Tuyển tập một số Đề Thi HSG cấp Huyện (có đáp án)

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu1. Chứng minh rằng nếu ba số a , a + k , a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k
chia hết cho 6.
Câu2. Cho biểu thức A =









+
+











1

2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
223 +=x
.
c) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0.
Câu 3. Cho
0
++
cba
. Chứng minh rằng:
.0
3
333

++

cba
cbaabc
Câu4. a) Giải phơng trình sau:
1)3(13
22

++=++ xxxx
.
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:





=+
=+++
622
36432
222
2222
dba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2222
dcba +++
.
Câu5. Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến. Đờng
thẳng a đi qua S cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa S và N, a không đi qua O). Gọi I là
trung điểm của MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt nhau tại E.
a) Chứng minh OI. OE = R
2
.
b) Cho SO = 2R; MN= R
3
. Hãy tính số đo góc NSO.
c) Với SO = 2R; MN = R

3
. Tính diện tích tam giác ESM .
======= Hết ======
L u ý: Học sinh bảng A làm cả 5 câu;
Học sinh bảng B không phải làm câu 4b
Học sinh bảng C không phải làm câu 4b và Câu5c
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
đáp án và biểu điểm
1
Câu Nội dung
Bảng
A
Bảng
B
Bảng
C
Câu1
3đ
Do a; a + k; a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số
lẽ và không chia hết cho 3.
+ Vì a và a+k đều lẽ nên (a+k) - a = k

2 (1)
+ Vì a; a+k; a+ 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho
3 thì ít nhất có hai số có cùng số d, khi đó
* Nếu a và a+k có cùng số d thì (a+k) - a = k

3
*Nếu a và a+ 2k có cùng số d thì (a+2k) - a = 2k

3
nhng (2;3) = 1 nên k

3
* Nếu a+k và a+2k có cùng số d thì (a+2k) - (a+k) =k

3
Vậy ta có k

3 (2)
từ (1) và (2) và do (2;3) = 1 ta suy ra k

6 (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
Câu2
4đ
a) ĐK x > 0 và x

1
A =
( ) ( )( )








+
+
+

11
2
1
1
:
1
1
1 xxxxxx
x
=
( ) ( )( )
11
21
:
1
1.
+
+


xx
x
xx
xx
=
( ) ( )( )
11
1
:
1

1
+
+


xx
x
xx
x
=
( ) ( )
1
1
:
1
1


xxx
x
=
( )
( )
1
1
.
1
1

x
xx
x
=
x
x 1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b) x= 3+2
2
= ( 1 +
2
)
2
=>
x
= 1+
2
=> A =

( )
2
21
212
21
1223
=
+
+
=
+
+

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
c) A < 0 < =>
x
x 1
< 0
< => x- 1 < 0 x<1

x
> 0 < => x>0

0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
Câu3
3đ
Ta có: 3abc - a
3
- b
3
- c
3
= - (a +b)
3
- c
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+3abc
= - [(a+b) + c][(a+b)
2
- ( a+b)c + c
2
] + 3ab(a+b+c)
= - (a+b+c)(a
2
+b
2

+c
2
- ab - bc - ac)
= -
( )
acbcabcba
cba
222222
2
222
++
++
= -
( ) ( ) ( )
( )
222
2
accbba
cba
++
++
Do đó
( ) ( ) ( )
0
2
3
222
333

++

=
++

accbba
cba
cbaabc

(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
Câu4
4đ
a) (3đ) x
2

+ 3x +1 = ( x+3)
1
2
+
x
< => x
2
+ 3x +1 - ( x+3)
1
2
+
x
= 0
< => (
1
2
+
x
)
2
- x.
1
2
+
x
+ 3x - 3
1
2
+
x

= 0
< =>
1
2
+
x
(
1
2
+
x
- x ) - 3(
1
2
+
x
- x) = 0
< => (
1
2
+
x
- x)(
1
2
+
x
- 3) = 0
< =>
1

2
+
x
- x = 0 < =>
1
2
+
x
= x

1
2
+
x
- 3 = 0
1
2
+
x
= 3
< => x
2
+1 = x
2
( vô nghiệm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
2
H
I
N
M
E
O
S
B
A
Phòng GD & ĐT yên thành kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2006 2007
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 1: Cho biểu thức: A =

+






+
+
xxx
1
1.
1
1
1
1
a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để
AA >
.
Bài 2 : Giải các phơng trình sau:
a)
11 =+ xx

b)
21212 =++ xxxx
c)
5634224 ++=+++ zyxzyx

Bài 3:
a) Cho 2 số không âm a và b.
Chứng minh rằng:
ab
ba

+
2
, dấu =xảy ra khi nào?

b) Tìm cặp số x, y sao cho:
xyxyyx =+ 11
.
c) Cho 0 < a, b, c < 2.
Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 b) > 1; b(2 c) > 1; c(2 a) > 1
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu
của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm.
a) Tính độ dài đoạn DE .
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: AH
3
= BC.BD.CE.
Bài 5: Cho n số a
1
; a
2
; ; a
n
, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng (1)

và a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ + a
n
a
1
= 0. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao?
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9
Bài Nội dung Điểm
1
(1,5đ)
Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm
a)TXĐ =
{
1;0/ > xxRx
}

0.5
3
A=
x
x

x
xx 1
.
1
11 +

++
=
1
2
)1)(1(
)1(2
)1(
)1(2

=
+
+
=

+
xxx
x
xx
xx
b)
10)1( <>> AAAAA
(Điều kiện:A

0

101 >> xx
)

93121
1
2
><<<

xxx
x
(Thỏa mãn)
Vậy với x>9 thì
AA >
0.5
0.25
0.25
2
(3đ)
Câu a:1 điểm. Câu b: 1 điểm. Câu c: 1điểm
a)
11 =+ xx
Điều kiện:x
1

2
)1(1 =+ xx

0)1( = xx

0
=
x
(loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn)
b)
21212 =++ xxxx

22
)11()11( ++ xx
=2

1111 ++ xx
=2
Điều kiện x
1
Nhận xét:
=++ 1111 xx

1111 ++ xx
2

Dấu bằng xẩy ra khi
)11 +x
.(1-
)1x

0

2-x

0


x

2
Vậy nghiệm của phơng trình là:1
2

x
0) x+y+z+4 = 2
56342 ++ zyx
Điều Kiện :x
5;3;2 zy

[ ] [ ] [ ]
095.6)5(43.4)3(122)2( =+++++ zzyyxx

2
)12( x
+
0)35()23(
22
=+ zy

=
=
=

035
023
012
z
y
x





=
=
=

14
7
3
z
y
x
Là nghiệm
0.25
0.5

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
3
(2đ)
Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm
a) vì a và b không âm nên tồn tại
a
và
b
Ta có
0)(
2
ba
02 + abba
abba 2+
ab
ba

+

2
Dấu = xảy ra khi a=b
0.25
0.25

4
3
(2,0đ)
b) Điều kiện : x

1 ; y

1

2
1
22
11
)1(11
xy
xy
xx
xx =
+
=
(1)
Tơng tự
2
1
2
1
xy
yx
y
y

(2)
Từ (1) và (2) ta có : x
xyxyy + 11

Dấu "="xảy ra




=
=
11
11
y
x





=
=
2
2
y
x
c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với
nhau ta đợc:
a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)
Ta lại có a(2 - a) = 2a - a

2
= 1 - (1-a)
2


1
Tơng tự b(2 - b)

1
c(2 - c)

1
Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0
Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)

1 Mâu thuẫn với (1)
Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai.
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
4
(2,5đ)
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

DE = AH
Tam giác ABC vuông ở A, có AH

BC, nên AH
2
=BH.CH=4.9=36


AH=6(cm) Vậy DE=6cm.
b) Ta có AH
2
=AD.AB ; AH
2
=AE.AC


AD.AB=AE.AC
c) Ta có AH
2
=BH.CH


AH
4
=BH
2
CH
2
=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE


AH

3
=BC.BD.CE
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
5
(1đ)
Vì a
j
= + 1 nên a
i
a
j
= + 1
Do đó tổng n số hạng a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ + a
n
a
1
mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1.

Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn.
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1.
Tích của n số hạng đó (a
1
a
2
)(a
2
a
3
) (a
n
a
1
) = (a
1
a
2
a
n
)
2
= 1
Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p
Vậy n = 2k = 4 p.
Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006.
0.5
0.25
0.25
Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 (Vòng 2)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
A
B
C
D
E
H
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chử số
abc
sao cho:





=
=
2
2
)2(
1
ncba
nabc
.
Bài 2: Tìm các nghiệm của phơng trình

0
2
=++ qpxx
. Biết rằng chúng là số nguyên
và
10=+ qp
.

Bài 3: Giải phơng trình:
3)1071)(25(
2
=+++++ xxxx

Bài 4: a) Cho a, b, c

N
*
. Chứng minh rằng:
21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba

a
b) Cho hai số x, y thoả mãn hệ thức
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nữa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nữa đờng tròn (O)
sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R
3
.
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi I là giao điểm của AN với BM, K là giao điểm của AM với BN. Chứng minh M, N,
I, K cùng thuộc một đờng tròn. Tính bán kính đờng tròn đó.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhng vẩn
thoả mãn giả thiết bài toán.
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Phòng GD & ĐT nghi lộc kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 1: Chứng minh rằng: A =

2130
3921 +
chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)
5168143 =++++ xxxx
.
6
b)





+=
=+
))((
2
20102010
22
yxxyyx
yx

Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:





=++

=++
1
1
333
222
cba
cba

Bài 4: Cho
1
22
=+ yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)2)(2( yx
.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, nội tiếp đờng tròn tâm O đờng
kính BC. Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2
là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N .
a) Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
b) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K.
so sánh IK và BC.
c) Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
h ớng dẫn chấm toán lớp 9.
Bài 1 (3,0 đ): A= 21
30
+ 39
21

= 3
30
. 7
30
+ 3
21
. 13
21
0,5 đ
A= 3
21
( 3
9
.7
30
+ 13
21
)
Kết luận đợc A chia hết cho 9 (1) 0,5 đ
A= 21
30
+ 39
21
= (21
30
-1) + (39
21
+ 1) 0,5 đ
A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ
A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 0,5 đ

Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45. 0,5 đ
Bài 2: a, Nhận xét : =
(3.0 đ) =
2
3)-1(

x
Vậy tìm đợc ĐK là: x 1
0,75 đ
0,5 đ
HS biến đổi đợc: +
2
3)-1( x
= 5
+2+ = 5 0,5 đ
+ Nếu x 10, ta có : +2+-3=5 x=10 (thoả mãn)
0,5 đ
+ Nếu 1 x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 10
0,75 đ
7
b, Điều kiện x,y 0
(2,0 đ) Từ
2yx
22
=+
(x,y)

(0,0) x
2010

+y
2010
> 0
0,5 đ
Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm)
0,5 đ
0,5 đ
Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2.
Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ
Bài 3 (2,0 đ): Ta có
1
222
=++ cba
nên
1;1;1 cba
0,5 đ
Ta có :
0)()(
333222
=++++ cbacba
=>
0)1()1()1(
222
=++ ccbbaa
0,5 đ
Vì
0)1(;0)1(;0)1(
222
ccbbaa

=>
0)1()1()1(
222
=== ccbbaa
0,5 đ
Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a
2
=b
2
=c
2
=1.
HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0. 0,5 đ
Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy
(3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy
2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ
2S = x
2
+ y
2
+ 4 - 4x 4y + 2xy +3
2S =(x+y-2)
2
+ 3
S =
2
3 2)-y(x
2
++
0,25 đ

Vậy S
max
(x+y-2)
2
đạt max và S
min
(x+y-2)
2
đạt min
0,25 đ
Ta có (x-y)
2
0 với mọi x,y 2xy x
2
+y
2
(x+y)
2
2(x
2
+y
2
)=2
- x+y
0,5 đ
- -2 x+y-2 -2 < 0
0,5 đ
S = =
Vậy S
Max

= Đẳng thức xảy ra x=y= -
0,5 đ
S
2
249
2
34242
2
3)22(
2

=
++
=
+

Vậy S
Min
= Đẳng thức xảy ra x=y=
0,5 đ


8
Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc :
AM.AB = AH
2
(0,75 đ)
AN.AC = AH
2
(0,75 đ)

AM.AB = AN.AC (0,5 đ)
b) Kết luận đợc

IMH cân tại I (0,5 đ)
Kết luận đợc : MI=BI=IH . (0,75 đ)
IH=1/2 BH. (0,25 đ)
Tơng tự kết luận đợc:
HK =1/2 HC. (1,5 đ)
IK = 1/2 BC. (0,5 đ)

C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S.
Kết luận đợc

OAC =

OCA


ONA =

OAN


OAC+

ONA=

OCA+

OAN =90

0
0,5 đ
Rút ra đợc: MN

AO (1)
0,25 đ
OO là đờng nối tâm của (O) và (O) nên OO

AG hay OO

AS
0,5 đ
Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO là đờng cao => O là trực tâm của
tam giác . 0,25 đ
=> SO

AO (2) kết hợp với (1) => SO và MN cùng vuông góc với AO
0,25 đ
Và có chung điểm O => đờng thẳng SO trùng đờng thẳng MN =>
S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ
9
(3,0 đ)