Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ

ChU:Clng 3
~

A

~

~

~

CA C THU.;. T TOAN AN HOA

DDONGCONGvA M~ T THAMso HUU TV
Trang chu'dng nay, chung Wi trlnh bay cac thu~t toan ffn hoa du'ong cong
va m~t tham so' huu ty du'qc xiiy dl1ng tu cac cd sa ly thuye't trong Chu'dng 2.
NQi dung cua Chu'dng 3 gall:

.

M1)c 3.1 trlnh bay thu~t toan ffn hoa vdi phu'dng phap ke't thuc.

.

M1)c 3.2 trlnh bay thu~t toan ffn hoa vdi phu'dng phap cd sa Grobner.

.

M1)c 3.3 trlnh bay thu~t toan ffn hoa vdi phu'dng phap syzygy.

. M1)c 3.4 trlnh bay cac daub gia ly thuye't va thl1c nghi~m Hnh hi~u qua cua

cac thu~t toan ffnboa.
3.1 ThmH toaD ftn hoa v8i ke't thuc
Chung ta bie't ding ke't thuc cua n phu'dng trlnh thu~n nha't n bie'n luau
tan t<;1i[25]. Trong khi cac bi€u di~n tham so' hoa Ia cac da thuc khang thu~n
nha't. Do do d€ ap d1)ng phu'dng phap ke't thuc chung ta c~n phai thu~n nha't hoa

cac da thuc.
M~nh d~ 3.1. Cho f(xl,...,xn)

E

k[Xl,...,XnJ fa da thac btJc d.

d

(1)

f

=

~ h fa khai triin

thanh t6ng cae thanh phdn thudn nha't, trong do

i=O

btJc

i. Khi do

d

F(xo,"',

xn)

=

~
h(xp ..., xn)xg-i
i=O

h co


24

fa da thae thuan nhdt bqe d trong k[xo"",xn]' F dliC/egQi fa df!ng thuan
nhdt hoa eila f.
(2)

Thuan nhdt hoa eila f co thi dliC/etinh biJi eong thae

F =

xd0

.EL

f[ Xo

,..., Xn .
Xo

]

Chung minh: xem [9, tr. 365].
Voi d~ng thalli s6 (1.1) khi m

=

n -1,

ap dl;lng Binh ly 2.4 ta c6 thu~t

toan sail d~ Hm phuong trlnh £n b~ng k€t thuc.
Thu~t toaD 3.1. An h6a thalli s6 h6a hUll ty voi k€t thuc [10].

= 1,...,n.

Nhqp:

Cac da thuc 9i,hi E k[~,...,tn-l] vdi i

Xudt:

Phuong trlnh £n F(xl""'xn) = O.

Elide 1:

N€u n = 2 ta c6 bi~u di~n thalli s6 cua duong cong phiing va
phuong trlnh £n la F(Xl' X2) = Res(91 -

Xl~' 92 - X2~'

t) = 0, voi

Res la k€t thuc Sylvester. NguQcl~i sang Elide 2.
Elide 2:

Thuffn nhfft h6a cac c~p 9i' hi E k[~, ..., tn-I] thanh Gi, Hi E k[to,
..., tn-I] cling b~c.

Elide 3:

Thi€t l~p h<$cae da thuc G1- xIHl,...,Gn - xnHn'

Elide 4:

Xem Xl"",Xn nhuIa cac h<$s6 cua cac da thuc trong Elide 3 va
phuong trlnh £n la Res(G1 - xIHw", Gn - xnHJ = 0, voi Res

Ia k€t thuc nhi6u bi€n Macaulay.
Nhljn xet: Phuong phap k€t thuc se thfft b~i khi cac phuong trlnh 91 = ... = 9n=

~ = ... =

hn

= 0 c6 nghi<$mchung tuong ling vdi truong hQp duong cong va m~t

25

thalli s6 co cae diem cd sa. Vi khi do ke't thuc se trit%ttieu ba't cha'p gia tri cua
cae Xl""'Xn, Trong truong hphap cd sd Grabner ho~c j.L-cdsa.
Vi dl! 3.1: Cho duong cong thalli s6
2t2 + 4t + 5

x-

-

t2 + 2t + 3 '
3e + t + 4
Y = t2 + 2t + 3 .
Ta thie't 1<%
P ht%hai da thuc sau

(2 - x)e + (4 - 2x)t + 5 - 3x,
(3-y)t2

+(1-2y)t+4-3y.

Ke't thuc Sylvester cua hai da thuc tren theo t Ia 50X2-175x + y2 - 6y + 159.
V~y phudng trlnh ~n la f(x, y) = 50X2 -175x + y2 - 6y + 159.
Vi dl! 3.2: Cho m~t thalli s6

x=-

st + 1
t2
S

y=f'

i

Z=2't
Sau khi thu~n nha't hoa ta thie't l<%pht%ba da thuc theo cae bie'n s, t va u nhu
sau
U2

+ st - xt2,

US - ye,
S2 - zt2.

Do m~t thalli s6 nay khong co diem cd sd nen ke't thuc Macaulay cua ba da thuc


26

tren la X2Z2- 2xy2z + y4 - Z3 va phudng trlnh cfnla f(x, y, z)
-z

3

= X2Z2 - 2xy2z + y4

.

Vi dl! 3.3: Cho m~t tham s6

x=
y=
z=

s2t - t2

s2t + t2 - t '
S3

+ st2

- S

it + e S

2

t + st -

t'
2
t - t

s2t + t2 - t

Sau khi thu~n nha't hoa ta thi€t l~p h~ da thuc sau

xu2t - (x + l)ue - (x -l)it,
-U2S - yut2 - yue + S3 - ys2t + st2,
(z -1)u2t - ust - (z + 1)ut2 - (z -l)it.

Do m~t tham s6 co cae di~m cd sd (0,0), (-1,0) va (1,0) nen k€t thuc Macaulay
cua ba da thuc tren b~ng O.V~y chung ta khong th~ xac dinh ducua m~t.
3.2 Thu~t toaD dn hoa voi cd sO'Grobner
Tli Dinh ly 2.12 ta co thu~t taan xac dinh cae phudng trlnh cfncua d,;lllg
tham s6 (1.1) b~ng cd sd Grabner.
Thu~t toaD 3.2. An hoa tham s6 hoa huu ty b~ng cd sd Grabner [9].

Nhqp:

Cae da thuc 9i,hi E k[~,...,tn-l] vdi i

Xua't:

Phudng trlnh cfn F(xl,...,xn) =

BzMc 1:

Xtiy dlfng ideal J
=hh
I'1"'2 ...h n.

= (~Xl

-

= 1,...,n.

O.

91'..., hnxn - 9n' 1- yh), trang do h


27

Bude 2:

TIm co sa Grabner G cua ideal J ling voi thli tv kha d6i voi
cac bie'n saD cha y > ~ >... > tn-I> Xl >... > Xn'

Bude 3:

H = G n k[XI,...,xn1la t~p hQp cac da thlic cua biSu di€n fin
cua d(;tng tham sO'(1.1).

Vi dl!-3.4: Voi m~ t tham sO'trang Vi d\l 3.2, ta xa y dvng ideal

J= (-st+ex-1,-s+ey,-i

+ez,-ut6 +1)

va tinh duQCco sa Grabner cua J la
G = (X2Z2 - 2xy2z + y4 - Z3,tyz - xz + y2, ty3 - X2Z + xy2 + Z2
2

2

2

2 2

2

2 2

2

tx z - txy - tz - yz, t Y - z, t xy - tz - y, t X - t z - ty - X,

ey - t2x + 1,s - t2y,U+ ty - z).
Ta co phuong trlnh fin la f(x, y, z) =

X2Z2

- 2xy2z + y4 - Z3.

Vi dl!-3.5: Voi d(;tng tham sO'co diem co sa trang Vi d\l 3.3, ta tinh co sa Grabner
cha ideal

J = (S2tx -

s2t

+ t2x+ t2 -

s2tz - s2t - st

tx, -S3

+ t2 Z + t2 -

tz

+ ity

-

se + s + t2y- ty,

+ t, -us2t - ue + ut + 1)

thea thli tv tu diSn u> s > t > X > y > z Ia G g6m 19 da thlic va ta tlm duQc
phuong trlnh fin cua m~t Ia f(x, y, z)

=

SX5 - 5x4y -12x4z

- 4x3y2 + lOx3yz + 19x3

y - 2X3Z2- 22x3Z + 2X3 + 4x2y2z + 4x2y2 + x2yz2 - 46x2yz+ 2x2y+ llx2z3 + 47x2
Z2 -12x2z + 2X2 + 4xy2z2 -12xy2z + 4xy2 -lOxyz3

+ 3Sxyz2 - Sxyz - xy - 6XZ4-

32xZ3+ 14xz2 + 4xz - 2x - 4y2z3 + Sy2z2- 4y2z + 4yz4 -lOyz3 + 5yz2 + y + Z5+
7 Z4 - 5z3 - 5Z2 + 3z - 1.

3.3 Thu~t tmin ~n boa voi modun syzygy


28

Cac Dinh ly 2.23, 2.26 va 2.27 da chung

to r~ng phudng trlnh ffn cua

duong cong va m~t thalli s6 huu ty co the duqc xac dinh tu mQt cd sd d~c bi~t
cua m6dun syzygy - f.1-cdsd - cua duong cong va m~t thalli s6.
3.3.1 An hoa dtiong cong tham s6 hii'n ty ph~ng
Voi tinh ch1t cua f.1-cdsa cua duong cong thalli s6 huu ty ph~ng (1.2)
duqc trlnh bay trong Dinh ly 2.23 ta co thu~t roan xac dinh phudng trlnh tln cho
d~ng thalli s6 (1.2) b~ng f.1-cdsa.
A>

Thn~it tmin 3.3. An hoa duong cong thalli s6 huu ty ph~ng voi f.1-cdsa [11].
Nhqp:

Cac da thuc a,b,c E k[t].

Xudt:

Phudng trlnh tln F(x, y)

Rude 1:

Xac dinh f.1-cdsd cua duong cong thalli s6 huu ty xac dinh bdi

=

O.

a,b,c. Gia sa do la hai da thuc p, q E k[x,y, t].
Rude 2:

Phudng trlnh tln la F(x, y) = Res(p, q,i), voi Res la ke't thuc
Sylvester.

Vi dl! 3.6: Xet duong cong thalli s6 trong Vi dl;13.1, ta xac dinh duqc f.1-cdsa cua
duong cong thalli s6 la
p = (-5t - 15)x - ty + 13t + 25,
q = (-5t - 5)x + y + lOt + 7.
Ke't thuc Sylvester cua hai da thuc p, q la -50X2 + 175x - y2 + 6y -159. V~y
phudng trlnh tln cua duong cong la f(x, y)
A>

3.3.2 An hoa mijt tham s6 hii'n ty

= -50X2

+ 175x - y2 + 6y -159.


29

Voi tinh cha't cua f.-L-cosd cua m~t thalli s6 hfi'u fy (1.3) duQc trlnh bay

trong cac Dinh 19 2.26 va 2.27 ta co thu~t toan xac dinh phuong trlnh £n cho
d<;lngthalli s6 (1.3) b~ng f.-L-co
sd.
-:!

Thu~t toaD 3.4. An hoa m~t thalli s6 hfi'uty voi f.-L-co
sd [1].
NhtJp:

Cac da th\tc a,b,c,d E k[8,t].

Xudt:

Phuong trlnh £n F(x, y, z)

BlIde 1:

Tinh b~c £n cua m~t thalli s6 hfi'uty (1.3) va d~t la l.

BlIde 2:

Tim f.-L-cosd p, q,r cua m~t thalli s6 hfi'u ty xac dinh bdi

= O.

a, b,c, d va tinh da th\tc g(8) nhu trong Dinh 19 2.23. D~t J :=

(p,q,r) .
BlIde 3:

Tinh co sd Grobner G cua ideal J \tng voi th\t tv khii' d6i voi

cac bie'n sao cho t > 8 > X > y > z. D~t F(x,y,z):= Gn JR[x,
y,z]. Ne'u deg(F)

=l

thi chuyen qua BlIde 6. NguQc l<;li,d~t

J:= (p,q,r)nJR[X,y,z,8].
BlIde 4:

Tinh co sd Grobner H cua ideal thuong J: 9 \tng voi thv tv
khii' d6i voi cac bie'n sao cho 8> X > y > z. D~t J := (H).

BlIde 5:

D~t F(x, y, z) := H

n JR[x,y, z]. Ne'u

deg(F)

=l

thi chuyen qua

BlIde 6. NguQc l<;li,quay l<;liBlIde 4.
BlIde 6:

Phuong trlnh £n la F(x, y, z)

= O.

Vi dlJ 3.7: Voi m~t thalli s6 trong Vi d\l 3.2, ta xac dinh duQc b~c £n cua m~t la 4

va f.-L-cosd la


30

p = (-S2t + S)x - y +
q

=

S3,

sy - Z,

r = -t2x

+ st + 1.

Cd sa Grabner cua (p, q,r) Ia
/

2

2

2

~

G = \ sy - z, t x - ts - 1,sx - tz - y, tyz + y - xz,ty - txz + sz,
t2y-s,ez-i,txz2

+y3 -xyz-sz2,y4

_2xy2Z+X2Z2 _Z3).

Trang do da thlic y4 - 2xy2z + X2Z2- Z3 co b~c b~ng b~c ~n. V~y phlidng trlnh ~n
Ia j(x,y,z)

= y4 _2xy2Z+X2Z2

_Z3.

Vi d~ 3.8: Voi m~t tham s6 co diem cd sa trong Vi dl;13.3, ta co b~c ~n cua m~t la 5
va j1-cd sa la
p = (-3s3 +4s)x +2ty + (2s3 -S2 -2S)Z+S3

-i

-2st,

q = (-2S2 -s+2)x +(2i -l)z-s+l,
r = (-2st + s - 3t + l)x + (2st - s + 2t -l)z - t + 1.
Cd sa Grabner cua (p, q,r) g~m 13 da thlic va cae diem cd sa cua m~t Ia giao dffy
du dia phlidng nen phlidng trlnh ~n cua m~t Ia mQt da thlic trang cd sa Grabner va
chinh Ia j(x,y,z) = 8X5_5x4y-4x3y2
+4xy2z2 + llx2z3 -10xyz3

-12x4z+10x3yz+4x2y2z-2x3z2

+X2yz2

- 4y2z3 - 6XZ4+ 4yz4 + Z5 + 19x3y + 4x2y2 - 22x3Z-

46x2yz -12xy2 z + 47 X2Z2 + 38xyz2 + 8y2 Z2 - 32xZ3 -10yz3

+ 7Z4 + 2X3+ 2x2y +

4xy2 -12x2z - 8xyz - 4y2z + 14xz2 + 5yz2 - 5Z3+ 2X2- xy + 4xz - 5Z2- 2x + y
+3z - 1.
3.4 Danh gia cae phlidng phap d'n hoa


31

Danh gia cac phu'ong phap ffn hoa phl,l thuQc rit nhi€u VaGcac thu~t toan
chinh sa dl,lng trong phu'ong pharo Ml,lc nay chung toi se trinh bay mQt s6 ke't
qua v€ dQ phuc t<;tpHnh toan cua cac thu~t toan Hm ke't thuc, co so Grobner va
f-L-coso dS lam co so so sanh v€ mtren. D6ng thai chung Wi cling du'a ra mQt s6 ke't qua tht;(c nghi~m thong qua
vi~c so sanh thai gian tht;(c hi~n cua cac thu~t toan nay.

3.4.1 Dc}phuc t~p cua cae thu~t toaD
Tru'oc tien chung ta xem xet dQ phuc t<;tpcua Thu~t toan 3.1. DQ ph~

t<;tp

cua thu~t toan nay phl,l thuQc VaG vi~c Hnh ke't thuc hai da thuc honhi€u da thuc. Ke't thuc hai da thuc du'<;1CHnh b~ng dinh thuc cua ma tr~n
Sylvester va ke't thuc nhi€u da thuc du'<;1cHnh b~ng thu'ong cua hai dinh thuc
trong do ta thuc la dinh thuc cua ma tr~n Macaulay va m~u thuc la mQt dinh
thuc con cua ma tr~n nay [4, 5, 6]. DQ phuc t<;tPHnh toan ke't thuc g6m dQ phuc
t<;tpdS xay dt;(ng ma tr~n biSu di~n ke't thuc va dQ phuc t<;tpdS Hnh dinh thuc cua

ma tr~n ke't thuc. Voi hai da thuc mQt bie'n co b~c m va n thl kich thu'oc cua ma
tr~n Sylvester la m + n. TITDinh nghia 2.1 ta thiy dQ phuc t<;tpxay dt;(ngma
tr~nSylvesterla

O((m+n)2). Voi n dathucthu~nnhit

n bie'nb~c d1,...,dn thl

d+ n - 1
ma tr~n Macaulay co kich thu'oc la

[

n -1

] '

n

voi d

= 1+

8 (di -1).

Gia sa

d+ n- 1
khong xet de'n thai gian xay dt;(ng t~p h<;1p

[

n -1

]

don thuc n bie'n b~c d va

dQ phuc t<;tpcua cac ph6p Hnh tren da thuc thl dQ phuc t<;tpdS xay dt;(ng ma tr~n


32

Macaulay

Iii

0

~~)rdi:].

[ i~

StY dl,mg pht:tdug

phap

khtY Gauss

diuh thac

cii'p s

duqc tinh voi dQ phuc t(;lp13.0(83). V~y trong truang hqp xa'u nha't dQ phuc t(;lp
tinh ket thuc hai da thuc mQt bien b~c m va n b~ng ma tr~n Sylvester la
O((m + n)2 + (m + n)3) va tinh ket thuc n da\.thuc thuffn nha't n bien b~c
d1,...,d" b~ng ma tr~n Macaulay la O (d + n -1)!2 + (d + n -1)!3
[

(n-l)!2d!2

(n-l)!3d!3'

]

DQ phuc t(;lp cua Thu~t toan 3.2 phl;1thuQc chu yeu vao thai gian tinh co
sa Grobner a Buoc 2 cua thu~t toan. Co kha nhieu phuong phap duqc dua ra cho

bai toan xac dinh co sa Grobner cho cac ideal da thuc, nhung ta'tca dell duqc cai
tien d1;la tren thu~t toan Buchberger [9]. Do do co the xem thu~t toan
Buchberger la thu~t toan duy nha't cho den nay dung de giai quyet bai toan co
sa Grobner. Danh gia dQ phuc t(;lpcua qua trinh xac dinh co sa Grobner cho mQt
ideal da thuc la kh6ng don gall, phai tinh den cac buoc th1;lchi~n cac phep toan
va dQ phuc t(;lptrong bieu di~n cua cac da thuc trong cac buoc tinh toan trung
gian va ket qua nh~n duqc. Do do, de don gian ta d1;latren b~c caD nha't cua cac
da thuc trong co sa Grobner. Voi ideal g6m m da thuc n bien co b~c t6i da la d
thl gioi h(;ln dQ phuc t(;lP cho tinh toan co sa Grobner trong truang hqp xa'u nha't
la 22o(n)neu h~ cac phuong trinh la thuffn nha't va co nhieu nghi~m thl dQ phuc
t(;lp se la mO(l)dO(n)[17]. V~y dQ phuc t(;lp cua Thu~t toan 3.2 trong truang hqp

xa'u nha't la mQt ham hai Iffn mil.
DQ phuc t(;lp cua Thu~t toan 3.3 phl;1 thuQc vao vi~c tinh p'-co sa cua
duang cong tham so' hUll ty

a RUde 1. Sa dl;1ngThu~t toan C.!

trong Phl;11l;1c
C de


33

xac dinh JL-cdsa ta c6 dQ phuc t~p trong tru'ang hQp trung binh la O(n2). V~y dQ
phuc t~p cua Thu~t toan 3.3 la O(n2 + n3).
Danh gia dQ phuc t~p cua Thu~t t~an 3.4 la kh6ng d~ th1,ichi<$n.Ta tha'y
dQ phuc t~p cua thu~t toan nay ph1,1thuQc vao vi<$cxac dinh JL-cd so cua m~t

tham so' hUll ty a BUde 2 va cac cd sa Grobner a BUde 3 va 4. Ne'u sa dl;1ng
Thu~t toan C.2 trong Ph1,1l1,1cC d€ tim JL-cdsa a BUde 2, ta c6 dQ phuc t~p la

. V~y
mQt ham da thuc va dQ phuc t~p cua thu~t toan tim cd sa Grobner la 22o(n)
dQ phuc t~p cua Thu~t toan 3.4 cung la mQt ham hai l~n mu. Nhu'ng chu

y dug

Thu~t toan 3.4 chi giai quye't cho tru'ang hQp m~t tham so' hUll ty, nghia la khi so
vdi Thu~t toan 3.2 sa d1,1ngphu'dng phap cd sa Grobner ta tha'y ne'u dung Thu~t
toan 3.2 d€ tim phu'dng trlnh cho m~t tham so' hUll ty ta phai Hnh cd sa Grobner
cua ideal gdm 4 da thuc va 6 bie'n. Trong khi d6 ne'u dung Thu~t toan 3.4 ta chi

xac dinh cd sa Grobner cua ideal gdm 3 da thuc va 5 bie'n.
3.4.2 Ke't qua danh gia thtfc nghi~m
D€ daub gia th1,icnghi<$m tinh hi<$uqua cua cac thu~ t toan gn h6a, chung
t6i dfi sa d1,1ngph~n m€m Hnh toan d~i so' Singular d€ cai d~t cac Thu~t toan gn

h6a 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 va cac thu~t toan trong cac ph~n ph1,1l1,1c
A, B, C. Trong d6
chung t6i c6 sa d1,1ngthu t1,1Cdu'Qcxay d1,ingsan trong Singular d€ tinh cd sa
Grobner cho ideal da thuc. Cac m~u tha nghi<$mla 16 m~t hUll ty trong Ph1,1lQc
D. Ta't ca cac Hnh toan du'Qcth1,ichi<$ntren may tinh ca nhan vdi bQ xii'ly Intel
Duo Core 1,66GHz va dung lu'Qng bQ nhd la 2GB. Chung t6i so sanh thai gian


34

ch~y cua cac thu~t toan ~n hoa theo ddn vi rnili gHiy. Ngoai ra, cac thu~t toan ~n

hoa con duQc so sanh dva tren thli tv khii'.
Chung toi sa dvng phudng pha p tinh cd sd Grabner dva tren thu~t toan
Buchberger dS so sanh cac thu~hoan va duQCke't qua sail.
Mi;it

Thu

t

toan 3.1

Thut
toan 3.2

Thut
?

j.L-cdso

toan 3.4

Cd sd Grobner
cua j.L-cdsd

Kha
thua s6

T6ng
thai gian

SI

125

12

55

0

55

S3

x

11

96

1

97

S4

-

-

1177

118

1395

S6

-

24739

609

870

1479

S7

-

-

97

32

129

S9

-

-

154

36

190

Bang 3.1 Thai gian chc;lYcua cac thu~t toan an h6a sit dl;tng thu~t toan
Buchberger di am cel sa Grobner.
Chung ta bie't r~ng hi~u qua tinh toan cd sd Grabner chill tac dQng vao thli
tv ddn thlic sa dvng va thli tv cho hi~u qua t6t nM(t 13.thli tv tu diSn phan b~c

nguQc. us cai thi~n hi~u qua tinh toan chung ta co thS sa dvng cac thu~t toan
tinh cd sd Grobner thong qua vi~c chuySn d6i cd sd giua cac thli tv ddn thlic.
Trang qua trlnh danh gia thvc nghi~rn chung toi cling sa dvng phudng phap nay
dS so sanh thai gian ch~y cua cac thu~t toan ~n boa. Cv thS, khi tinh toan cd sd
Grabner chung toi ap dvng cac thu~t toan chuySn d6i cd sd Grobner tu thli tv tu
diSn phan b~c nguQc sang thli tv tu diSn. Bang 3.2 cho ke't qua so sanh cac thu~t
toan ~n hoa ling vdi phudng phap nay.


35

Mt

Thu t
roan 3.2

Thut
f-L-cosd

roan 3.4

Co sd Grobner
?

?

cu a f-L-coso

Kha

thua sa

T6ng
thai gian

SI

32

47

16

63

S2

47

94

16

110

S3

47

94

47

141

S4

2219

1125

156

1281

S6

891

562

16

578

S7

156

94

47

141

S9

234

141

46

187

S13

245953

3078

922

4070

Bang 3.2 Thai gian chc;IYcila cac thuqt taan tin hoa sa d1;lngphl1dng phap chuytn

cd sa dt tlm cd sa Grabner.
Trong thvc nghi~m, khi §n hoa cac m~t da: cho b~ng Thu~t roan 3.1 ta
nh~n tha'y dug Hnh hi~u qua cua thu~t roan la ra't tha'p, do la bdi VItrong h~u
h€t cac truang hQp kich thuoc cua ma tr~n k€t thuc Ion nen vi~c Hnh roan dinh
thuc cua ma tr~n ra't ch~m.
Ta bi€t n€u sa dvng thu tv tu di€n phan b~c nguQc voi Thu~t roan 3.2 thl
phudng trlnh §n cua d~ng thalli sa se khong xua't hi~n trong cd sd Grobner. Tuy
nhien, co mQt di@udang ng~c nhien la khi sa dvng thu tv nay voi Thu~t roan 3.4
thl trong kha nhi~u truang hQp phudng trlnh §n xua't hi~n trong cd sd Grobner
cua f-L-cosd. D~c bi~t, voi thu tv tu di€n phan b~c nguQc thl thai gian Hnh roan


36

co sa Grabner eua J.L-eosa la elfe ky nho. Bang 3.3 minh hQa eho cae tru'ang h<;1p
nay.

Thut

Mt
?

J.L-eoso

roan 3.4

Co sa Grabner
?

?

eu a J.L-eoso

Khli'
thua sf)

T6ng
thai gian

Sl

93

0

93

S5

31516

22391

53907

S6

547

0

547

S8

19734

19438

39172

S9

156

0

156

S10

2687

53890

56577

Sl1

2781

53922

56703

S12

2688

54078

56766

S13

3078

0

3078

S14

373895

8655469

9029364

S15

359080

9487119

9846199

S16

385779

11658411

12044190

Bang 3.3 KIt qua Thu(jt loan 3.4 vdi thTi t1;lta diln phan b(jc.