Tuyển tập một số đề thi HSG cấp huyện

Phòng GD&ĐT diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Trờng THCS diễn kim Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán
Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 1: Thực hiện phép tính:
a)
012151617
222 222
.
b)
)12) (12)(12)(12.(3
64842
++++
.
Câu 2:
a) Cho ba số dơng
cba ;;
thoả mãn điều kiện
2
1
=cba
.
Chứng minh rằng:
16)2).(2).(2( +++ cba
.
b) Cho hai số
yx,
thoả mãn điều kiện:
1=+ yx
.

Chứng minh rằng:
2
1
33
++ xyyx
.
c) Chứng minh rằng:
Nếu
6=++ zyx
thì
)3)(2)(1.(3)3()2()1(
333
+++=+++++ zyxzyx
.
Câu 3: Giải phơng trình:
a)
0158148
234
=++ xxxx
.
b)
12)2)(1(
22
=++ xxxx
.
Câu 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
xyzyxzxzyzyx 4)()()(
222
+++++

.
b)
))(())(())(( badcabcadbaccbdabc ++++
.
Câu 5: Cho góc vuông xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 4cm. Trên tia đối
của tia Ox lấy điểm B sao cho OB = 2cm. Đờng trung trực của AB cắt AB ở H, M
là một điểm trên đờng trung trực đó. Các tia AM, MB cắt Oy lần lợt ở C và D.
Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là trung điểm của đoạn BD.
a) Chứng minh rằng : Các tam giác MAB, BFO, OEA đồng dạng. Tính tỷ số đồng dạng
trong mỗi trờng hợp.
b) Tứ giác OEMF là hình gì ? Vì sao?
c) EF cắt AB ở P. Tính
PA
PO
.
d) Cho HM = 3 cm . Tính diện tích tứ giác OEMF.
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Huyện thanh chơng Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bi 1: (1,0 im). Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
1
a) x
2
x 12; b) x
2
+ 2xy + 4y 4;

Bi 2: (2,5 im). Cho biu thc: P =
4 2
2 3
4 1 1 1 ( 1) (1 )
( )
1 1 1 1
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + +
+ ì
+
a. Tỡm x P xỏc nh.
b. Rỳt gn P.
c. Tỡm giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn?
Bi 3: (2,5 im).
a) Cho a thc
( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + +
. Tỡm s d trong phộp chia a thc
Q
cho a thc
2
12 32x x+ +
.
b) Chng minh bt ng thc:
1 1 4
a b a b
+
+
. Vi
;a b

l cỏc s dng.
p dng bt ng thc trờn tỡm giỏ tr nh nht ca
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
.
vi
;x y
dng v
1x y
+ =
.
Bi 4: (2,5 im). ABCD l hỡnh ch nht cú AB //CD, AB = 2CB. T A k ng thng
vuụng gúc vi ng chộo BD ti H. Trờn HB ly im K sao cho HK = HA. T K k
ng thng song song vi AH ct AB ti E.
a) Chng minh E l trung im AB.
b) Ly M trung im DE, tia AM ct DB ti N, ct DC ti P.Tớnh t s din tớch tam
giỏc AND vi din tam giỏc PMD?
Cõu 5:(1,5 im). Cho trc gúc xOy; t s
m
n
v mt im P nm trong gúc xOy. Dng
ng thng i qua P ct cỏc cnh Ox, Oy ln lt ti C v D sao cho:
PC m
PD n
=
. (Ch

trỡnh by cỏch dng v chng minh).
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Huyện diễn châu Năm học 2009 2010
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B i 1 :(4 điểm). Cho biu thc M =








+

+






+
+

+

2
10
2:
2
1
36
6
4
2
3
2
x
x
x
xx
xx
x
.
a) Rỳt gn M.
b) Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
2
B i 2 :(3 điểm). Cho biu thc: A =
222222
4)( cbacb +
.
a) Phõn

tớch biu thc A thnh nhõn t.
b) Chng minh rằng: Nu

cba ,,
l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0.
B i 3 :(3 điểm).
a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau:
A =
2014422
22
++ yxyyx
.
b) Cho cỏc s
zyx ,,
tha món ng thi các điều kiện:
1=++ zyx
;
1
222
=++ zyx
và
1
333
=++ zyx
.
Tớnh tng: S =
201120102009
zyx ++
.
Bài 4:(3 điểm).
a) Giải phơng trình:
18
1

4213
1
3011
1
209
1
222
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
.
b) Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
)1(4)1(
2
+=++ yyxxx
.
B i 5 :(7 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Tính tổng:
CF
HF
BE
HE
AD
HD
++
.
b) Chứng minh:

2
BCCFCHBEBH =+
.
c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d) Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN. Chứng minh
rằng: Đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài
Nội dung
Điểm
1 a






+
+

+

2
1
36
6
4

3
2
xx
xx
x
=






+
+


+ 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
=
2( 2) ( 2)
( 2)( 2)
x x x
x x
+ +

+
=
6
( 2)( 2)x x

+








+

+
2
10
2
2
x
x
x
=
2
( 2)( 2) (10 )
2
x x x
x

+ +
+
=
6
2x +

M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+
x
xx
=
x2
1
0,5
0,5
0,5
0,5
3
b
+ Nếu x

2 thì M

0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x

2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt
GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN,
Mà (2 x) là số nguyên dơng

2 x = 1

x = 1.
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
2 a A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2
- a

2
- 2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+ 2bc)
=
2 2
( )b c a



2 2
( )b c a

+

= (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a)
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0
Vy A< 0
0,5
0,5
0,5

3 a
A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y + 4 + 2010 = (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010
Do (x-y)
2


0 ; (y - 2)
2


0
Nờn:(x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010

2010
Du ''='' xảy ra

x y = 0 v y 2 = 0

x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0
Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1

z = 1, lại kt hp vi
/k: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1

x = y = 0.
Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1,
Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1.
0,5
0,5
0,5
4
a
Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ:
{ }
4; 5; 6; 7x
)
1 1 1
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x
+ +
+ + + + + +
=
1
18


(
1 1
4 5x x

+ +
) + (
1 1
5 6x x

+ +
) + (
1 1
6 7x x

+ +
) =
1
18

1 1
4 7x x

+ +
=
1
18


(x + 4)(x +7) = 54

(x + 13)(x 2) = 0

x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S =
{ }
13;2
0,5
0,5

0,5
0,5
b
+ Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x
2
+ 1) = (2y + 1)
2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x
2
+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x
2
+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)



2
1
1
x d
x d
+


+

M
M

2

2
1
1
x x d
x d
x d

+

+


+

M
M
M

1
1
x d
x d
+




M
M

2
dM
mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x
2
+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x
2
+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2 2
2
1
1
x k
x t

+ =


+ =




(k + x)(k x) = 1

1
0
k

x
=


=

hoặc
1
0
k
x
=


=

+ Với x = 0 thì (2y + 1)
2
= 1

y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =
{ }
(0;0),(0; 1)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
5

O
K
I
N
M
E
H
F
A
D
B
C
0,5
a
Trớc hết chứng minh:
HD
AD
=
( )
( )
S HBC
S ABC
Tơng tự có:
( )
( )
HE S HCA
BE S ABC
=
;
( )

( )
HF S HAB
CF S ABC
=
Nên
HD HE HF
AD BE CF
+ +
=
( ) ( ) ( )
( )
S HBC S HCA S HAB
S ABC
+ +



HD HE HF
AD BE CF
+ +
= 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Trớc hêt chứng minh

BDH
:

BEC


BH.BE = BD.BC
Và

CDH
:

CFB

CH.CF = CD.CB.


BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC
2
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Trớc hết chứng minh:

AEF
:

ABC

ã
ã
AEF ABC=
Và

CDE
:

CAB


ã
ã
CED CBA=




ã
ã
AEF CED=
mà EB

AC nên EB là phân giác của góc DEF.
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5
0,5
0,5

d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có

OMH =

ONC (c.c.c)


ã
ã
OHM OCN=
.(1)
Mặt khác ta cũng có

OCH cân tại O nên:
ã
ã
OHC OCH=
.(2)
Từ (1) và (2) ta có:
ã
ã
OHC OHB=

HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên
O là điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
0,25
0,25
O,25

0,25
Chú ý:
+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm.
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung
của bài đó.
5
Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trờng THCS Diễn thọ Năm học 2009 2010 (vòng 1)
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu I (3 điểm). Cho biểu thức: A =
)1(
2
:
1
1
1
241
1
12
2
3
2
2
2
+

+

++
+
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
b) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên.
Câu II:(2 điểm). Cho
abba 522
22
=+
và
0

>>
ab
.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba

+
.
Câu III:(2 điểm). Cho x, y là 2 số thỏa mãn điều kiện:
4
1
2
2
22
=++
x
yx
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q =
yx.
.
Câu IV: (3 điểm). Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đờng chéo BD. Kẻ
ME

AB, MF

AD.
a) Chứng minh DE = CF và DE

CF.
b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất ?
6
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trờng THCS Diễn đồng Năm học 2008 2009 (vòng 2)
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu I: (2,5 điểm). Cho biểu thức A =
3
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x

x
x
x
x










+





+
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để A dơng.
c) Tính giá trị của A trong trờng hợp
47 =x
.
Câu II:(2 điểm).
a) Cho
10787
22

=++ yxyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P =
22
yx +
.
b) Giải phơng trình:
0)83()75()34(
333
=+++ xxx
.
Câu III: (2 điểm). Trong một cái giỏ đựng một số quả táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa
số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra
3
1
số táo còn lại và lấy thêm 4 quả. Cuối cùng
trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi lúc đầu trong giỏ có bao nhiêu quả táo?
Câu IV:(3,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AF, BD và CE là các đờng cao cắt
nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) HD.HB = HE.HC.
b)

HDE

HCB.
c) BH.BD + CH.CE = BC
2
d) H là giao điểm ba đờng phân giác trong của

DEF.
======= Hết ======

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
7