SKKN Một số dạng toán trong hệ tọa độ Oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
hoctoancapba.com
Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tâm
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2011 – 2012
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Tên đề tài
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Hồng Tâm
2. Ngày tháng năm sinh: 17/05/1985
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: B7/c, tổ 9, khu phố 4, phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613 834289 / 0985 072 513
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2006
- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán THPT.
Số năm có kinh nghiệm: 06
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không có.
2
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, của Hình học nói riêng,
không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức căn bản mà
còn phải giúp cho học sinh rèn luyện các kỹ năng cần thiết và phát triển tư duy.
- Theo phân phối chương trình bộ môn toán THPT, lớp 12 chỉ có 1,5 tiết
hình học mỗi tuần.Với thời lượng hạn chế như vậy, giáo viên và học sinh gặp rất
nhiều khó khăn trong việc dạy và học bộ môn Hình học, đặc biệt là phần Phương
pháp toạ độ trong không gian của lớp 12 . Do đó, việc hệ thống lý thuyết, phân
dạng và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán trong chương này theo đúng
Chuẩn kiến thức và kỹ năng là thực sự cần thiết, giúp cho giáo viên và học sinh có
tài liệu phục vụ cho việc dạy và học đạt kết quả cao nhất. Thiết nghĩ, trong mỗi tiết
học, cùng với tài liệu học tập này, giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ năng giải toán,
kỹ năng suy luận cho học sinh, thông qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức trọng
tâm của bài học, và có một hệ thống bài tập phù hợp với khả năng để luyện tập
thường xuyên.
- Trong quá trình dạy học, tôi luôn cố gắng tìm tòi các ví dụ điển hình, tổng
hợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tôi đã viết ra chuyên đề
“Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian”
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Cơ sở lý luận
- Các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian được tổng hợp từ
hai bộ sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 (Ban cơ bản và Ban khoa học tự
nhiên) do Bộ giáo dục ban hành.
- Các kỹ năng giải toán Hình học tọa độ ở mức độ trung bình.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Giáo viên cần chuẩn bị tốt các yêu cầu sau:
- Nghiên cứu thật kỹ Chuẩn kiến thức và kỹ năng để xác định kiến thức
chuẩn cần phải dạy cho học sinh.
- Cần nghiên cứu thêm các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây,
trong đó hình học tọa độ trong không gian chiếm 1/5 tổng số điểm (2 điểm). Câu
hỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến thức (kiến thức cơ bản).
3
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
- Nội dung của chuyên đề đảm bảo các kiến thức, kỹ năng trọng tâm của
chương Phương pháp tọa độ trong không gian, cụ thể gồm các nội dung sau:
1) Hệ trục toạ độ trong không gian
- Các phép toán về tọa độ vectơ và toạ độ điểm: tổng, hiệu của hai vectơ,
tích của một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ.
- Khoảng cách giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng.
- Góc giữa hai vectơ.
2) Phương trình mặt phẳng
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng.
3) Phương trình đường thẳng
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của một đường
thẳng.

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Góc giữa hai đường thẳng.
4) Phương trình mặt cầu
- Phương trình của mặt cầu.
- Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.
4
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục
' , ' , 'x Ox y Oy z Oz
vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng
với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là
, ,i j k
r r r
.
• O: gốc tọa độ
•
'x Ox
: trục hoành
•
'y Oy
: trục tung
•
'z Oz
: trục cao
2. Tọa độ của vectơ trong không gian
2.1. Định nghĩa:
( ; ; ) . . .u x y z u x i y j z k= ⇔ = + +

r r r r r
Với định nghĩa trên, ta có:

0 (0;0;0)=
r
( )
1;0;0i
=
r
( )
0;1;0j
=
r
( )
0;0;1k
=
r
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z
= =
r r
và số thực k
a)
( )
1 2 1 2 1 2
; ;a b x x y y z z
± = ± ± ±

r r
b)
( )
1 1 1
; ;ka kx ky kz
=
r
c)
1 2
1 2
1 2
x x
a b y y
z z
=


= ⇔ =


=

r r
d)
a
r
cùng phương
b
r
(

0b ≠
r r
)
1 2
1 2
1 2
: :
x tx
t a tb t y ty
z tz
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ =


=

r r
¡ ¡

1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
⇔ = =
(với điều kiện:
2 2 2
0x y z ≠
)

e) Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa:
( )
. cos ,a b a b a b=
r r r r r r
Biểu thức tọa độ:
1 2 1 2 1 2
.a b x x y y z z= + +
r r
Hệ quả:
5
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
2 2 2
1 1 1
a x y z
= + +
r
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos , , 0
.
x x y y z z
a b a b
x y z x y z
+ +
= ≠
+ + + +
r r r r r

1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z⊥ ⇔ + + =
r r
f) Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ
,a b
r r
là một vectơ có tọa độ xác
định như sau:
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
x x x x
x x
a b a b
y y y y
y y
 
 
= ∧ =
 ÷
 
 
r r r r

Tính chất:
,a b a
 

⊥
 
r r r
và
,a b b
 
⊥
 
r r r
, ,a b b a
   
= −
   
r r r r
( )
, .sin ,a b a b a b
 
=
 
r r r r r r
a
r
và
b
r
cùng phương
, 0a b
 
⇔ =
 

r r r
, ,a b c
r r r
đồng phẳng
, . 0a b c
 
⇔ =
 
r r r
Ứng dụng:
Diện tích tam giác:
1
,
2
ABC
S AB AC
∆
 
=
 
uuur uuur
Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
, . '
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur

Thể tích khối tứ diện:
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
3. Tọa độ của điểm trong không gian
3.1. Định nghĩa:
( ) ( )
; ; ; ;M x y z OM x y z
⇔ =
uuuur
Với định nghĩa trên, ta có:
( )
0;0;0O
6
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
( )
;0;0M Ox M x∈ ⇒
( ) ( )
; ;0M Oxy M x y∈ ⇒
( )
0; ;0M Oy M y∈ ⇒
( ) ( )
;0;M Oxz M x z
∈ ⇒

( )
0;0;M Oz M z∈ ⇒
( ) ( )
0; ;M Oyz M y z∈ ⇒
3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho
( ) ( )
( )
; ; , ; ; , ; ;
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
 

 ÷
 
Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 
 ÷
 
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ
( )
1;2; 5 , 2 3a b i j
= − − = −
r r r r
.
a) Tìm tọa độ
b
r
. hoctoancapba.com
b) Tìm tọa độ
3 4u a b
= −
r uur r
.
c) Tìm tọa độ
v

r
thỏa
3 2v a b
− =
r r r
.
Giải:
a) Từ định nghĩa tọa độ của vectơ suy ra
( )
2; 3;0b
= −
r
.
b) Gọi
( )
; ;u x y z
=
r

4u a b= −
r r r

3.( 1) 4.2 11
3.2 4.( 3) 18
3.( 5) 4.0 15
x
y
z
= − − = −



⇔ = − − =


= − − = −

Vậy
( )
11;18; 15u
= − −
r
c)
2 1
3 2
3 3
v a b v a b− = ⇔ = +
r r r r r r
7
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

1 10
0; ;
3 3
v
 
⇒ = −
 ÷
 
r
2. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm

( )
2;1; 1S − −
và tam giác ABC với

( ) ( ) ( )
1;1;1 , 2;3;4 , 6;5;2A B C
.
a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện.
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC.
Giải:
a) Gọi
( )
1 2 3
; ;D d d d
Vì các điểm A, B, C không thẳng hàng nên một điều kiện cần và đủ để ABCD là
hình bình hành là:
CD BA=
uuur uuur
1
2
3
6 1 2
5 1 3
2 1 4
d
d
d
− = −



⇔ − = −


− = −

1
2
3
5
3
1
d
d
d
=


⇔ =


= −

Vậy
( )
5;3; 1D −
.
c)
( ) ( )

1 2
; ;0E Oxy E e e∈ ⇒
( )
( )
1 2
1;2;3
1; 1; 1
AB
AE e e
=
= − − −
uuur
uuur
A, B, E thẳng
,AE AB
⇔
uuur uuur
cùng phương

1 2
1 1 1
1 2 3
e e− − −
⇔ = =

1
2
2
3
1

3
e
e

=


⇔


=


Vậy
2 1
; ;0
3 3
E
 
 ÷
 
b) SABC là một tứ diện khi và chỉ khi S, A, B, C không đồng phẳng
8
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
( )
3;0;2SA
=
uur

( )

4;2;5SB
=
uur

( )
8;4;3SC
=
uuur
Ta có:
( )
, 4; 7;6SA SB
 
= − −
 
uur uur

⇒
, . 32 28 18 42 0SA SB SC
 
= − − + = − ≠
 
uur uur uuur

⇒
, ,SA SB SC
uur uur uuur
không đồng phẳng, suy ra điều phải chứng minh.
c) Gọi h là chiều cao của tứ diện S.ABC kẻ từ đỉnh S. Ta có:
.
3

S ABC
ABC
V
h
S
∆
=
.
1
, . 7
6
S ABC
V SA SB SC
 
= =
 
uur uur uuur

1
, 83
2
ABC
S AB AC
∆
 
= =
 
uuur uuur
Suy ra
21 83

83
h
=
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1; 2;4 , 3;2;0 , 3; 1;0A B C− − −
a) Tìm tọa độ các véc tơ:
; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Tìm tọa độ
2.u AB
=
r uuur
;
2.v AB AC
= +
r uuur uuur
; điểm E thỏa

2. 3. 4.EA EC BE AB= − +
uuur uuur uuur uuur
c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam
giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của
tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C.

Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
9
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm
A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0).
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác
ABC.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện
ABCD.
d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D
thuộc trục Oy và ba đỉnh
( ) ( ) ( )
2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3A B C− −
.Biết rằng tứ diện
có thể tích bằng 5 đơn vị thể tích. Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
với
( ) ( ) ( ) ( )
2;0;2 , 4;2;4 , 2; 2;2 , ' 8;10; 10A B C D− −

.Tìm toạ độ các đỉnh còn
lại của hình hộp.
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vectơ
n
r
khác
0
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
nếu giá của

n
r
vuông góc với
( )
α
.
- Nếu hai vec tơ
,a b
r r
khác
0
r
, không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trên mặt phẳng

( )
α
thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )
α
là
,n a b
 
=
 
r r r
.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
0Ax By Cz D+ + + =
, với
2 2 2
0A B C+ + ≠
10
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Trong đó,
( )
; ;n A B C
=
r
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Mặt phẳng
( )
α

đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;n A B C
=
r
làm vectơ pháp
tuyến có phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát:
Xét mặt phẳng
( )
α
có phương trình tổng quát:

0Ax By Cz D+ + + =
, với
2 2 2
0A B C+ + ≠
Các hệ số
Phương trình (α) Tính chất mặt phẳng (α)
D = 0
0Ax By Cz
+ + =
(α) đi qua gốc toạ độ O

A = 0
0By Cz D
+ + =
(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
B = 0
0Ax Cz D
+ + =
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
C = 0
0Ax By D
+ + =
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
A = B = 0
0Cz D
+ =
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡
(Oxy)
A = C = 0
0By D
+ =
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡
(Oxz)
B = C = 0
0Ax D
+ =
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡
(Oyz)
(Tương tự cho các trường hợp khác) hoctoancapba.com
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm
( )

( )
( )
0 0 0 0 0 0a; ; , ;b; ,C ; ;c

( 0)abc ≠
) là:
1+ + =
x y z
a b c

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
:
( )
α

1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
( )
β
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Hai mặt phẳng
( )
α

và
( )
β
lần lượt có vectơ pháp tuyến là
( )
1 1 1 1
n A ;B ;C
=
ur
,

( )
2 2 2 3
n A ;B ;C
=
uur
.
•

( )
α
và
( )
β
cắt nhau ⇔
1
n
ur
và
2

n
uur
không cùng phương

1 1 1 2 2 2
A B C A B C
⇔ ≠
: : : :
(nếu
2 2 2
0A B C ≠
)
•
( )
α
//
( )
β
⇔
1 2
1 2
n kn
( k )
D kD

=

∈

≠



ur uur
¡
11
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
= = ≠
A B C D
A B C D
(nếu
2 2 2 2
0A B C D ≠
)
•
( )
α
⊥
( )
β
⇔
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C+ + =
•
( )
α
≡
( )

β
⇔
1 2
1 2
n kn
( k )
D kD

=

∈

=


ur uur
¡
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = =
(nếu
2 2 2 2
0A B C D ≠
)
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
( )

α
và
( )
β
:
( )
α
:
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =

( )
β
:
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Gọi
ϕ
là góc giữa
( )
α
và
( )
β
. Ta có:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
ϕ
+ +

=
+ + + +
A A B B C C
A B C A B C
cos
.
hoctoancapba.com
6.Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
( )
α
:
0Ax By Cz D+ + + =
( )
0 0 0
0
2 2 2
α
+ + +
=
+ +
Ax By Cz D
d M
A B C
,( )
BÀI TẬP
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng-

Phương pháp: Tuỳ theo điều kiện của từng bài toán, ta có thể chọn một trong số
các cách sau:
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
mà mặt phẳng đi qua và toạ độ
của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
; ;n A B C
=
r
Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Chú ý: Nếu
n
r
là một một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
và
n a
n b

⊥


⊥



r r
r r

trong đó

hai vectơ
,a b
r r
khác
0
r
, không cùng phương với nhau thì ta có thể
chọn
,n a b
 
=
 
r r r
.
12
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
0Ax By Cz D+ + + =
, với
2 2 2
0A B C+ + ≠
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện.
Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

1 0
x y z
abc
a b c
+ + = ≠( )
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số a, b, c thoả điều kiện.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với
A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0;
4).
Giải
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(5; 1; 3) và nhận
, (2;1;1)n AB AC
 
 
= =
uuuur uuuur
r
làm VTPT
có phương trình là:
2( 1 3 0x 5) y z− + − + − =

2 14 0x y z⇔ + + − =
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7),
B(4; 1; 3).
Giải
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm của đoạn AB là I(3; 2; 5)
và có VTPT
(2; 2; 4)AB

= − −
uuuur
có phương trình là:

2 9 0x y z− − + =
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt
phẳng (Q):
2 3 4 0x y z− + + =
.
Giải
Cách 1:
Vì (P) song song (Q) nên (P) nhận VTPT của (Q) là
(2; 1;3)n
= −
r
làm VTPT
⇒ (P):
2 3 11 0x y z− + − =
Cách 2:
Vì (P) song song (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2x – y + 3z + c = 0
( )
4c ≠
(P) qua M(2; –1; 2) ⇒ c = - 11 (thoả điều kiện)
Vậy (P):
2 3 11 0x y z− + − =
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc
với
(Q):
2 7 0x y z− + − =

.
Giải
Mặt phẳng (Q) có một VTPT là
( 2; 1;1)
Q
n = −
uur
. hoctoancapba.com
13
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

( 4;2;2 )AB =
uuur
Gọi
n
ur
là một VTPT của mặt phẳng (P). Ta có:
Q
n n
n AB

⊥


⊥


ur uur
ur uuur
Do đó có thể chọn

, (1;0; 2)
Q
n AB n
 
= = −
 
uuur
r r
⇒ (P):
2 1 0x z
− + =
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua A và vuông góc với BC
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC.
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
trong mỗi trường hợp sau:
a)
( )
α
đi qua điểm
( )
3;3;3M
và song song với mặt phẳng

( )
: 2 3 6 0x y z
β
− + − =
.
b)
( )
α
đi qua hai điểm
( )
2; 1;4A −
,
( )
3;2; 1B −
và vuông góc với mặt phẳng

( )
: 2 3 0x y z
β
+ + − =
.
c)
( )
α
đi qua
( )
2; 1;1M
−
và vuông góc với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng

( )
: 2 3 0x y z
β
+ + − =
. hoctoancapba.com
d)
( )
α
đi qua
( )
1; 1;1M −
và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

( )
: 3 2 1 0x y z
β
− + − =
và
( )
: 2 3 1 0x y z
γ
+ − + =
.
e)
( )
α
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
:3 2 3 0x y z

β
− + − =
và

( )
: 2 0x z
γ
− =
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 5 0Q x y z
− + + =
.
f)
( )
α
đi qua điểm
( )
1; 1;1M −
và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.
g)
( )
α
đi qua điểm
( )
1;4;2M
và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn
thẳng bằng nhau.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng

( )
α
đi qua điểm
( )
1;2;3M
và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với
, ,OA a OB b OC c
= = =
sao cho:
a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
b) OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.
14
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng-
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:
(P):
2 3 5 0x my z+ + − =
và (Q):
8 6 2 0nx y z− − + =
Giải
(P)//(Q) ⇔
2 3 5
8 6 2
m
n
−
= = ≠
− −

⇔
4
4
m
n
=


= −

BÀI TẬP
Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
trong mỗi trường hợp
sau :
a)
( )
α
:
2 3 0x y z− + + =
và
( )
β
:
2 4 2 0x y z− + − =
.

b)
( )
α
:
1 0x y z+ + + =
và
( )
β
:
2 2 2 3 0x y z+ + + =
.
c)
( )
α
:
3 2 3 5 0x y z− − + =
và
( )
β
:
9 6 9 5 0x y z− + − =
.
d)
( )
α
:
2 4 0x y z− + − =
và
( )
β

:
10 10 20 40 0x y z
− + − =
.
Bài 2: Cho ba mặt phẳng
( )
α
:
3 7 9 14 0x y z+ − + =


( )
β
:
( ) ( ) ( )
4 1 9 10 6 4 4 0m x m y m z+ + + − + − =
( ) ( ) ( )
: 1 5 6 3 2 0n x y n
γ
− − + + + =
a) Tìm m để
( )
α
vuông góc
( )
β
.
b) Tìm m để
( )
α

song song
( )
β
.
c) Tìm m và n để
( )
α
trùng
( )
β
.
Bài 3: Tìm góc tạo bởi các cặp mặt phẳng sau:
a)
)(
α
: x + y – 5z + 1 = 0 và
( )
β
: 5x + y – 3z = 0
b)
)(
α
: 2x – 2y + z + 3 = 0 và
( )
β
: z + 2 = 0
c)
)(
α
: x – 2z + 1 = 0 và

( )
β
: y = 0
Bài 4 : Cho mặt phẳng
( )
α
:
2 1 0x y z− + + =
.
a) Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
đi qua gốc toạ độ và song song
( )
α
.
b) Tính góc tạo bởi
( )
β
và
( )
' : 2 10 0x y z
β
+ + − =
.
Dạng 3. –Khoảng cách-
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0),
15
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
C(0; 0;6), D(2; 4; 6). Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện.

Giải
Ta có:
( 2;4;0)= −
uuur
AB
( 2;0;6)= −
uuur
AC
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận
( )
, 24;12;8
 
= =
 
r uuur uuur
n AB AC

làm VTPT có phương trình:
6 3 2 12 0+ + − =x y z
Đường cao DH hạ từ đỉnh D của tứ diện chính là khoảng cách từ D đến (ABC)
( )
12 12 12 1
24
;( )
7
36 9 4
+ + −
= = =
+ +
DH d D ABC

BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh
( ) ( )
1; 2;4 , 4; 2;0A B
− − − −
,
( )
3; 2;1C −
và
( )
1;1;1D
.
a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt
phẳng (ABC).
Bài 2: Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0x y z
α
− + − =
và
( )
: 2 2 12 0x y z
β
+ − + =
.
Tìm trên Oz điểm cách đều
( )
α
và

( )
β
.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
( )
: 5 0x y z
α
+ − + =
và

( )
: 5 0x y z
β
+ − + =
.
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng

( )
: 4 4 7 3 0x y z
α
− + − =
, biết rằng khoảng cách từ điểm
( )
4;1; 2M
−
đến
mặt phẳng
( )
α
bằng 4.

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm
( )
2;0;0A
,

( )
0;3;0B
và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) bằng
6
7
.
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
( )
α
:
2 3 4 1 0x y z− + − =
và
( )
β
:
4 6 8 19 0x y z− + + =
.
16
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đối xứng với mặt phẳng

( )

: 2 2 3 0x y z
β
− + − =
qua điểm
( )
2; 4;3M − −
.
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ
u
r
khác
0
r
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
nếu giá của

u
r
song song với
∆
hoặc chứa trong
∆
.
- Nếu hai vec tơ
,a b
r r

khác
0
r
, không cùng phương và cùng có giá vuông góc với

∆
thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
là
,u a b
 
=
 
r r r
.
2. Phương trình của đường thẳng.
a)Phương trình tham số của đường thẳng:
- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
, có phương trình tham số là :
0 1

2 2 2
0 2 1 2 3
0 3
( ), ( 0)
= +


= + ∈ + + ≠


= +

x x a t
y y a t t R a a a
z z a t
- Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của
một điểm M thuộc đường thẳng.
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của
đường thẳng ∆ là:
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( . . 0)
− − −
= = ≠
x x y y z z
a a a
a a a
Chú ý: Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β):

(α): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 có một vectơ pháp tuyến

1 1 1 1
( ; ; )=n A B C
r
(β): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 có một vectơ pháp tuyến
2 2 2 2
( ; ; )=n A B C
r
- Điểm M (x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình :
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
0

(1) ( : : : : )
0
+ + + =

≠

+ + + =

A x B y C z D
A B C A B C
A x B y C z D
- Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆.
17
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
- Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là:
[ ]
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
= =
 ÷
 
B C C A A B
a n n
B C C A A B
r r r
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng: ∆

1
đi qua A và có vectơ chỉ phương
r
a
.
∆
2
đi qua B và có vectơ chỉ phương
r
b
.
Ta có các trường hợp sau:
• ∆
1
và ∆
2
cùng nằm trong một mp ⇔ [
r
a
,
r
b
].
uuur
AB
= 0
• ∆
1
và ∆
2

cắt nhau ⇔
, . 0
, 0

 
=
 

 
≠

 

uuur
r
r
r r
r
a b AB
a b
• ∆
1
và ∆
2
song song với nhau ⇔
, 0
, 0

 
≠


 

 
=

 

uuur
r
r
r r
r
a A B
a b
• ∆
1
và ∆
2
trùng nhau ⇔
, 0
, 0

 
=

 

 
=


 

uuur
r
r
r r
r
a A B
a b
• ∆
1
và ∆
2
chéo nhau ⇔ [
r
a
,
r
b
].
uuur
AB
≠ 0
Nếu
1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
∆

= +


= +


= +

x x a t
y y a t
z z a t
và
2 1 2
2 2 2 2
2 3 2
:
∆
= +


= +


= +

x x b t
y y b t
z z b t
thì số giao điểm của hai đường
thẳng trên là số nghiệm của hệ :

1 1 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2
1 3 1 2 3 2
+ = +


+ = +


+ = +

x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
• Hệ vô nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
song song với nhau hoặc chéo nhau.
• Hệ có một nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
cắt nhau
• Hệ có vô số nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
trùng nhau
18

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Cho hai đường thẳng
1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
∆
= +


= +


= +

x x a t
y y a t
z z a t
và
2 1 2
2 2 2 2
2 3 2
:
∆
= +


= +



= +

x x b t
y y b t
z z b t
có vectơ chỉ
phương lần lượt là :
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
và
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
( )
( )
1 1 2 2 3 3
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ; cos ;
.
.
∆ ∆
+ +

= = =
+ + + +
r
r
r
r
r
r
a b
a b a b a b
a b
a b
a a a b b b
Chú ý:
0 0
1 2
0 ( ; ) 90
∆ ∆
≤ ≤
c) Cho đường thẳng
0
0
0
:
∆






= +
= +
= +
x x at
y y bt
z z ct
có vectơ chỉ phương
( ; ; )
=
r
u a b c
và mặt
phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt
( ; ; )=
r
n A B C
.
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) được tính bằng công thức:
( ) ( )
.
sin ;( ) cos ;
2 2 2 2 2 2
.
.
u n A a Bb Cc
u n
u n
a b c A B C
∆ α
+ +

= = =
+ + + +
r r
r r
r r
5. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
a) Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
a
r
và điểm M. Khi
đó :
( )
0
,
;
MM a
d M
a
∆
 
 
=
uuuuur
r
r
b) Cho hai đường thẳng ∆
1

và ∆
2
chéo nhau .
19
1
∆
A
B
r
a
r
b
2
∆
A
B
r
a
r
b
1
∆
2
∆
A
B
r
a
r
b

1
∆
2
∆
A
B
r
a
r
b
1
∆
2
∆
1 2
( )
∆ ∆
≡
1 2
( // )
∆ ∆
1 2
( )
∆ ∆
cheùo
1 2
( )
∆ ∆
caét
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

∆
1
đi qua M
1
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a

∆
2
đi qua M
2
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆
1
và ∆
2
được tính bằng công
thức sau:
( )
1 2
1 2
, .
;

,
a b M M
d
a b
∆ ∆
 
 
=
 
 
uuuuuur
r
r
r
r
BÀI TẬP
Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng-
Phương pháp:
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
mà đường thẳng đi qua và toạ độ
của một vectơ chỉ phương của đường thẳng
( )
1 2 3
; ;n a a a
=
r
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:

0 1
0 2
0 3
( )
x x at
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
có giao tuyến là đưởng thẳng cần
tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết)
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4).
Giải
Đường thẳng AB đi qua A(2;3;–1) và nhận
( 1; 1;5)AB
= − −
uuur

làm VTCP có thương
trình tham số là:
2
3
1 5
x t
y t
z t
= −


= −


= − +

Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua điểm
( 2;4;3)A −
và vuông góc với
mặt phẳng
( ):2 3 6 19 0P x y z
− + + =
.
20
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Giải
Vì ∆ ⊥ (P) nên một VTCP của ∆ là
a
r
= (2;–3;6)

⇒ PTTS của ∆:
2 2
4 3
3 6
x t
y t
z t
= − +


= −


= +

BÀI TẬP
Bài 1:Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
r
a
= (1 ; – 4 ; – 5).
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0.
d)Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:
1 2
3 3
4
= +



= − +


=

x t
y t
z t
.
Bài 2:Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của
d:
2
3 2
1 3
= +


= − +


= +

x t
y t
z t
lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Bài 3:Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với
đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (β): x +
3y – 2z + 3 = 0.
Bài 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm

A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường
thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Bài 5:Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với
các mp (α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:
1 1 2
2 1 3
+ − −
= =
x y x
và mp
(P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua
điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
21
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Bài 7:Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–
1; 2; 0) và C(2; –3; 2).

Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
thẳng d:
3 2
1
1 4
= − +


= −


= − +


x t
y t
z t
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và
vuông góc với đường thẳng d.
Dạng 2. –Vị trí tương đối.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng
1
7
: 3 2
9
x t
y t
z t
∆
= +


= +


= −

và
3 1 1
1
7 2 3
:
x y x

∆
− − −
= =
−
a) Chứng minh ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa ∆
1
và ∆
2
.
Giải
a) Đường thẳng ∆
1
đi qua điểm
( )
1
7;3;9M
và có VTCP
( )
1
1;2; 1u
= −
ur
.
Đường thẳng ∆
2

đi qua điểm
( )
2
3;1;1M
và có VTCP
( )
2
7;2;3u
= −
uur
.
( )
1 2
, 8;4;16u u
 
=
 
ur uur
( )
1 2
4; 2; 8M M
= − − −
uuuuuur

1 2 1 2
, . 168u u M M
 
⇒ = −
 
ur uur uuuuuur

Suy ra các vectơ
1 2 1 2
, ,u u M M
ur uur uuuuuur
không đồng phẳng. Do đó, ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
b)
( )
1 2
1 2
, .
168
, 2 21
4 21
,
a b M M
d
a b
∆ ∆
 
 
= = =
 
 
r r uuuuuur
r r
BÀI TẬP

Bài 1:Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau:
d:
1
2
3





= +
= +
= −
x t
y t
z t
và d′:
1 2 '
1 2 '
2 2 '





= +
= − +
= −
x t
y t

z t

22
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
d:
1
2 2
3
= −


= +


=

x t
y t
z t
và d′:
x =1+ t'
y = 3-2t'
z =1





d:
3

4
5 2





= −
= +
= −
x t
y t
z t
và d′:
2 3 '
5 3 '
3 6 '





= −
= +
= −
x t
y t
z t
Bài 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường
thẳng d

m
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α), (β) với:
(α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0
(β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0
Định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Bài 3:Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:
1 1 3
3 2 2
+ − −
= =
−
x y z
và d
2
:
1 3
1 1 2
− +
= =
x y z
a) Chứng minh d

1
và d
2
cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
b)Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Bài 4:Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:
5 2
1
5
= +


= −


= −

x t
y t

z t
và d
2
:
3 2 '
3 '
1 '
= +


= − −


= −

x t
y t
z t
a) Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau.
b)Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Bài 5:Cho hai đường thẳng d
1

và d
2
có phương trình:
d
1
:
1
1 3
3 2 2
−
+ −
= =
−
y
x z
và d
2
:
1 3
1 1 2
− +
= =
x y z
c) Chứng minh d
1
và d
2
cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
d)Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1

và d
2
.
Bài 6:Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d
1
, d
2
:
d
1
:
3
1
1 2 3
−
+
= =
−
y
x z
và d
2
:
4 3
1 1 2
− −
= =
y
x z
a) Chứng minh d

1
và d
2
chéo nhau.
23
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
b)Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt cả d
1
và d
2
.
Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d
1
, d
2
có phương trình:
d
1
:
2
1
3 1 1
+
−
= =
y
x z
và d
2
:

1
1





= −
= − +
=
x
y t
z t
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Dạng 3: Khoảng cách và góc
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
a
r
và đi qua điểm A.
Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có thể sử dụng một
trong hai cách sau:
Cách 1:
Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ∆.
d( M ; ) MH
∆ =

Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
( )
,
;
AM a
d M
a
∆
 
 
=
uuuur
r
r
Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Phương pháp:
Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P). Ta có:
( ) ( )
d ;( P ) d M ;( P )
∆ =
Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆)
Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆
1
và ∆
2
.
∆
1

đi qua M
1
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a

∆
2
đi qua M
2
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
24
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
1
và
∆
2
, ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1:
- Lập phương trình mặt phẳng (
α

) chứa
∆
1
và song song
∆
2
.
- Lấy một điểm A tuỳ ý trên ∆
2
.
- Ta có:
( ) ( )
( )
1 2
d ; d A;
α
∆ ∆ =
.
Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
( )
1 0
1 2
, .
;
,
∆ ∆
 
 
=
 

 
uuuuuur
r
r
r
r
a b M M
d
a b
BÀI TẬP
Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm
( )
1; 1;1M −
đến đường thẳng

2 1
:
1 2 1
x y z− −
∆ = =
b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng
∆
:
1
2 2
2
x t
y t
z t
= − +



= −


=


Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( ) ( )
3; 2;6 , 2;4;4A B− − −
. Hãy tính
độ dài đường cao OH của tam giác OAB.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 1 2
:
3 2 2
x y z
d
+ − +
= =
− −
và
2
1 3
: 2 2
1
x t
d y t

z
= − +


= +


=

.
a) Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
,d d
.
25