SKKN một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình toán THCS
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (445.07 KB, 58 trang )
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
PHẦN I
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc
cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày
một tốt đẹp hơn.
Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có
ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho người học tính
toán nhanh, tư duy tốt, tính chính xác cao – lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy
toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông
cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ
để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải
tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn
đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình
môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của
môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương
ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về
hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi.
Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không
nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của
đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất
lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng
toán về hàm số và đồ thị hàm số".
1
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
2. Mục đích nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa
ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với
đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác,
có nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải
quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương
trình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồng
nghiệm đi trước có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh,
trực tiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa số
các em còn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liên
quan còn máy móc, chưa linh hoạt; nhiều em chưa hiểu kĩ được kiến thức cơ
bản của mảng kiến thức về hàm số. Chính vì vậy, việc áp dụng cũng như khai
thác sâu kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị,
giải phương trình, bất phương trình của học sinh còn gặp nhiều khó khăn – và
đây cũng là một vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để
cuối cùng đưa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các
em học sinh tham khảo. Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặp
nhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và
đầy đủ hơn.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong
chương trình toán THCS (lớp 7 và 9)
2
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một
số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức của
hàm số;
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát sư phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài
tập, khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi như thế
nào? trao đổi những gì?
- Phương pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy được
những vướng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các
giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và
bài kiểm tra của học sinh.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục.
PHẦN II
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học
sinh cần nắm vững khái niệm hàm số.
I. Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số được định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số
là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số"
Trước tiên ta làm quen với ánh xạ:
1. Ánh xạ:
a. Định nghĩa:
3
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Cho tập hợp X
φ
≠
và Y
φ
≠
: f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp
Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x
∈
X với một và chỉ một y
∈
Y
Kí hiệu: f: X Y
x
a
y = f(x)
Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f
Phần tử y = f(x)
∈
Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh
Ánh xạ: f: X Y
x
a
y = f(x)
Ánh xạ f là đơn ánh
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
)
≠
f(x
2
)
Hoặc
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
) = f(x
2
) thì x
1
= x
2
Ví dụ: f: R R
x
a
y = f(x) = 3x
* Toàn ánh: Ánh xạ f: X Y
x
a
y = f(x)
Ánh xạ f là toàn ánh
⇔
∀
y
∈
Y thì
∃
x
∈
X: (x) = y
Hoặc f là toàn ánh
⇔
phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y
∈
Y cho
trước
Ví dụ: f: R R
x
a
y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác định.
* Song ánh: Ánh xạ f: X Y
x
a
y = f(x)
Ánh xạ f là song ánh
⇔
f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:
4
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái
niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong
sách giáo khoa lớp 9) như sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho
tương ứng mỗi giá trị x
∈
X một và chỉ một giá trị y
∈
Y mà kí hiệu là y = f(x)
Người ta viết: f: X Y
x
a
y = f(x)
X là tập xác định, x
∈
X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm
hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại
lượng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho:
Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y
được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"
* Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều
có thuộc tính bản chất:
+ X và Y là hai tập hợp số
+ Sự tương ứng: ứng với mỗi số x
∈
X đều xác định duy nhất một số y
∈
Y
+ Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi
+ Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến
thiên phụ thuộc
b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x; f(x)) với x
∈
X
+ Chú ý:
- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngược lại
5
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Điểm M(x
M
; y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho
bởi các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
II. Các hàm số trong chương trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó
a, b là các hằng số xác định a
≠
0, x
∈
R
b. Tính chất:
+ Tập xác định: R
+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0, x
∈
R) là đường thẳng đi qua điểm A(0;b)
và điểm B(
b
a
−
; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ
2. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax
2
+ bx + c với a, b, c
là các hằng số (a
≠
0, x
∈
R)
b. Tính chất:
6
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Tập xác định: R
- Tính biến thiên:
a > 0: Hàm số đồng biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và nghịch biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
a < 0: Hàm số nghịch biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và đồng biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
c. Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0, x
∈
R) là Parabol (P) có đỉnh là D(
2a
b
−
; -
4a
∆
); nhận đường thẳng x =
2a
b
−
là trục đối xứng
CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức
f(x) có nghĩa
Vì vậy:
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x
∈
R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ mẫu
thức
≠
0}
- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ biểu
thức trong căn
≥
0}
2. Ví dụ:
7
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
x
x
2
2+
có TXĐ: {x
∈
R/ x
≠
0}
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
14 +x
có TXĐ:
−≥∈
4
1
xRx
3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = x – 3
x
+2
b. y =
3
521
+
+
−
+
x
x
3-x
x
2
c. y =
xx −+− 24
2
DẠNG 2: TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tập giá trị của hàm số: f: X Y
x
a
y = f(x)
là tập giá trị y
∈
Y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x
∈
X
1. Cách giải:
+ Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá
trị của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập
xác định.
2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1]
Giải
Ta có x
≥
-1
⇔
2x
≥
-2
⇔
2x – 5
≥
-7 hay y
≥
-7
x
≤
1
⇔
2x
≤
2
⇔
2x-5
≤
-3 hay y
≤
-3
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1] là y
∈
[-7; -3]
* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y =
xx −+− 76
Giải
8
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
xxxx −+−≥−+− 7676
=1 hay y
≥
1
Vậy miền giá trị của hàm số y =
xx −+− 76
với x
∈
R là y
∈
R, y
≥
1
* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 2x + 3 với x
∈
[2; 3]
Giải:
Hàm số y = x
2
+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
∈
[2; 3] ta có y(2)
≤
y(3)
⇒
3
≤
y
≤
6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
+ 2x + 3 với x
∈
[2; 3] là [3; 6]
*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 4
x
+ 3
Giải:
TXĐ của hàm số là R
Xét phương trình x
2
- 4
x
+3 = y
⇔
(
x
- 2)
2
= y + 1
Phương trình có nghiệm khi y + 1
≥
0
⇔
y
≥
-1
3. Ứng dụng:
* Ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x
2
– 2
Giải:
Ta có y = 2x – x
2
- 4
= -(x
2
- 2x + 1) – 3
= -(x – 1)
2
- 3
≤
- 3 dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
(1)
Giải:
Hàm số có tập xác định: R vì x
2
+ x + 2 = (x +
2
1
)
2
+
4
7
≥
4
7
9
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Giả sử y là một giá trị của hàm số
⇒
phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
= y có
nghiệm
⇔
(y - 1)x
2
+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) có nghiệm
+Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm
+Xét y
≠
1 phương trình (2) có nghiệm
⇔
∆
≥
0
⇔
(y -1)
2
- 4(y – 1)(2y - 6)
≥
0
⇔
(y - 1)(23 – 7y)
≥
0
⇔
1< y
≤
7
23
Vậy giá trị của hàm số là 1< y
≤
7
23
+ Với y =
7
23
ta có x =
2
1
−
vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Max y =
7
23
tại x =
2
1
−
+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng:
Tìm x
∈
R để hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
nhận giá trị nguyên
Biến đổi: y =1 +
2xx
4
2
++
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y
∈
Z
⇔
x
2
+ x + 2 nhận giá trị
là ước nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x
∈
R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị
không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y
≤
7
23
ta chỉ ra y
∈
Z
⇔
y = 2
hoặc y = 3
Giải phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=2
⇔
x
2
+ x + 2 = 0
⇔
x = 1; x = -2
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=3
⇔
2x
2
+ 2x = 0
⇔
x = 0; x = -1
10
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Vậy x
∈
{-2; -1; 0; 1} thì y
∈
Z
* Ứng dụng 2: Giải phương trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ
vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung
của chúng:
Nếu
≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
với
∀
x
∈
D thì f(x) = g(x)
⇔
≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
(2)
Nếu
∃
x
0
∈
D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x
2
– 2=
1343221 −+−+−+− xxxx
(1)
+Tập xác định: R
+Ta có VT = 6x – x
2
– 2 = 7 – (x - 3)
2
≤
7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
VP =
1343221 −+−+−+− xxxx
≥
7
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
4
13
+ Vậy phương trình (1)
⇔
=−+−+−+−
=−
71343221
72 x-6x
2
xxxx
⇔
x = 3
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phương trình: – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16(x –
2−x
) (3)
Ta có VT = – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16
−−
2
2
4
9
4
7
xx
≤
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
4
9
Đặt
2−x
= t
≥
0
⇒
x = t
2
+ 2 ta có VP = 16(t
2
– t + 2)
= 16
+
−
4
7
2
1
2
t
≥
28
11
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =
2
1
⇔
x =
4
1
+2
⇔
x =
4
9
Vậy phương trình (3)
⇔
=
=
28
28VT
VP
⇔
x =
4
9
Kết luận nghiệm của phương trình là x =
4
9
4. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = x
2
- 3x + 1
trên đoạn: a. [-3;1] b. [0;2]
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3
+−
+
a
b
b
a
a
b
b
a
8
2
2
2
2
Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình
+=+
+=+
12
1ayx
222
ayx
Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất
Bài 4: Giải phương trình
a.
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
b.
11642
2
+−=−+− xxxx
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC HÀM SỐ
1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1- 1 nên ta sẽ xác định
được công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d
có tính chất: Đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và điểm B(x
2
;y
2
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
;y
2
)
∈
d nên ax
2
+ b = y
2
12
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Ta có hệ phương trình
=+
=+
22
11
ax
ybax
yb
giải hệ phương trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua
điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)
Giải:
Vì A(1;1)
∈
d nên a.1 + b = 1
B(-1;2)
∈
d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phương trình:
=+−
=+
2
1a
ba
b
⇔
=
=
2
3
2
1
-a
b
Kết luận hàm số cần tìm là y =
2
3
2
1
+− x
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và song song với đường thẳng d' có
phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
⇒
b = y
1
– ax
1
Vì d song song với d' nên a = a
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y
1
– ax
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;
2
1
) và song
song với đường thẳng d' có phương trình y = 2x -
2
1
Giải:
Vì A(1;
2
1
)
∈
d nên a + b =
2
1
Vì d song song với d' nên a = 2 do đó: b =
2
3
−
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x
2
3
−
13
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và vuông góc với đường thẳng d'
có phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a =
1
a
1-
nên b = y
1
+
1
a
1
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là: y =
x
1
a
1-
+ y
1
+
1
a
1
x
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông
góc với đường thẳng d có phương trình y =
2
3
+− x
2
1
Giải:
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1(*)
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a = 2 thay vào (*) ta có: b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
;y
1
) và tiếp xúc với Parabol (P): a'x
2
+ b'x + c' (a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x
2
+ b'x + c' nên phương trình hoành độ
giao điểm: ax + b = a'x
2
+ b'x + c' có nghiệm kép
⇔
a'x
2
+ (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
=(b' - a)
2
- 4a'(c' – b) = 0 (2)
Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm
số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm
A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol
Lời giải: vì (d) đi qua điểm A(-1;2)
∈
d nên: –a + b = 2 (1)
14
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x
2
+ 1 nên phương trình hoành độ giao
điểm: ax + b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
⇔
x
2
– ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= a
2
- 4(1 – b) = 0 (2)
Ta có hệ phương trình:
=+
=+
44
2a-
2
ba
b
⇔
=++
+=
4)2(4
2
2
aa
ab
⇔
=+
+=
0)2(
2
2
a
ab
⇔
−=
=
2
0
a
b
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
2. Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) , C(x
3
;y
3
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P)nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
;y
2
)
∈
(P)nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
;y
3
)
∈
(P)nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
3
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)
Giải:
Vì A(-1;0)
∈
(P) nên a- b+ c = 0 (1)
Vì B(0;3)
∈
(P) nên c = 3 (2)
Vì C(1;0)
∈
(P) nên a+ b+ c = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:
=++
=
=+−
0
3
0
cba
c
cba
⇔
=
=
−=
3
0
3
c
b
a
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x
2
+ 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
;y
1
)
Giải:
15
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
x=
-b
2a
(2)
0
y
∆
=
-
4a
(3)
Giải hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)
đi qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1; 2)
Giải:
Vì A(-1;2)
∈
(P) nên a + b + c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1=
2a
b-
(2)
2
4
4
2
2
−=
−
−⇒−=
∆
a
acb
4a
-
(3)
Ta có hệ phương trình
2
2
1
2
4
2
4
a b c
b
a
b ac
a
− + =
−
=
−
− = −
⇔
=−−
=+
=+−
084
02
2
2
aacb
ba
cba
⇔
−=
−=
=
1
2
1
c
b
a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
- 2x – 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và tiếp xúc với đường thẳng d: y = a'x + b'
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
x=
-b
2a
(1)
0
y
∆
=
-
4a
(2)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên phương trình hoành độ:
ax
2
+ bx + c = a'x+b' có nghiệm kép
16
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
⇔
ax
2
+ (b – a’)x + c - b' = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (b - a' )
2
– 4a(c - b' ) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c.
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol
(P) nhận D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2.
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1=
2a
b-
;
1
4
4
1
2
=
−
−⇒=
∆
a
acb
4a
-
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x –2 nên phương trình hoành
độ ax
2
+ bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép
⇔
ax
2
+ (b – 2)x + c – 2 = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (b - 2 )
2
– 4a(c - 2 ) = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:
2
2
( 2) 4 ( 2) 0
1
2
4
1
4
b a c
b
a
b ac
a
− − + =
−
=
−
− =
⇔
2
2
4 8 4 4 0
2 0
4 4 0
b ac a b
a b
b ac a
− − − + =
+ =
− + =
⇔
2
2 0
12 4 4 0
4 4 0
a b
a b
b ac a
+ =
+ − =
− + =
⇔
=
−=
=
2
2
1
c
b
a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
- 2x + 2
3. Bài tập:
Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình y = -2x – 1
a. Viết phương trình đường thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ.
b. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và đi qua
điểm N(-1;5)
Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c đi qua O(0; 0) và có
đỉnh là D(1;-1)
17
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax
2
+ bx + 1 (a
≥
2
1
)
a. Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt
phẳng toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm
Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
x
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:
+Với x
≠
0 ta đặt 1+
x
1
= t rồi rút x theo t ta có: x =
1-t
1
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1-t
1
)
2
– 1
⇒
f(t) =
2
1)-(t
t)-t(2
Vì tương ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) =
2
1)-(x
x)-x(2
+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
1)-(x
x)-x(2
Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết: f(x) + 2f(
1
x
) = x
2
Từ công thức ta thay x bởi
1
x
Ta có:
( )
2
=+
⇒
=
+
x
1
x2f
x
1
f
x
1
x
1
1
2f
x
1
f
2
Ta có hệ điều kiện với f(x) như sau:
=+
=
+
2
2
1
)(2
1
1
2)(
x
xf
x
f
x
x
fxf
⇔
( )
=
+
=
+
2
2
2
21
24
1
2)(
x
x
fxf
x
x
fxf
⇔
2
4
3
2
)(
x
x
xf
−
=
18
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Vậy công thức hàm số là f(x) =
2
4
3
2
x
x−
Bài tập:
Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết
a.
2
)1(
2
1
−
=
−
x
x
x
x
f
và f(1) = 0
b.
−1x
x
f
=
14 +− x
2
3x
8x-4
với x
≠
1 và f(1) = 0
c.
− x
x
f
2
=
)4(4
2
+− xx
2
5x-4-10x
và f(2) = -1
Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
a.
( )
=
−
+
−
=+++
x
x
x
g
x
x
f
xxgxf
12
2122)12(
b.
( )
( ) ( )
+=+++
=−+−
xxxgxxf
xxgxf
22
2321
316)13(
DẠNG 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x
∈
TXĐ
b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số
Chẳng hạn A(0; b ) và B(-
a
b
; 0)
- Vẽ đường thẳng đi qua A và B
c. Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) là Parabol(P) có:
19
-1 0 1 2 3 4 x
-1 (Hình e1)
y
2
1
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
+ Đỉnh D
∆−
−
aa
b
4
;
2
+ Trục đối xứng: x =
2a
b
−
+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (hình 1d) y
Chẳng hạn: y =
x
=
≤
≥
0 x víix-
0 x víix
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0 x
e. Đồ thị phần nguyên: y =
x
trong đó
x
là ký hiệu số nguyên lớn nhất
không vượt quá x
+ Đồ thị hàm số y =
x
với –1
≤
x < 3 có dạng bậc thang như (hình e1)
y =
<≤
<≤
<≤
<≤
3x 2 víi2
2x 1 víi1
1 x0 víi0
0 x1- víi1-
f. Nhận xét:
* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
*Hàm số y = f(
x
) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung
làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x
≥
0
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
*
y
=x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà
chỉ cần vẽ đường biểu diễn mối quan hệ.
2. Ví dụ:
20
-1 0 1 2 3 4 x
-1
3
2
1
-1 0 1 x
-1
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x +3
+ TXĐ: x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: y
x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua
đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên
*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến.
y = 2x -
x
=
<
≥
0 x víi3x
0 x víix
y
+ Bảng giá trị:
x 0 1 -1
y 3 1 -3
+ Đồ thị:
-3
Đồ thị hàm số y = 2x -
x
có dạng như hình ở trên
21
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
3. Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm
cao nhất (thấp nhất) của đồ thị.
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
21 −+− xx
Giải:
Ta có y =
<+
≤≤
>−
1) x ( 32x-
2)x(1 1
2) (x 32x
Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)
y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1
≤
x
≤
2)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y = 1 khi x = 1 hoặc x = 2
4. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y =
14444
22
++++−
xxxx
+ ax
a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm
số với a vừa tìm được
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
1239644
222
++−++++−
xxxxxx
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ
(x;y) thoả mãn
1−x
+
2−y
=1
DẠNG 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
Cơ sở lí thuyết:
+Điểm M(x
M
;y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
22
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
+ Vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số
điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
;y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)
⇒
M
∈
đồ thị hàm số y = f(x) và M
∈
đồ thị hàm số y = g(x).
⇒
y
M
= f(x
M
) và y
M
= g(x
M
)
⇒
(x
M
;y
M
) là nghiệm của hệ phương trình
=
=
g(x)y
f(x)y
⇒
Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào
số nghiệm của phương trình
=
=
g(x)y
f(x)y
1. Cách giải:
a. Bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và
y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ
=
=
(2) g(x)y
(1) f(x)y
+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm
số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
Hai đồ thị cắt nhau
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Hai đồ thị tiếp xúc
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau
⇔
phương trình (3) vô nghiệm
* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phương trình (3)
23
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3)
tìm hoành độ x = x
0
, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ
tương ứng y = y
0
.
24
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
KẾT LUẬN CHUNG
1. Chú ý:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d: y = ax + b và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
+ d song song với d
1
⇔
a = a
1
; b
≠
b
1
+ d cắt d
1
⇔
a
≠
a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1
⇔
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1
⇔
a = a
1
; b = b
1
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng
Giải:
+ d // d
1
⇔
≠
=
22m
3-2mm
⇔
≠
=
1m
3m
⇔
m = 3
+ d cắt d
1
⇔
m
≠
2m – 3
⇔
m
≠
3
+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d
1
b. Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc. Xác định toạ độ
điểm chung cho từng trường hợp.
Giải:
+ d vuông góc với d
1
⇔
m(2m – 3) = -1
⇔
2m
2
– 3m + 1 = 0
⇔
m = 1 hoặc m =
2
1
+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
+=
+=
2-xy
2xy
⇔
x
=
=
y 2
0
Vậy: với m =1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0; 2)
25
