đề thi chọn HSG toán 8

TRNG THCS XUN NINH
THI CHN HC SINH GII CP TRNG
MễN TOáN 8
NM HC 2010-2011
Thi gian lm bi 150 phỳt(Khụng k thi gian giao )
Câu 1.(2.0 điểm) : Cho biểu thức A =
2 3
3 3 4
1 1 1
x x x
x x x x
+
+
+ + +
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dơng với mọi x - 1
Câu 2.(2.0 điểm): Giải phơng trình:
a)
2
3 2 1 0x x x + + =
b)
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ

Câu 3.(1,0 điểm): Cho xy 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng:
( )
3 3 2 2
2 2
1 1 3
xy
x y
y x x y

+
+
= 0
Câu 4.(1.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x Q thì giá trị của đa thức :
M =
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 16x x x x+ + + + +
là bình phơng của một số hữu tỉ.
Câu 5 (1,0 điểm): Tìm n
N

để n
4
+ 4 là một số nguyên tố.
Câu 6 (3.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Hết
GV: TM THCS Xuõn Ninh
Hớng dẫn chấm toán 8
Câu Nội dung Điểm
1
2.0
a
- Rút gọn: A =
2 3
3 3 4
1 1 1
x x x
x x x x
+
+
+ + +
=
( )
( ) ( )

( )
( )
2
2
1 1 3 3 4
1 1
x x x x x x
x x x
+ + + +
+ +
0.5điểm
THI TH
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2 2
2
2 2
1 1
2 2 1 1
1
1 1 1 1
x x x
x x x x x
x x

x x x x x x
+ + +
+ + + + +
= =
+
+ + + +
0.5điểm
b
Với mọi x - 1 thì A =
2
2
1
1
x x
x x
+ +
+
=
2
2
1 3
2 4
1 3
2 4
x
x

+ +
ữ

+
ữ


Vì
2 2
1 3 1 3
0; 0, 1 0, 1
2 4 2 4
x x x A x

+ + > + > >
ữ ữ

0.5điểm
0.5điểm
2
a
* Với x 1 (*) x - 1 0
1 1x x =
ta có phơng trình
x
2
-3x + 2 + x-1 = 0
( )
2
2
2 1 0 1 0 1x x x x + = = =
( Thoả mãn điều kiện *)

* Với x< 1 (**) x - 1 0
1 1x x =
ta có phơng trình
x
2
-3x + 2 + 1 - x = 0
( ) ( )
2
4 3 0 1 3 0x x x x + = =
+ x - 1 = 0
1x
=
( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - 3 = 0
3x =
( Không thoả mãn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 1
0.5điểm
0.5điểm
b
* Điều kiện x 0 (1)
* pt

( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x

x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ





( )
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
8 2 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + + = +

ữ ữ ữ ữ





( ) ( )

2
16 4 8 0 0x x x x= + + = =
hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phơng trình là x = - 8
0.25đ
0.25đ
0.5điểm
3
Ta có
( )
( ) ( )
3 2 2
1 1 1 1y y y y x y y = + + = + +
vì xy 0 x, y 0 x, y 0 y-
1 0 và x-1 0

( )
( ) ( )
3 2
3 2 2
3 2
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
x
y y y
y
x x x x y x x

x x x

=
+ +

= + = + =
+ +
3 3 2 2
1 1
1 1 1 1
x y
y x y y x x

+ = +
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 3 3 2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 2

4 2
0
3 1 1 3
x y xy x y
x x y y
x x y y
x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y


+ + + +
+ + + + +
ữ
= = ữ
ữ
ữ
+ + + +
+ + + + + + + +




= + =
+ +

0.25điểm
0.25điểm
0.25điểm

0.25điểm
4
Ta có: M =
( ) ( )
2 2
10 16 10 24 16x x x x+ + + + +
0.25điểm
0.5điểm
Đặt a = x
2
+ 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a
2
+ 8a + 16 = ( a+ 4)
2
M = ( x
2
+ 10x + 20 )
2
( đpcm)
0.25điểm
5
Ta cú: n
4
+4 = n
4
+ 4n
2
+ 4 - 4n
2
= (n

2
+ 2)
2
=(n
2
+2n+2)(n
2
- 2n +2)
-
n
4
+4 l s nguyờn t thỡ (n
2
+2n+2)(n
2
- 2n +2) phi l s nguyờn t.
Cú 2 trng hp xy ra:
* (n
2
+2n+2) = 1 v (n
2
- 2n +2) l s nguyờn t.
Khi ú n
2
+2n+2 = 1 <=> n
2
+2n+1 = 0 <=> (n+1)
2
= 0 <=> n = -1 (loi)
*(n

2
-2n+2) = 1 v (n
2
+2n +2) l s nguyờn t.
Khi ú n
2
-2n+2 = 1 <=> n
2
-2n+1 = 0 <=> (n-1)
2
= 0 <=> n = 1. (TMK).
Thay n=1 vo (n
2
+2n +2) ta cú: 1
2
+ 2.1 + 2 =5 l s nguyờn t.
Vy vi n=1 thỡ n
4
+ 4 l s nguyờn t.
0.25
0.25
0.25
0.25
6
a
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB

=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng
dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
ã
ã
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông
cân tại H theo giả thiết).
Nên
ã
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
0.5điểm
0.5điểm
b
Ta có:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC

:

)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông cân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA

:
)
Do đó
BHM BEC

:
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
0.5điểm
0.5điểm
c

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= = =:
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= = =
+ + +
0.5điểm
0.5điểm
Lu ý: Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng vn cho im ti a.