Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Bình Định năm học 2013 - 2014 môn Toán (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2013 – 2014

Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chung)
Ngày thi: 14/06/2013
Thời gian: 120 phút

Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: A =
1
1
1
a a a
:
a
a a a
 


 

 
 
, với a > 0, a

1
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm các giá trị của a để A < 0.

Bài 3. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 1 7
2 4 30
5 2 2
2 4 15
x y
x y

 

 



 

 


Bài 3. (2,0 điểm)
Một tổ sản xuất theo kế hoạch sẽ sản xuất 130 sản phẩm trong thời gian dự kiến. Nhờ
tăng năng suất làm vượt định mức mỗi ngày 2 sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn
2 ngày và còn làm thêm được 2 sản phẩm. Tính thời gian dự kiến hoàn thành công
việc của tổ sản xuất trên.

Bài 4. (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ đường thẳng AO cắt

đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua điểm O cắt
đường tròn (O) tại D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường
thẳng CE tại F.
1. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
2. Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). Chứng minh DM vuông góc
với AC.
3. Chứng minh: CE.CF + AD.AE = AC
2
.

Bài 5. (1,0 điểm)
So sánh giá trị của A và B với:
A =
2014
2015
2013 1
2013 1


; B =
2012
2013
2013 1
2013 1




www.VNMATH.com

GIẢI ĐỀ THI 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
MÔN TOÁN CHUNG
Ngày thi: 14/06/2013 - Thời gian: 120 phút

Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn:
A =
1
1
1
a a a
:
a
a a a
 


 

 
 
=
1 1
1 1 1
a
:
a a a
 


 
  
 
=
=
 
1
1 1
1
a
. a a
a
 

  
 

 
(a > 0, a  1).
Vậy A =
1a  (a > 0, a  1).
2. Tìm a để A < 0
Ta có: A < 0  1a  < 0  a < 1  0 < a < 1 (a > 0, a  1).
Bài 2. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 1 7
2 4 30
5 2 2
2 4 15

x y
x y

 

 



 

 


ĐKXĐ: x  -2, y  4.
Đặt a =
1
2x
, b =
1
4y 
. Biến đổi hệ phương trình:

7
2
30
2
5 2
15
a b

a b

 




 



7
4 2
15
2
5 2
15
a b
a b

 




 



9

9
15
7
2
30
a
a b






 


1
15
7 1
2
30 15
a
b .






 




1
2 15 13
15
1 4 10 14
10
a
x x
y y
b



  
 

 
  
  
 




.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm: (x; y) = (13; 14).
Bài 3. (2,0 điểm)
Gọi thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất là x (x: ngày, x > 0).

Số sản phẩm dự kiến làm trong một ngày:
130
x
(sản phẩm).
Số sản phẩm thực tế làm trong một ngày:
132
2x
(sản phẩm).
Theo điều kiện bài toán ta có phương trình:
132 130
2
2x x
 

(1)
www.VNMATH.com


(1)

132x – 130(x – 2) = 2x(x – 2) (ĐKXĐ: x  0, x  2)

2x + 260 = 2x
2
– 4x

x
2
– 3x – 130 = 0 .
 = 529 = 23

2
> 0. Phương trình có 2 nghiệm:
x
1
=
3 23
13
2

 (chọn), x
2
=
3 23
2

= - 10 (loại).
Vậy thời gian dự kiến tổ sản xuất hoàn thành công việc là 13 ngày.

Bài 4. (4,0 điểm)

1. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
Ta có:


0 0
90 90BEC BEF  
(2 góc kề bù)

CAF = 90
0
, do đó


BEF CAF = 180
0
. Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh DM  AC
Ta có:



1 1
1
2
F E sdAB

 
 
 
 
,



1 1
1
2
E M sdBD
 
 
 
 





1 1
F M

AF // DM.
Vì AF  AC nên DM  AC.
3. Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC
2

Ta có:




0
90CAF CEB ,ACF  chung   CEB  CAF (g.g)


CE CB
CA CF


CE.CF = CA.CB (1)
Tương tự,



1 1
E C ,CAD chung  ACD  AEB (g.g)


AC AD
AE AB


AD. AE = AC.AB (2)
Từ (1), (2) ta có: CE.CF + AD.AE = AC.BC + AC.AB

CE.CF + AD.AE = AC.(BC + AB) = AC
2

Vậy CE.CF + AD.AE = AC
2
.


S
S
A
O
C
M
D
E
1
1
1
1
B
F
www.VNMATH.com


Bài 5.(1,0 điểm)
So sánh A và B
Đặt a = 2013 (a > 0)
Ta có: A =
2014
2015
2013 1
2013 1



=
2014
2015
1
1
a
a


, B =
2012
2013
2013 1
2013 1


=
2012
2013
1
1
a
a



Xét hiệu A – B =
2014 2012

2015 2013
1 1
1 1
a a
a a
 

 
=
     
  
2014 2013 2012 2015
2015 2013
1 1 1 1
1 1
a a a a
a a
    
 
=
=
  
4027 2014 2013 4027 2012 2015
2015 2013
1 1
1 1
a a a a a a
a a
      
 

=
  
2014 2013 2015 2012
2015 2012
1 1
a a a a
a a
  
 

=
 
  
  
  
2
2012 2 3
2012
2015 2012 2015 2012
1
1 1
1 1 1 1
a a a a
a a a
a a a a
  
  

   
< 0 (a > 0)

Do đó A – B < 0.
Vậy A < B.



www.VNMATH.com