Kỹ thuật xử lý bài toán về tứ giác trong hình phẳng OXY

K thu t x lý bài toán v t giác trongỹ ậ ử ề ứ hình ph ng Oxyẳ
Các ph ng pháp th ng c s d ngươ ườ đượ ử ụ
+ nh lý Talets: áp d ng v i t giác có c p c nh i song song(Hình bình hành, hình thoi, hình vuông và hình Đị ụ ớ ứ ặ ạ đố
ch nh t).ữ ậ
+ i x ng qua tâm(h qu c a nh lý Talets).Đố ứ ệ ả ủ Đị
+ Góc gi a hai n g th ng(th ng cho i m và 1 ph ng trình ng th ng).ữ đườ ẳ ườ đ ể ươ đườ ẳ
+ dài c nh hình vuông, hình ch nh t(N u không nh n ra ngay các tính ch t hình h c ta có th s d ng Độ ạ ữ ậ ế ậ ấ ọ ể ử ụ
cách này).
+ Kho ng cách t i m n ng th ngả ừđ ể đế đườ ẳ
Bài 1. Trong m t ph ng t a ặ ẳ ọ độ Oxy cho hình ch nh tữ ậ ABCD có B(1;−2) và tr ng tâm tam giác ABC n m trên ọ ằ
ng th ngđườ ẳ d:2x−y−2=0. G i N là trung i m c nhọ để ạ CD. Tìm t a các nhọ độ đỉ A,C,D bi tế N(5;6).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i G là tr ng tâm tam giác ABC.ọ ọ
Vì G∈d⇒G(t;2t−2) ta có
→BD=3→BG⇒{xD−1=3(t−1)yD+2=3(2t−2+2)⇔{xD=3t−2yD=6t−2⇒D(3t−2;6t−2)
Vì N(5;6) là trung i m CD nênđể C(12−3t;14−6t)⇒→BC=(11−3t;16−6t),→NC=(7−3t;8−6t).
Ta có: BC⊥NC⇒→BC.→NC=0⇔(11−3t)(7−3t)+(16−6t)(8−6t)= 0.
⇔45t2−198t+205=0⇔[t=53t=4115.
Bài 2. Trong m t ph ngặ ẳ Oxy cho hình ch nh tữ ậ ABCD có các c nhạ AB;DA ti p xúc v i ng trònế ớ đườ (C):(x+2)2+
(y−3)2=4. ng chéoĐườ AC giao v i ng trònớ đườ (C) t i 2 i mạ để M(−165;235) và N∈Oy. Bi tế
r ngằ SΔADN=10 và xA<0;xD>0. Tìm t a các nh c a hình ch nh tọ độ đỉ ủ ữ ậ ABCD
Bài 2:
Nh n xét:ậ Bài toán s d ng tính ch t c a 2 ti p tuy n và tính ch t c bi t c a hình vuông ! ý k ta th y 2ử ụ ấ ủ ế ế ấ đặ ệ ủ Để ĩ ấ
c nh ti p xúc ng tròn c a hình vuông có tính ch t vuông góc. T ây ta d dàng x lí bài toán theo cácạ ế đườ ủ ấ ừ đ ễ ử
b c sau :ướ
• Khi xem xét bài toán; ta c n chú ý r ng có th tìm c t a i m nào t d ki n không? bài toánầ ằ ể đượ ọ độ để ừ ữ ệ Ở
này d dàng nh n ra i mễ ậ để N=0y∩(C). T ây bi t t a ừ đ ế ọ độ M và N
• M t vi c n a c n làm là vi t ph ng trình c nh c n thi t. Ta cóộ ệ ữ ầ ế ươ ạ ầ ế M;N∈AC nên suy ra ph ng trìnhươ AC.
th ng theo mình nh n ra i u c n thi t này là ýườ để ậ đề ầ ế để xA<0 !
• Bám sát ê bài; có ph ng trìnhđ ươ AC ; ta s tham s hóaẽ ố A. Ta th y không d tìm t a cácấ ễ để ọ độ
nhđỉ B;D;C . M t khácặ AI=R√2 v iớ I và R l n l t là tâm vào bán kính c aầ ượ ủ (C). T ây ta tìmừ đ

cđượ A. ýĐể xA<0
• ý ti p bài cònĐể ế đề SΔADN=10 có liên quan nđế D ? Ta suy ngh s d ng vi c a v nh ng cái ãĩ ử ụ ệ đư ề ữ đ
bi t làế I và pt ADxem? i u ó không khó khi ta ã bi t t a Đ ề đ đ ế ọ độ A !
⟹ T ó ta có l i gi i cho bài toán nh sau :ừ đ ờ ả ư
Bài gi iả :
Hình v :ẽ
+) ng trònĐườ (C) có tâm I(−2;3); bán kính R=2
+) T a ọ độ N là nghi m c a hệ ủ ệ{(x+2)2+(y−3)2=4x=0⟺N(0;3)
+) Ph ng trìnhươ AC i quađ M;N là : x+2y−6=0
+) G iọ A(6−2a;a)∈AC. Do AB và AD là 2 ti p tuy n c aế ế ủ (C) và AB⊥AD suy ra AI=R√2⟹( 8−2a)2+
(a−3)2=8⇔[a=5a=135⇒[A(−4;5)A(45;135)
+) Do xA<0 nên ta l yấ A(−4;5).
+) G i ph ng trìnhọ ươ AB có d ng :ạ m(x+4)+n(y−5)=0.
Do d(I;AB)=R⟹4m2+4n2=4m2+4n2−8mn⟺[m=0n=0⇒[AB:y−5=0AB:x+4=0
*) V iớ AB:y−5=0 . Ph ng trìnhươ AD qua A vuông góc AB là : y−5=0
+) G iọ D(d;5)∈AD. Ta có SΔADN=12.AD.d(I;AD)⟺(d+4)2=100⇔[d=6d=−14⟹D(6;5)(Chú ý xD>0)
+) Ph ng trìnhươ DC i quađ D vuông góc AD là : x−6=0
+) T a ọ độ C là nghi m c a hệ ủ ệ {x−6=0x+2y−6=0⇒C(6;0)
+) G iọ B(b;5)∈AB. Ta có : →AB.→BC=0⇒B(−4;0)
*) V iớ AB:x+4=0. : Làm t ng t tr ng h p trên. Tr ng h p này lo i do không th a mãnươ ự ườ ợ ườ ợ ạ ỏ xD>0
⟹ Chú ý: Khi g i ph ng trình t ng quát c aọ ươ ổ ủ AB nên tránh dùng n trùng tên ã dùng trên !ẩ đ ở
Bài toán gi i quy t xong !ả ế
Bài 3: Trong m t ph ngặ ẳ Oxy cho hình ch nh tữ ậ ABCD có E∈AB;F(2;1)∈AD sao cho EB=2EA ; FA=3FD và tam
giác CEFvuông t iạ F. Bi t r ng ph ng trìnhế ằ ươ CE:x−3y−9=0 và xC>0. Tìm t a các nh c a tam giácọ độ đỉ ủ ABC
Phân tích tìm l i gi i:ờ ả
Bài toán ã cho d ng hình ch nh t có hai i m trên c nh tuy nhiên ch bi t to m t i m(nên không s đ ạ ữ ậ để ạ ỉ ế ạ độ ộ để ử
d ng c Talets tìm i m liên h nh các tr c) nh ng l i cho gi thi t ph ng trình ng th ng CE. Vì ụ đượ để ệ ư đề ướ ư ạ ả ế ươ đườ ẳ
v y ngh ngay n vi c s d ng kho ng cách t F n CE mu n v y ta c n bi t t l dài c nh hình ch ậ ĩ đế ệ ử ụ ả ừ đế ố ậ ầ ế ỷ ệ độ ạ ữ
nh t i u này khai thác t gi thi t tam giác CEF vuông t i F. V y tr c tiên s d ng Pitago tìm t s dàiậ đề ừ ả ế ạ ậ ướ ử ụ để ỷ ố độ
hai c nh hình ch nh t.ạ ữ ậ

L i gi i:ờ ả
Hình v :ẽ
tĐặ AB=a,AD=b,(a,b>0)ta có
CE2=CB2+BE2=49a2+b2EF2=AE2+AF2=a29+916b2CF2=CD2+DF2=a2+b216
Tam giác CEF vuông t i F nênạ
CE2=EF2+CF2⇔49a2+b2=a29+916b2+a2+b216.
⇔2a23=3b28⇔a=34b⇒EF=58b2;CF=58b2⇒ΔCEFvuông cân t i F.ạ
G i H là trung i m c a CE ta cóọ để ủ FH⊥CE,FH=d(F;CE)=|2−3.1−9|√12+(−3)2=√10.
Do óđ EF=CF=b√104=FH√2=√20⇔b=4√2,a=3√2.
Vì C∈CE⇒C(3 c+9;c),xC>0⇒c>−3 ta có ph ng trình:ươ
FC=√20⇔(3c+7)2+(c−1)2=20⇔[c=−1c=−3⇒C(6;−1).
Suy ra ph ng trình ng th ngươ đườ ẳ CF:x−24=y−1−2⇔CF:x+2y−4=0.
Ph ng trình ng th ngươ đườ ẳ EF⊥CF⇒EF:2x−y−3=0.
To i m E là nghi m c a h ph ng trìnhạ độđể ệ ủ ệ ươ { 2x−y−3= 0x−3y−9=0⇔{x=0y=−3⇒E(0;−3).
Ta có AE=13AB=√2,AF=34AD=3√2 suy ra to i m A là nghi m c a h ph ng trìnhạ độđể ệ ủ ệ ươ
{x2+(y+3)2=2(x−2)2+(y−1)2=18⇔[{x=−1y=−2{x=75y=−165⇒[A(−1;−2)A(75;−165).
Chú ý A và C khác phía v i EF nên ch nh n i mớ ỉ ậ để A(−1;−2).
Ta có →AB=3→AE⇒{ xB+1=3yB+2=−3⇔{xB=2yB=−5⇒B(2;−5).
T ng tươ ự →AD=43→AF⇒D(3;2).
V y to b n i m c n tìm làậ ạ độ ố để ầ A(−1;−2),B(2;−5),C(6;−1),D(3;2).
Nh n xét.ậ Ta có th tìm E b ng cách l y i x ng C qua H.ể ằ ấ đố ứ
Bài 4. Trong m t ph ng v i h tr c to ặ ẳ ớ ệ ụ ạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(1;1) G iọ M là trung i m để
c nhạ BC, K(95;−35) là hình chi u vuông góc c aế ủ D lên AM. Tìm t a các nh còn l i c a hình vuông, ọ độ đỉ ạ ủ
bi tế B có hoành nh h n 2.độ ỏ ơ
Bài 3: Trong m t ph ngặ ẳ Oxy cho hình ch nh tữ ậ ABCD có E∈AB;F(2;1)∈AD sao cho EB=2EA ; FA=3FD và tam
giác CEFvuông t iạ F. Bi t r ng ph ng trìnhế ằ ươ CE:x−3y−9=0 và xC>0. Tìm t a các nh c a tam giácọ độ đỉ ủ ABC
Bài gi iả :
Goị C(3x+9;x)∈ CE:x−3y+9=0
Do FA=3FD suy ra FD=14AD
EB=2EA suy ra EA=13AB

Ta co tam giać ́ DFC ông dang v i tam giac̀ ́ ́đ ̣ ơ AEF (g.g) suy ra
DFAE=DCAF=FCEF
suy ra 14AD13AB=AB34AD⇒ADAB=43
Ta có CFEF=14AD13AB=1⇒CF=EF
d(F,CE)=|2−3.1−9|√(12+(−3)2)=√10
Tam giać CFE vuông taị F có (1d(F,CE))2=1EF2+1CF2
Suy ra FC2=20⇔(3x+7)2+(x+2)2=20⇔ x=−1 ho cặ x=−3
Do xC>0 nên ta choṇ x=−1⇒C(6;−1)
suy ra ph ng trinh̀ươ CF:x+2y−4
Ph ng trinh̀ươ EF qua E va vuông goc v ì ́ ́ơ CF suy ra EF:2x−y−3=0
suy ra E(0;−3)
Goị vtn=(a;b) la vecto phap tuyên cua ng th ng̀ ́ ́ ̀̉ đươ ẳ AD
suy ra ph ng trinh̀ươ AD:a(x−2)+b(y−1)=0
Ph ng trinh ng th ng̀ ̀ươ đươ ẳ AB qua E va vuông goc v ì ́ ́ơ AD là AB:bx−a(y+3)=0
d(C,AB)=43d(C,AD)⇔ a=3b ho cặ 2a=−9b
*) a=3b Choṇ a=1,b=3 suy ra AD:x+3y−5=0 và AB:3x−y−3=0⇒A(75;65)
vtAB=3vtAE suy ra B(0;−3)
T ng t v íươ ự ơ 2a=−9b suy ra A(1817;−5517) và B(0;−3)
Bài 4. Trong m t ph ng v i h tr c to ặ ẳ ớ ệ ụ ạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(1;1) G iọ M là trung i mđể
c nhạ BC, K(95;−35) là hình chi u vuông góc c aế ủ D lên AM. Tìm t a các nh còn l i c a hình vuông, bi tọ độ đỉ ạ ủ ế B có
hoành nh h n 2.độ ỏ ơ
Bài 4
Phân tích:
• Bài toán cho ta 2 i m. Vi c ngh ngay n ó là tìm i m ho c vi t ph ng trình. T t nhiên ta nh nđể ệ ĩ đế đ để ặ ế ươ ấ ậ
ra ngay tìm i m là r t khó, mà trong khi ta l i cóđể để ấ ạ KD⊥AM. T ây ta vi t c ph ngừ đ ế đượ ươ
trình KD và AM
• B c ti p theo là tìm y u t c bi t ( vuông góc; trung i m ; ) . ý khi v hình ta th yướ ế ế ố đặ ệ để Để ẽ ấ
ngay N=KD∩AB là trung i mđể AB. L i d ng tính ch t hình vuông; ta tính di n tích tam giác và suy raợ ụ ấ ệ
c nh hình vuôngạ → t a ọ độ D
• Bi t c nh hình vuông. Doế ạ ABCD là hình vuông nên ta d dàng tìmễ B (l u ý hoành c aư độ ủ B nh h n 2)ỏ ơ

• Cu i cùng là tìmố C; ýđể M là trung i mđể BC? Li u ta có th tìm cệ ể đượ M?
D a vào nh ng ý trên ta i n bài gi i sau:ự ữ đ đế ả
Bài gi iả
- Hình vẽ
- G iọ N=KD∩AB. Ta có ΔADN∼ΔBAM⇒ANAD=BMBA⇒AN=BM⇒N là trung i m c ađể ủ AB
- Ph ng trìnhươ AM qua A;K là: 2x+t−3=0
- Ph ng trìnhươ KD qua K vuông góc v iớ AM là : x−2y−3=0
- G i c nh hình vuông làọ ạ 4x. Ta có SAND=12.4x.2x=4x2=12√16x2+4x2.|1−2−3|√12+(−2)2⇔x=1⟹AD=4
- G iọ D(2d+3;d)∈(KD)⟹(2d+2)2+(d−1)2=16⇔5d2+6d−11=0⇔[d=1d=115⇒[D(5;1)D(375;115)
- V iớ D(5;1), G iọ B(x;y) Ta
có {→AB.→AD=0AB=4⇔{4(1−x)=0(1−x)2+(1−y)2=16⇔{x=1[y=5y=−3⇒[B(1;5)(Loại)B(1;−3)
- G iọ M(m;3−2m)∈(AM). Ta có : →AB.→BM=0⇔24−8m=0⇔m=3⇒M(3;−3)
- Do M là trung i m c ađể ủ BC nên suy ra C(5;−3)
- Tr ng h p còn l i c aườ ợ ạ ủ D ta lo i khi tìmạ B
KL: T a ọ độ A(1;1);B(1;−3);C(5;−3);D(5;1)
Bài 5. Trong m t ph ngặ ẳ Oxy cho hình thang ABCD vuông t i A và D cóạ AB=AD<CD, i mđể B(1;2), ng th ngđươ ẳ BD có
ph ng trìnhươ y=2. Bi t r ng ng th ngế ằ đườ ẳ (d):7x−y−25=0 l n l t c t các o n th ngầ ượ ắ đ ạ ẳ AD và CD theo th tứ ự
t iạ M và N sao cho BM⊥BC và tia BN là phân giác c a gócủ MBC. TÌm t a i m D( v i D có hoành ng).ọ độ để ớ độđươ
Hình v :ẽ
Ta có tam giác BMC vuông cân t i B => BM=BC.=> NB vuông góc MC =>BN là trung tr c c a MC ạ ự ủ
=>NM=NC
do ó:đ
^BMN=^BCN=^AMB => BM là tia phân giác góc AMN.
H BE vuông góc MN =>BE=BA (tính ch t ng phân giác)ạ ấ đườ
d(B,MN)=d(B,d)=BE=BA=2√2 => BD=4.
Mà BD có pt y=2 và D có hoành d ng =>D(5, 2)độ ươ