mot so van de trong toan hoc

GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
Một số vấn đề hay toán học
Trong một lần tình cờ tôi đọc đợc bài viết này trên máy tính của một ngời bạn.
Tôi thấy đây là một bài viết hay, tôi muốn chia sẻ với các bạn, mong rằng đây là một tài
liệu bổ ích và phục vụ tốt cho quá trình giảng dạy cũng nh học tập của các bạn.
Chúc thành công!
Bn v mt dng phng trỡnh cha hai hm ngc nhau. Vớ d 1: Gii phng
trỡnh: .
t .
Vy ta cú h phng trỡnh :
. Tr hai phng trỡnh ca h:
(Do ) Thay vo h ta cú:
.
Vy phng trỡnh cú ba nghim: .
Bỡnh lun: Bi toỏn trờn l bi toỏn khỏ n gin v cú l nhiu bn khụng my khú khn
gii bi toỏn ny. Tuy nhiờn t bi toỏn trờn ta cú th tng quỏt c dang phng trỡnh trờn
nh sau:
* Dng tng quỏt bi toỏn trờn: (I)
gii phng trỡnh ny ta t ta cú h: . õy l
h i xng loi II vi hai n t v y.
* T dng trờn ta cho bng nhng biu thc c th v bin i i ta cú c nhng
phng trỡnh m ta thng gi l cha hai hm ngc nhau. Do ú khi gp phng trỡnh cha
hai hm ngc nhau ta tỡm cỏch bin i v dng trờn. Ta xột mt s vớ d sau:
Vớ d 2: Gii phng trỡnh :
Gii: iu kin :
PT
t .
Ta cú h :

Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
1
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng

*
(thỏa dk ).
*
(thỏa đk ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải: ĐK:
PT
Đặt
Ta có hệ phương trình:
. Do nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta
được:
.Vậy phương trình đã cho có nghiệm: .
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương trình bằng
cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình : .
Giải: Điều kiện :
Phương trình
Đặt và .
Ta có : .
* .
* .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840

2
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình :
Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được:
.
Đặt , ta có:
.
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu
thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví
dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình : .
Giải:
PT
Đặt ,
Ta có hệ phương trình :
*
phương trình vô nghiệm.
*
hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các kí thi chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài
phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí

do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
3
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã
cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh
đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.
Trước hết thì các bạn cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp. Trong
những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với
sin và cos.
Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà
trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh
chứng là đề thi khối B – 2008

“Giải phương trình : (ĐH Khối B –
2008 ).”
Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu
.
Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin
và cos là phương trình có dạng trong đó:
Ví dụ: là phương trình đẳng cấp
bậc bốn .
Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không
phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết
lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy
phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta
có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

“Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn
hoặc cùng lẻ.”
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương
trình một hàm số là .
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên
2)
3)
Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).
Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không
ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì
phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương
trình mũ, logarit để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã
có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích
và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A –
2008 )
Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung
và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
4
GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
cung cú dng trong ú nờn iu u tiờn ta ngh ti l s dng cụng thc
cng phỏ b hai cung ú
Ta cú:
Nờn phng trỡnh ó cho

Nhn xột: * phỏ b hai cung m gõy khú khn cho chỳng ta ngoi cỏch ó nờu trờn ta cú
th lm theo cỏch khỏc nh sau:
.
.
* Ta thy sau khi phỏ b hai cung v cung thỡ trong phng trỡnh ch cũn li
mt cung duy nht nờn ta d bin i hn. iu ny cng hon ton t nhiờn thụi phi
khụng cỏc bn? Khi gii cỏc bi toỏn toỏn hc hay cỏc bi toỏn trong cuc sng c bit l bi
toỏn so sỏnh thỡ iu chỳng ta cn lm l a v cựng mt n v hay l cựng mt dng.
Chng hn tụi xin nờu vớ d n gin nhng vụ cựng thỳ v m tụi thng hi cỏc em hc sinh
l 5 qu cam tr 3 qu cam cũn my qu ? v hc sinh ch ci v tr li ngay bng hai qu.
Th tụi hi tip 5 qu cam tr 3 qu tỏo bng bao nhiờu? Lỳc ny trờn khuụn mt cỏc em
khụng cũn nhng n ci na m thay vo ú l mt s tũ mũ v cui cựng thỡ cỏc em tr li
l khụng tr c, d nhiờn cõu hi tip theo l vỡ sao? Cỏc em tr li l vỡ khụng cựng mt
loi!
Chc cỏc em hiu tụi mun núi iu gỡ ri ch ?
Vy nguyờn tc th nht tụi xin a ra cho cỏc bn l:
a v cựng mt cung.
Bõy gi ta vn dng nguyờn tc ny vo gii nhng phng trỡnh lng giỏc cú mt trong cỏc
thi ca nhng nm gn õy nhộ

Vớ d 2: Gii phng trỡnh : ( H Khi D 2006 ).
Li gii:
Vn dng nguyờn tc trờn ta s chuyn hai cung v v cung
p dng cụng thc nhõn ụi v nhõn ba ta cú:
t .
Ta cú:
T õy cỏc bn tỡm c
Chỳ ý : * Trong SGK khụng a ra cụng thc nhõn ba tuy nhiờn cỏc em cng nờn bit cụng
thc ny nu trong lỳc khú khn cú th mang ra s dng vỡ chng minh nú khụng my khú
khn

* Cỏch gii trờn khụng phi l cỏch gii duy nht v cng khụng phi l cỏch gii hay nht
nhng cỏch gii ú theo tụi nú t nhiờn v cỏc bn d tỡm ra li gii nht. Cỏch gii ngn gn
v p nht i vi phng trỡnh trờn l ta bin i v phng trỡnh tớch nh sau
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
5
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex]
giải phương trình này ta được nghiệm như trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ).
Lời giải:
Ta chuyển cung về cung
Ta có:
Nên phương trình đã cho
Đặt . Ta có:
. Từ đây ta tìm được các nghiệm

Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về
cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi .
PT
.


Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008
).
Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x.
PT

.
Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung.
Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 5 : Giải phương trình : .
Với phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình
xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất
định đó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của
hai phương trình là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích
thành tổng. Thật vậy
Phương trình
Ví dụ 6 : Giải phương trình .
Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn
nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan
hệ điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích.
Phương trình
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
6
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là
Biến đổi tích thành tổng và ngược lại
Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi
thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút gọn).
Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là
ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.

Ví dụ 7 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2002 ).

Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng thành
tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại
không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương
trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa
bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta
liên tưởng đến công thức hạ bậc.
Phương trình
.
Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy
nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu
trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận
tiện cho việc biến đổi .
Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc

Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ĐH Khối A – 2005 ).
Phương trình
.

Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về
phương trình chỉ chứa cosx và đặt .
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc
và công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học).

Ví dụ 9 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2004 ).
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình
Đk: .

Phương trình

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
7
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng

Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos
và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay
cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình !

Ví dụ 10 : Giải phương trình (ĐH Khối D – 2003 ).
Điều kiện : .
Phương trình


.
Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình
lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về
phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

Ví dụ 1: Giải phương trình : (ĐH Công Đoàn – 2000).
Giải: Điều kiện :
Phương trình . Đây là
phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ),
ta được phương trình :
thỏa điều kiện .
Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho

hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình
ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2003 ).
Giải: Điều kiện:
Phương trình

(do
)
.
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
8
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 ).
Giải:
Ta có
Nên phương trình
.
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức
.
.
Ví dụ 4: Giải phương trình: (ĐH Khối D
– 2005 ).
Giải: Ta có: .

Nên phương trình
.

.

2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích :
Tức là ta biến đổi phương trình về dạng
. Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình :
.
Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung.
Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :
* Các biểu thức ; ;
; nên chúng có thừa số chung là
.
* Các biểu thức có thừa số chung là .
* có thừa số chung . Tương tự có thừa số
chung .

Ví dụ 1: Giải phương trình: (ĐH Khối B – 2005 ).
Giải:
Phương trình
.
.
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
9
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Nhận xét: Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau
Phương trình

. Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng

đều dựa trên nguyên tắc ”đưa về một cung”.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (Dự bị Khối D – 2003 ).
Giải: Đk: .
Phương trình
.
Ví dụ 3: Giải phương trình: .
Giải: Đk:
Phương trình
.
Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Giải:
Phương trình
( Lưu ý : ).
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay
nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.
PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ
Áp dụng cho BDT Côsi
Ví dụ 1 : Cho x,y >= 0 thỏa mãn
Tìm GTLN của biểu thức :
Giải :
Đặt Áp dụng BDT Côsi cho 6 số :
Cộng vế theo vế :
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
10
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Vậy ta cần xác định a,b thỏa hệ :
Từ (2) : thay vào (1) :

Thay vào (4) :

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của hàm số :
với
Giải :
Đặt
Áp dụng BDT Côsi :
Ta xác định a sao cho :

(vì )
Vậy : ; Xảy ra
Ví dụ 3 : Tìm GTLN của hàm số :
Giải :
Đặt
Áp dụng BDT Côsi :
Ta cần xác định a sao cho :

Vậy :
Xảy ra
Ví dụ 4 : Tìm GTLN của hàm số :
Giải :
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
11
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Đặt (*)
Áp dụng BDT Côsi :

Ta cần xác định a sao cho :
(Do )
Thỏa mãn (3)
Thay lại vào (2) :
Thay vào (*) : Vậy GTLN của hàm số là 3 . Đạt được khi .
Ví dụ 5 : (DH - B 2008)
Cho x,y là các số thực thỏa mãn :
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
Lời giải :
GS k là cực trị của P ta có :

Ta cần xác định k sao cho :

Vậy :
;
Để thuần thục hơn phương pháp này các bạn làm thêm các bài tập sau :
BÀI TẬP :
1. Cho các số dương x,y thỏa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức :
2. Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức :
3. Tìm GLNN của hàm số :
4. Tìm GTNN của hàm số :
với
5. Tìm GTLN của hàm số :
6. Tìm GTNN của hàm số :
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
12
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
7. Cho x,y là các số không âm thỏa mãn :
Tìm GTLN của biểu thức :
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2)
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình
đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
khi đó :
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình sau khi đã
đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 1 :
(1)
lời giải :
ĐK : ; Đặt
Lúc đó :
(1)
Phương trình trở thành :
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với thì :
( thỏa mãn điều kiên
Ví dụ 2 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt .
phương trình đã cho trở thành :

* Với ,
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
13
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
ta có :
(vô nghiệm vì : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương trình nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ :
Ví dụ 3 :

Lời giải :
Đặt .
Phương trình đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét :
Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là
ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn
vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số
tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 4 :
Lời giải :
ĐK : ; Đặt .

phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương trình đã cho .
ví dụ 5 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt
Phương trình đã cho trở thành :
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Phương pháp đặt ẩn phụ
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
14
GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
Cú 3 bc c bn trong phng phỏp ny :
- t n ph v gỏn luụn iu kin cho n ph
- a phng trỡnh ban u v phng trỡnh cú bin l n ph
Tin hnh gii quyt phng trỡnh va to ra ny . i chiu vi iu kin chn n ph
thớch hp.
- Gii phng trỡnh cho bi n ph va tỡm c v kt lun nghim
* Nhn xột :
- Cỏi mu cht ca phng phỏp ny chớnh l bc u tiờn . Lớ do l nú quyt nh n
ton b li gii hay, d , ngn hay di ca bi toỏn .
- Cú 4 phng phỏp t n ph m chỳng tụi mun nờu ra trong bi vit ny ú l :
+ PP Lng giỏc hoỏ
+ PP dựng n ph khụng trit

+ PP dựng n ph a v dng tớch
+ PP dựng n ph a v h
Sau õy l bi vit :
B. Ni dung phng phỏp
I. Phng phỏp lng giỏc hoỏ
1. Nu thỡ ta cú th t hoc
Vớ d 1 :
Li gii :
K : ; t Phng trỡnh ó cho tr thnh :
cos( )( ) = 0
Kt hp vi iu kin ca t suy ra :
Vy phng trỡnh cú 1 nghim :
Vớ d 2 :
Li gii :
K : Khi ú VP > 0 .
Nu
Nu .
t , vi ta cú :
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
15
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
( ) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt

phương trình đã cho trở thành :

Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :
Lời giải :
ĐK : ; Đặt
phương trình đã cho trở thành :

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4
HD :
Nếu : phương trình không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
khi đó phương trình đã cho trở thành :
2. Nếu thì ta có thể đặt :
Ví dụ 5 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt
Phương trình đã cho trở thành :

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
16
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng

kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt
phương trình đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước :
3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 :
(1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương trình nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :

Lời giải :
ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :


Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840

17
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Kết hợp với điều kiện su ra :
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của
phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 :

Lời giải :
phương trình đã cho tương đương với :
(1)
Đặt :
(1) trở thành :
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số
CHỨA THAM SỐ

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp
các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất.
Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp
(như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x
thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.


Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số

và cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì
phương trình : có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
18
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là D=R.
Ta có:
thay vào (1) ta thấy không thỏa
mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà
đồng biến.
Mặt khác: và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm .

2) ĐK:
Xét hàm số với
Ta có: .
vô nghiệm
không đổi dấu trên D, mà
Mặt khác:

phương trình có nghiệm .

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
1) Phương trình
Xét hàm số với
Ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm .

2) Điều kiện: .
Khi đó phương trình
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
19
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
(Vì )
Xét hàm số với .
Ta có: .
Do .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]
Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta
sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối
với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào

nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm có nghiệm .
với
có .
Vậy hệ có nghiệm .

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng
có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
20
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng

Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta được:
(3).
Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với
đồng biến trên các khoảng và
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
và . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k
giao điểm.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
Giải:
Đặt . Ta có phương trình :

.
Xét hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt.
Giải:
Phương trình (do )
Xét hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên .

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một nghiệm
.
Giải:

Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:
Phương trình .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
21
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Xét hàm số : với
Ta có: với nghịch biến.
Mà: và
Vậy phương trình có đúng một nghiệm
.

Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có : (do x=0 không là nghiệm phương
trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Xét hàm số với .
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
.
Vậy là những giá trị cần tìm.

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ
trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành
(2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác
định của t chính là miền giá trị của hàm ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi
giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?.

Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.
.
.
.
Giải:
1) Điều kiện: .
Phương trình
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
22
GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
t
Ta cú phng trỡnh : (1).
Phng trỡnh ó cho cú nghim cú nghim
Xột hm s vi , cú .
Vy phng trỡnh cú nghim .

2) iu kin:
t
Phng trỡnh ó cho tr thnh: (2).
Xột hm s
.
Da vo bng bin thiờn ca

Suy ra (1) cú nghim cú nghim .
Xột hm s vi , cú
Suy ra l hm ng bin trờn
Vy phng trỡnh cú nghim .

3) iu kin : .
Ta thy khụng l nghim ca phng trỡnh nờn ta chia hai v phng trỡnh cho
, ta c: ( * ).
t

Khi ú ( * ) tr thnh: (3).
Phng trỡnh ó cho cú nghim cú nghim .
Xột hm s f(t) vi , cú: .
.
Vy phng trỡnh cú nghim .

Chỳ ý : Trong cỏc bi toỏn trờn sau khi t n ph ta thng gp khú khn khi xỏc nh min
xỏc nh ca t . trờn chỳng ta ó lm quen vi ba cỏch tỡm min xỏc nh ca t. Tuy nhiờn
ngoi nhng cỏch trờn ta cũn cú nhng cỏch khỏc tỡm min xỏc nh ca t. Chng hn:
cõu 2) ta cú th ỏp dng BT Cụsi tỡm xỏc nh ca t :
.
cõu 3 tỡm min xỏc nh ta cú th lm nh sau:
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
23
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
vì .

Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình
có nghiệm .
có nghiệm trên .

Giải:
1) Đặt và .
Phương trình đã cho trở thành: (3) ( vì ).
Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn .
Xét hàm số với , ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .
2) Đặt . Với .
Phương trình đã cho trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm
Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt


Giải: Điều kiện : .
(Do ).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt .
Đặt và (2) trở thành
Từ cách đặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị
. Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt
.
Xét hàm số với
Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840

24
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2) .
3) 4) .
Giải:
1) Đặt và f(0)=1
.
2) Đặt và f(1)=0.
.
3) Đặt .
4) Đặt
.
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
2) .
3)
Giải:
1) Đặt
và .
Khi đó: .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
25