HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức

α ' α 1 '
(u )α.u . u
−
=

'
1 u
'
( )
2
u
u
= −

'
u

'
( u)
2 u
=
α ' α 1
(x )α.x
−
=
1 1
'
( )
2
x
x
= −
1
'
( x)
2 x
=
Lượng
giác
(sinu)
’
= u
’
.cosu
(cosu)
’
= - u

’
.sinu
(tgu)
’
=
'
u
' 2
u .(1 tg u)
2
cos u
= +
(cotgu)
’
= -
'
u
2
sin u
(sinx)
’
= cosx
(cosx)
’
= - sinx
(tgx)
’
=
1
2

(1 tg x)
2
cos x
= +
(cotgx)
’
= -
1
2
(1 cotg x)
2
sin x
= − +
Mũ (e
u
)
’
= u
’
.e
u
(a
u
)
’
= u
’
.a
u
.lna

(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u
'
(ln|x|)
’
=
x
1
1


'
u

'
(log |u|)
a
u.lna
=
1
'
(log |x|)
a
x.lna
=
II. VI PHÂN:
1. Định nghĩa: df(x) = f
’
(x).dx
2. Qui tắc:
• d(u ± v) = du ± dv
• d(uv) = udv + vdu
•
u vdu udv
d( ) (v 0)
2
v
v
−
= ≠
Chương II
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong

(a ; b) thì tồn tại điểm c
∈
(a ; b) sao cho: f
’
(c) =
f(b) f(a)
b a
−
−
II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Hàm số không đổi: f
’
(x) = 0 ⇔ f(x) = c
2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≥ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≤ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f
’
(x) > 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)

2


b) Nếu f
’
(x) < 0 ∀x
∈
(a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)
• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f
’
(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm
thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng.
III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x)
Qui tắc 1:
1) Tính đạo hàm y
’
= f
’
(x)
2) Tìm các điểm tới hạn x
i
: Là nghiệm của phương trình f
’
(x) = 0
hoặc tại các điểm đó f
’
(x) không xác định
3) Lập bảng xét dấu của f
’
(x)

4) Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm
đó
b) f
’
(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó
Qui tắc 2:
1) Tính f
’
(x), f
’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f
’
(x) = 0 (nghiệm của phương trình này)
3) Tính f
’’
(x
i
):
a) Nếu f

’’
(x
i
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) Nếu f
’’
(x
i
) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
CHÚ Ý:
• Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x
1
và x
2
, f
’
(x) luôn giữ nguyên một dấu
3


• Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:
- Trong trường hợp điểm cực trị x
0
(x
CĐ
, x
CT
) là số vô tỉ thì:
1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ
U(x)

f (x)
V(x)
=
thì
'
0
0
'
0
U (x )
f(x ) =
V (x )
2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
Ta chia f(x) cho f
’
(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có:
f(x) = f
’
(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x
0
) = (mx
0
+ n) (vì f
’
(x

0
) = 0)
VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp
sau:
1)
2
x 2x 3
f (x)
x 1
+ +
=
−
2) f(x) =
3
x
2
2x x 1
3
− + +
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ;
b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:
+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x
0
thì f(x
0
) = Min y
+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x
0

thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới
hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f
’
(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,
…, x
n
(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])
4


- Tính f(a),f(b), f(x
1
), f(x
2
)
,
…, f(x
n
)
- So sánh f(a), f(b), f(x
1
), f(x

2
)
,
…, f(x
n
)

⇒

•
Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ;
b], KH: M =
max ( )
[ ; ]
f x
a b

•
Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ;
b],
KH: m =
min ( )
[ ; ]
f x
a b
CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f
’
(x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu
trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là
Max y và số nhỏ là Min y.

• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

⊕
Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)

⊕
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều
kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f
’’
(x)
trên khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên
khoảng đó
b) Nếu f
’’
(x) > 0 với mọi x
∈
(a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên
khoảng đó
5


2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f

’’
(x) trên
khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì M
0
(x
0
; f(x
0
)) là một
điểm
uốn của đồ thị
b) Nếu f
’’
(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x
0
thì điểm M
0
(x
0
;
f(x
0
))
không phải là điểm uốn của đồ thị.
VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)

1. Tiệm cận đứng
• Nếu
lim f(x)
x x
o
= ∞
→
thì đường thẳng x = x
o
là tiệm cận đứng của (C)
2. Tiệm cận ngang
• Nếu
lim f(x)
x
=
→∞
y
o
thì đường thẳng y = y
o


là tiệm cận ngang của (C)
3. Tiệm cận xiên
• Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của
(C) ⇔
lim
x → ∞
[f(x) – (ax +b)] = 0
• Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo

công thức: a =
f(x)
lim
x
x
→∞
, b =
lim
x→∞
[f(x) – ax ]
4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):
- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó
- Tính giới hạn của hàm số tại các mút
6


+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.
+ Nếu
f(x) =lim
x
∞
→∞
thì ta tính a =
f(x)
lim
x
x
→∞
:
• Nếu a ≠ 0,

∞
thì ta tính b =
lim
x→∞
[f(x) – ax ].
Nếu b ≠
∞
thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra
các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B
3
: • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)
• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ
B
4
: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)
B
5
: Lập bảng biến thiên
B
6
: Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)
+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…)
+ Vẽ đồ thị
+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Khảo sát một số hàm số thường gặp
a) Hàm đa thức
• y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
• y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
7


• y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
b) Hàm phân thức hữu tỉ
• y =

ax b
cx d
+
+
(c
≠
0, D = ad – bc
≠
0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1)
2
1y x x= + −
2)
2
4 3y x x= − +
3)
2
4y x= +
4) y =
2
2
1
1
x x
x

+ +
−
5) y =
2
2 2
3
x x
x
− +
−
6) y =
3 23
3x x− +
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG
GẶP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
1) y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (ĐH KA – 2006)
2) y = -x
3
+ 3x
2
- 4 (ĐH KB – 2007)
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương
sau:
1) y = x
4

- 8x
2
+ 10 (ĐH KB – 2002)
2)
4
2
x
y 2(x 1)
2
= − −
(ĐH DB KA – 2006)
8


Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau:
1)
3x 1
y
x 1
− −
=
−
(ĐH KD – 2002)
2)
2x
y
x 1
=
+
(ĐH KB – 2007)

VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
⊗
PHƯƠNG PHÁP:
Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:
• Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta
bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này.
Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)
♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox
- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.
Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = |f(x)|
♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C
0
)
- Lấy đối xứng phần (C
0
) qua trục Oy ta có (C
1
)
9

Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = f(|x|)
⊗
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =

x 1
| |
x 2
+
+
d) y =
x 1
| x 2|
+
+
3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)
CHỦ ĐIỂM 2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
A. Phương pháp:
10


Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương trình là:
y – y
0

= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x

0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f
’
(x
0
) = k để có x
0
rồi tính y
0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) và
có hệ

số góc k: y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇔
x
0
và k là
nghiệm
của hệ pt:
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=



(I) ⇒ k rồi thay vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0
,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm đúng (1):
y
1
– f(x
0

) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
11


• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến
cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +




=


có n
nghiệm ⇔ f(x) = f
’
(x)(x – x
1
) + y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y =
2
ax + bx + c
' '
a x + b
(H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số
• IA.IB = const
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = x
4
– 2x
2
– 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các
giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:

8 3( 3)y x
= ±
m
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0, -1).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
12


Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc
với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x
3
– 3x
2
+ 4
biết tiếp tuyến qua P(1;0).
Bài 5: Cho (C): y = x
3

– 3x
2
+ 2.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
23
; 2)
9
−
b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị
2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho (C
m
): y =
(m 1)x m
x m
− +
−
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x +
2
x 1−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung
điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay
đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
13


c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 8: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
VẤN ĐỀ 2
TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = – x
3
+ mx
2
– m. Tìm m để hàm số đồng biến trong

khoảng (1; 2). ĐS :
3m ≥
Bài 2: Tìm m để hàm số
3 2
y = 2 3
3 2
x mx
x− − +
trên khoảng
(1 ; + )∞
(HD: 1)m ≤ −
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2
Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS :
6 6
6 6
m− ≤ ≤
Bài 4: Cho hàm số
3 2
x x
y mx
3 2
= + +
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ
lớn hơn m. (ĐS : m < -2)
Bài 5: Tìm m để hàm số
1 1

3 2
y = ( 1)
3 2
x x m x+ + +
đạt cực trị tại các điểm có
hoành độ x > m.
3
( , 1)
4
m m< − ≠ −
14


Bài 6: Cho hàm số
2 22
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)
Bài 7: Định m để hàm số
4 2 2
y = mx ( 9) 10m x+ − +
có ba điểm cực trị.
ĐS :
3
0 3
m

m



< −
< <
Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số
3
2 2
y = (a 1) ( 1) 3 1
3
x
a x x− + + + +
đồng
biến trên
¡
?
HD: 1 2a a< − ∨ ≥
Bài 9: Định m để hàm số
2
y =
1
x x m
x
− +
−
đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1)
Bài 10: Định m để hàm số
2
y =

1
x x m
x
+ +
+
có các điểm cực trị nằm về hai
phía của trục tung (ĐS: m > 0).
Bài 11: Định m để hàm số
1
3 2
y = ( 1) 4 7
3
x m x x+ + + +
có độ dài khoảng
nghịch biến bằng
2 5
. ĐS:
2
(x x ) 4x x 20 m 2,m 4
1 2 1 2
+ − = ⇒ = = −
.
Bài 12: Định m để hàm số
2
y = ( m 0 )
x mx m
x m
− +
≠
−

có giá trị cực đại và giá
trị cực tiểu trái dấu.
:0 4HD m< <
Bài 13: Cho hàm số
3 2
y = 2x 3(2 1) 6 ( 1) 1. m x m m x− + + + +
Với giá trị nào của
m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d):
y = x + 2
1
:
1 17
4
m
HD
m





= −
− ±
=
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số
2
8
y =
1
x mx m

x
+ − +
−
luôn có cực trị với
mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn:
2 2
y + y 72
cd ct
=
15


{ }
2
2 8
4 ( y = m + 8 )
HD : D = \ 1 , y = = 0
2 ( y = m 4 )
2
( 1)
2 2 2 2
y + y 72 ( 8) ( 4) 72 2
CT
CÑ
x x
x
x
x
m m m




− −
=
′
• ⇔
= − −
−
• = ⇔ + + − = ⇔ = −
¡
Bài 15: Tìm m để hàm số
3 2
y = 2x 3( 1) 6( 2) 1m x m x+ − + − +
có hai cực trị
thuộc khoảng (-2, 3).
{ }
2 2
: D = , y = 6x 6( 1) 6( 2) 6[ ( 1) ( 2)] 0
1, 2
1 2
1 2 3
1 2
( 2;4) \ 3
, ( 2;3)
2 2 3 1 4
1 2
HD m x m x m x m
x x m
x x
m m

YCBT m
x x
m m

 

  
 


′
+ − + − = + − + − =
⇔ = − = −
≠
− ≠ − ≠
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −
∈ −
− < − < − < <
¡
DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ
THỊ
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
| | 3m >

. b) y = 2(3-m
2
)x + 6m – 5,
| | 3m >
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
∀
m b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số
2
x (m 1)x m 1
y
x m
+ + − +
=
−
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0 (ĐS:
3 2 3 m < 3 2 3m > − + ∨ − −
)

16


c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số.
(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số
2
2x 3x m
y
x m
− +
=
−
. Tìm m để hàm số y có cực đại, cực
tiểu
thỏa mãn: |y
CĐ
– y
CT
| > 8 (ĐS:
1 5 1 5
2 2
m m
− +
< ∨
)
Bài 5: Cho hàm số
3 2
y = x 3 1.x mx+ + +

a) Tìm m để hàm số có cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số
c) Tìm m để y
max
+ y
min
= 2
ĐS:
1
) 3 b) y = [(2 6) 3 ] , 3 ) m = 2
3
a m m x m m c< − + − <
VẤN ĐỀ 3
TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC)
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2x 1
y
2
x x 1
+
=
+ +

có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C(
1
2
−
,0))
Bài 2: Cho hàm số y = x

3
– 3(m - 1)x
2
+ 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số
b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x
0
> m
2
– 2m – 5
17


ĐS: a) m
≥
3, b) -1 < m < 4
Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và
nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm
khác.
Bài 4: Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.
ĐS: a =

1 3
4 2
b∧ = −
Bài 5: Cho hàm số
3 2
3 9 1y x mx x
= − + +
(1). Tìm m để điểm uốn của đồ
thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI
XỨNG
DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối
xứng
A. Phương pháp:
+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) = f(-x)
(Hàm số chẵn đối với x)
18


+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x)
(Hàm số chẵn đối với y)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 3m + 1
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.

ĐS: m < 0 hoặc m>1/3
Bài 2: Cho (C):
2 2 2
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS:
2
1; |m| >
2
m
≠ ±
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m - 3)x + 4

(C
m
)
Tìm m để (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía

của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1)
(ĐH A.N HN K.D)
Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (C
m
): y = x
3
– 3x
2
- (m-2)x + m + 1
đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
Cho (C): y = f(x)
2) Chứng tỏ (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng (1)
1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)
A. Phương pháp:
- Đổi trục tọa độ
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

, ta được phương trình mới Y = g(X)

19


+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng ⇒
(1)
+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x
0
, y
0
. ⇒
(2)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng tỏ (H):
2
2x 5x 4
y
x 1
− +
=
−
có tâm đối xứng là giao
điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1))
Bài 2: Chứng tỏ (H):
2x 5
y
x 2

−
=
+
có tâm đối xứng là giao điểm
của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-2, 2))
Bài 3: Cho (C
m
):
3
2
x
y 3mx 2
m
= − + −
Tìm m để (C
m
) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng. (ĐS: m =
1)
DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC
Cho (C): y = f(x).
1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối xứng (1
’
)
2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương Oy (2
’
)
A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x
0

, y
0
chưa được cho trước
+ Ta đổi trục tọa độ
0
x X x
y Y
= +


=

, ta được phương trình mới Y =
g(X)
+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối
xứng ⇒ (1
’
)
+ Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x
0
⇒ (2
’
)
B. Bài tập tự luyện:
20


Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x

4
– 4x
3
+ 4x
2
nhận đường thẳng x = 1
làm trục đối xứng.
Bài 2: Cho (C
m
):
4 3 2
y x 4x mx= + +
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C
4
) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)
2) Tìm các giá trị của m để (C
m
) có trục đối xứng // Oy
ĐS : m = 4, x = -1
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
+ 4ax
3
– 2x
2
– 12ax (C
a
)
Tìm a để (C
a

) có trục đối xứng song song với Oy.
ĐS : a = 0, x = 0 ; a =
1±
, x =
1m

VẤN ĐỀ 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)
VẤN ĐỀ 6
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp:
• Cho hai đường:
'
(C): y f(x)
(C ) : y g(x)
=


=

21


• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C
’
) là: f(x) = g(x) (1)
• Nhận xét:
- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và

(C
’
).
- Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của
(C) và
(C’). Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hay y
0
= g(x
0
).
• Biện luận:
♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C
’
) cắt nhau tại n điểm.
♦ (1) có nghiệm bội k ≥ 2 ⇔ (C) và (C
’
) tiếp xúc nhau
♦ (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C
’
) không có điểm chung.
• CHÚ Ý:
♦ Điều kiện tiếp xúc:
(C) tiếp xúc (C
’

) ⇔ Hệ
' '
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=


=

có nghiệm
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):
Cho x = 0 ⇒ y
♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox):
Cho y = 0 ⇒ x
22
x
y
0
y
0
x
O


♦ Với (C
m
): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm
chung của (C
m
) với trục hoành nhờ vào dạng của (C

m
) và
vị trí của (C
m
) đối với hệ trục.
⊕
Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:
Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C)
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆


<

g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔
'
f (x)
max min
max min

> 0
y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆


<


> >


<

g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆



<


< <


>

g
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) ⇔
'
f (x)
max min
> 0

y .y 0
∆


=

g
(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔
'
'
f (x)
f (x)
max min
0
> 0

y .y 0
∆ ≤


∆




>


⊕
Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:
Bài giảng
23



⊕
Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n
nghiệm”
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:
• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số
f(x).
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với
đường thẳng (d): y = g(m).
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:
(C): y = x

3
+ 9x và (C
’
): y = 6x
2
+ 4
Bài 2: Cho (C): y =
2 1
1
x
x
−
−
và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1
Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:
(C): y = x
3
- 6x
2
+ 9x - 6 và (C
’
): y = mx – 2m – 4
Bài 4: Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với hoành, biết:
a) (C
m
): y = x
3

- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 5: Cho (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 6: Cho (C
m
):
3 3
2 2

x m
y mx (m 1)x
3 3
= − + − −

24


Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương
Bài 7: Cho (C
m
): y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m +1
Định m để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1
cấp số cộng.
Bài 8: Cho (C):
2
x x 1
y
x 1
− +
=
−

và (P): y = x
2
+ a
Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)
Bài 9: Cho các đường (C):
2
x 2x 2
y
x 1
− +
=
−

(Δ
1
): y = - x + m và (Δ
2
): y = x + 3
Tìm m để (Δ
1
)

cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ
2
)
Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x
3
+ ax
2
+ bx + c

cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục
hoành.
Bài 11: Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9x – 6 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
sao cho 2x
2
= x
1
+ x
3
. Tìm 3 nghiệm đó
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x
3
- 3x + m = 0
ĐS: -1< m < 1
Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m
1x
2
+
Bài 14: Cho phương trình:
m)x6)(x3(x6x3

=−+−−++
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để PT có nghiệm
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m
2
1x +
25