11y + 3 = 0.
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 5), B(5; 1). Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cách B một
khoảng bằng 3.
3. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x −3y + 2 = 0, các đường cao xuất phát từ đỉnh A, đỉnh

B lần lượt có phương trình (d
1
) : 4x −3y + 1 = 0, (d
2
) : 7x + 2y −22 = 0. Lập phương trình các cạnh
còn lại và đường cao thứ ba.
4. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4; −1), đường cao và đường trung tuyến
kẻ từ đỉnh A có phương trình lần lượt là (d
1
) : 2x − 3y + 12 = 0, (d
2
) : 2x + 3y = 0.
5. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(4; −1), hai đường trung tuyến có phương
trình lần lượt là x −2y + 1 = 0 và y − 1 = 0.
6. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy là 5x−2y+6 = 0; 4x+7y−21 = 0.
Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.
7. Cho tam giác ABC biết A(2; −1) và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình lần lượt
là x −2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
8. Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC là 4x − y + 3 = 0 và hai đường phân giác trong của
góc B, C có phương trình lần lượt là x − 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh AB, AC.
9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(−4; 1), phân giác trong góc A có
phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng
24 và đỉnh A có hoành độ dương.
10. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x −2y −3 = 0 và 6x −y − 4 = 0. Viết phương
trình đường thẳng AC.
11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
(d) : x + y −5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
12. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và

đường cao kẻ từ đỉnh B lần lượt là 5x + y − 9 = 0 và x + 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ điểm A và B.
13. Tam giác ABC có diện tích S =
3
2
, hai đỉnh A(3; −2), B(2; −3). Trọng tâm của tam giác ở trên đường
thẳng 3x −y − 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
14. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; −1), đường cao kẻ từ đình A và phân giác
trong kẻ từ đỉnh C lần lượt có phương trình là 3x − 4y + 27 = 0 và x + 2y −5 = 0.
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 12
15. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên (d). Viết phương trình đường thẳng (d) biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
16. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng (d
1
) : x −2y − 3 = 0 và (d
2
) : x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ
điểm M thuộc (d
1
) sao cho khoảng cách từ M đến (d
2
) bằng
1
√
2
.
17. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 1). Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và đểm C trên trục

hoành sao cho tam giác ABC đều.
18. Cho điểm M (2; 1) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x −4y = 0. Lập phương trình đường thẳng (d) qua
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
−−→
MA = −3
−−→
MB.
19. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 25 và đường tròn (T ) : x
2
+ (y − 8)
2
= 9. Một
đường thẳng (d) cắt (C) tại A và B; cắt (T ) tại C và D thoả mãn AB = BC = CD. Viết phương
trình đường thẳng (d).
20. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) : x + y −4 = 0, hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm trên (d)
điểm M sao cho tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất.
21. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (4; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) lần lượt cắt hai tia
Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho:
(a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
(b) OA + OB nhỏ nhất
(c)
1

OA
2
+
1
OB
2
nhỏ nhất.
22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm
của các cạnh AB và AC có phương trình x + y −4 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh của tam giác đó.
23. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm H(3; −1), tâm đường tròn ngoại
tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
24. Cho tam giác ABC cân tại A(−1; 4) và B, C thuộc đường thẳng (d) : x − y −4 = 0. Xác định tọa độ
các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến, phân giác trong,
đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C lần lượt là :AM : 7x − 5y = 0, BD : x −2y −30 = 0, CK :
x − y + 16 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 4x + 2y − 1 = 0 và hai điểm A(4; 0) B(3;3). Xét
một điểm M thuộc ∆. Trên tia OM lấy điểm N sao cho OM.ON = 1. Tìm tọa độ điểm N sao cho
tam giác N AB có diện tích lớn nhất.
27. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông
góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường phân giác trong góc A có phương trình
x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y −1 = 0.
28. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; 7), B(4; −3), C(−4; 1). Hãy viết phương trình đường tròn
(C) nội tiếp tam giác ABC.
29. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C
1
) : (x −10)
2
+ y

2
= 25. Viết phương trình đường tròn (C
2
)
tâm K(5;1) biết đường tròn (C
2
) cắt (C
1
) tại hai điểm M, N sao cho MN =
√
5.
30. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d
1
) :
√
3x + y = 0 và (d
2
) :
√
3 − y = 0. Gọi (T ) là
đường tròn tiếp xúc với (d
1
) tại A, cắt (d
2
) tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại.
Viết phương trình đường tròn (T ), biết diện tích tam giác ABC bằng
√
3
2
và A có hoành độ dương.

Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 13
31. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)
2
+ y
2
=
4
5
và hai đường thẳng (d
1
) : x − y = 0,
(d
2
) : x − 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn (C), biết (C
1
) tiếp xúc với
(d
1
), (d
2
) và tâm K thuộc (C).
32. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
−6x−4y+8 = 0 và đường thẳng (d) : 2x−y+6 = 0.

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến (d) có giá trị nhỏ nhất.
33. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(−1; 0) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−8x −4y −16 = 0. Viết phương
trình đường thẳng (d) qua E và cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
34. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
+ 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng (d) :
x + my −2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để (d) cắt (C) tại
hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
35. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 6x + 2y − 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng (d) : 3x − 22y − 6 = 0, sao cho từ M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, M B (A, B là
các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua C(0; 1).
36. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C
1
) : (x −1)
2
+ y
2
=
1
2

, (C
2
) : (x −2)
2
+ (y −2)
2
= 4. Viết
phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C
1
) và cắt (C
2
) tại hai điểm M, N sao cho MN = 2
√
2.
37. Cho (E) :
x
2
9
+
y
2
5
= 1. Tìm M ∈ (E) sao cho:
(a) Bán kính qua tiêu điểm này gấp đôi bán kính qua tiêu điểm kia ứng với M ∈ (E).
(b) M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 60
0
.
(c) M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 90
0
.

38. Cho A(3; 0). Tìm B, C trên elip (E) :
x
2
9
+
y
2
3
= 1 sao cho B, C đối xứng qua Ox đồng thời thỏa mãn
tam giác ABC đều.
39. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 và điểm M(1; 1). Lập phương trình đường
thẳng (d) qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
−−→
MA +
−−→
MB =

0.
40. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;
√
3) và elip (E) :
x
2
3
+
y

2
2
= 1. Gọi F
1
, F
2
là các tiêu điểm của
(E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (E); N là điểm
đối xứng của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
8. Phương pháp tọa độ trong không gian:
1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng (d) :
x − 1
2
=
y
1
=
z −2
2
(a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) :

x −y + z −1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q) sao khoảng cách từ O
đến (R) bằng 2.
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1).
(a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua ba điểm A, B, C.
(b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q) : 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = M B = MC.
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 14
4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; −2; −2) và mặt phẳng (P ) : x −y −z +1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P ) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục
Oy, Oz lần lượt tại M, N phân biệt sao cho OM = ON .
5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x − 2y + 2z − 1 = 0
và hai điểm A(3; 1; 0), B(2; 0; −2). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và B sao cho thiết diện
của (P ) với khối cấu (S) là một hình tròn có diện tích bằng π.
6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
a
1
=
y + 8
−1
=
z −3

3
và mặt phẳng
(P ) đi qua ba điểm A(7; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 7). Hãy viết phương trình đường thẳng (d

) là hình
chiếu của (d) lên (P ).
7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hãy lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M (3; 2; 1) và
cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC là nhỏ nhất.
8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
x − 1
2
=
y
1
=
z + 2
−1
và mặt phẳng
(P ) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của (d) với (P ), M là điểm thuộc (d). Tính khoảng cách từ
M đến (P ), biết MC =
√
6.
9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), (0; 0; c), trong đó b, c
dương và mặt phẳng (P ) : y −z + 1 = 0. Xác định b, c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P ) và
khoảng cách từ điểm O đến (ABC) bằng
1
3
.
10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu
(S) : x

2
+ y
2
+ z
2
− 2x − 4y −6z −11 = 0. Chứng minh rằng (P ) cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 0; −3), B(2; 0; −1), C(2; −2; −3). Tìm
tọa độ điểm M cách đều ba điểm A, B, C và khoảng cách từ M đến (ABC) =
4
√
3
.
12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A

(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
(a) Tính khoảng cách giữa A

C và M N .
(b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A


C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α, biết cos α =
1
√
6
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y + 2z −3 = 0 và
mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
(a) Viết phương trình mặt (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
(b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn nhất.
14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) :
x − 1
3
=
y + 2
−1
=
z + 1
2
,
(d
2
) :


x + y −z − 2 = 0
x + 3y −12 = 0
.
(a) Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa (d
1
)
và (d
2
).
(b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt (d
1
), (d
2
) lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB.
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 15
15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) :
x
2
=
y −1

−1
=
z + 2
1
, (d
2
) :





x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = 3
và mặt phẳng (P ) : 7x + y −4z = 0.
(a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P ) và cắt (d
1
), (d
2
).
16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :






x = 1 + t
y = 2 + t
z = 1 + 2t
và M(2; 1; 4). Tìm
tọa độ điểm H thuộc (d) sao cho độ dài đoạn MH nhỏ nhất.
17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) :





x = 2 + t
y = 1 − t
z = 2t
, (d
2
) :

x + 2z −2 = 0
y −z + 1 = 0
.
Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
), (d
2
).

18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
x − 1
2
=
y −2
1
=
z
1
và hai điểm
A(1; 1; 0), B(2; 1; 1). Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua A, (∆) ⊥ (d) sao cho khoảng cách từ
B đến đường thẳng (∆) là lớn nhất.
19. Trong kg với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 2), (P ) : 2x−y−z+3 = 0, (d) :
x − 3
2
=
y −2
4
=
z −6
1
.
Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua A, cắt (P ) tại C, cắt (d) tại B sao cho AB = AC.
20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + 2z + 6 = 0 và hai đường
thẳng (d
1
) :






x = 2 + t
y = −1 + 2t
z = −3
, (d
2
) :





x = 5 + 9u
y = 10 − 2u
z = 1 − u
. Lập phương trình đường thẳng (∆) cắt (d
1
) tại
A, cắt (d
2
) tại B sao cho đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ (∆) đến
(P ) bằng
3
√
6
.
21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(−1; 3; −2), B(−9; 4; 9) và mặt phẳng (P ) : 2x −y +
z + 1 = 0. Tìm M thuộc (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 0), B(3; −1; 4) và đường thẳng (d) có phương

trình
x + 1
1
=
y −1
−1
=
z + 2
2
. Tìm M ∈ (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng (d) có phương trình
x + 2
2
=
y −2
3
=
z + 3
2
. Tính khoảng cách từ A đến (d). Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt (d)
tại hai điểm B, C sao cho BC = 8.
24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (d) :
x
2
=
y −1
1
=
z
2

. Xác định tọa độ của M trên
trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến (d) bằng OM.
25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1;1; 0) và mặt phẳng
(P ) : x + y + z −20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc AB sao cho (CD) song song (P ).
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 16
26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d
1
) :





x = 1 + t
y = −1 − t
z = 2
, (d
2
) :





x = 3 −u
y = 1 + 2u

z = u
.
Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :

2x + 4y −z − 7 = 0
4x + 5y + z − 14 = 0
, các mặt
phẳng (P ) : x + 2y −2z −2 = 0, (Q) : x + 2y −2z + 4 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm
trên (d) và tiếp xúc với (P ) và (Q).
28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng (d)

5x − 4y + 3z + 20 = 0
3x − 4y + z − 8 = 0
.
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho AB = 10.
29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)
2
+ (y + 2)
2
+ z
2
= 11 và hai
đường thẳng (d
1
) :

x
1
=
y + 1
1
=
z −1
2
, (d
2
) :
x + 1
1
=
y
2
=
z
1
. Lập phương trình mặt phẳng song với
(d
1
), (d
2
) và tiếp xúc với (S). Lập phương trình đường thẳng qua tâm (S) và cắt (d
1
), (d
2
).
30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :

x − 1
2
=
y + 1
1
=
z −1
2
. Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 3) và cắt (d) tại A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
9. Số phức:
1. Cho z là số phức. Đặt ω = z
2
− 2z + 5 là một số phức. Tìm phần thực và phần ảo của ω. Xác định
tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z để ω là số thực.
2. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z
2
:
(a) là số ảo
(b) là số thực âm
(c) là số thực dương
(d) có môđun bằng 1.
3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn (2 −z)(i + ¯z) là
số thực.
4. Cho số phức z thỏa mãn ¯z =
(1 −
√
3i)
3
1 − i

. Tìm môđun của số phức ¯z + iz.
5. Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức |z
1
|
2
+ |z
2
|
2
.
6. Cho phương trình z
2
− mz −6i = 0 (m là tham số)
(a) Giải phương trình khi m = 4i
√
2.
(b) Tìm m để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5.
7. Gọi z
1
,z
2
là hai nghiệm phức của phương trình:z
2
− (m + 4i)z −1 + 7i = 0.Tìm số phức m sao cho

z
1
z
2
+
z
2
z
1
=
3 + i
2
.
8. Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình 2z
2
−(1−2i)z+3+5i = 0. Tính P = z
3
1
+z
3
2
, Q =
1
z
4
1

+
1
z
4
2
.
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 17
9. Tìm số phức z thỏa mãn |z −(2 + i)| =
√
10 và z.¯z = 25.
10. Tìm số phức z thỏa mãn |z| và z
2
là số thuần ảo.
11. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z −i| = |(1 + i)z|.
12. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
(a) |z −1 + 2i| = 4.
(b) |z + i −2| ≤ 3.
(c)
2z + 1
z −1
là số ảo với z = 1.
13. Tìm phần ảo của số phức z, biết ¯z = (
√
2 + i)
2
(1 −

√
2i)
14. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 − i)
2012
15. Tìm số phức z thỏa mãn z.¯z + z
2
− (z −2¯z) = 10 + 3i.
16. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện




z −1
z −i




= 1 và




z −3i
2 + i




= 1.

17. Giải phương sau trên tập hợp các số phức:
4z −3 −7i
z −i
= z −2i.
18. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện (z − 2)(z + i) là số thực. Hãy tìm số phức z để biểu
thức P = |z + 2i| + |z + 1| đạt giá trị nhỏ nhất.
19. Tìm số phức z có môđun bằng 1 sao cho |z −3 + 2i| nhỏ nhất.
20. Xét các số phức z thỏa mãn: |z − 3i + 4| = 1. Tìm z sao cho P =


z
2
+ 7 − 24i


đạt giá trị nhỏ nhất
21. Tìm số phức z sao cho |z −(3 + 4i)| =
√
5 và biểu thức P = |z + 2|
2
− |z −i|
2
đạt giá trị lớn nhất.
22. Cho z là số phức thay đổi và thoả mãn: |z + 1 −i| = 1. Tìm z để
P = |z −1 −2i|
2
+ |z − 5 + 4i|
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
23. Tìm số phức z có phần thực lớn nhất, biết z thỏa mãn: |z|+ 100





z −2 −4i
z + 3 + 4i




= 15.
24. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
− z
2
| = |z
2
| và |z
1
+ z
2
| =
√
3 |z
1
|, (z

1
, z
2
= 0). Tính
A =

z
1
4
+ z
2
4


1
z
1
+
1
z
2

4
25. Tìm các số phức z
1
, z
2
(z
1
, z

2
= 0). Biết z
1
+
1
z
2
= 1 + 2i và z
2
+
1
z
1
=
1
2
−
3
2
i.
10. Tổ hợp, xác suất thống kê: (Bổ sung sau)
11. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit: (Bổ sung sau)
Tài liệu được soạn thảo bằng L
A
T
E
X 18