Một số bài toán về tứ diện và hình hộp trong không gian

Một số bài toán về tứ diện và hình hộp trong không gian
Trong chương trình hình học giải tích lớp 12 ở bậc trung học phổ thông có một số lượng không
nhỏ các bài tập về tứ diện và hình hộp. Đây là các bài tập tổng hợp nên thường được lấy để làm
các bài kiểm tra và các bài thi học kì, thi tốt nghiệp và thi cao đẳng - đại học. Trong bài này tôi xin
giới thiệu một số bài toán thường gặp trong các kì thi nói trên.
Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1)
và D(1; 1; 1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình đường cao DH của tứ diện.
d) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện.
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện (
α
) của mặt cầu (S) tại A.
Giải
a) Có
(0;1; 2)AB = −
uuur
,
( 1;0; 1)AC = − −
uuur
,
(0;1; 1)AD = −
uuur
.
⇒
1 2 2 0 0 1
, ] ; ;
0 1 1 1 1 0
[AB AC
 − − 

=
 ÷
− − − −
 
uuur uuur
= (-1; 2; 1)
⇒
, ]. 1.0 2.1 1.( 1) 1 0[AB AC AD = − + + − = ≠
uuur uuur uuur
. Vậy
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng hay bốn
điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Có: S
ABC
=
1
2
|
, ][AB AC
uuur uuur
| =
2 2 2
1 6
( 1) 2 1
2 2
− + + =
(đvdt)
V

ABCD
=
1 1 1
, ]. .1
6 6 6
[AB AC AD = =
uuur uuur uuur
(đvtt)
c) Đường cao DH của tứ diện ABCD đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận vectơ
pháp tuyến
( )
, ][
ABC
n AB AC=
r uuur uuur
của mặt phẳng (ABC) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:
1 1 1
1 2 1
x y z− − −
= =
−
d) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình dạng:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Vì A, B, C, D thuộc (S) nên ta có toạ độ của chúng phải thoả mãn phương trình của (S), hay ta có

hệ phương trình:
3
2
1 0 4 2 4 0 2 4 5
1
1 1 0 2 2 0 2 2 2
2
0 0 1 2 0 2 1
1
1 1 1 2 2 2 0 2 2 2 3
2
0
A
A C D A C D
A B D A B D
B
C D C D
C
A B C D A B C D
D

= −

+ + + + + = + + = −
 

 

+ + + + + = + + = −
=

  
⇔ ⇔
  
+ + + + = + = −
  
= −
  
+ + + + + + = + + + = −
 


=

.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x
2
+ y
2
+ z
2
- 3x + y - z = 0.
e) Mặt cầu (S) có tâm I(
3 1 1
; ;
2 2 2
−
)
Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại A nhận vectơ
1 1 3
( ; ; )

2 2 2
IA = −
uur
làm vectơ pháp tuyến nên
có phương trình:
1 1 3
( 1) ( 0) ( 2) 0 3 5 0
2 2 2
x y z x y z− − + − + − = ⇔ − − + =
.
Bài toán 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Tính thể tích tứ diện OABC.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và bán kính đường tròn
đó.
Giải:
Nhận xét: Đây là tứ diện vuông vì có A, B, C nằm trên 3 trục toạ độ và O là gốc toạ độ.
a) V
OABC
=
1 1 16
. . 2.4.4
6 6 3
OAOB OC = =
(đvtt)
b) Giả sử mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình: x
2
+ y
2
+ z

2
+2Ax + 2By + 2Cz +
D = 0.
Vì O, A, B, C thuộc (S) nên ta có :
0 1
4 4 0 2
16 8 0 2
16 8 0 0
D A
A D B
B D C
C D D
= = −
 
 
+ + = = −
 
⇔
 
+ + = = −
 
 
+ + = =
 
.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x
2
+ y
2
+ z

2
-2x - 4y - 4z = 0.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (ABC).
Mp(ABC) có phương trình:
1 2 4 0
2 4 4
x y z
x y z+ + = ⇔ + + − =
.
Suy ra, phương trình đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC là:
2 2 2
2 4 4 0
2 4 0
x y z x y z
x y z

+ + − − − =

+ + − =

.
Gọi H là r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
H là trung điểm AB nên toạ độ H = (1; 2; 0). r =
1 1
2 5 5
2 2
AB = =
.
Bài toán 3. Trong không gian cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A’(0; 0; a) (a > 0).

a) Chứng minh rằng A’C ⊥ mp(AB’D’).
b) Chứng minh rằng giao điểm của A’C với mp(AB’D’) trọng tâm tam giác AB’D’.
c) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD).
d) Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’D’) và (ABB’A’).
e) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A’D’ và B’B. Chứng minh rằng IJ ⊥ AC’. Tính góc giữa
đường thằng IJ là A’D.
Giải:
Dễ thấy C(a; a; 0), B’(a; 0; a), D’(0; a; a), C’(a; a; a).
a)
' ( ; ; )A C a a a= −
uuuur
,
' ( ;0; ), ' (0; ; )AB a a AD a a= =
uuuur uuuur
.
2 2 2
', '] ( ; ; )[AB AD a a a= − −
uuuur uuuur
.
vì vectơ
'A C
uuuur
và vectơ
', '][AB AD
uuuur uuuur
cùng phương nên A’C ⊥ mp(AB’D’).
b) Đường thẳng A’C có phương trình:
x at
y at
z a at

=


=


= −

.
mp(AB’D’) có pt: -a
2
x - a
2
y +a
2
z = 0 ⇔ x + y - z = 0.
Toạ độ giao điểm của đường thẳng A’C và mp(AB’D’) là nghiệm của hệ phương trình:
3
3
2
0
3
a
x
x at
y at
a
y
z a at
a

x y z
z

=

=



=
 
⇔ =
 
= −
 
 
+ − =

=


.
Mặt khác, trọng tâm G của tam giác AB’D’ có toạ độ: G(
2
; ;
3 3 3
a a a
).
Vậy giao điểm của A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm tam giác AB’D’.
c) Vì