Các phương pháp chứng minh hệ dao động điều hòa

MỞ ĐẦU
1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI
Các quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạng thái được lặp đi lặp lại ở mức độ
này hay mức độ khác được gọi là quá trình dao động.
Dựa vào bản chất vật lí của quá trình dao động ta có hai loại dao động như sau:
Dao động cơ học (dao động của con lắc, sợi dây, máy móc, các bộ phận của
đồng hồ, áp suất không khí khi âm lan truyền trong không khí, sự lắc của tàu thủy,
sóng biển…).
Dao động điện từ (dao động của mạch dao động điện, dao động của các véctơ
cường độ điện trường và cảm ứng từ trong trường điện từ biến thiên, …). Nói
một cách tổng quát, dao động là một chuyển động được lặp đi lặp lại nhiều lần theo
thời gian.
Hiện tại, trong các sách giáo trình đại học, cao đẳng hay trong chương trình phổ
thông, lớp 12 [1] dao động điều hòa đã được tách riêng ra thành một phần riêng.
Trong sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đi chứng minh những dao động điều hòa
đơn giản như dao động điều hòa ở con lắc đơn, con lắc lò xo nằm ngang, các
trường hợp khác hầu như thừa nhận kết quả chứ không đi sâu vào chứng minh. Các
bài tập chủ yếu đưa ra khảo sát các đại lượng đặc trưng cho dao động như biên độ,
tần số góc, pha dao động, li độ, vận tốc, gia tốc…
Trong giáo trình cao đẳng và đại học như trong [5-7], hệ dao động điều hòa
được chứng minh bằng phương pháp động lực học ra trên một vài trường hợp như:
Con lắc đơn dao động với tần số góc nhỏ, con lắc lò xo nằm ngang, mà không đi
sâu nghiên cứu trường hợp khác. Một số tài liệu khác như [9], có đưa ra bài tập
chứng minh như con lắc lò xo nằm nghiêng và thẳng đứng, con lắc lò xo có ròng
rọc, con lắc lò xo mắc kép … mức độ khó được nâng lên nhưng không có lời giải
chi tiết, các bước không cụ thể, chưa rõ ràng vắn tắt làm cho người đọc khó hiểu,
khó vận dụng. Trong một số tài liệu như [4] có giới thiệu hai phương pháp chứng
1
minh dao động cơ học điều hòa là phương pháp động lực học và phương pháp bảo
toàn năng lượng nhưng bài tập ở mức độ đơn giản, chưa đưa ra các định hướng cụ
thể về phương pháp. Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng mới chỉ đưa ra để

chứng minh dao động điều hòa của con lắc đơn mà chưa đề cập tới các trường hợp
cụ thể khác.
Chính vì vậy nhóm chúng tôi chọn nghiên cứu các phương pháp khác nhau
chứng minh hệ dao động cơ học điều hòa để giúp chúng ta hiểu đầy đủ và sâu sắc
về dao động cơ học điều hòa. Chúng tôi mong rằng nghiên cứu này sẽ giúp bổ sung
kiến thức phục vụ cho các kỳ thi đại học, cao đẳng và công việc học tập trên các
giảng đường đại học.
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Do ý nghĩa khoa học dao động điều hòa đối với vật lý hiện đại và mong muốn hiểu
đầy đủ và sâu sắc về dao động điều hòa, mà những giáo trình cao đẳng, đại học,
chương trình phổ thông chỉ trình bày ở mức độ đại cương chưa chuyên sâu, chúng
tôi đã chọn “Các phương pháp chứng minh hệ dao động điều hòa” làm đề tài
nguyên cứu.
3. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
Trình bày hai phương pháp để chứng minh hệ dao động điều hòa là phương pháp
động lực học và bảo toàn năng lượng.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
*Đối tượng nghiên cứu: Dao động cơ học điều hòa
* Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các phương pháp chứng minh hệ dao động
cơ học điều hòa.
5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nội dung nghiên cứu gồm 3 chương
Chương 1Tổng quan về dao động điều hòa
1.1 Định nghĩa dao động điều hòa
1.2 Đặc trưng của dao động cơ học điều hòa
2
Chương 2 Phương pháp động lực học chứng minh hệ dao động điều hòa
2.1 Cơ sở lí thuyết
2.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể
2.3 Các bài tập vận dụng

Chương 3 Phương pháp bảo toàn năng lượng chứng minh hệ dao động điều hòa
3.1 Cơ sở lí thuyết
3.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể
3.3 Các bài tập vận dụng
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
* Nghiên cứu lý luận: Tập hợp, đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống nguồn tài liệu
các đề tài, các trang web, diễn đàn vật lý của ngành giáo dục, của nhà nước.
*Lấy ý kiến chuyên gia: Thu thập ý kiến của thầy cô bộ môn và giảng viên hướng
dẫn.
*Tổng kết kinh nghiệm của các thầy cô, sinh viên khóa trước trong quá trình học
tập, rèn luyện và nghiên cứu liên quan đến các đề tài.
3
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DAO DỘNG ĐIỀU HÒA
1.1. Định nghĩa dao động điều hòa
Dao động điều hòa là quá trình trong đó những đại lượng vật lí biến đổi theo thời
gian theo định luật dạng sin hoặc cosin.
Có hai loại dao động đặc trưng là dao động cơ điều hòa và dao động điện điều hòa.
Chuyển động của một vật mà li độ x biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng sin
hoặc cosin có dạng: ; gọi là dao động (cơ học) điều hòa.
Dao động điện điều hòa là dao động được tạo ra trong một mạch điện kín có điện dung C
và một cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở thuần của mạch bằng không, có cường độ biến
đổi theo thời gian theo định luật dạng sin hoặc cosin.
* Ta có thể xét một số ví dụ về dao động điều hòa:
Bài toán 1 : Con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m, gắn vào đầu một lò
xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo treo cố định (hình 1.1).
Hình 1.1: Con lắc lò xo treo thẳng đứng
Quả cầu chịu tác dụng của hai lực: trọng lực và lực đàn hồi .
4
Ở vị trí cân bằng, lò xo giãn ra Δl, khi đó lực đàn hồi tác dụng lên vật nặng có
độ lớn là: (1.1)

Với hệ số tỉ lệ k gọi là độ cứng của lò xo.
Và tổng hợp lực tác dụng lên vật: + = (1.2)
Chọn chiều dương của vật trùng với trục tọa độ Ox như hình vẽ, gốc O là vị trí cân
bằng.
Suy ra: (1.3)
Hình 1.2: Phân tích lực con lắc lò xo treo thẳng đứng
Khi vật nặng có li độ x (độ dời tính từ vị trí cân bằng ),
Theo định luật II Newton ta có:
= (1.4)
Lực đàn hồi F của lò xo trên trục x: l) (1.5)
Chiếu (1.4) lên trục Ox:
(1.6)
Mà từ (1.3) ta có:
Nên suy ra (1.7)
Với mà
Ta được phương trình vi phân cho dao động của vật:
(1.8)
Vậy phương trình (1.8) có nghiệm hoặc .
5
Trong đó : A là biên độ dao động (li độ dao động cực đại cũng là vị trí lớn nhất của
vật trong dao động); (ωt + φ) là pha dao động; tần số góc là ω = .
Vậy vật m dao động điều hòa với li độ x là dạng hình sin hoặc cosin.
Bài toán 2: Một vật có khối lượng m, vật có dạng hình trụ đường kính d, được đặt
vào một bình chất lỏng, từ vị trí cân bằng người ta tác dụng cho nó một lực đẩy
nhẹ theo phương thẳng đứng.
Hình 1.3: Vật chịu lực đẩy Archimede
Khi vật được đặt trong chất lỏng vật đã chịu tác dụng của lực đẩy Archimede là
luôn ngược hướng với trọng lực, có xu hướng đẩy vật lên khỏi mặt nước và có độ
lớn được xác định bằng công thức:
= D (1.9)

Trong đó:
V: Thể tích của chất lỏng.
d: Đường kính của vật trụ.
D: Khối lượng riêng của chất lỏng.
g: Gia tốc trọng trường.
+ Khi vật ở vị trí cân bằng có hai lực tác dụng lên vật là trọng lực và lực đẩy
Archimede .
Tại đây tổng hợp lực tác dụng lên vật là: + = (1.10)
Chọn trục Ox hướng xuống , gốc O là vị trí cân bằng của đáy vật.
6
(1.11)
+ Khi vật có li độ x (vật chìm sâu thêm một đoạn x)
Theo định luật II Newton ta có: + = (1.12)
Chiếu (1.12) lên trục ox ta có:
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Tổng các lực tác dụng lên vật luôn có xu hướng kéo vật về vị trí cân bằng, được
gọi là lực hồi phục hay lực kéo về.
Đặt k = D Suy ra (1.16)
Suy ra ta có phương trình vi phân chuyển động của vật :
+ = 0. (1.17)
Với ω = = ω =
Phương trình (1.17) có nghiệm hoặc .
Vậy vật dao động điều hòa.
Từ hai ví dụ trên có thể cho ta thấy hiện tượng dao động điều hòa có thể gặp nhiều
trong tự nhiên dưới dạng những bài toán khác nhau. Đó là một hiện tượng vật lý cơ
bản thường gặp trong tự nhiên.
1.2 Đặc trưng về dao động cơ điều hòa
1.2.1 Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

* Phương trình dao động
Vật dao động điều hòa có phương trình dao động dạng :
Ta có thể biểu diễn phương trình dưới dạng hàm cosin như sau:
Phương trình này cho biết sự phụ thuộc của li độ x của vật nặng vào thời gian.
Các thông số đặc trưng của phương trình dao động điều hòa :
x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng.
A : Biên độ dao động hay li độ cực đại.
7
: tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số
dao động.
: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời
điểm ban đầu.
: pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời
điểm bất kỳ t.
Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
* Vị trí cân bằng: Trong dao động điều hòa vị trí cân bằng là vị trí có tổng hợp
lực tác dụng lên vật bằng và vật chuyển động theo quán tính:
= ↔ = 0.
Ta có hệ thức liên hệ: = (.vì vậy khi a = 0 thì = ωA
Vậy khi vật qua vị trí cân bằng: (1.18)
* Vận tốc:
Vận tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm của li độ x theo t :
(1.19)
Nếu li độ của vật dao động điều hòa có phương trình:
thì vận tốc có phương trình:
= (1.20)
Như vậy vận tốc cũng là một đại lượng biến đổi điều hòa theo thời gian.
Vận tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa cùng tần số , có biên
độ , lớn hơn pha của li độ một lượng , do đó người ta nói vận tốc sớm pha so với li
độ.

(a) (b)
8
Hình 1.4: Đồ thị vận tốc
a: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vận tốc vào thời gian.
b: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa vận tốc và li độ.
Vận tốc của vật dao động điều hòa qua vị trí cân bằng có độ lớn cực đại
= A .
Vận tốc của vật ở vị trí biên có độ lớn cực tiểu .
* Gia tốc trong dao động điều hòa:
Gia tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm bậc 2 của li độ x theo t:
(1.21)
Nếu li độ của vật dao động điều hòa có phương trình:
thì gia tốc có phương trình:
(1.22)
Gia tốc trong dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa cùng tần số , có biên độ ,
ngược pha (đối pha) với li độ.
(a) (b) (c)
Hình 1.5: Đồ thị gia tốc
a: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc gia tốc vào thời gian
b: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa gia tốc và vận tốc
c: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa gia tốc và li độ
Gia tốc của vật dao động điều hòa qua vị trí cân bằng có độ lớn cực tiểu
Gia tốc của vật dao động điều hòa khi ở vị trí biên có độ lớn cực đại
Chú ý: Vì gia tốc a cũng vuông pha với vận tốc v nên giữa a và v cũng có hệ thức
độc lập
9
( hay ( (1.22)
* Chu kì:
Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để một trạng thái dao động được lặp lại như
cũ (cũng chính là khoảng thời gian mà vật thực hiện được một dao động), ký hiệu

là T, đơn vị là giây (s).
Công thức liên hệ giữa chu kỳ với tần số góc là T =
* Tần số:
Tần số là số dao động mà vật thực hiện được trong một giây, ký hiệu là f, đơn vị là
Hz.
Công thức liên hệ giữa tần số và chu kỳ là (1.23)
Công thức liên hệ giữa tần số và tần số góc là (1.24)
* Hệ thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa:
Vì vận tốc v và li độ x của dao động điều hòa vuông pha nhau nên giữa v và x có
hệ thức độc lập (chứng minh được bằng cách bình phương tỉ số rồi cộng với bình
phương của tỉ số )
(1.25)
* Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Một vật P dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω luôn có
thể được coi là hình chiếu trên trục Ox của một điểm M chuyển động tròn đều
với tốc độ góc ω và bán kính quỹ đạo A.
Giải thích: Xét một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω trên vòng
tròn tâm O, bán kính bằng A theo chiều dương lượng giác (ngược chiều kim đồng
hồ).
10
Hình 1.6: Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Lúc t = 0: M ở vị trí M
o
ứng với đỉnh cung bằng pha ban đầu φ của dao động điều
hòa. Hình chiếu của điểm M
o
lên đường kính mang trục Ox cho ta biết vị trí và
hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa.
Tại thời điểm t: M ở vị trí ứng với đỉnh cung bằng pha dao động tại thời điểm
này.

Do vậy ta có phương trình: suy ra hình chiếu của điểm lên đường kính mang trục
Ox cho ta biết vị trí và hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa lúc t
đang xét.
Nhận xét: Trong thời gian t giây, điểm M chuyển động tròn đều (gắn liền với điểm
P dao động điều hòa đang xét) đi được một cung bằng theo chiều dương lượng
giác, nghĩa là bán kính OM quay được một góc là ωt cũng theo chiều dương lượng
giác.
* Tổng hợp dao động điều hòa.
+ Biểu diễn dao động điều hòa bằng vector quay.
Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một vector quay có độ dài bằng biên
độ A, quay đều quanh điểm O với tốc độ góc.
Thời điểm t = 0: góc giữa Ox và là được gọi là pha ban đầu
Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vector quay biểu diễn dao động điều
hòa chính là li độ x của dao động.
+ Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
(1.26)
11
Ta dùng phương pháp giản đồ vector quay: Vẽ các vector quay và biểu diễn các
dao động và .
Dao động tổng hợp là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, với
(1.27)
(1.28)
1.2.2 Lực trong dao động cơ điều hòa
Một vật có khối lương m dao động điều hòa với phương trình
Gia tốc của vật m là đạo hàm bậc hai của phương trình dao động x.
Ta có: (1.29)
Theo định luật II Newton : (1.30)
Độ lớn: với (1.31)
Do đó (1.32)
Hướng của . mà luôn hướng về vị trí cân bằng ( lực kéo về ).

suy ra (1.33)
( giống như con lắc lò xo nằn ngang có trong đó K là độ cứng của lò xo)
x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên tức là không co giãn.
1.2.3 Năng lượng trong dao động cơ điều hòa
Dao động cơ điều hòa là một dạng chuyển động cơ, vì vậy năng lượng dao động
là cơ năng E cho bởi: (1.34)
Trong đó: T và U lần lượt là động năng và thế năng.
+ Xét với trường hợp con lắc lò xo nằm ngang.
Ở đó động năng, thế năng của con lắc lò xo tại thời điểm t xác định theo công thức
(1.35)
(1.36)
Cơ năng của hệ được bảo toàn: (1.37)
(1.38)
+ Xét với trường hợp con lắc đơn.
Ở đó động năng, thế năng của con lắc lò xo tại thời điểm t xác định theo công thức
12
(1.39)
(1.40)
Cơ năng của hệ được bảo toàn: Cơ năng = Thế năng + Động năng.
Tức là: (1.41)
* Khảo sát định tính xét cho con lắc lò xo và con lắc đơn:
Khi đưa vật từ vị trí cân bằng đến vị trí biên độ A, lực kéo đã thực hiện công và
truyền cho vật năng lượng ban đầu dưới dạng thế năng.
Lực kéo ngừng tác dụng, lực đàn hồi F ( hoặc thành phần của trọng lực, có
phương vuông góc với dây) kéo vật chuyển động nhanh dần về vị trí bằng 0. Động
năng của vật tăng dần, thế năng của vật giảm dần.
Khi về tới vị trí cân bằng thì lực F = 0 ( hoặc ) , thế năng bằng 0 khi đó vận tốc của
vật cực đại, động năng cực đại.
Từ vị trí cân bằng vật tiếp tục chuyển động theo quán tính, lực F (hoặc ) xuất hiện
theo chiều ngược lại làm cho vận tốc vật giảm dần, tức là động năng giảm dần. Lúc

này lò xo bị nén (hay vật lên cao dần) nên thế năng tăng.
Khi vật tới vị trí biên B thì dừng lại. Tại B động năng hòn bi bằng không, thế năng
cực đại.
Sau đó lực F (hoặc ) đẩy vật chuyển động về 0. Động năng của vật tăng dần.
Quá trình trên lặp lại tương tự.
* Khảo sát định lượng cho con lắc lò xo nằng ngang và con lắc đơn treo thẳng
đứng.
Con lắc lò xo Con lắc đơn
13
Con lắc lò xo Con lắc đơn
Hình 1.7: Con lắc lò xo nằm ngang
Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng
Giả sử tai thời điểm t li độ của con lắc
là:
Thế năng của lò xo khi đó là:
(vì k = m)
Vận tốc của hòn bi là:
Động năng của hòn bi là:
Cơ năng toàn phần của con lắc là tổng
cộng động năng và thế năng.
*Kết luận : Trong quá trình dao động cơ
năng của con lắc lò xo là không đổi và tỉ
lệ với bình phương biên độ dao động.
Động năng và thế năng biến thiên điều
hòa theo thời gian. Động năng của hòn
bi tăng lên bao nhiêu thì thế năng của
lò xo giảm bấy nhiêu và ngược lại, tức
là có sự chuyển hóa từ thế năng của lò
xo sang động năng của hòn bi và ngược
lại.

Hình 1.8: Con lắc đơn
Chọn mốc thế năng là vị trí cân bằng.
Giả sử tại thời điểm t vật có li độ
. Khi đó dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc , thì thế năng
của hệ là :
(do góc α nhỏ nên = )
Vận tốc:

Động năng:
Cơ năng toàn phần
*Kết luận: Với biên độ góc nhỏ, con
lắc đơn dao động điều hòa. Cơ năng
của con lắc đơn không đổi và nó tỉ lệ
với bình phương của biên độ dao
động.Thế năng của con lắc giảm đi
bao nhiêu thì động năng của nó tăng
lên bấy nhiêu và ngược lại. Tức là có
sự chuyển hóa năng lượng từ thế
năng sang động năng và ngược lại
14
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC CHỨNG MINH HỆ DAO
ĐỘNG ĐIỀU HÒA
2.1 Cơ sở lý thuyết
Dao động cơ học điều hòa tuân theo các định luật Newton nên quy luật của dao
động cơ học điều hòa có thể tìm được từ việc giải các định luật Newton, nhất là
định luật II Newton, cùng với sử dụng các lực cơ học đã biết tác dụng lên vật hoặc
hệ vật.
Định luật II Newton được phát biểu như sau: Gia tốc của vật tỉ lệ thuận với lực tác
dụng lên vật và tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó.

Định luật này được biểu diễn dưới dạng toán học bằng biểu thức vector:
(2.1)
* Các lực trong tự nhiên
2.1.1 Lực đẩy Archimede
Phát biểu nguyên lý: Mọi vật chìm một phần hay toàn bộ trong một chất lỏng đều
chịu một lực đẩy hướng lên trên bằng trọng lượng của khối chất lỏng bị vật chiếm
chỗ. Lực đẩy này gọi là lực đẩy Archimede.
- Vật chìm trong chất lỏng:
15
Hình 2.1 :Vật chìm trong chất lỏng
Khi đó trọng lượng của vật lớn hơn lực đẩy Archimede lên vật. Gọi V là thể tích
của vật, và lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng và của vật.
Sức đẩy archimede bằng: , trọng lượng
Do nên , ta thấy vật chìm xuống với một lực tác dụng bằng:
(2.2)
- Vật nổi trong chất lỏng:
Hình 2.2: Vật nổi trong chất lỏng
Nếu thì vật chịu một lực F hướng lên trên, vật sẽ nổi lên. Khi vật nằm cân bằng
trên mặt nước, một phần của vật có thể tích nằm trong lòng nước. Khi đó lực đẩy
archimede cân bằng với trọng lượng của vật, tức là:
(2.3)
2.1.2 Lực đàn hồi
16
Hình 2.3: Con lắc lò xo treo thẳng đứng
Thực nghiệm chỉ ra rằng trong giới hạn đàn hồi, độ lớn của lực tỉ lệ thuận với độ
dịch chuyển x của vật.
(2.4)
→ (2.5)
Trong đó:
x: là độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng( li độ )

A: Biên độ, độ lệch cực đại,luôn luôn dương
2.1.3 Lực hấp dẫn
Lực hút tương hỗ giữa hai vật bất kỳ có khối lượng,đặt tại hai điểm tỷ lệ với tích
số hai khối lượng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Lực
hút tương hỗ đó được gọi là lực hấp dẫn:
(2.6)
Trong đó: : Là vector đơn vị theo hướng vector kẻ từ điểm
(2.7)
G: Là hằng số hấp dẫn có giá trị bằng .
2.1.4 Lực quán tính
Ta xét các định luật động lực học trong một hệ quy chiếu O không quán tính tịnh
tiến với gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính S. Nếu gọi là gia tốc chuyển động
của vật đối với hệ S là:
17
(2.8)
Nhân vế với vế với m, ta có
(2.9)
Vì S là hệ quy chiếu quán tính nên trong đó định luật thứ II Newton được nghiệm
đúng , do đó :
(2.10)
Hay
(2.11)
Như vậy, khảo sát chuyển động của vật trong hệ quy chiếu O tịnh tiến có gia tốc
đối với hệ quy chiếu quán tính S, ngoài các lực tác dụng lên vật phải kể thêm lực:
(2.12)
Lựcgọi là lực quán tính tịnh tiến. Phương trình động lưc học của vật trong hệ quy
chiếu không quán tính O được viết là:
(2.13)
Lực quán tính luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển động của hệ
quy chiếu không quán tính.

2.1.5 Trọng lực và trọng lượng
Xét vật nằm trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn và cố định đối với trái đất. Tác dụng
lên vật có lực hút của trái đất , phản lực của mặt phẳng , lực quán tính do chuyển
động quay quanh trục của nó .
Điều kiện cân bằng của vật đối với trái đất là:
(2.14)
Ta kí hiệu : (2.15)
Viết lại biểu thức (2.14) dưới dạng: (2.16)
Khi đó, vật chỉ chịu hai lực tác dụng cân bằng nhau , .
Lực được gọi là trọng lực. (2.17)
2.1.6 Phản lực
18
Hình 2.4: Vât chịu tác dụng của trọng lực P và phản lực N
Khi 1 vật đặt lên một mặt phẳng ngang dưới tác dụng của trọng lực vật sẽ chịu tác
dụng của lực khác từ phía mặt phẳng. Lực này vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc
và được gọi là phản lực pháp tuyến . hướng lên trên.
Độ lớn: xác định từ phương trình động lực học:
(2.18)
2.1.7 Lực căng
Hình 2.5: Vật được nối với sợi dây vắt qua ròng rọc
Khi vật được nối với sợi dây mắc qua dòng dọc. Nếu ta kéo dây bằng 1 lực, sợi
dây sẽ kéo vật với một lực T có hướng dọc theo sợi dây, lực T được gọi là lực
căng.
2.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể.
2.2.1 Phương pháp chứng minh
Phương pháp động lực học chứng minh dao động cơ học điều hòa có thể thực hiện
bằng các bước sau:
19
Bước 1: Xác định các lực tác dụng vào vật. Lập biểu thức hợp lực tại vị trí cân
bằng. (2.19)

Bước 2: Chọn HQC sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất. Chọn trục tọa độ
O trùng với VTCB của vật, chiều dương trùng với chiều chuyển động).
Chiếu lên trục tọa độ để thu được phương trình vô hướng:
(2.20)
(Dấu “ ” thể hiện chiều của các lực tác dụng lên vật so với chiều dương đã chọn).
Bước 3: Xét vật ở thời điểm t, có li độ là x:
Áp dụng định luật 2 Newton, ta có:
(2.21)
chiếu lên trục tọa độ để thu được phương trinh vô hướng:
(2.22)
Từ (2.20) và (2.22) ta có :. Phương trình này có nghiệm dạng:
hoặc (2.23)
Bước 4: Suy ra kết quả và kết luận
Vật dao động điều hoà, với tần số góc là ω
2.2.2 Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Con lắc đơn gồm quả nặng khối lượng m treo vào sợi dây không giãn và
có khối lượng không đáng kể. Hòn bi có kích thước rất nhỏ so với chiều dài dây.
Kéo thả vật lệch khỏi vị trí cân bằng một góc .Chứng minh vật dao động điều hòa.
20
Hình 2.6: Con lắc đơn
Giải:
Bước 1: Xét con lắc đơn đang dao động ở góc lệch
Khi vật ở vị trí cân bằng, lực tác dụng lên hòn bi gồm trọng lực và lực căng dây .
(2.24)
Bước 2: Chọn chiều dương như hình vẽ. Gốc O là vị trí cân bằng.
21
Hình 2.7: Các lực con lắc đơn ở li độ góc
Bước 3: Khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng một góc .
Theo định luật II Newton: (2.25)
Chiếu (2.25) lên Ox, ta có:

(2.26)
Vì α rất nhỏ nên: (2.27)
Do đó (2.26) ↔ (2.28)
Đặt và (2.29)
→ (2.30)
Bước 4:
Nghiệm của phương trình (2.30) này có dạng: giống như phương trình hoặc giống
như phương trình với s giữa vai trò của x. Vậy với biên độ dao động nhỏ (α ≤ 10
0
),
dao động của một con lắc đơn là dao động điều hòa với tần số góc .
Ví dụ 2: Con lắc lò xo như hình vẽ (Hình 2.8). Vật nhỏ khối lượng m, lò xo có độ
cứng k, mặt phẳng nghiêng một góc α, bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Kéo
vật xuống theo phương thẳng đứng song song với mặt phẳng nghiêng một đoạn rồi
thả vật không vận tốc ban đầu. Chứng minh vật dao động điều hòa.
22
23
x
m
24
Hình 2.8: Con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng
Giải:
Bước 1: Tại vị trí cân bằng của vật chịu tác dụng của các lực:
Tổng hợp lực tác dụng lên vật ở vị trí cân bằng: (2.31)
Bước 2: Chọn trục tọa độ như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng. Chiều dương
hướng theo Ox.
Chiếu phương trình (2.31) lên trục Ox ta được:
(2.32)
Hình 2.9: Các lực tác dụng lên vật mắc vào lò xo treo trên mặt phẳng nghiêng
Bước 3: Khi vật có li độ x: (2.33)

Áp dụng định luật II Newton: (2.34)
(2.35)
Chiếu phương trình (2.35) lên trục Ox ta có:
(2.36)
Hay (2.37)
Thay (2.32) vào (2.37) suy ra (2.38)
Suy ra: x (2.39)
Với (2.40)
Bước 4: Nghiệm của phương trình (2.40) là:
Như vậy vật dao động điều hòa với
chu kỳ
25