Đề thi thử Quốc gia lần 1 năm 2015 môn Toán trường THPT Nghi Sơn, Thanh Hóa

TRƯỜNG THPT NGHI SƠN - THANH HÓA ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
T
Ổ: TỰ NHIÊN I MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 ( 4
điểm) Cho hàm số:
3 2
2 3 1 ( )y x x C= − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 2 ( 2 điểm) Giải phương trình sau :
( )
2
cos2x cos x 2tan x 1 2+ − =

Câu 3 ( 2 điểm) Giải bất phương trình sau:
2
1
2
2log (2 1) log (3 1) 3x x− + + ≤ .
Câu 4 ( 2 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển nhị thức
10
2
3
1
3x

x
 
−
 
 
.
Câu 5 ( 2
điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, Góc
0
120DAB∠ =

.Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC).
Câu 6( 2 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) lần lượt
có phương trình là
1 2 1
( ) ,( ) 2 2 0
1 2 1
x y z
d P x y z
− + −
= = + + + =
−
. Tìm A là giao điểm của (d) và (P), viết
phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d ) trên mặt phẳng (P).
Câu 7 ( 2
điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa trung

tuy
ến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình
3 5 8 0,x y+ − = 4 0x y− − =
. Đường thẳng qua A
vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
(4; 2)D −
. Viết phương trình
các đường thẳng AB,AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
Câu 8 ( 2
điểm) Giải hệ phương trình sau:
3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4
3 1 3 14 8 6 4
y y y x x
x x x y y

+ + + = + +


+ + − − = − −


.
Câu 9 ( 2 điểm) Cho
1
1; , 1
4
x y z
≤ ≤ ≥

sao cho
1
xyz
=
. Tìm gía tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:

1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +
.
…………………… Hết……………………….
Ghi chú: - Thí sinh không s
ử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:………………………
TR

ƯỜNG THPT NGHI SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm
1
a
Giám kh
ảo tự làm đáp án
2
b
2 2
1 3 3
' 6 6 6( )
2 2 2
y x x x= − = − − ≥ −

Ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc Min b
ằ
ng
3
2
−
khi

1 1
2 2
x y= ⇒ =

Pttt :
3 1 1 3 5
2 2 2 2 4
y x x
 
= − − + = − +
 
 


1


0.5


0.5
2
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
( )
2
cos2x cosx 2tan x 1 2+ − =

(1)


2

Điều kiện :
cos 0x ≠

(1)
2
2sin
cos2 cos 2
cos
x
x x
x
⇔ + − =

2
2
2
2sin
cos 2 cos2 1 2sin
cos
1
2sin 1 1 cos
cos
x
x x x
x

x x
x
⇔ − = − = +
 
⇔ − = +
 
 

2
2(1 cos )(1 cos ) (1 cos ) cos
x x x x
⇔ − − = +


( )
2
1 cos 2(1 cos ) cos 0x x x
 
⇔ + − − =
 

2
cos 1
cos 1
1
cos
2cos 5cos 2 0
2
2
3

x
x
x
x x
x k
x k
π π
π
π
= −

= −


⇔ ⇔


=
− + =


= +


⇔

= ± +


0.25


0.25



0.25

0.25



0.5



0.5
3
Giải phương bất phương trình sau:
2
1
2
2log (2 1) log (3 1) 3x x− + + ≤ .
2

Đ
K
1
2

x >

2
2
1
2
2
2
2log (2 1) log (3 1) 3
log (2 1) log (3 1) 3
x x
x x
⇔ − + + ≤
⇔ − − + ≤


2
2 2
(2 1) (2 1)
log 3 0 8
3 1 3 1
x x
x x
− −
⇔ ≤ ⇔ < ≤
+ +

0.25

0.25



0.5


2
1
2
4 28 7
0
3 1
x
x x
x

>


⇔

− −

≤

+


1 7 2 14
;
2 2
x
 
+
⇔ ∈
 
 
 


0.5

0.5
4
Tìm hệ số chứa
6
x
trong khai triển nhị thức
10
2
3
1
3x
x
 
−
 
 

.

2

Ta có
( )
10 10
10
2 2
10
3 3
0
1 1
3 3
k
k
k
x C x
x x
−
   
− = −
   
   
∑

( )
( ) ( )
10
1

(10 ) 2
2
3
1 10 10
3
1
3 3
k
k
k k k
k k
k
T C x C x
x
−
− − +
+
 
= − = −
 
 

Số hạng chứa
6
x
khi
1
(10 ) 2 6 4
3
k k k− − + = ⇔ =

H
ệ số cần tìm bằng
4 4
10
3C



0.5



0.5


0.5

0.5
5
Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,
0
120DAB∠ =

.Hai m
ặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt
đáy bằng
0
60
. Tính thể tich khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC).

HS tự vẽ hình
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAC ABCD
SBD ABCD SO ABCD SO BC
SAC SBD SO
⊥


⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥


∩ =


K
ẻ
( )
0
( ) ( ),( ) 60OK BC BC SOK SBC ABCD SKO⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ∠ =

2
3
2
2
ABCD ABC

a
S S= =

3
.
3 3 3
( )
4 4 8
S ABCD
a a a
OK SO V dvtt= ⇒ = ⇒ =

( ) ( ,( )) 2 ( ,( ))AO SBC C d A SBC d O SBC∩ = ⇒ =


2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ,( ))
1 1 1 3
8
3
( ,( ))
4
SBC SOK
SBC SOK SK OH SBC d O SBC OH
OH SK
a
OH
OH OK OS
a

d A SBC
⊥


∩ = ⇒ ⊥ ⇒ =


⊥

= + ⇒ =
⇒ =




0.25

0.25

0.25

0.25

0.25


0.25


0.25

0.25

6

Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

lần lượt có phương trình là
1 2 1
( ) ,( ) 2 2 0
1 2 1

x y z
d P x y z
− + −
= = + + + =
−
.
Tìm A là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu
vuông góc của (d ) trên mặt phẳng (P)


1
2 2
( ) ( ) (0; 4;2)
1
2 2 0
x t
y t
A d P A
z t
x y z
= +


= − +

= ∩ ⇒ −

= −



+ + + =



(1; 2;1) ( )
M d
− ∈

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)
1 2
(1; 2;1)
( ) ( ) 2
(2;1;1)
1
x t
quaM
MH MH y t
vtcp
z t
= +

−


⇒ = − +
 


= +


1 2
2
5 1
( ) (0; ; )
1
2 2
2 2 0
x t
y t
H MH P H
z t
x y z
= +


= − +
−

= ∩ ⇒ ⇒

= +


+ + + =


( )
0

(0; 4;2)
( ') ' 4
3 3
(0; ; )
2
2 2
x
qua A
d d y t
vtcp AH
z t
=

−

 
⇒ = − +
 −
 
= −







0.5

0.5





0.5



0.5
7
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa
trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình
3 5 8 0,x y+ − = 4 0x y− − =
. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn
ngo
ại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
(4; 2)D −
. Viết phương trình các đường
th
ẳng AB,AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.



Gọi M là trung điểm của BC,H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao của AD và

BC,E là giao c
ủa BH và AC www.mathvn.com
M là giao c
ủa AM và BC nên
7 1
( ; )
2 2
M −

AD vuông góc BC và
đ
i qua D nên có ph
ươ
ng trình x+y-2=0
A là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

3 5 8 0
(1;1)
2 0
x y
A
x y
+ − =

⇒


+ − =


K là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

4 0
(3; 1)
2 0
x y
K
x y
− − =

⇒
−

+ − =


T
ứ
giác HKCE n
ộ
i ti

ế
p nên
,
BHK KCE
∠ = ∠
mà

BDA KCE
∠ = ∠

Suy ra
BHK BDA
∠ = ∠
nên K là trung điểm của HD nên H(2 ;4)
Vì B thuôc BC
( ; 4) (7 ;3 )
B t t C t t
⇒ − ⇒ − −

Mặt khác HB vuông góc AC nên
7( )
. 0
2
t l
HB AC
t
=

= ⇔


=

 

0.25


0.25


0.25

0.25



0.25


0.25


(2; 2), (5;1)
:3 4 0, : 1 0
B C
AB x y AC y
⇒ −
⇒ + − = − =

0.25

0.25

8
Giải hệ phương trình sau.

3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4
3 1 3 14 8 6 4
y y y x x
x x x y y

+ + + = + +


+ + − − = − −



2

ĐK :

2
1
3
6 4 0
x
y y


≥ −



− − ≥


Xét phương trình
3 2
2 12 25 18 (2 9) 4y y y x x+ + + = + +
(1)
3 2 3
3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4 2( 2) ( 2) 2( 4) 4 4
( ) 2 '( ) 6 1 0
2 2
(1) ( 2) ( 4) 2 4
( 2) 4 4
y y y x x y y x x x
f t t t f t t
y y
f y f x y x
y x x y y
+ + + = + + ⇔ + + + = + + + +
= + ⇔ = + >
≥ − ≥ −
 
⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ ⇔
 

+ = + = +
 

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 12 25 18 (2 9) 4
4
3 1 6 3 14 8 0
3 1 3 14 8 6 4
4
3 1 4 6 1 3 14 5 0
4
3 5 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 6 1
4
3
( 5)
3

y y y x x
x y y
x x x x
x x x y y
x
x x x x
x y y
x x
x x
x x
x y y
x

+ + + = + +
= +
 
⇔ ⇔
 
+ − − + − − =
+ + − − = − −





= +

⇔

+ − − − − + − − =




= +


− −
⇔

+ + − + =

+ − − −


= +
⇔
−
( ) ( )
( ) ( )
5
1
1
(3 1) 0
1 4 6 1
3 1 1
(3 1) 0,
3
3 1 4 6 1
x
y

x
x x
x x
x x


=


 
⇔
 
 
=
+ + + =


 
+ − − −

 

+ + + > ∀ ≥ −
+ − − −


V
ậ
y h
ệ

có nghi
ệ
m x=5,y=1
0.25




0.25



0.25



0.25


0.25


0.25





0.25

0.25
9
Cho
1
1; , 1
4
x y z
≤ ≤ ≥
sao cho
1
xyz
=
. Tìm gía tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c

1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +

2

Ta có
1 1 2 1 2 1 2
1
1 1 1
1 1 1
1
P
y z x
yz yz yz
yz
+ ≥ ⇒ ≥ + = +
+ + +
+ + +
+

Đặ
t
2
2
1 2
1 2 ( )

1 1
t
t yz t P f t
t t
x
= ⇒ ≤ = ≤ ⇒ = = +
+ +

0.5



0.5


0.5
x y y
( )
( )
2 2
2
2 2
'( ) 0
1
1
22
()(2)
15
t
f t

t
t
f t f
= − ≤
+
+
≤ =

Suy ra
22 1
, 2
15 4
MinP x y z= ⇔ = = =


0.25

0.25
Nếu thí sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đ
() (2)