Một số kỹ thuật sáng tạo bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VÀ MỘT SỐ KỸ THUẬT SÁNG TẠO BÀI TẬP

A. Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
( )C
.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
khi biết ít nhất một trong 3 yếu tố:
'
0 0 0
, , ( )x y f x
.
Ta sử dụng định lý sau (định lý 3, trang 152, SGK lớp 11 Ban cơ bản)
Định lý:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
của hàm số
( )y f x=
tại điểm
0 0 0
( ; )M x y
là
'
0 0 0
( )( )y y f x x x− = −
Trong đó

0 0
( )y f x=
.
Đối với dạng này ta cần tìm đủ 3 yếu tố:
'
0 0 0
, , ( )x y f x
và thế chúng vào phương trình trên.
Để làm được điều đó ta cần biết mối quan hệ của chúng:
Dạng 1.1: Biết tiếp điểm
0 0 0
( ; )M x y
.
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại

( 1; 1)M − −
.
Phân tích: sơ đồ
'
0 0
( )x f x→
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 1
1
'
0
0 0
( )
( )
'
0 0 0
( )
k f x
y f x
y x f x
=
=
ƒ
ƒ
Giải
Theo đề bài ta có
0
1x = −
và
0
1y = −

.
Mặt khác:
' '
2
'
4
( )
(1 )
( 1) 1
y f x
x
f
= =
−
⇒ − =
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
( 1; 1)M − −
'
0 0 0
( )( )y y f x x x− = −
1 1( 1)y x
y x
+ = +
⇔ =
Dạng 1.2: Biết
0
x

.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
( ) 3 4y f x x x= = − −
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại điểm có hoành độ
0
1.x =
Phân tích: sơ đồ
'
0 0 0
( )y x f x¬ →
Giải:
Theo đề bài ta có
0
1.x =
Thế
0
1x =
vào
4 2
( ) 3 4y f x x x= = − −
ta được:
0 0
( ) (1) 6

(1; 6)
y f x f
M
= = = −
⇒ −
Mặt khác:
' 3
'
( ) 4 6
(1) 2
f x x x
f
= −
⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
(1; 6)M −
'
0 0 0
( )( )
2 4
y y f x x x
y x
− = −
= − −
Dạng 1.3: Biết
0
y

.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 1
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
điểm có tung độ bằng 1.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 2
2
Phân tích: sơ đồ
'
0 0 0
( )y x f x→ →
Giải:
Theo đề bài ta có
0
1y =
.

Thế
0
1y =
vào
2 1
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
ta được:
0
0
0
2 1
1 0
2
(0;1)
x
x
x
M
−
= ⇔ =
−
⇒
Mặt khác:

'
2
'
3
( )
( 2)
3
(0)
4
f x
x
f
−
=
−
⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
(0;1)M
'
0 0 0
( )( )
3
1
4
y y f x x x
y x
− = −

= − +
Dạng 1.4 : Biết
'
0
( )f x
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2 1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
,
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.
Phân tích: sơ đồ
'
0 0 0
( )y x f x¬ ¬
.
Giải:
Gọi

0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có:
'
2
5
( )
( 2)
f x
x
−
=
−
.
Theo đề bài ta có:
'
0 0
( ) 5 1f x x= − ⇔ =
hoặc
0
3x =
.
Với
0 0
1 3x y= ⇒ = −
1
(1; 3)M⇒ −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
1
(1; 3)M −
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 3
3
5 2y x= − +
Với
0 0
3 7x y= ⇒ =
2
(3;7)M⇒
Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
2
(3;7)M
.
5 22y x= − +
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
đi qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm
1 1
( , )A x y
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +

có đồ thị
( )C
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
,
biết tiếp tuyến đi qua
2
( ; 1)
3
A −
.
Phân tích:
Cần lưu ý học sinh rằng điểm
2
( ; 1) ( )
3
A C− ∉
nên không sử dụng định lý trên (phân biệt loại
tiếp tuyến “tại” với “đi qua, kẻ từ, xuất phát từ”).
Ta lập phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại tiếp điểm
0 0 0
( ; )M x y
nào đó theo một ẩn là
0
x
.

Tìm
0
x
bằng giả thiết “tiếp tuyến đi qua
2
( ; 1)
3
A −
”.
Khi có
0
x
ta quy về dạng 1.2
Giải:
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm với
3
0 0 0
3 1y x x= − +
.
Phương trình tiếp tuyến
d
tại
0 0 0
( ; )M x y
là:
2 3
0 0 0 0

(3 3)( ) 3 1y x x x x x= − − + − +
Do
2
( ; 1)
3
A d− ∈
nên
2 3
0 0 0 0
2
1 (3 3)( ) 3 1
3
x x x x− = − − + − +
2
0 0
2 ( 1) 0x x⇔ − =
0
0x⇔ =
hoặc
0
1x =
Với
0
0
'
1
0
(0) 3
y
x

f
=

= ⇒

= −

Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
1
(0;1)M
là:
3 1y x= − +
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 4
4
Với
0
0
'
1
1
(1) 0
y
x
f
= −

= ⇒


=

Phương trình tiếp tuyến của
( )C

tại
2
(1; 1)M −
là:
1y = −
Dạng 3: Cho đường thẳng
: ad y x b= +
. Tìm điều kiện của
a
(hoặc
b
) để
d
tiếp xúc với đồ thị
( )C
.
Minh họa điều kiện tiếp xúc:
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
( )C
.
Gọi
: ad y x b= +

là tiếp tuyến của đồ thị
( )C

tại
0 0 0
( ; )M x y
.
Ta đã biết
'
0
( )f x a=
(a).
Mặt khác:
0
M d∈
và
0
( )M C∈
, tức là
0
x
là nghiệm của pt
0 0
( )f x ax b= +
(b).
Như vậy, theo (a) và (b) ta suy ra
0
x
là nghiệm của hệ phương trình
0 0

'
0
( ) a
( )
f x x b
f x a
= +



=


Ngược lại, với
0
x
nào đó thỏa mãn hệ pt
0 0
'
0
( ) a
( )
f x x b
f x a
= +



=



Được xem là hoành độ tiếp điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
với tiếp tuyến
: ad y x b= +
.
Mở rộng:
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
1
( )C
và hàm số
( )y g x=
có đồ thị
2
( )C
. Ta tìm điều kiện tiếp
xúc của
1
( )C
với
2
( )C
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 5
5
( )C
d
0 0 0

( ; )M x y
0
x
0
y
1
( )C
2
( )C
d
0
x
0
M
Gọi
d
là pttt chung của
1
( )C
và
2
( )C
tại
0
M
. Ta có hệ số góc của
d
là
' '
0 0

( ) ( )k f x g x= =
(c)
Mặt khác:
0 1
( )M C∈
và
0 2
( )M C∈
, tức là
0
x
là nghiệm của pt
0 0
( ) ( )f x g x=
(d)
Như vậy, từ (c)và (d) ta suy ra
0
x
là nghiệm của hệ phương trình
0 0
' '
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=




=


Ngược lại, với
0
x
nào đó thỏa mãn hệ pt
0 0
' '
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=



=


được xem là hoành độ tiếp điểm của
đồ thị hàm số
( )y f x=
với đồ thị hàm số
( )y g x=
.
Khi
( )y g x=
có đồ thị là đường thẳng thì

( )y g x=
được gọi là tiếp tuyến của đồ thị của hàm
số
( )y f x=
và ngược lại.
Tóm lại: Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị
1
( )C
và hàm số
( )y g x=
có đồ thị
2
( )C
. Điều kiện
tiếp xúc của
1
( )C
với
2
( )C
là hệ phương trình sau có nghiệm
' '
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=



=

Nghiệm của hệ phương trình trên (nếu có) là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ 6: Với giá trị nào của
m
thì đường thẳng
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị của
( )C

của hàm
số
3
4 3y x x= −
.
Giải:
Ta có
' 2
( ) 12 3f x x= −
.
Đường thẳng
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị
( )C

khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây có
nghiệm
3 3 2
'

2 2
( ) 1
4 3 1 4 3 (12 3) 1
( )
12 3 12 3
f x mx
x x mx x x x x
f x m
x m m x
= −
 
− = − − = − −

 
⇔ ⇔
  
=
− = = −
 

 

Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 6
6
0m⇒ =
Vậy
0m
=
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Với giá trị nào của

m
thì đường thẳng
: 9d y x m= +
tiếp xúc với đồ thị của
( )C

của
hàm số
3
3 1y x x= − +
.
Phân tích:
Theo đề bài ta có
'
0 0 0
( ) 9f x x y= → →
0 0
( ; )x y d m∈ →
Giải:
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Theo đề bài ta có
'
0 0
( ) 9 2f x x= ⇔ = ±
Với
0 0
2 3x y= ⇒ =

Do
1
(2;3)M d∈
nên
15m
= −
Với
0 0
2 1x y= − ⇒ = −
Do
1
( 2; 1)M d− − ∈
nên
17m
=
Vậy với
15m = −
hoặc
17m =
thì đường thẳng
d
tiếp xúc với đồ thị
( )C
.
Cách khác:
Đường thẳng
: 9d y x m= +
tiếp xúc với đồ thị
( )C
khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây có

nghiệm
3
3
' '
2
( ) ( )
3 1 9 15
12 1
17
( ) ( ) 2
3 3 9
f x g x
x x x m m
m x x
m
f x g x x
x
=

− + = + = −
 
= − +


⇔ ⇔ ⇒
  

=
= = ±
− =



 

Dạng 4: Xét hàm số bậc 3,
3 2
( ) ( 0)y f x ax bx cx d a= = + + + ≠

có đồ thị
( )C
.
Tìm
( )M C∈
sao
cho tiếp tuyến tại
M
có hệ số góc nhất (hoặc lớn nhất). Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Ví dụ 8: Cho hàm số
3 2
3 5 1y x x x= + − +
có đồ thị
( )C
. Tìm
( )M C∈
sao cho tiếp tuyến tại
M
có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Phân tích:
Ta đã biết hệ số góc tiếp tuyến tại tiếp điểm
0 0 0

( ; )M x y
là
'
0
( )f x
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 7
7
Như vậy ta cần tìm
0
x
sao cho
'
0
( )f x
đạt giá trị nhỏ nhất trên
¡
.
Chú ý: nếu là HS lớp 12, thì ta có thể sử dụng bảng biến thiên.
Giải:
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
' 2 2
0 0 0 0 0
( ) 3 6 5 3( 1) 8 8,f x x x x x= + − = + − ≥ − ∀
'
0 0

( ) 8 1f x x= − ⇔ = −
0
8y⇒ =
( 1;8)M⇒ −
Phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại
( 1;8)M −
8y x= −
Bài toán tổng quát: Cho hàm số
3 2
( ) ( 0)y f x ax bx cx d a= = + + + ≠
.
Chứng minh rằng trong
tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt
''
( ) 0f x =
(điểm uốn) có hệ góc nhỏ nhất nếu
0a
>
và lớn nhất nếu
0a
<
.
B. Một số kỹ thuật sáng tạo bài tập.
Trong phần này, nếu ta biết kết hợp linh hoạt, sáng tạo với một số kiến thức về tam giác, góc
giữa hai đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, thì có thể có một bài tập hay và
“đẹp”. Bên cạnh đó, yếu tố may mắn cũng rất quan trọng.
Dạng 1.1 Biết tiếp điểm
0 0 0

( ; )M x y
.
Chọn hàm số
( )y f x=
, giả sử
( )y f x=
có tập xác định
D
. Ta lấy
0
x D∈
bất kỳ rồi tính
0
y
.Chẳng hạn:
Ví dụ 9: chọn
3 2
( ) 3 5y f x x x x= = − − +
có TXĐ
¡
.
Ta lấy
0
1x =
rồi tính được
0
6y = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2

( ) 3 5y f x x x x= = − − +
có đồ thị
( )C
, viết pttt của
( )C
tại điểm
(1; 6)M −
.
Ta cũng có thể yêu cầu viết pttt tại điểm là giao điểm của đths với đường thẳng nào đó,
chẳng hạn:
Ví dụ 10: chọn hàm số
3 5
1
x
y
x
−
=
−
, nếu bạn muốn có hai giao điểm, ta lấy
(2;1) , (0;5)A B
thuộc
đths, lập pt đt
: 2 5 0AB x y+ − =
. Ta có bài toán:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 8
8
Cho hàm số
3 5
1

x
y
x
−
=
−
có đồ thị
( )C
, viết pttt tại giao điểm của
( )C
với đt
: 2 5 0d x y+ − =
.
Bạn cũng có thể cho đt
d
dạng tham số
:
5 2
x t
d
y t
= −


= +

Còn nếu bạn muốn có một giao điểm, ta có thể chọn đt
: 2d x =
.
Đối với hàm số

a
( 0, 0)
x b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
, nếu bạn muốn tiếp điểm có tọa độ nguyên thì ta
cần tìm tọa độ điểm nguyên thuộc đồ thị hàm số. Chẳng hạn:
Ví dụ 11: Ta xuất phát từ hàm số
2 3 5
3
1 1
x
y
x x
−
= − =
− −
có các tọa độ điểm nguyên thuộc đồ thị
hàm số là:
(2;1), (0;5), (3; 2), ( 1; 4)A B C D −
. Ta có thể yêu cầu viết pttt tại các điểm này.
Đặc biệt nếu bạn chọn
0
0x D= ∈
thì có thể yêu cầu: viết pttt tại giao điểm của đths với trục
tung.
Dạng 1.2 Biết

0
x
Ta làm như dạng 1.1 nhưng không nêu ra
0
y
. Đặc biệt, ta cũng có thể yêu cầu viết pttt tại
điểm có hoành độ là nghiệm của pt
'
0y =
(tiếp tuyến song song hoặc trùng với
Ox
), hoặc
''
0y
=
. Chẳng hạn:
Ví dụ 12: Ta muốn chọn một hàm số bậc 3 có hai cực trị và yêu cầu viết pttt tại đó, tôi làm
như sau:
Ta muốn hoành độ cực trị là -2 và 0, ta xuất phát từ pt
2
3 ( 2) 0 3 6 0x x x x+ = ⇔ + =

Ta tính
2
2 3
(3 6 ) 3x x dx x x c+ = + +
∫
Ta đặt
3 2
3y x x c= + +

và thế
1 2
0, 2x x= = −
ta được
1
2
4
y c
y c
=


= +

Dựa vào đây bạn có thể chọn
c
sao cho tung độ của điểm cực trị thỏa điều kiện nào đó của
bạn. Chẳng hạn, tôi lấy
4c
= −
.Ta có bài toán:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 9
9
x
'
y
y
2−
0
−∞

+∞
0
0
++
−
0
4−
−∞
+∞
Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
có đồ thị
( )C
, viết pttt của
( )C
tại điểm có hoành độ
là nghiệm của
'
0y =
(triệt tiêu
'
y
).
Dạng 1.3 Biết
0
y
* Đối với hàm số
a
( 0, 0)

x b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
, dựa vào dạng đồ thị ta chỉ cần lấy
0
a
y
c
≠
ta
tính được duy nhất
0
x
. Nếu muốn
0
y
và
0
x
nguyên thì làm như dạng 1.1
Đối với hàm số
3 2
a ( 0)y x bx cx d a= + + + ≠
, nếu lấy
0
y
bất kỳ, ta luôn tìm được ít nhất một

0
x
( vì pt bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực). Vấn đề là với
0
y
mà bạn chọn
sẽ tính được bao nhiêu
0
x
phân biệt, ứng với bao nhiêu tiếp điểm cần lập tiếp tuyến?
Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
, vấn đề cũng được đặt ra tương tự.
Để trả lời câu hỏi trên, ta xét ví dụ sau đây:
*Đối với hàm số
3 2
a ( 0)y x bx cx d a= + + + ≠
.
Ví dụ 13:Ta xét hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
có đồ thị
( )C
,
ta đã biết hàm này có hai cực trị,
ta có bảng biến thiên
Xét pt
3 2
0

3 4x x y+ − =
(e)
Giả sử ta muốn chọn giá trị
0
y
sao cho có được 3 giá trị
0
x
, tức là pt (e) có 3 nghiệm phân
biệt, dựa vào bảng biến thiên trên tôi lấy
0
4 0y− < <
. Ta có thể dùng MTBT(máy tính bỏ
túi) để hỗ trợ thêm trong việc tìm
0
x
. Nhưng ta thấy để tìm được
0
x
nguyên là một sự may
mắn, thậm chí có thể không có
0
x
nguyên. Để chủ động hơn trong việc có được
0
x

nguyên, ta xét ví dụ sau đây:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 10
10

Ví dụ 14: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung
độ bằng
0
1y = −
sẽ tìm được 3 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là:
0;1; 2−
ta làm như sau:
Ta xuất phát từ
3 2 3 2
2 ( 1)( 2) 0 2 2 2 0 2 2 3 1x x x x x x x− + = → + − = → + − = −
Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
2 2 3y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng
1−
.
Ví dụ 15: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung
độ bằng
0
1y = −
sẽ tìm được 2 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là:
1; 2−
và tiếp tuyến tại
hoành độ bằng

2−
là
1y = −
, ta làm như sau:
Ta xuất phát từ
2 3 2 3 2
( 1)( 2) 0 3 4 0 3 5 1x x x x x x− + = → + − = → + − = −
Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
3 5y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng
1−
.
Ví dụ 16: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung
độ bằng
0
0y =
sẽ tìm được 2 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là:
1; 2−
và tiếp tuyến tại
hoành độ bằng
2−
là
0y =

, từ ví dụ trên ta có bài toán :
Cho hàm số
3 2
3 4y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại giao điểm của
( )C

với trục hoành.
Ví dụ 17: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, có hai cực trị với yêu cầu viết pttt của đths tại
0
y
nào đó chỉ có một giá trị
0
x
. Dựa vào bảng biến thiên của ví dụ 13 ta lấy
0
2x =
, ta tính
được
0
16y =
. Kiểm tra lại bằng MTBT với
0
16y =
ta tìm được
0

2x =
và 2 nghiệm phức. Ta
có bài toán:
Cho hàm số
3 2
3 4y x x= + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng 16.
Ví dụ 18: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, không có cực trị,trường hợp
'
0y =
có nghiệm
kép là
1
.
Ta xuất phát từ
2 2
6( 1) 0 6( 2 1) 0x x x− − = ⇔ − − + =
2
6 12 6 0x x⇔ − + − =
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 11
11
Ta tính
2
2 3
( 6 12 6) 2 6 6x x dx x x x c− + − = − + − +

∫
Chọn
3 2
2 6 6 1y x x x= − + − −
Cho
0 0
0 1x y= ⇒ = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
2 6 6 1y x x x= − + − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung
độ bằng
1−
.
Ví dụ 20: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, không có cực trị, trường hợp
'
0y =
vô nghiệm.
Ta làm như sau:
Ta chọn
, ,a b c
sao cho
2
4b ac<
. Nếu muốn có hàm số bậc 3 có hệ số nguyên thì

, ,a b c

thỏa thêm đk
a
là bội của
3
,
b
là bội của
2
. Chẳng hạn ta chọn
3, 2, 1a b c= = − = −
, ta tính
2 3 2
(3 2 1)x x dx x x x c− − = − − +
∫
. Chọn
3 2
2y x x x= − − +
, cho
0 0
1 1x y= ⇒ =
ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
2y x x x= − − +
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C

tại điểm có tung độ
bằng
1
.
*Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
.
Chúng ta đã biết rằng:
0ab <
(hàm số có 3 cực trị, cụ thể:
0, 0a b> <
: có 1CĐ và 2 CT;
0, 0a b< >
: 1CT và 2CĐ ),
0ab ≥
(hàm số có một cực trị) và hàm số luôn có cực trị tại
0x =
.
Ví dụ 21: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 4 giá trị
0
x
phân biệt,
(không có
0x
=
).

Xét pt
2 2
0
0, 0at bt c y t x+ + − = = ≥
Giả sử ta muốn với giá trị
0
y
tìm được
1, 2x x= ± = ±
ta chọn
1 2
1, 4t t= =
. Theo định lý Viet ta
có:
1 4 5
5
b b
a
a
− −
= + = ⇒ =
và
0
0
1.4 4 4
c y
c a y
a
−
= = ⇒ = +

Do đó:
0
4
5
b
c y
−
= +
Chọn
0
5, 1, 1, 3b a y c= = − = = −
ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
5 3y x x= − + −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ
bằng
1
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 12
12
Ví dụ 22: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 3 giá trị
0

x
phân biệt,
( có
0x
=
).
Giả sử ta muốn với giá trị
0
y
tìm được
0, 2x x= = ±
ta chọn
1 2
0, 4t t= =
. Theo định lý Viet ta
có:
0 4 4
4
b b
a
a
− −
= + = ⇒ =
và
0
0
0.4 0
c y
c y
a

−
= = ⇒ =
Do đó:
0
c y=
Chọn
0
4, 1, 2b a y c= − = = = −
ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
4 2y x x= − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ bằng
2−
.
Ví dụ 23: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị
0
y
tìm được 2 giá trị
0
x
phân biệt
là hoành độ của cực trị, tức là tiếp tuyến tại đây song song hoặc trùng với trục
0x
. Giả sử ta
muốn 2 hoành độ cực trị là

1±
.
T xuất phát từ :
2
( 1) 0mx x − =
(
m
là một số khác
0
, muốn hệ số nguyên chọn
m
là bội của
4
), chọn
4m
=
ta được
2 3
4 ( 1) 0 4 4 0x x x x− = ⇔ − =
.
Ta tính
3 4 2
(4 4 ) 2y x x dx x x c= − = − +
∫
, thế
1 1x y c= ⇒ = −
, chọn
3c = −
ta được bài toán:
Cho hàm số

4 2
2 3y x x= − −
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
tại điểm có tung độ bằng
4−
.
Đặc biệt nếu bạn chọn
0
0y =
thì có thể yêu cầu: viết pttt tại giao điểm của đths với trục
hoành.
Dạng 1.4 Biết
'
0
( )f x
*Đối với hàm số:
a
( 0, 0)
x b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Ví dụ 24: Giả sử với giá trị
k
nào đó ta có bài toán: viết pttt của

( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số
góc bằng
k
( do tính chất đồ thị của loại hàm số này nên
0k
≠
, tức là không có tiếp tuyến
sonh song hoặc trùng với trục
Ox
) sẽ tìm được 2 giá trị
1, 3x x= − =
. Ta làm như sau:
Ta tính
2 2
( 1)( 3) 0 2 3 0 ( 1) 4x x x x x+ − = ⇔ − − = ⇔ − =
.
Chọn
,k m
thỏa:
2
( 1) 4
m
x
k
− = =
, với
k
là hệ số góc mà ta chọn.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 13

13
Chẳng hạn ta chọn
8, 2m k= − = −
. Ta được hàm số dạng
a
1
x b
y
x
+
=
−
, trong đó
,a b
thỏa
8a b
+ = −
. Nếu muốn với 2 giá trị
1, 3x x= − =
ta tìm được giá trị
y
nguyên thì ta thế
1 2
1, 3x x= − =
vào
a
1
x b
y
x

+
=
−
ta được:
1 2
3
,
2 2
a b a b
y y
+ +
= =
−
.
Từ
*
1
2 2 , 2
2
a b
y a b a b n n b n a
+
= ∈ ⇒ + ⇒ + = ∈ ⇒ = −¢ M ¢
.
2
3 2 2 2
2 2
a n a a n
y
+ − −

⇒ = = ∈
− −
¢
, với
,a n∈¢
.
Như vậy ta chỉ cần chọn
,a b
thỏa
8
( ) 2
a b
a b
+ = −


+

M
hay
8a b+ = −
, ta có thể chọn
3, 5a b= − = −
. Ta
có bài toán:

Cho hàm số
3 5
1
x

y
x
− −
=
−
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc
bằng -2.
Ta cũng có các bài toán “tương đương” sau:

Cho hàm số
3 5
1
x
y
x
− −
=
−
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
, biết tiếp tuyến song song
với đt
: 4 2 2011 0x y∆ + + =
.(hoặc vuông góc với

: 2 2011 0x y∆ − + =
.)
* Đối với hàm số:
3 2
a ( 0)y x bx cx d a= + + + ≠
.
Ví dụ 25: Giả sử ta tìm hàm đa thức bậc 3, mà với giá trị hệ số góc
1k =
ta tìm được 2 giá trị
1 2
2, 0x x= − =
.
Ta xuất phát từ:
2
( 2) 0( 0) 2 1 1mx x m mx mx+ = ≠ ⇒ + + =
.
Ta tính
2 3 2
( 2 1)
3
m
mx mx dx x mx x c+ + = + + +
∫
, ta chọn
m
thỏa
*
3 ,m k k= ∈¢
để được hệ số
nguyên. Chẳng hạn ta chọn

3m
= −
ta được
3 2
3y x x x c= − − + +
, thế
1 2
0, 2x x= = −
vào
3 2
3y x x x c= − − + +
ta được:
1
2
6
y c
y c
=


= −

Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 14
14
Dựa vào đây ta có thể chọn
c
sao cho
1 2
,y y
thỏa điều kiện nào đó của bạn. Chẳng hạn, ta

chọn
3c
=
ta có bài toán:
Cho hàm số
3 2
3 3y x x x= − − + +
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ
số góc bằng
1
.(hoặc tiếp tuyến song song
: 2y x∆ = +
, hoặc tiếp tuyến vuông góc
: 2y x∆ = − +
, hoặc tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục
0x
một góc bằng
0
45
.
Ta làm tương tự cho trường hợp nghiệm kép.
*Đối với hàm số
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
.
Ví dụ 26: Ta cần tìm một hàm số dạng

4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
, với hệ só góc
k
ta chọn , ta có
các hoành độ tiếp điểm nào đó.
Xét
4 2
a ( 0)y x bx c a= + + ≠
' 3
4 2y ax bx⇒ = +
.
Với hệ số góc
k
nào đó, ta có pt:
3 3
4 2 4 2 0ax bx k ax bx k+ = ⇔ + − =
(1)
Pt (1) luôn có ít nhất một nghiệm thực.
Bây giờ ta tìm đk để pt
2
(A )( ) 0x B mx nx q+ + + =
có dạng pt (1).
Đặt
2 3 2
( ) (A )( ) Am ( ) ( )g x x B mx nx q x An Bm x Aq Bn x Bq= + + + = + + + + +
Điều kiện là:
0An Bm
+ =
(*)

Xét
2 3 2
( ) (A )( ) Am ( ) ( ) 0g x x B mx nx q x An Bm x Aq Bn x Bq= + + + = + + + + + =
2
0 (2)
B
x
A
mx nx q

= −

⇔

+ + =


Giả sử ta muốn có hoành độ tiếp điểm
1
1x A B= ⇒ = −
. Chẳng hạn ta chọn
1, 1A B= =
, dựa
vào đ k (*) ta có
m n=
. Chẳng hạn ta chọn
4m n
= =
. Khi đó pt (2) trở thành
2

4 4 0x x q+ + =
,
đk để pt này có nghiệm là
4 4 0q− ≥
.
Nếu ta muốn chỉ có một nghiệm
1
1x =
và hệ số
2k =
thì ta có thể chọn
2q =
.
Như vậy ta có:
1; 1; 4; 2A B m n q= = − = = =
, suy ra
3
( ) 4 2 2g x x x= − −
Lúc này ta tính:
3 4 2
(4 2 )y x x dx x x c= − = − +
∫
, giả sử ta muốn với
1
1x =
, ta tính được tung độ
tiếp điểm là
1
2y = −
ta chọn

2c = −
(vì
y c=
). Ta có bài toán:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 15
15
Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x x= = − −
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
2 2011x y− =
.
Nếu ta muốn ngoài
1
1x =
, ta có thêm một giá trị
2
x
nữa, tức là ứng với
1q =
(pt:
2 2
4 4 1 0 (2 1) 0x x x+ + = ⇔ + =
có nghiệm kép
2 1
1
1
2
x x= − ≠ =

) .
Như vậy ta có
1; 1; 4; 1A B m n q= = − = = =
suy ra
3
( ) 4 3 1g x x x= − −
Ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
3 1
( )
2 2
y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp
tuyến hợp với chiều dương của trục
0x
một góc
0
45
.
Nếu ta muốn ngoài
1
1x =
, ta có thêm hai giá trị
2 3
,x x
nữa, và
2
1x =
. Từ

2
1x =
ta có
8q = −
,
theo định lý Viet ta có
2 3 3
2 2x x x= − ⇒ = −
.
Như vậy ta có
1; 1; 4; 8A B m n q= = − = = = −
suy ra
3
( ) 4 12 8g x x x= − +
.
Ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
( ) 6 1y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
8 3x y− =
Nếu ta muốn ngoài
1
1x =
, ta có thêm hai giá trị
2 3
,x x
nữa, ta thử với
2

0x =
, từ pt
2
4 4 0x x q+ + =
suy ra
0q =
thỏa đk
4 4 0q− ≥
. Theo định lý Viet ta có
2 3 3
1 1x x x+ = − ⇒ = −
.
Như vậy ta có
1; 1; 4; 0A B m n q= = − = = =
suy ra
3
( ) 4 4g x x x= −
Ta có bài toán:
Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x x= = −
có đồ thị (C). Viết pttt của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
2011y =
.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
đi qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm
1 1
( , )A x y

.
Ví dụ 27:
Xét hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +
. Giả sử ta cần tìm điểm
( ; )A a b
không thuộc đths, với yêu
cầu viết pttt của đths đi qua
( ; )A a b
sẽ tìm được giá trị hoành độ
0
x
nào đó mà ta chọn.
Gọi
0 0
( ; )x y
là tọa độ tiếp điểm.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 16
16
Pttt của đths tại
0 0
( ; )x y
là:
2 2
0 0 0 0
(3 3)( ) 3 3 1y x x x x x= − − + − +
Vì tiếp tuyến đi qua
( ; )A a b
nên :

2 3
0 0 0 0
(3 3)( ) 3 1b x a x x x= − − + − +
3 2
0 0
2 3 3 1 0 (3)x ax a b⇔ − + − − + =
Giả sử pt (3) có một nghiệm
0x =
suy ra
3 1 0a b+ − =
.
Ta có:
2
0 0
0
0
(3) ( 2 3 ) 0
0
3
2
Pt x x ax
x
a
x
⇔ − + =
=


⇔


=

Nếu muốn có hai hoành độ tiếp điểm là
0 0
0, 1x x= =
thì ta có
3 2
1
2 3
a
a= ⇔ =
, từ
3 1 0a b+ − =

ta có
1b = −
. Ta có bài toán:
Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +

có đồ thị (C), viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đi qua
2
( ; 1)
3
A −
.
Nếu pt (3) có nghiệm
0

1x =
thì ta có
1b
= −
và
2
0 0
0
2
0
(3) ( 1) 2 (3 2) 3 2 0
1
2 (3 2) 3 2 0 (4)
Pt x x a x a
x
x a x a
 
⇔ − − + − + − =
 
=

⇔

− + − + − =

Pt (4) có nghiệm
2
2
9 12 12 0 ( ; 2] [ ; )
3

a a a⇔ + − ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Ta có thể lấy
2a = −
pt (4) có nghiệm kép
0
2x = −
, suy ra
( 2; 1)A − −
( ta được
0
1x =
và
0
2x = −
). Ta có bài toán:
Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +

có đồ thị (C), viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đi qua
( 2; 1)A − −
.
Dạng 3: Cho đường thẳng
: ad y x b= +
. Tìm điều kiện của
a
(hoặc
b
) để

d
tiếp xúc với đồ thị
( )C
.
Ví dụ 28: Từ bài toán của ví dụ 24:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 17
17
Cho hàm số
3 5
1
x
y
x
− −
=
−
có đồ thị
( )C
. Viết pttt của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc
bằng -2.
Ta tìm được hai tiếp tuyến
2 3y x= − −
và
2 13y x= − +
. Từ đây ta có bài toán mới:
Cho hàm số
3 5
1

x
y
x
− −
=
−
có đồ thị
( )C
. Tìm điều kiện của
m
để đường thẳng
2y x m= − +
tiếp xúc với đồ thị (C).
(
3, 13)m m= − =
C) BÀI TÂP
CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) = x
3
– 3x + 5 khi biết:
1, Hoành độ của tiếp điểm là: x
1
= -1; x
2
= 2
2, Tung độ tiếp điểm là : y
1
= 5; y
2

= 3
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4. Viết p.tr tiếp tuyến của (C) tại các
giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1, Đường thẳng d: y = 7x + 4
2,Parapol P: y = -x
2
+ 8x – 3
3, Đường cong (C): y = x
3
-4x
2
+ 6x – 7
Bài 3: Học viện quân y – 98
Cho hàm số: (C
m
): y= x
3
+ 1 – m(x + 1)
1,Viết p.tr tiếp tuyến của (C
m
) tại giao điểm của (C
m
) với oy
2, Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích
bằng 8
Bài 4: ĐH Thương Mại - 20

Cho điểm A(x
0
;y
0
)
∈
đồ thị (C): y = x
3
– 3x + 1. Tiếp tuyến với (C) tại
A(x
0
;y
0
) cắt đồ thị (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm tọa độ điểm B
Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96
Cho (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
1, CMR không tồn tại 2 điểm nào
∈
(C) để 2 tiếp tuyến tại đó
⊥
với nhau
2, Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này
⊥
với đường thẳng: y = kx + m
Bài 6:
Cho (C

m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ m + 1
1, Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1),D, E.
2, Tìm m để các tiếp tuyến với (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 18
18
Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96
Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ mx
2
+ 1
Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = -x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,C
sao cho các tiếp tuyến với (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 8: HV Công nghệ BCVT HN – 01
Cho hàm số (C) : y = x

3
– 3x
1, Cmr: đt (
∆
m
): y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại điểm A cố định
2, Tìm m để (
∆
m
) cắt (C) tại A, B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị
tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01
Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =
3
1
x
3
– x +
3
2
mà tiếp tuyến tại đó
⊥
với
đường thẳng y = -
3
2
3
1
+x
Bài 10:

Cho đồ thị (C): y = f(x) = x
3
– 3x
2
+ 1
Cmr trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm song
song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tại
một điểm cố định
Bài 11:
Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Cmr trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm song
song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tại
một điểm cố định
Bài 12: ĐH ngoại thương TP.HCM – 98
Cho đồ thị (C): y= x
3
+ 3x
2
– 9x + 5. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc
min
Bài 13: HV QHQT – 01
Cho đồ thị (C): y =
3
1

x
3
– mx
2
–x + m – 1. Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc
min
Bài 14: ĐH mỏ địa chất – 94
Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Cmr trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có
hệ số góc min nếu a>0 và lớn nhất nếu a<0.
Bài 15: HV Công Nghệ BCVT TP.HCM – 99
Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C): y = x
3
– 3x – 2
Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A
1
,B
1
,C
1
. Cmr A
1
,B
1

,C
1
thẳng
hàng
Bài 16:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 19
19
Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C). Các tiếp tuyến với (C)
tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A
1
,B
1
,C
1
. Cmr A
1
,B
1
,C
1
thẳng hàng
Bài 17:
Cho (C

1
): y = x
3
– 4x
2
+ 7x – 4 và (C
2
) y = 2x
3
– 5x
2
+ 6x – 8. Viết p.tr tiếp
tuyến của (C
1
) và (C
2
) tại giao điểm chung của (C
1
)
∩
(C
2
)
Bài 18: ĐH KTQD – 98
Cmr trong tất cả các tiếp tuyến (C): y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 3, tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc min

Bài 19: HV quân y – 97
Cho (C): y = x
3
+ 1 – k(x + 1)
1, Viết ptr tiếp tuyến (t) tại giao của (C) với Oy
2, Tìm k để (t) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 20: ĐH An ninh – 20
Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
– m – 1
1, Viết p.tr tiếp tuyến của (C
m
) tại các điểm cố định mà (C
m
) đi qua
2, Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó
Bài 21: ĐH Công đoàn – 01
Tìm điểm M
∈
(C): y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại
điểm M đi qua gốc tọa độ
Bài 22:

Cho hàm số (Cm): y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1. Xác định m để (Cm) cắt đt y =
1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D,E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E
⊥
với
nhau.
Bài 23:
Cho hàm số (C): y = x
3
+ mx
2
- m -1
1, Lập ptr tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với
m∀
Bài 24:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = m(x+1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm A cố định
2, Hãy xác định m để (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B,C khác nhau sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Bài 25: Tốt nghiệp trung học PT năm 2006
Cho hàm số (C): y = x
3
– 6x
2

+ 9x
Viết ptr tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
Bài 26: Khối B - 04
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 20
20
Cho hàm số: y =
3
1
x
3
– 2x
2
+ 3x
Viết ptr tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
Bài 27: CĐ Y tế Nghệ An – 04
Cho hàm số (Cm): y = x
3
– mx

+ m – 2. Cmr tiếp tuyến của (Cm) tại điểm
uốn của đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 28: Cho hàm số
3 2
3 5 1y x x x= + − +
có đồ thị (C). Tìm điểm
( )M C∈
sao cho
tiếp tuyến tại M có hệ số góc nhỏ nhất. Viết pt tiếp tuyến tại đó.
Bài 29: Cho hàm số
3 2

3 3y x x= + +
có đồ thị (C). Gọi A,B là hai điểm mà tại đó
'
y
triệt tiêu. Viết pttt tại các điểm đó.
Bài toán 2: Viết Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho
trước
Bài 1: ĐH An ninh D – 01
Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
biết tiếp tuyến
⊥
với đt y =
x
3
1
Bài 2: ĐH Dân lập Đông Đô – 01
Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
+ 1 biết t.tuyến // y = 9x +
2001
Bài 3:
Cho đồ thị (C): y = x
3
– 3x + 7
1, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // với y = 6x – 1

2, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến
⊥
y = -
9
1
x + 2
3, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x+3 góc 45
0
Bài 4: ĐH Mỹ thuật CN HN – 99
Viêt ptr tiếp tuyến với (C): y = -x
3
+ 3x biết tiếp tuyến // y = -9x + 1
Bài 5: ĐH Mở TP.HCM – 99
Viêt ptr tiếp tuyến với (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4 biết tiếp tuyến // y = 9x
Bài 6: ĐH NN - B – 99
Viêt ptr tiếp tuyến với (C): y = x
3
– 3x
2
+2 biết tiếp tuyến
⊥
5y – 3x + 4 =
0
Bài 7: ĐH Dân lập HP – A – 99
Viêt ptr tiếp tuyến với (C): y = x
3

– 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến
⊥
y =
3
x
Bài 8:
Cho đồ thị (C): y = 2x
3
– 3x
2
– 12x – 5
1, Viết p.tr tiếp tuyến // với y = 6x – 4
2, Viết p.tr tiếp tuyến
⊥
y = -
3
1
x + 2
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 21
21
3, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với y = -
2
1
x + 5 góc 45
0
Bài 9:
Cho đồ thị (C): y =
3

1
x
3
– 2x
2
+ x – 4
1, Viết p.tr tiếp tuyến có hệ số góc k = -2
2, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 60
0

3, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 15
0

4, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với trục hoành Ox góc 75
0

5, Viết p.tr tiếp tuyến // với đt y = -x + 2
6, Viết p.tr tiếp tuyến
⊥
với đt y = 2x – 3
7, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với đt y = 3x + 7 góc 45
0

8, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với đt y = -
2
1
x + 3 góc 30
0
Bài 10: ĐH Bách Khoa HN – 90
Cho (C): y =

3
1
x
3
+ x
2
– 8x + 15
Lấy điểm A bất kì thuộc (C) nằm ở giữa CĐ và CT. CMR luôn tìm được 2 điểm B
1
và B
2

∈
(C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B
1,
B
2
vuông góc với tiếp tuyến tại A
Bài 11:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2. Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp
tuyến
⊥
với đt (d): 3x – 5y – 4 = 0
Bài 12:
Cho hàm số (C): y = x
3

-3x. Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết
1, Tiếp tuyến // với đt (d
1
): x + 3y – 1 = 0
2, Tiếp tuyến
⊥
với đt (d
2
): x – y – 2 = 0
Bài 13:
Cho hàm số: y =
3
1
x
3
+ mx
2
– 2x – 2m -
3
1
Với m =
2
1
viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến // với đt (d):y =
4x + 2
Bài 14: ĐH SP hải phòng – 04
Cho hàm số: y = -x
3
+3x. Viết ptr tiếp tuyến // y = -9x
Bài 15: Cho hàm số

3
2
3 1
3
x
y x= − +
có đồ thị (C). Viết pttt của (C) song song với
đt
7 1 0x y− + =
.
Bài 16: cho hàm số
3 2
1
3 2 3
x x
y m= − +
có đồ thị
( )
m
C
gọi M là điểm trên
( )
m
C
có
1x = −
. Tìm m sao cho tiếp tuyến tại M song song với đt
: 5 0d x y− =
.
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 22

22
Bài 17: cho hàm số
3
2
2 4 1
3
x
y x x= − + +
.
a) CMR (C) không thể có hai tiếp vuông góc với nhau.
b) Tìm k để trên (C) có nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đt
y kx b= +
.
Bài 18: Cho hàm số
3
4 1y x x= + +
. Viết pttt của đồ thị hàm số trong các th
sau:
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k=31.
c) Song song với đt y=7x+3
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước
đến đồ thị
Bài 1: ĐH Quốc gia TP.HCM – A – 01
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(
12
19
;4) đến (C): y = 2x
3

– 3x
2
+ 5
Bài 2:
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+6(m-2)x –
1
Bài 3:
Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
– 3x
2
+ 2
1, Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(
9
23
;-2) đến (C)
2, Tìm trên đt y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
⊥
với nhau
Bài 4: ĐH SPII HN – B – 99
Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 5: HV BCVT TP.HCM – 98
Cho (C): y = x

3
– 12x + 12.
Tìm trên đt y = -4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 6: ĐH Ngoại Thương HN – 20
Cho (C): y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1
Từ một điểm bất kì trên đt x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
Bài 7:
Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0) Các điểm kẻ
được đúng một tiếp tuyến đến (C)
Bài 8:
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(
3
2
;-1) đến y = x
3
– 3x + 1
Bài 9: ĐH Tổng hợp HN – 04
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 23
23
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(2,0) đến y = x

3
- x – 6
Bài 10: ĐH Y thái bình – 01
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(3,0) đến y = -x
3
+ 9x
Bài 11: ĐH Dân lập Đông Đô – 20
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0,-1) đến y = 2x
3
+ 3x
2
– 1
Bài 12: ĐH Dân lập Đông Phương – 01
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,2) đến y = x
3
– 3x
2
+ 2
Bài 13: ĐH Cần Thơ – D – 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,-2) đến y = x
3
- 3x
2
+ 2
Bài 14: ĐH An ninh – G - 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,2) đến y = x
3
- 3x
Bài 15: ĐH An ninh – G – 20
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(1,0) đến y = x

3
- 3x + 2
Bài 16: ĐH Mỹ thuật - 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(1,-1) đến y = x
3
- 3x + 2
Bài 17: HV Ngân hàng TP.HCM - 98
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(1,3) đến y = 3x – 4x
3
Bài 18: HV BCVT TP.HCM – 99
Cho đồ thị (C): y = -x
3
+ 3x
2
– 2
Tìm các điểm
∈
(C) để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 19: ĐH Ngoại thương HN – 96
Cho đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M nằm trên đồ thị (C)
Bài 20: ĐH Dược HN – 96
Cho đồ thị (C): y = x
3
+ ax
2

+ bx

+ c
Tìm các điểm M
∈
(C) để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 21:
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(-2;5) đến (C): y = x
3
-9x
2
+ 17x + 2
Bài 22: ĐH Ngoại ngữ - 98
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(
9
4
;
3
4
) đến (C): y =
3
1
x
3
– 2x
2
+ 3x + 4
Bài 23: Phân viện báo chí – 01
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến (C): y = 2x
3

+ 3x
2
– 5
Bài 24:
Tìm trên đt y = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C): y = -x
3
+ 3x
2
– 2
Bài 25: ĐH QG TP.HCM – 99 và HV Ngân hàng TP.HCM – 99
Tìm trên đt y = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C): y = x
3
- 3x
2
Bài 26: ĐH Cần Thơ – 20
Tìm trên đt x = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C): y = x
3
- 3x
2
Bài 27:
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 24
24
Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(
36;2
) đến y = x
3
- 3x
2
– 6x + 8
Bài 28: ĐH Nông Lâm TP.HCM – 01

Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ
thị (C): y = x
3
+ 3x
2
trong đó có 2 tiếp tuyến
⊥
với nhau.
Bài 29:
Cho hàm số (C): y = x
3
-3x
2
+ 2
Lập ptr các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(
9
23
;-2)
Bài 30:
Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 2
1, Qua A(1;0) có thể kẻ mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C). Hãy lập p.tr các tiếp
tuyến ấy
2, Cmr không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị // với tiếp tuyến đi qua
A(1;0) của đồ thị
Bài 31:
Cho hàm số (C): y = x

3
– 3x
Lập ptr các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(-1;2)
Bài 32:
Cho hàm số (C): y = 2x
3
– 3x
2
+ 5
Lập ptr các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(
12
19
;4)
Bài 33:
Cho hàm số (C): y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1
Tìm đểm M
∈
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ O:
Bài 34:
Cho hàm số
3 2
5 2y x x= − +
có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) đi qua
điểm A(0;2) có hệ số góc khác 0, d cắt 0x tại B, 0y tại A. Tìm m sao cho
A,B,M(m;1) thẳng hàng.
Bài 35:

Với giá trị nào của m thì đt
1y mx= −
tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
3
4 3y x x= −
Bài 36: cho đường cong (C)
3 2
9 17 2y x x x= − + +
, qua A(-2;5) có thể kẻ được mấy
tiếp tuyến với(C).
CHỦ ĐỀ 2
: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài 1:
Cho hai đồ thị (C): y = f(x) = (x+1)
2
(x-1)
2
và (P): y = g(x) = 2x
2
+ m
1, Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau
2, Viết ptr tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) và (P)
Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 25
25