Tóm tắt luận án Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi tuyến

1
MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài luận án
Các ứng dụng hiện nay của điều khiển dự báo thường yêu cầu các quá trình vận hành trong
một dải làm việc lớn và gần với các điều kiện biên, đồng thời phải thỏa mãn các ràng buộc cũng
như phải đạt được chất lượng gần tối ưu. Đây là những lí do mà điều khiển dự báo phi tuyến được
quan tâm đặc biệt trong những năm gần đ
ây với rất nhiều bước tiến ở cả lĩnh vực lý thuyết và ứng
dụng. Ngoài ra, năng lực ngày càng tăng của các máy tính hiện có cũng như sự phát triển không
ngừng của các phương pháp giải số dành riêng cho điều khiển dự báo phi tuyến đã mang đến khả
năng ứng dụng của nó cả cho các hệ động học biến đổi nhanh. Điều này dẫn đến mộ
t loạt các sự
phát triển mới đầy hấp dẫn, bên cạnh các thách thức mới trong lĩnh vực điều khiển dự báo hệ phi
tuyến trong đó phải tính tới cả việc đưa ra được lời chứng minh tính thỏa mãn nguyên lý tách của
hệ kín phản hồi đầu ra khi ghép chung bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái phi tuyến với bộ
quan sát trạng thái, cũng như phải xây d
ựng được thuật toán để giải bài toán tối ưu khi có ràng
buộc về tín hiệu điều khiển, …. Các thách thức này cũng chính là động cơ thúc đẩy đề tài nghiên
cứu của luận án.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận án
Mục tiêu của luận án là giải quyết bài toán "Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên
lý tách cho hệ phi tuyến", với hai nhiệm vụ chính, bao gồm:
− Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo phản
hồi trạng thái nhằm mở rộng tính linh hoạt của bộ điều khiển và hơn nữa là có thể chuyển
được bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển cũng như trạng thái
về thành bài toán không ràng buộc.
− Xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ
quan sát trạng thái và khảo sát tính ổn định của hệ thu được.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án
Phạm vi của luận án là nghiên cứu và đưa ra các kết quả cho điều khiển dự báo hệ phi tuyến

nói chung và hệ song tuyến (lớp hệ phi tuyến đặc biệt và phổ biến trong công nghiệp) nói riêng.
Các bài toán rất phổ biến hiện nay trong điều khiển dự báo, chẳng hạn như bài toán ước lượng
trạng thái hay bài toán ổn định hóa và bám ổn định quỹ đạo đặt cũng sẽ được giải quyế
t. Tính ổn
định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái và phản hồi đầu ra được luận án chứng minh
dựa trên lý thuyết ổn định Lyapunov và ổn định ISS (Input-to-State Stability). Đặc biệt, với hệ
song tuyến, khi được coi là vô số các hệ tuyến tính tham số hằng, thì lời giải của bài toán tối ưu
trong điều khiển dự báo có xét đến điều kiện ràng buộ
c của tín hiệu điều khiển lại có thể được
phát triển từ các kết quả quen thuộc của bài toán LQR (Linear Quadratic Regulator) hay phương
pháp quy hoạch động của Bellman nhờ việc sử dụng hàm mục tiêu có tham số biến đổi.
Cấu trúc và những đóng góp của luận án
Luận án được bố cục với 4 chương chính: phần mở đầu, 4 chương trình bày các nội dung và
kết quả nghiên cứu, phần cuối là kết luận và kiến nghị. Luận án đã có các đóng góp cụ thể như
sau:
− Phát biểu được một tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ phi
tuyến mà ở đó hàm mục tiêu có cấu trúc biến
đổi trong cửa sổ dự báo cũng như theo sự dịch
chuyển của cửa sổ dự báo trên trục thời gian.
− Xây dựng được bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến và chứng minh
được tính ổn định tiệm cận của hệ kín thu được.
− Xây dựng được thuật toán quan sát trạng thái tối ưu cho hệ phi tuyến và điều kiện
đủ để bộ
quan sát đó trở thành bộ quan sát có khoảng thời gian quan sát hữu hạn FTO (Finite Time
Observer).

2
− Phát biểu được điều kiện cần và đủ để hệ song tuyến là quan sát đều và xây dựng thuật toán
quan sát trạng thái tối ưu cho hệ song tuyến.
− Đưa ra điều kiện đủ để bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra, xây dựng trên nền nguyên lý

tách, làm hệ phi tuyến nói chung và hệ song tuyến nói riêng là ổn định tiệm cận (với bộ
quan sát FTO) và ổn định ISS (khi luôn tồ
n tại sai lệch quan sát).
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG
1.1 Động cơ thúc đẩy đề tài
1.1.1 Hệ điều khiển dự báo
Điều khiển dự báo dựa theo mô hình (Model Predictive Control - MPC), hay gọi tắt là điều
khiển dự báo, đề cập đến một họ các phương pháp điều khiển sử dụng một mô hình toán học để
dự báo tín hiệu ra của đối tượng (quá trình) trong tương lai. Tại mỗi thời điểm trích mẫu, thuật
toán điều khiển dự báo sẽ tối ưu đáp ứng của h
ệ bằng cách tính toán ra dãy tín hiệu điều khiển
tương lai. Chỉ có thành phần đầu tiên của dãy tín hiệu điều khiển tối ưu này được đưa tới đối
tượng và toàn bộ chu trình tính toán sẽ được lặp lại tại các thời điểm trích mẫu tiếp theo
[12,33,48].
Như vậy bộ điều khiển dự báo gồm có ba khâu chính:
− Khâu mô hình dự báo. Khâu này có nhiệm vụ xác định được dãy các giá trị
đầu ra tương lai
thuộc cửa sổ dự báo hiện tại, tức là cửa sổ dự báo
[
)
,kk N
+
tính từ thời điểm hiện tại k .
Kết quả đầu ra của khâu dự báo này là giá trị đầu ra tương lai
, 0,1, , 1
ki
iN
+
=−…y dưới
dạng các hàm phụ thuộc tín hiệu đầu vào tương lai trong cùng cửa sổ dự báo

− Khâu hàm mục tiêu. Đây là khâu xây dựng hàm mục tiêu:
()J U với
()
11
,, ,
kk kN
col
++−
=U …uu u
để với nghiệm tối ưu của:
*
arg min ( )
N
U
J
∈
=
U
U
U
(1.2)
ta sẽ có được chất lượng điều khiển mong muốn, trong đó
N
U là tập các giá trị tín hiệu
điều khiển thích hợp.
−
Khâu tối ưu hóa là khâu thực thi bài toán tối ưu (1.2) nhờ một phương pháp tối ưu hóa cụ
thể. Trong số các giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu tìm được trong cửa sổ dự báo hiện tại:
()
*** *

11
,, ,
kk kN
col
++−
=U …uu u

thì chỉ có phần tử đầu tiên của nó:
()
**
,, ,
k
I= ΘΘ
U
…u

được sử dụng, trong đó I là ký hiệu của ma trận đơn vị và
Θ
là ma trận có tất cả các phần
tử bằng 0. Tại thời điểm
1k + tiếp theo, chu trình trên được thực hiện lặp lại.
Với ưu điểm nổi trội là điều khiển được những hệ thống (quá trình) có các ràng buộc về tín
hiệu điều khiển (và còn có thể cả về trạng thái) nên điều khiển dự báo đã được nghiên cứu, phát
triển rất nhanh. Một tổng quan tương đối đầy đủ về các phương pháp điều khiể
n dự báo tuyến
tính này đã được nghiên cứu sinh trình bày trong tài liệu [3].
Tuy nhiên, có thể thấy các phương pháp điều khiển dự báo nêu trên đều tập trung chủ yếu
cho bài toán điều khiển dự báo tuyến tính, trong khi các đối tượng trong thực tế đều ít nhiều mang
tính phi tuyến và hàm mục tiêu thường không ở dạng toàn phương cũng như các ràng buộc
thường gặp là phi tuyến. Bởi vậy, điều khiển dự báo hệ phi tuyế

n đã được đặc biệt quan tâm và
nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Đó cũng chính là một trong những động cơ thúc đẩy
nghiên cứu đề tài "
Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi tuyến" của
luận án.

3
1.1.2 Các hướng nghiên cứu của luận án
Luận án đã đặt ra hai hướng nghiên cứu chính, gồm:
−
Xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ
quan sát trạng thái và khảo sát tính ổn định của hệ thu được.
−
Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo phản
hồi trạng thái để chuyển bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển
cũng như trạng thái về thành bài toán không ràng buộc.
A) Về phản hồi đầu ra
Thứ nhất là về hướng điều khiển phản hồi đầu ra. Mặc dù phát triển nhanh, song phần lớn
các đóng góp mang tính lý thuyết của điều khiển dự báo hệ phi tuyến đều dựa trên giả thiết phải
có đầy đủ thông tin về trạng thái bên trong của hệ. Giả thiết này thường không được thỏa mãn
trong thực tế, do không thể đo được tất cả các biến trạng thái củ
a đối tượng [17,36]. Một giải
pháp cho vấn đề này là sử dụng một bộ quan sát trạng thái để ước lượng các biến trạng thái của
đối tượng từ các tín hiệu vào/ra đo được rồi sau đó áp dụng các phương pháp điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái đã có, hay nói cách khác là chuyển bài toán phản hồi trạng thái thành bài toán
phản hồi đầu ra [5].
Với những lý do trên, luận án sẽ tập trung giải quy
ết bài toán quan sát trạng thái và bài
toán điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ phi tuyến
.

Hơn thế nữa, các phương pháp điều khiển phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho
các hệ phi tuyến nói chung và các hệ điều khiển dự báo nói riêng đều phải chỉ ra tính ổn định của
hệ kín dựa trên nguyên lý tách. Thậm chí, các phương pháp điều khiển dự báo hệ tuyến tính cũng
không đương nhiên thỏa mãn nguyên lý tách do sự có mặt của các điều kiện ràng buộc [18]. Theo
các tài liệu [17,46] thì tính thỏa mãn nguyên lý tách có thể
được chứng minh dựa trên ba xu
hướng thiết kế sau:
1. Tách (
separation)
2. Bộ điều khiển tách (
controller separation)
3. Bộ quan sát tách (
observer separation)
Việc lựa chọn một trong ba xu hướng thiết kế nêu trên nhằm tạo ra
tính ổn định cho hệ
thống điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
cũng chính là một trong những
động cơ thúc đẩy đề tài.
B) Về hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
Thứ hai là về khả năng chuyển bài toán điều khiển có ràng buộc thành bài toán điều khiển
không ràng buộc thành bài toán điều khiển dự báo không ràng buộc nhờ sử dụng hàm mục tiêu có
cấu trúc biến đổi.
Xét lại hàm mục tiêu (1.3), nay được viết lại thành:

()
TT
J =+UEEUUQR (1.4)
với
(
)

11
(), (), , , , .
kk N
diag Q diag R col
+−
===EQR …ee e

Khi đó có thể nhận thấy với mô hình dự báo phi tuyến, do
E là hàm phi tuyến của
U
, nên hàm
mục tiêu (1.4) này không còn ở dạng toàn phương theo
U
, thậm chí không phải là hàm lồi, do đó
chưa thể khẳng định được nghiệm
*
U của bài toán tối ưu (1.2) tìm được nhờ các phương pháp tối
ưu hóa sẽ là nghiệm toàn cục.
Để tìm nghiệm toàn cục của (1.2), ta cần tới phương pháp điều khiển tối ưu, chẳng hạn như
phương pháp biến phân, hoặc quy hoạch động của Bellman [2], song các công thức tường minh
xác định
*
U theo phương pháp điều khiển tối ưu này lại mới chỉ dừng lại cho trường hợp không
ràng buộc, do đó không thể áp dụng được khi bài toán điều khiển dự báo có thêm các điều kiện
ràng buộc cho tín hiệu điều khiển
k
u hoặc trạng thái
k
x .
Tuy nhiên, nếu nhìn lại cấu trúc hàm mục tiêu (1.4) ta sẽ thấy:

−
Càng tăng R , điều kiện ràng buộc:

4
maxk
u≤u
(1.5)
càng dễ được thỏa mãn.
−
Nhưng càng tăng R chất lượng bám tín hiệu mẫu
k
w đặt ở đầu vào càng xấu.
Bởi vậy một ý tưởng dung hòa xuất hiện ở đây là ngay ban đầu (khi
k nhỏ) ta chọn R đủ
lớn để có
U
đủ nhỏ sao cho với nó có được điều kiện ràng buộc (1.5). Khi điều kiện ràng buộc
(1.5) đã được thỏa mãn, ta sẽ giảm
R để thông qua đó làm tăng thêm sự tham gia của thành
phần sai lệch bám
T
EEQ trong
()J
U
nhằm làm giảm sai lệch bám sau này. Tương tự ta cũng có
thể chọn
Q
đủ nhỏ ban đầu, sau đó tăng dần
Q
theo k .

Với hai trường hợp thay đổi hai ma trận
R hay
Q
theo thời gian
k
như trên, hàm mục tiêu
gốc ban đầu (1.4) trở thành:

()
TT
kk
J =+UE EU UQR (1.6)
và ta sẽ gọi hàm mục tiêu "linh hoạt" này là
hàm mục tiêu có tham số biến đổi. Mở rộng hơn nữa,
ta có thể thay (1.6) bởi
hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi như sau:

1
0
() ( , ).
N
ki ki ki
i
Jg
−
++ +
=
∑
=U eu (1.7)
Với hàm mục tiêu (1.7) có cấu trúc hàm

(, )
ki ki ki
g
+
++
eu dưới dấu tổng thay đổi theo k một cách
thích hợp, nghiệm bài toán tối ưu không ràng buộc:

*
arg min ( )J=
U
U

được tìm nhờ các phương pháp điều khiển tối ưu (chẳng hạn nhờ các công thức nghiệm tường
minh của biến phân hay quy hoạch động) cũng sẽ vẫn thỏa mãn điều kiện (1.5) của bài toán điều
khiển dự báo.
1.2 Cơ sở lý thuyết
1.2.1 Tính ổn định Lyapunov
Định nghĩa 1.1: Xét hệ phi tuyến tự trị (không bị kích thích), không dừng, cân bằng tại gốc tọa độ
và có mô hình không bị kích thích
:

1
(,)
kk
k
+
=xfx với (, ) ,k =00
f
0k∀≥. (1.9)

Khi đó hệ sẽ được gọi là:
a)
Ổn định tại
0
k , nếu với mọi 0
ε
> bao giờ cũng tồn tại
(
)
0
,k
δε
sao cho quỹ đạo trạng thái
tự do
(
)
0
,
k
k=Φ
f
xx của nó, tức là nghiệm của (1.9), với điều kiện đầu
0
∈Ox , trong đó
O là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, thỏa mãn:
(
)
00
,k
δε

<x
⇒
k
ε
<x
,
0
kk∀≥ .
b)
Ổn định tiệm cận tại
0
k , nếu nó ổn định và còn có lim
k
k
→∞
=
0x .
1.2.2 Tính ổn định ISS
Khái niệm ổn định ISS liên quan tới hệ bất định, có mô hình không bị kích thích:

1
(,,)
kkk
k
+
=xfxd (1.10)
trong đó
k
d là tín hiệu bất định, tác động không mong muốn vào hệ. Khái niệm này được hiểu
như sau:

Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng (1.10) cân bằng tại gốc, tức là:

(,,) , 0kk=∀≥00 0
f
.

5
Hệ sẽ được gọi là ổn định ISS nếu tồn tại một hàm
(
)
,zk
β
thuộc lớp
KL
và một hàm
(
)
z
γ

thuộc lớp
K sao cho với mọi tín hiệu bất định
k
d thỏa mãn
k
∞
<
∞d và mọi trạng thái đầu
0
x tùy ý, được hiểu là giá trị trạng thái của hệ khi

0
kk
=
, luôn có:

(
)
(
)
(
)
000
,, ,
kk k
kkk
βγ
∞
≤−+xxd x d
.
1.2.3 Quy hoạch động của Bellman
Định lý 1.3 [23]: Xét bài toán quy hoạch động dạng chuẩn:
()
01
1
1
, ,
0
(, )
,(,,) min
N

kkk
N
Nkk
k
Jf N g k
−
+
−
=
∑
=
⎧
⎪
⎨
=+ →
⎪
⎩
…uu
xfxu
xxu

trong đó
0
x là trạng thái đầu cho trước, thì với ký hiệu:

()
10
00
, ,
inf

N
BJ
−
=
…uu
x
ta có với mọi N ∈N và 1, KN= … :

()
()()
0
00
, ,
0
inf , , ,
K
K
kk NK K
k
BgkBK
−
=
∑
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦

…uu
xxux. (1.12)
Ngoài ra nếu tồn tại dãy giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu
01
, ,
N
∗
∗
−
…uu
, và ứng với nó là dãy
quỹ đạo trạng thái tối ưu
01
, ,
N
∗∗
−
…xx, trong đó
0
∗
=
x
0
x , thì ta có:

()
()
(
)
00

0
,, ,
K
kk NK K
k
BgkBK
∗∗
−
=
∑
=+xxu x.
Hệ quả sau đây của định lý 1.3 khẳng định rằng đoạn cuối của dãy giá trị tín hiệu điều khiển
tối ưu cũng là tối ưu với trạng thái đầu và cửa sổ dự báo thích hợp.
Hệ quả 1.1 [23]: Nếu
01
, ,
N
∗∗
−
…uu là dãy giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu ứng với trạng thái đầu
0
x và cửa sổ dự báo 2N ≥ , thì ứng với mỗi 1, KN
=
… , dãy
1
, ,
KN
∗∗
−
…uu cũng là dãy

giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu với trạng thái đầu
K
∗
x và cửa sổ dự báo NK− .
Áp dụng phương pháp quy hoạch động vào bài toán điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
với cửa sổ dự báo vô hạn, tức là xét bài toán điều khiển tối ưu:

1
1
,,
0
(, )
(,, ) min
kk
ki ki ki
kkiki
k
Jg ki
+
++ + +
∞
++
=
∑
=
⎧
⎪
⎨
=+→
⎪

⎩
…uu
xfxu
xu
(1.13)
ta có định lý về tính ổn định của hệ kín như sau.
Định lý 1.4 [23]: Xét bài toán điều khiển tối ưu (1.13) cho hệ thống được mô tả bởi:
()
1
,,
kkk+
=xfxu (,)=00 0
f
.
Giả sử tồn tại các hàm
123
, ,
α
αα
∞
∈
K sao cho:
()
()
()
12
,
kk k
Vk
αα

≤≤xx x
và
(
)
3
(,,)
kk k
gk
α
≥xu x

trong đó
() ()
0,min
,
kkk
VkB J==xx
. Hơn nữa, giả sử tồn tại luật điều khiển
()
kk
∗
ux
với
k
∗
u

là phần tử đầu tiên của dãy giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu, thì luật điều khiển này sẽ làm
cho hệ kín:
()

()
1
,
kkkk
∗
+
=xfxux
ổn định tiệm cận theo nghĩa ở định nghĩa 1.1.

6
CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA
DỰA TRÊN QUAN SÁT TRẠNG THÁI
2.1 Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ
tuyến tính
2.1.1 Điều khiển dự báo bền vững hệ tuyến tính sử dụng bộ quan sát tựa Luenberger
Thuật toán này được đưa ra bởi Wan và Kothare [50] để làm ổn định các đối tượng (quá
trình) được mô tả bởi mô hình tuyến tính bất định có các tham số nằm trong một siêu diện hoặc
mô hình tuyến tính bất định có cấu trúc.
2.1.2 Điều khiển dự báo bền vững hệ tuyến tính sử dụng bộ quan sát Moving Horizon
Khác với xu hướng thiết kế độc lập bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng
thái như ở [50] thì các kết quả được công bố trong [36,49] lại đại diện cho nhóm phương pháp
thiết kế bộ quan sát trạng thái trước rồi đưa sai lệch quan sát vào bài toán thiết kế bộ điều khiển
dự báo.
2.2 Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ
phi tuyến
2.2.1 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát High Gain
Tư tưởng cơ bản của phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ
nêu trong [19] là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái không liên tục có tính bền vững với
nhiễu, sau đó thiết kế bộ quan sát trạng thái với sai lệch quan sát đủ nhỏ để có thể coi nó là nhiễu
tác động lên hệ kín.

2.2.2 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát mở rộng
Trong tất cả các phương pháp kể trên, khái niệm ổn định của hệ thống điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái cũng như phản hồi đầu ra đều được hiểu theo nghĩa ổn định Lyapunov. Tài
liệu [47] đã đề xuất một phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi
tuyến có nhiễu và sử dụ
ng khái niệm ổn định ISS để chứng minh tính ổn định tại (lân cận) gốc tọa
độ của hệ kín phản hồi đầu ra
2.3 Đánh giá chung
2.3.1 Đánh giá các phương pháp điều khiển hiện có
Chất lượng của hệ kín khi áp dụng các phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo tuyến
tính bền vững đã nêu ở các mục 2.1.1 và 2.1.2 sang cho hệ phi tuyến sẽ ít nhiều bị giảm đi do sai
số của việc tuyến tính hóa là không tránh khỏi.
Bên cạnh đó, nếu có thể tìm được một phép đổi trục để biểu diễn các hệ phi tuyến sang
dạng chuẩn thì ta có thể sử d
ụng các phương pháp ở mục 2.2.1 hoặc mục 2.2.2. Trong khi mục
2.2.1 đề xuất sử dụng bộ quan sát High Gain với ưu điểm của bộ quan sát này là khả năng loại bỏ
nhiễu [28] thì mục 2.2.2 lại đưa ra bộ quan sát mở rộng để tận dụng được thông tin của tín hiệu
điều khiển trong tương lai vốn chỉ có được ở điều khiển dự báo. Tuy nhiên ở cả hai phươ
ng pháp
trên, khả năng tồn tại phép đổi trục cũng như cách xác định phép đổi trục như thế nào để có thể
chuyển một hệ phi tuyến bất kỳ về dạng mô hình chuẩn vẫn còn là bài toán còn bỏ ngỏ.
2.3.2 Định hướng của luận án
Luận án này sẽ đưa ra một phương pháp điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý
tách cho hệ phi tuyến. Dựa trên nền tảng của điều khiển dự báo là tối ưu hóa và giả thiết hệ là
quan sát đều, luận án đề xuất một bộ quan sát trạng thái tối ưu để kết hợp với bộ điều khiển phản
hồi trạng thái nhằm tạ
o ra một hệ thống phản hồi đầu ra ổn định.

7
Trước hết, tính ổn định tiệm cận của một lớp các bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái

sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi sẽ được khảo sát. Tiếp theo, một điều kiện đủ cho tính
ổn định của hệ ghép bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái này với bộ quan sát trạng thái tối ưu
theo nguyên lý tách s
ẽ được chứng minh.
Hơn nữa, luận án cũng sẽ chỉ ra các điều kiện đủ để bộ quan sát tối ưu trở thành bộ quan
sát FTO, là bộ quan sát rất ít được đề cập đến trong điều khiển dự báo.
Tất cả các kết quả trên sẽ được áp dụng cho riêng hệ song tuyến.
CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN
SÁT TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ PHI TUYẾN
3.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ phi tuyến
3.1.1 Phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
Xét các đối tượng (quá trình) phi tuyến được mô tả bởi mô hình trạng thái không liên tục:

1
(, )
kkk+
=xfxu (3.1)
trong đó
(,)⋅⋅
f

là vector hàm phi tuyến khả vi hai lần và
(,) .
=
00 0
f

Xét hệ (3.1) ở thời điểm
k hiện tại. Độ rộng của cửa sổ dự báo N là cố định và cho trước.
Ký hiệu

001
{} { , , }
l
∞
= …www là dãy quỹ đạo mẫu mong muốn cho trước mà trạng thái của hệ cần
phải bám theo.

Do
1
,
+kk
ww
và
ref
k
u là biết trước nên mô hình (3.1) hoàn toàn viết lại được theo sai lệch
kkk
=−exw
và
ref
kk
k
=−vuu
:

/
11
(, ) (,).
ref
kkkk k kk

k
++
=+ + −=efewvuwfev (3.3)
Mô hình mô tả sai lệch bám (3.3) này cũng sẽ được sử dụng để dự báo các giá trị sai lệch bám
ki+
e trong khoảng cửa sổ dự báo
[
)
,kk N
+
.
Như vậy với mô hình (3.3), bài toán điều khiển bám ổn định đã được chuyển về bài toán
điều khiển ổn định. Để tránh việc sử dụng quá nhiều ký hiệu, từ nay về sau, ta vẫn sử dụng ký
hiệu
k
u thay vì
k
v cho tín hiệu vào ở bài toán điều khiển bám. Khi đó, tương ứng với bài toán
điều khiển bám, hàm mục tiêu cho việc xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cũng
có cấu trúc phụ thuộc theo sai lệch
k
e tức là:

()
1
0
(, )
N
kkN kikiki
i

Jf g
−
++++
=
∑
=+eeu

(3.4)

trong đó
()
,
ki
g
+
⋅⋅

và
()
f ⋅
là các hàm xác định dương với
(
)
f
⋅
là điều kiện ràng buộc cho điểm
cuối. Đặc biệt trong hàm mục tiêu (3.4) thì
(
)
,

ki
g
+
⋅
⋅
có cấu trúc thay đổi theo i chứ không cố
định như được giả thiết ở các công trình trước [23,47]. Chính vì lý do đó nên ta gọi
k
J là hàm
mục tiêu có cấu trúc biến đổi.

Ghép chung mô hình sai lệch (3.3) trên với hàm đo tổng các giá trị sai lệch thuộc khoảng dự
báo
[, )+kk N
vừa có, ta sẽ được bài toán tối ưu động có cấu trúc giống với bài toán quy hoạch
động dạng chuẩn, phục vụ việc xác định tín hiệu điều khiển tối ưu
*
k
u
tại thời điểm
k
, như sau:

()
1
/
1
1
, ,
0

(, )
(, ) min.
kkN
ki ki ki
N
kkN kikiki
i
Jf g
+−
++ + +
−
++++
=
∑
⎧
=
⎪
⎨
=+ →
⎪
⎩
…uu
efeu
eeu

(3.7)

Thậm chí vì nhiều lý do mà trong điều khiển dự báo người ta cần đến cả các bài toán tối ưu
có hàm mục tiêu
k

J

không bắt buộc ở dạng (3.4) mà tổng quát hơn sẽ là hàm nhiều biến:

8

()
11 1 1
(, , , , , , )
kkN kkkk kNkN
Jf F
++++−+−
=+ …eeueueu

(3.8)

mà ở đó khi sử dụng ký hiệu:

11
(, , , , ), 0,, 1
i i ki ki kN kN
FF i N
+ + +− +−
==−……eu e u

(3.9)

là thành phần hàm con trong
0
FF= ,

thì
i
F

có thể tách được thành dạng tổng:

1
(, )
ikikiki i
Fg F
++ + +
=+eu

(3.10)

hoặc dạng tích:

1
(, ) .
ikikikii
Fg F
++ + +
=⋅eu

(3.11)


Những hàm mục tiêu dạng (3.8) sẽ được gọi là hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi nếu như
nó thỏa mãn nguyên lý tối ưu đối với hàm mục tiêu

k
J

có cấu trúc biến đổi. Cụ thể hơn, khi ký
hiệu hàm Bellman tại
i

là:


1
, ,
() min
kNki
iki i
BF
++−
+
=
…uu
e

(3.12)

thì vẫn phải có được:

[]
11
()min (, ) ( )
ki

iki kiki ki i ki
Bg B
+
+++++++
=+
u
eeue

(3.13)

nếu dạng tách được là (3.10), hoặc:

[]
11
()min (, ) ( )
ki
iki kiki ki i ki
Bg B
+
+++++++
=⋅
u
eeue

(3.14)

nếu dạng tách được là (3.11).
Kết luận trên sẽ được trình bày dưới dạng hệ quả 3.1 của định lý 1.3 như sau.
Hệ quả 3.1: Xét hàm
k

J

dạng tổng quát
(3.8) được định nghĩa trong toàn bộ khoảng dự báo
[, )kk N+
. Ký hiệu
i
F

là thành phần của
k
J

xác định trong khoảng con
[, )kikN++

cho bởi
(3.9). Nếu hàm
i
F

đó tách được theo một trong hai dạng (3.10) hoặc (3.11) và
(, )0
ki ki ki
g
++ +
≥eu

thì hàm Bellman (3.12) tại
i

sẽ tương ứng thỏa mãn (3.13) hoặc (3.14).
3.1.2 Phân tích tính ổn định
Với cửa sổ dự báo là vô hạn, tức
,N
=
∞

thì khả năng ổn định của hệ kín là rất lớn [17], do
đó ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch động (3.7) với cửa sổ dự báo hữu hạn thành bài toán có
cửa sổ dự báo vô hạn như sau:

1
/
1
1
, ,
0
(, )
(, ) ( ) min
kkN
ki ki ki
N
kkikikiNkN
i
Jg B
+−
++ + +
−
++ + +

=
∑
⎧
=
⎪
⎨
=+→
⎪
⎩
…uu
efeu
eu e

(3.15)

trong đó
()
NkN
B
+
e
được giả định là hàm Bellman tại bước
N
trong cửa sổ dự báo vô hạn
[, ]k
∞
:

,
()min (,).

kN
NkN kikiki
iN
Bg
+
∞
++++
=
∑
=
…u
eeu

Bộ điều khiển dự báo làm việc theo vòng lặp. Tại mỗi vòng lặp nó thực hiện tìm nghiệm bài
toán tối ưu (3.15). Để tiện cho việc trình bày sau này, ta sẽ sử dụng ký hiệu
(,)
k
Vke
để chỉ giá trị
,mink
J của bài toán tối ưu (3.15) ở từng vòng lặp
k
đó. Như vậy, ở mỗi vòng lặp
k
thì
(,)
k
Vke

chính là hàm Bellman của bài toán tối ưu động (3.15) ứng với

0i
=
:

0,min
(,) () .
kkk
VkB J==ee

9
Hệ quả 3.2: Nếu hàm Bellman giả định ()
NkN
B
+
e trong (3.15) được chọn tương ứng với khoảng
thời gian còn lại
[]
,N ∞

sao cho ở tất cả các vòng lặp k luôn có:

() ()
12
(,)
kk k
Vk
αα
≤≤ee e

(3.16)

và hàm
(, )
kk k
g eu

trong dấu tổng của
k
J
thỏa mãn:

()
*
3
(, ())
kk kk k
g
α
≥eue e

(3.17)

trong đó
123
, ,
α
αα
∈K
, thì
*

()
kk
ue

của bộ điều khiển dự báo sẽ làm hệ sai lệch (3.3) ổn
định tiệm cận.
3.2 Quan sát trạng thái hệ phi tuyến
Để sử dụng được bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái ở mục 3.1 thì rõ ràng phải có
điều kiện là tất cả các biến trạng thái nằm bên trong hệ là đo được. Tuy nhiên trong nhiều ứng
dụng thực tế, thông tin về trạng thái của hệ không thể đo được đầy đủ mà chỉ có tín hiệu ra của hệ
là đo được:

(, ).
kkk
=yhxu

(3.19)

Do đó để áp dụng được các phương pháp điều khiển dự báo phản hồi trạng thái đã có, vector
trạng thái
k
x

của hệ phải được ước lượng từ vector tín hiệu ra
k
y
đo được và vector tín hiệu vào
k
u
đã biết nhờ sử dụng một bộ quan sát trạng thái thích hợp.

3.2.1 Các vấn đề chung của quan sát trạng thái
Gộp các phương trình (3.1) và (3.19), ta có đối tượng (quá trình) phi tuyến không liên tục:

1
(, ),
(, ).
kkk
kkk
+
=
=
xfxu
yhxu
(3.20)
Định nghĩa 3.1 [9,25,4]: Hệ (3.20) được gọi là quan sát được, nếu mọi giá trị trạng thái
0
x của
nó là xác định được từ
M
giá trị đo được
k
u
,
k
y
,
0,1, , 1kM
=
−…
của hệ.

Để làm rõ hơn nữa định nghĩa trên, ta ký hiệu:

0
(,), 0,1, , 1
k
kk M=Φ = −
U
…
f
xx

(3.21)


là nghiệm phương trình sai phân trong mô hình (3.22)
của hệ (phương trình thứ nhất), ứng với
dãy giá trị tín hiệu vào:

01 1
{,, , }
M −
= …uu uU

(3.22)


và
0
x
là trạng thái đầu.

Với ký hiệu (3.21)
này và do
k
u đã có trong U

nên tín hiệu đầu ra của hệ (3.20)
sẽ chỉ còn
phụ thuộc vào trạng thái đầu
0
x
và dãy tín hiệu đầu vào U cho ở công thức (3.22), tức là:

()
(
)
/
00
(, ) (,), (,).
kkk k
kk==Φ Φ
ff
yhxu h x u h x
UU

(3.23)

Tiêu chuẩn kiểm tra tính quan sát được
Với các định nghĩa nêu trên, thì khi viết chung (3.23) cho
0,1, , 1kM
=

−…
cũng như thay
0
x
bởi
x
thành:

10

()
()
()
/
/
/
(,0)
(,1)
()
(, 1)
T
M
⎛⎞
Φ
⎜⎟
⎜⎟
Φ
⎜⎟
=
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
Φ−
⎝⎠


f
f
f
hx
hx
xx
hx
U
U
U
U

(3.25)


trong đó
U
được xem là tham số của ánh xạ ()T x
U
, thì hệ sẽ là quan sát được nếu tồn tại ít nhất
một số nguyên dương
M
và một dãy tín hiệu điều khiển U theo (3.22) để ánh xạ
()T x

U
cho bởi
(3.25)
là nội xạ (injective).
Nếu
()T x
U
còn có thêm tính chất là ánh xạ trơn, thì nó sẽ là nội xạ khi và chỉ khi (theo
[29]):

rank ,
T
n.
∂
=∀
∂
x
x
U

(3.26)

Bởi vậy ta suy ra được các tiêu chuẩn sau:
1) Hệ (3.20)
với các vector hàm trơn
(,), (,)
⋅
⋅⋅⋅
f
h

sẽ quan sát được khi và chỉ khi tồn tại tham số
U để có (3.26).
2) Hệ (3.20)
với các vector hàm trơn
(,), (,)
⋅
⋅⋅⋅
f
h
sẽ là quan sát đều khi và chỉ khi (3.26) đúng
với mọi tham số
U .
3.2.2 Xây dựng bộ quan sát trạng thái tối ưu
Luận án đã xây dựng bộ quan sát trạng thái tối ưu làm việc theo nguyên tắc như sau. Tại
thời điểm hiện tại
1kM+− bộ quan sát có nhiệm vụ xác định trạng thái
k
x ở thời điểm k trước
đó của hệ (3.20)
từ M các giá trị tín hiệu vào ra
ki
+
u ,
ki
+
y ,
0,1, , 1iM
=
−…
vừa đo được

trong cửa sổ quan sát
[, )kk M+
. Có thể thấy khi đã có
k
x thì dựa vào mô hình (3.20) của hệ ta
cũng có
kM+
x .
Sau khi đã có
k
x
ở thời điểm
k
và hệ chuyển sang thời điểm tiếp theo
1k +
, chu trình quan
sát trên sẽ được lặp lại để có
1k +
x với cửa sổ quan sát
[1, )kkM
+
+
. Như vậy, bộ quan sát này sẽ
dịch chuyển tương ứng từng bước từ
[, )kk M
+
tới
[1, 1)kkM
+
++

,
0,1, k
=
…
. Rõ ràng để có
thể quan sát được theo nguyên tắc làm việc như vậy, hệ phải là
quan sát đều và độ rộng M của
cửa sổ quan sát phải đủ lớn để ánh xạ
()T x
U
ở công thức (3.25) là nội xạ.
Gọi
k

x
là giá trị trạng thái quan sát được ở thời điểm
k
. Sử dụng ngay mô hình (3.20) của
hệ làm mô hình quan sát:

11
(, )
ki ki ki++−+−
=


xfxu

ta sẽ có:

(
(
)) )
11
11
11
(, )
(, ), , ,
(,, , , ) (,)
ki ki ki
kk k ki
ii
kkk ki ki
++−+−
++−
++−
=
=
==





…
xfxu
ff fxu u u
f
xuu u fxU
(3.27)

trong đó
i
U
là ký hiệu dãy hữu hạn của i các phần tử:

11
{, , , }.
ikk ki++−
= …uu uU

Từ những giá trị trạng thái quan sát này ta có được sai lệch quan sát
i
ε
tại thời điểm
ki
+
:

11

()
()
()
1
(, )
((,), )
(, )
i i ki ki ki
i
iki ki ki

iiki
εγ
γ
γ
+++
++
+
=−
=−
=




yhxu
yhfx u
hx
U
U
(3.28)
với
i
γ
∈K là hàm tùy chọn và
1
(, ) ((,), )
i
iki ki ki ki
+
++

−



hx y hf x u
UU
. Suy ra hàm mô tả sai
lệch quan sát trong toàn bộ cửa sổ quan sát
[, )kk M
+
sẽ là:

()
11
1
00
() (, ).
MM
kiiiki
ii
Q
εγ
−−
+
==
∑∑
==




xhx
U

(3.29)
Sai lệch quan sát
i
ε
cũng như hàm mục tiêu
()
k
Q

x
trong các công thức (3.28) và (3.29)
được viết ở dạng tổng quát. Tuy nhiên, trong ứng dụng, sẽ là đủ nếu ta sử dụng
()
i
γ
⋅∈K

dạng
đơn giản:

()
()
(
)
11 1
(, ) (, ) (, )
T

i iki iki iki
P
γ
++ +
=




hx hx hx
UU U (3.30)
với
0
T
PP=>
tùy chọn. Khi đó với định nghĩa vector sai lệch quan sát
i
e như sau:

1
(, )
iiki+
=


ehxU (3.31)
thì hàm mục tiêu (3.29) trở thành:

()
()()

1
1
0
11
11
00
() (, )
(, ) (, ).
M
kiiki
i
MM
T
T
ii iki iki
ii
Q
PP
γ
−
+
=
−−
++
==
∑
∑∑
=
==






xhx
e e hx hx
U
UU
(3.32)
Vậy giá trị trạng thái quan sát tối ưu
k

x cần xác định phải là nghiệm của bài toán tối ưu phi
tuyến:

*
arg min ( ).
kk
Q=


xx

(3.33)
Trước khi đi đến định lý 3.1 sau đây về khả năng bộ quan sát tối ưu trên trở thành bộ quan
sát FTO, ta cần có giả thiết sau.
Giả thiết 3.2:
a) Cửa sổ quan sát M là hữu hạn.
b)
Hàm ()

k
Q

x là lồi theo
k

x .
Định lý 3.1: Nếu bài toán tối ưu (3.33) có nghiệm
*
k

x thỏa mãn với ít nhất một chỉ số
0 lM
≤
<
:
a)
()
*
((,)) 0,
l
lkl kl
γ
+
−=

yhfxU

(3.35)

b)
hàm tích ()()
l
⋅hf

là nội xạ, (3.36)
thì ở đó cũng sẽ có
*
kk
=

xx
.
Nếu định lý 3.1 đúng
với mọi cửa sổ quan sát thì bộ quan sát tối ưu sẽ có tính chất là xác
định được chính xác trạng thái thực của đối tượng sau một khoảng thời gian hữu hạn. Khi đó, bộ
quan sát tối ưu trở thành bộ quan sát FTO.
Trong trường hợp định lý 3.1 không được thỏa mãn, chẳng hạn khi hệ có nhiễu tác động, thì
ta vẫn có khả năng nâng cao độ chính xác cho bộ quan sát tối ưu bằng cách mở rộng thêm cửa sổ
quan sát. Điều này được kh
ẳng định ở định lý sau.

12
Định lý 3.2: Nếu hệ (3.20) có (,)⋅⋅
f
và
(,)
⋅
⋅h

liên tục và quan sát đều, chuỗi (3.29) ứng với
M =∞
có
min
Q
hữu hạn, thì ở đó sẽ có
*
kk
=

xx
.
3.2.3 Cài đặt thuật toán quan sát tối ưu
Dựa vào nguyên tắc làm việc của bộ quan sát trạng thái tối ưu được trình bày ở mục 3.2.2,
thuật toán quan sát trạng thái tối ưu tổng quát sẽ có dạng cài đặt cụ thể như sau:
Thuật toán 3.1: (Quan sát trạng thái tối ưu)
1) Chọn cửa sổ quan sát
M
và khai báo hai mảng dữ liệu đầu vào
,uy
có độ dài
M
với các
phần tử được ký hiệu là
[] , [] , 0,1, , 1.
mp
iiiM∈∈= −RR…uy
2) Xây dựng hàm mục tiêu (3.29) có sử dụng (3.27), (3.28) cho bài toán tối ưu (3.33).
3) Gán
0k = và đo 1M − giá trị vào ra đầu tiên của hệ (3.20) gồm

, ,
ki ki
+
+
uy

0,1, , 2.
iM=−… Đưa những giá trị đo được này vào hai mảng đã khai báo theo thứ tự:

[] , [] .
ki ki
ii
++
==uuyy

4) Lần lượt thực hiện các bước sau đây theo từng chu kỳ trích mẫu
:
a
T
a) Trích mẫu
11
,
kM kM+− +−
uy rồi gán vào mảng:
1
1
[1] ,
[1] .
kM
kM

M
M
+−
+−
−=
−=
uu
yy

b) Giải bài toán tối ưu (3.33) để tìm
*
k

x . Nếu sử dụng các phương pháp lặp để tìm nghiệm
*
k

x
thì giá trị khởi phát sẽ là
*
1
k −

x trong đó
*
1
−

x là tùy chọn.
c) Dồn lại mảng dữ liệu bằng cách thực hiện

1M
−
các phép gán sau lần lượt với
0,1, , 2 :
iM=−…
[]: [ 1], []: [ 1].ii ii=+ =+uu yy
d) Gán
:1kk=+ rồi quay lại bước a).
3.3 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý
tách với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
Hình 3.7 dưới đây mô tả nguyên lý làm việc của bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
kết hợp với bộ quan sát tối ưu để trở thành bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra.










Hình 3.7: Nguyên tắc làm việc của bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách.
Bộ điều khiển phản hồi đầu ra ở hình 3.7 làm việc dọc theo trục thời gian
0,1, k = …
, cùng
với cửa sổ điều khiển
[
)
,kk M N++

. Cửa sổ điều khiển này chứa thời điểm hiện tại
1.kM
+
−

Nó chia cửa sổ điều khiển thành hai đoạn, đoạn thứ nhất
[
)
,kk M
+
thuộc về quá khứ, được sử
dụng để quan sát trạng thái
*
k

x
ở thời điểm
k
từ các giá trị vào ra đo được là
1
, ,
kkM
+
−
…uu
và
1
, ,
kkM+−
…yy

. Đoạn thứ hai
[
)
,kMkNM+++
trong cửa sổ điều khiển thuộc về tương lai,
cửa sổ điều khiển tiếp theo
cửa sổ điều khiển hiện tại
thời điểm hiện tại
k 1k + 1kM
+
− 1kMN
+
+−
1
, ,
kkM+−
…uu
*** *
11
, , , , ,
kkMkMkMN+− + ++−
……uuu u

13
được sử dụng để xác định tín hiệu điều khiển
*
kM
+
u theo nguyên tắc điều khiển dự báo phản hồi
trạng thái

Bây giờ ta sẽ ký hiệu dãy giá trị
*1
0
{}
MN
ki
+
−
+
u là nghiệm của bài toán tối ưu trong khoảng
cửa sổ điều khiển hiện tại (xem hình 3.7):

1
1
0
(, )
(, ) ( )min
ki ki ki
MN
kkikikiMNkMN
i
Jg B
++ + +
+−
+++ + ++
=
∑
=
⎧
⎪

⎨
=+→
⎪
⎩
xfxu
xu x

(3.45)

trong đó điểm trạng thái đầu
k
x
là tùy ý nhưng cho trước.
Như vậy, nếu toàn bộ cửa sổ điều khiển
[
)
,kk N M
+
+
được xem là cửa sổ dự báo thì giá
trị đầu tiên
*
()
kk
ux
của dãy
*1
0
{}
MN

ki
+
−
+
u
sẽ là tín hiệu điều khiển dự báo phản hồi trạng thái của
bộ điều khiển dự báo ở thời điểm
k
. Khi đó hệ (3.20) cùng với bộ điều khiển dự báo phản hồi
trạng thái
*
()
kk
ux
lấy từ bài toán tối ưu (3.45) tạo thành hệ kín:

*
1
( , ( )).
kkkk+
=xfxux

(3.46)
Song vấn đề đặt ra ở đây là cửa sổ dự báo thật sự chỉ là khoảng con
[, )kMkNM+++
của
cửa sổ điều khiển, tức là tín hiệu điều khiển phản hồi về không phải là
*
()
kk

ux
ở thời điểm
,k
mà
lại là
*
()
kM kM++
ux
ở thời điểm
kM+
. Do đó ta cần phải chỉ ra được rằng nếu
*1
0
{}
MN
ki
+
−
+
u
là
nghiệm tối ưu cho toàn bộ cửa sổ điều khiển thì dãy con
*1
{}
MN
kiM
+
−
+

u
cũng sẽ là nghiệm tối ưu
tương ứng với khoảng con
[, )kMkNM+++
trong đó.
Hệ quả 3.3: Nếu
*1
0
{}
MN
ki
+−
+
u
là nghiệm tối ưu trong toàn bộ cửa sổ điều khiển thì
*1
{}
MN
kiM
+
−
+
u

sẽ là nghiệm tối ưu của đoạn cửa sổ dự báo trong cửa sổ điều khiển
.
Hệ quả 3.3 trên đây thực chất là sự mở rộng của hệ quả 1.1 cho trường hợp hàm mục tiêu có
cấu trúc biến đổi. Với nội dung hệ quả 3.3 ở trên thì việc kiểm tra tính thỏa mãn nguyên lý tách
của bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra ở hình 3.7 sẽ thay được bằng việc kiểm tra tính ổn định
của hệ (3.46) khi bộ điều khiển

*
()
kk
ux
được thay bằng
**
()
kk

ux
, trong đó
*
k

x
là nghiệm của:

()
*
1
0
arg min ( )
arg min ( )( , )
kk
M
i
iki ki
i
Q
γ

−
+
=
∑
=
=−




xx
yhfx
U

(3.48)

có
1
{, , }
ik ki+−
= …uuU
,
1
{, , }
kkM
+
−
…yy
là các tham số đã biết.
Từ hệ quả 3.2 của lý thuyết điều khiển dự báo bằng phản hồi trạng thái cho hệ (3.45) với

cửa sổ dự báo là toàn bộ cửa sổ điều khiển (hình 3.7), ta đã được biết rằng khi
(, )0,
ki ki ki
gi
+++
≥∀xu
và hàm Bellman giả định tại điểm cuối
()
MN kMN
B
+++
x
, còn gọi là hàm
phạt, được chọn sao cho hàm Bellman (3.47) tại điểm đầu
0i
=
ở các cửa sổ điều khiển
[, )kk M N++
,
0,1, k = …
:

0
(,) ()
kk
VkB=xx

(3.49)

là hàm hợp thức:

12
() (,) ()
kk k
Vk
α
α
≤≤xx x với
12
,
α
α
∈
K (3.50)
thì bộ điều khiển tối ưu
*
()
kk
ux
của (3.46) sẽ làm hệ kín:

*
1
(, ())
kkkk+
=xfxux

ổn định tiệm cận. Khi đó
(,)
k

Vkx
sẽ là hàm LF tương ứng của hệ, tức là:

14

()
*
3
(, ()), 1 (,) ( )
kkk k k
VkVk
α
+− ≤−
f
xux x x

trong đó
3
α
∈K .
Bây giờ ta sẽ kiểm tra tính thỏa mãn nguyên lý tách của hệ (3.46) khi thay bộ điều khiển
phản hồi trạng thái
*
()
kk
ux lấy từ bộ điều khiển phản hồi đầu ra
**
()
kk


ux , trong đó
*
k

x là nghiệm
của bộ quan sát tối ưu (3.48). Nói cách khác ta phải kiểm tra tính ổn định của hệ:

()
()
**
1
1
*
0
,(),
arg min ( )( , ) .
k
kkkk
M
i
kikiki
i
γ
+
−
+
=
∑
⎧
=

⎪
⎨
=−
⎪
⎩




x
xfxux
xyhfx
U

(3.51)
Định lý 3.3: Nếu bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
*
()
kk
ux

làm hệ ổn định ứng với hàm
LF
(3.50), thì bộ điều khiển phản hồi đầu ra
**
()
kk

ux

cũng sẽ làm hệ ổn định với mọi bộ quan
sát trạng thái thỏa mãn
:

()()
** *
21
(, ()) (, ()).
kkk kkk
αα
≤

fx u x fx u x

(3.52)

Có thể thấy ngay là những bộ quan sát FTO đều thỏa mãn điều kiện (3.52), ở đó dấu ""
≤

được thay cụ thể bằng dấu
""=
.
Mặc dù đã đưa ra được điều kiện đủ (3.52) cho tính ổn định theo nguyên lý tách của hệ kín,
song ta có thể thấy đây là điều kiện khá chặt. Bởi vậy để nới lỏng khả năng ứng dụng cho nó,
luận án đã đưa ra thêm một phát biểu bổ sung như sau.
Định lý 3.4: Nếu bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
*
()
kk
ux

làm hệ ổn định tiệm cận và hệ
kín phản hồi trạng thái mô tả bởi
:

()
*/
1
(,) ,() ()
kkkkkk k+
== =xfxufxuxfx

có hàm
/
()
k
f
x thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì hệ kín phản hồi đầu ra sử dụng trạng thái
quan sát được
kkk
=+

xxe, trong đó
k
e là sai lệch quan sát, sẽ ổn định ISS với miền hấp dẫn
O là lân cận gốc, có kích thước cho bởi:

() ( )d
γ
∞

≤O e ,
γ
∈K
trong đó
∞
e là ký hiệu chuẩn vô cùng của vector hàm và
,
() max(,), ,dd
=
∀∈OO
xy
xy xy
có
(,)d xy
là ký hiệu khoảng cách của hai phần tử ,xy.
CHƯƠNG 4: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN
SÁT TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ SONG TUYẾN
Phần lớn tính phi tuyến của các quá trình công nghiệp, khi được biểu diễn dưới dạng không
liên tục, đều xấp xỉ về được một trong hai dạng sau:

1
() ()
kkkkk
AB
+
=+xxxxu
(4.1)
hoặc:

1

() ()
kkkkk
AB
+
=+xuxuu

(4.2)
Dựa trên các kết quả đóng góp của luận án ở chương 3, chương này sẽ phát triển thêm một
số kết quả về điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên bộ quan sát tối ưu cho riêng lớp hệ song
tuyến mô tả bởi cả hai dạng (4.1) và (4.2), trong đó hàm mục tiêu xây dựng cho bộ điều khiển dự
báo là những hàm có tham số biến đổi.

15
4.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ song tuyến
4.1.1 Thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến với hàm
mục tiêu có tham số biến đổi
Để đơn giản về mặt ký hiệu, ta viết lại mô hình dự báo (4.2) thành:

1kkkkk+
=+ABxxu

(4.3)

trong đó
()
kk
A=A x và ()
kk
B=B x
.

Ta sẽ sử dụng hàm mục tiêu dạng toàn phương có tham số
biến đổi:

()
1
0
N
TT T
ki ki ki ki ki ki kN kN kN
i
JQ R Q
−
+++ +++ + + +
=
∑
=++xxuux x

(4.5)

với
ki
Q
+
,
0, 1, , 1iN=−…
là các ma trận đối xứng bán xác định dương,
ki
R
+
,

0,1, , 1iN=−…

và
kN
Q
+
là các ma trận đối xứng xác định dương được xem như là các tham số của hàm mục tiêu,
thay đổi được theo
k
và
i
, tức là thay đổi dọc theo trục thời gian
a
tkT
=

cùng với cửa sổ dự báo,
cũng như theo
i trong từng cửa sổ dự báo. Ngoài ra, ma trận
kN
Q
+

trong hàm phạt cần được
chọn phù hợp để đảm bảo được tính ổn định cho hệ kín.
Định lý 4.1: Xét hệ song tuyến (4.1) với mô hình dự báo (4.3). Khi đó:
a) Khi cửa sổ dự báo
N
là hữu hạn, nếu tồn tại
N

ma trận đối xứng xác định dương
i
L
với
1, ,1, 0iN=−…
là nghiệm của các phương trình:

(
)
1
11 11
TT TT
i ki ki i ki ki i ki ki ki i ki ki i ki
LQ L L R L L
−
+ +++ +++ + +++ +++
=+ − +AAAB BBBA

(4.7)

và ở bước đầu tiên có
NkN
LQ
+
= , thì dãy giá trị tín hiệu điều khiển:

, 0,1, , 1
ki i ki
Ki N

++
== −…ux
(4.8)
với

()
1
11
TT
i ki ki i ki ki i ki
KR L L
−
++++ +++
=− +BBBA (4.9)
sẽ làm cho hàm mục tiêu (4.5) đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Khi cửa sổ dự báo là vô hạn, tức là N
=
∞ và
kN
Q
+
=
Θ
, nếu tồn tại ma trận đối xứng xác
định dương
i
L

là nghiệm của phương trình:

()
1
TTT
ki ki ki ki ki i ki ki i
ii ki
LQ LI R L L
−
++ ++++ +
+
=+ − +
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
AB BBBA (4.10)
thì dãy giá trị tín hiệu điều khiển:

, 0
ki i ki
Ki
++
=≥ux
(4.11)
với

()
1
TT
ikikiikikiiki

KR L L
−
+++ ++
=− +BB BA (4.12)
sẽ làm cho hàm mục tiêu (4.5) đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ định lý 4.1, luận án đi đến bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến
làm việc theo các bước của thuật toán sau.
Thuật toán 4.1: (Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái khi không có điều kiện ràng buộc)
1)
Gán 0k = .
2) Cập nhật trạng thái
k
x
.
3) Giải phương trình (4.10) với 0i
=
và tính
(
)
1
000
TT
kk k k k
KRL L
−
=− +BB BA.
4) Thực thi
0kk
K=ux cho đối tượng rồi gán

:1kk
=
+
và quay lại bước 2.

16
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
k
state x
1


R decreasing
R constant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.5
0
0.5
1
k
state x
2


R decreasing
R constant

4.1.2 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
Để đảm bảo bộ điều khiển thiết kế theo thuật toán 4.1 làm ổn định hệ song tuyến, luận án
đưa ra định lý sau:
Định lý 4.2: Trong bài toán điều khiển dự báo hệ song tuyến (4.1) với
,
kk
QR
của hàm mục tiêu
(4.5) tương ứng là các ma trận đối xứng bán xác định dương và xác định dương, nếu các ma
trận
0
L
tính theo (4.10) tại mọi thời điểm k là xác định dương, thì bộ điều khiển dự báo phản
hồi trạng thái theo thuật toán
4.1 sẽ làm hệ ổn định tiệm cận.
Ví dụ 4.1: Để minh họa thuật toán 4.1 và định lý 4.2 nói trên, ta sẽ thiết kế bộ điều khiển dự báo
có cửa sổ dự báo vô hạn làm ổn định hệ song tuyến bậc hai:

11
1
1() 0.25()
01 0.5
kkk
kk kk
xk xk
u
u
+
⎛⎞⎛ ⎞
=+

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
=+AB
xx
x
có
11
1() 0.25()
, .
01 0.5
kk
xk xk
⎛⎞⎛ ⎞
==
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
AB

Hình 4.1 mô phỏng đáp ứng thời gian của hai biến trạng thái của hệ với:

0.2
k
QQ I== và
()
14 .
k
k
R =
Việc chọn
k

R như trên xuất phát từ lập luận như sau. Nếu chọn
k
R giảm dần theo thời gian sẽ
càng tăng được vai trò ảnh hưởng của
k
u tới việc thay đổi hướng của
k
x , kéo theo sẽ nâng cao
được chất lượng ổn định của hệ thống điều khiển. Lập luận này cũng sẽ được ta kiểm chứng ở
phần mô phỏng qua so sánh với trường hợp ma trận này không đổi, tức là khi
1.
k
RR==











Rõ ràng bộ điều khiển làm hệ thống ổn định, không những thế đáp ứng thời gian khi
k
R
giảm (đường nét liền) tiến về gốc nhanh hơn khi
k
R

không thay đổi (đường nét đứt). Tuy nhiên,
tín hiệu điều khiển trên hình 4.2 cho thấy giảm
k
R đồng nghĩa với việc cần nhiều nỗ lực điều
khiển hơn để đưa hệ nhanh về ổn định so với khi giữ nguyên
.
k
R
Bài toán mở: Xét bài toán điều khiển hệ song tuyến (4.1) với bộ điều khiển nêu ở thuật toán 4.1.
Cho trước điều kiện ràng buộc
maxk
u≤u
, hãy xác định hai ma trận ,
kk
QR tương ứng cho hàm
mục tiêu
(4.5).
Hình 4.1: Đáp ứng thời gian của các biến trạng
thái
1
x và
2
x cho ví dụ 4.1.
Hình 4.2: Tín hiệu điều khiển
u cho ví dụ 4.1.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1.2
-1
-0.8
-0.6

-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
k
control u


R decreasing
R constant

17
Mặc dù bài toán mở này chưa có lời giải đầy đủ, các kết quả ở ví dụ 4.1 đã gợi ý một quy
luật giảm
k
R , đồng thời ta có thể xác định
k
R thỏa mãn điều kiện
maxk
u≤u nhờ sử dụng
phương pháp lặp. Ta cải tiến thuật toán 4.1 và đi đến thuật toán sau đây.
Thuật toán 4.2: (Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái khi có điều kiện ràng buộc)
1)
Gán
0k =
. Chọn
k
Q
đối xứng bán xác định dương và

k
R
đối xứng xác định dương. Đồng
thời chọn
μ
và
η
thỏa mãn
01
μ
<
<
,
1
η
>
.
2) C ập nhật trạng thái
k
x
.
3) Giải phương trình (4.10) với 0i
=
và tính
(
)
1
000
TT
kk k k k

KRL L
−
=− +BB BA.
4) Tính
0kk
K=ux. Nếu
maxk
u≤u
thì gán
1
:
kk
RR
μ
+
=
và thực thi
k
u cho đối tượng; nếu
không thì gán
:
kk
RR
η
= và quay lại bước 3.
5) Gán :1kk=+ và quay lại bước 2.
4.2 Quan sát trạng thái hệ song tuyến
4.2.1 Kiểm tra tính quan sát đều của hệ song tuyến
Xét hệ song tuyến được mô tả bởi:

1
() (),
().
kkkkk
kkk
AB
C
+
=+
=
xuxuu
yux
(4.20)
Để đơn giản về mặt ký hiệu, ta viết lại mô hình (4.20) thành:

1
,
,
kkkkk
kkk
+
=+
=
AB
C
xxu
yx

(4.21)

trong đó
(), ()
kkkk
AB==ABuu
và
()
kk
C
=
C u
. (4.22)
Để kiểm tra tính quan sát đều cho hệ song tuyến (4.20) hay (4.21), ta có định lý sau.
Định lý 4.3: Hệ song tuyến (4.20) hay (4.21) sẽ quan sát đều khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một số
nguyên dương
M để có:

1
1121
12
rank , { , , , }
k
kk
kk kMkkk
kM kM k
n
+
+
+−++
+− +−
⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=∀=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
C
CA
CAA
CA A
…

…
uu u
U
. (4.23)
4.2.2 Thiết kế bộ quan sát trạng thái tối ưu cho hệ song tuyến
Hệ (4.20) hay (4.21) có các hàm
(,)
i
ki

f
x U
tính theo (3.27) như sau:

()( )
(

)
1111211
11
.
ki ki k k ki k k k ki k k k
ki ki
++− +−+ +−+++
+− +−
=+ + +
++
AA AABAAB
B


 

xx u u
u

Suy ra sai lệch quan sát
i
e tại thời điểm ki
+
của cửa sổ quan sát, sẽ là:

()( )
()
111
1211 11
.

ikikiki
ki ki ki k k ki ki k k k
ki ki k k k ki ki ki
+++
+++− ++− +
++− +++ ++−+−
=−
=− + +
+++
C
CA A CA AB
CA AB CB




ey x
yx u
uu
(4.26)
Vậy ta có tổng bình phương các sai lệch quan sát trong toàn bộ cửa sổ quan sát là:

18

1
0
()
M
TT
kiikk

i
QP
−
=
∑
==EPE

xee

(4.27)

trong đó
()
diag P=P
có
P
là ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, và:

kk kk
G=−E

bx

với
1
1
21 11
2
12
111

1
22
1
3
12
2
00
0
00
00
00

0
k
kk
k
kkk kk
kk
kk
kM j k kM j k
kM
jkM jkM
k
k
k
kM j k
jkM
+
+
++ ++

+
++
+− +− +
+−
=+ − =+ −
+
+
+− +
=+ −
∏∏
∏
=−
⎛
⎛⎞
⎜
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
⎜
⎝⎠
⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎠
CB
CAB CB
CABCAB
CAB







y
y
by
y
u

u
u
2
1
k
kM
+
+−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

u
,
1
21
12
.
k
kk
kkkk
kM kM k
G
+
++

+− +−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
C
CA
CAA
CA A

…

Nói cách khác:

()
() 2
TT T T
kkkkkkkkkk
QGG G=−+PPP


xx xb xbb
. (4.28)
Do hàm mục tiêu (4.28) có dạng toàn phương nên nghiệm tối ưu của nó sẽ là:

()
1
TT
kkkkk
GG G
−
∗
= PP

xb
. (4.29)
Công thức (4.29) chính là nghiệm đúng của (4.27) nhận được nhờ phương pháp lặp Newton
– Raphson sau một bước tính và đã được nghiên cứu sinh trình bày trong [5]. Công thức này cho
phép ta xác định được trạng thái của hệ nhờ vào việc đo các giá trị của tín hiệu vào và ra trong
cửa sổ quan sát
,M
với giả thiết rằng với giá trị M này thì hệ là quan sát đều.
Dễ dàng chứng minh được
k
G là nội xạ kéo theo điều kiện (3.36) của định lý 3.3 được thỏa
mãn. Từ đây, ta lại thấy nếu với mọi cửa sổ quan sát, hàm mục tiêu (4.28) có
min ( ) ( ) 0
kk
QQ
∗
==


xx thì điều kiện (3.35) của định lý 3.3 cũng được thỏa mãn và do đó theo
định lý 3.3 này,

kk
∗
=

xx với mọi cửa sổ quan sát. Nói cách khác, bộ quan sát tối ưu cho hệ song
tuyến với giá trị trạng thái quan sát được xác định theo (4.29) là bộ quan sát FTO.
Thuật toán 4.3: (Quan sát trạng thái tối ưu hệ song tuyến)
1) Chọn cửa sổ quan sát
M và khai báo hai mảng dữ liệu đầu vào
,uy
có độ dài M với các
phần tử được ký hiệu là
[] , [] , 0,1, , 1.
mr
iiiM∈∈= −RR…uy

2) Gán
0k =
và đo
1M −
giá trị vào ra đầu tiên của hệ (4.20) gồm , ,
ki ki
+
+
uy
0,1, , 2.iM=−…
Đưa những giá trị đo được này vào hai mảng đã khai báo theo thứ tự:

[] , [] .
ki ki

ii
++
==uuyy
3) Xây dựng các ma trận:

() ()
[], []
ii
Ai Bi==ABuu và
(
)
[]
i
Ci
=
C u với
0,1, , 2.iM
=
−…

4) Lần lượt thực hiện các bước sau đây theo từng chu kỳ trích mẫu
a
T :

19
a) Trích mẫu
11
, ,
kM kM+− +−
uy

rồi gán vào mảng:
1
1
[1] ,
[1] .
kM
kM
M
M
+−
+−
−=
−=
uu
yy

b) Xác định các ma trận
()()
1
[1], [1]
Mi
AM BM
−
=−=−ABuu
,
(
)
1
[1]
M

CM
−
=
−C u

và từ đó là:
10
210 11
123
101112
222
[0]
[1]
[2]
[1]
0000
[0]
000
[1]
00
,
[2]
0
[1]
MjMjMj
jM jM jM
M
M
−−−
=− =− =−

∏∏∏
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠

⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
CB
CAB CB
CABCABCAB

…
…
…


…
y
y
b
y
y
u
u
u
u

0
10
210
120
.
MM

G
−−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
C
CA
CAA
CA A

…

c) Tính
()
1
TT
k
GGG
−
∗
= PP

xb
.

d) Dồn lại mảng dữ liệu bằng cách thực hiện
1M
−
các phép gán lần lượt với
0,1, , 2 :iM=−…
:
111
[]: [ 1], []: [ 1],
:, :, :.
iiiiii
ii ii
+++
=+ =+
===AABBCC
uu yy

e) Gán
:1kk=+
rồi quay lại bước a).

Ví dụ 4.2: Để minh họa cho thuật toán 4.3 vừa nêu, ta sẽ thiết kế bộ quan sát trạng thái tối ưu cho
hệ song tuyến bậc hai, mô tả bởi:

() ()
() ()
() () ( )
12
1
12
12

,
0.5
0.5
1 , 1 .
kk
kk
k
k
kk
ax k u x k a u
ux k x k
u
yxkxk
+
⎧
+
⎛⎞
⎛⎞
==
⎪
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎨
⎝⎠
⎝⎠
⎪
=+ =
⎩

xx
x
(4.31)
Hệ sẽ là quan sát đều
0.5a∀≠−
. Hàm mục tiêu (4.27) được chọn với .
MM
PI
×
= Trong tất
cả các mô phỏng sau đây, ta sử dụng tín hiệu vào
() 1.5sin()uk k
=
và trạng thái đầu
()
0
1 , 1 .
T
=x


20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2
-1
0
1
2
x
1

true x
1
estimated x
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2
-1
0
1
2
k
x
2
true x
2
estimated x
2

Hình 4.4: Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ khi không có nhiễu đo.
Cho
0.25,a =
hệ (4.31) thỏa mãn tính quan sát đều và hơn nữa, hệ là ổn định. Để khảo sát
các đặc tính của bộ quan sát, các mô phỏng cho trường hợp này được thực hiện cho cả trường hợp
tín hiệu ra đo được không bị lẫn nhiễu và tín hiệu ra đo được bị lẫn nhiễu. Ngoài ra, sai lệch giữa
trạng thái thực với trạng thái quan sát được sẽ được ký hiệu là
()
12
() , ()
T
k

ek e k=e
, trong đó
.
kkk
=−

exx
Trường hợp không có nhiễu đo. Chọn cửa sổ quan sát
5.M
=
Hình 4.4 biểu diễn đáp ứng
thời gian của hai biến trạng thái quan sát được
1
()xk

và
2
()xk

cùng với với các biến trạng thái
thực
1
()xk
và
2
()xk
của hệ. Khi không có nhiễu đo hoặc sai lệch mô hình, và vì trong ví dụ này,
min ( ) 0
k
k

Q =


x
x
nên ta thấy giá trị quan sát được trùng hoàn toàn với giá trị thực của biến trạng
thái, thậm chí còn không phụ thuộc vào độ rộng của cửa sổ quan sát
M . Điều này là phù hợp với
điều kiện đủ đã được nêu trong định lý 3.1. Khi này bộ quan sát tối ưu trở thành bộ quan sát FTO.
4.3 Tính ổn định của hệ song tuyến phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
Để khẳng định được tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ song
tuyến bằng lý thuyết và thực nghiệm, ta xét hệ song tuyến mô tả được dưới cả hai dạng sau:

1
() (),
(),
kkkkk
kkk
AB
C
+
=+
⎧
⎨
=
⎩
xxxxu
yux
(4.33)
và

/
1
( ),
().
kkk
kkk
A
C
+
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
xux
yux
(4.34)
Với mô hình (4.33) thì ta đã xây dựng được bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái làm
cho hệ ổn định như ở mục 4.1.1. Sử dụng mô hình (4.34) thì ta đã xây dựng được bộ quan sát
trạng thái tối ưu như ở mục 4.2.2.
Thuật toán điều khiển phản hồi đầu ra khi kết hợp bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái
vớ
i cửa sổ dự báo vô hạn và bộ quan sát trạng thái tối ưu có cấu trúc như sau.
Thuật toán 4.4: (Điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách)
1) Chọn cửa sổ quan sát
M và khai báo hai mảng dữ liệu đầu vào , uy có độ dài M với các
phần tử được ký hiệu là [] , [] , 0,1, , 1.
mp

iiiM∈∈= −RR…uy
2) Gán
0k = và đo
1M −
giá trị vào ra đầu tiên của hệ (4.20) gồm ,
ki ki
+
+
uy
0,1, , 2iM=−… . Đưa những giá trị đo được này vào hai mảng đã khai báo theo thứ tự:

[] , []
ki ki
ii
++
==uuyy.
3) Xây dựng các ma trận
()
//
[],
i
Ai=A u và
(
)
[]
i
Ci
=
C u
với 0,1, , 1.iM

=
−…

21
4) Lần lượt thực hiện các bước sau đây theo từng chu kỳ trích mẫu
a
T
:
a) Xác định các ma trận:
00 001 1
, , 1, , 1
ii
EE iM
−
== = −CCAAA…
và từ đó là:
0
1
[0]
, .
[1]
M
E
G
ME
−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠

y
b
y

b) Tính
()
1
TT
k
GGG
−
∗
= PP

xb
.
c) Tính
kM+

x
dựa vào mô hình (4.34) và các số liệu đo
, , 0,1, , 2
ki ki
iM
++
=

−…uy
và tính
luật điều khiển phản hồi trạng thái
kM
∗
+
u
theo (4.11).
d) Đưa
kM
∗
+
u vào điều khiển đối tượng và trích mẫu
kM
+
y .
e) Dồn lại mảng dữ liệu bằng cách thực hiện
1M
−
các phép gán sau lần lượt với
0,1, , 2
iM=−… :
11
[]: [ 1], []: [ 1],
:, :.
iiii
ii ii
++
=+ =+
==AACC

uu yy

f) Gán:
() ()
11
[1]: , [1]: ,
:[1], :[1].
kM kM
MM
MM
MM
∗
++
−−
−= −=
=− =−
AA CC
uuyy
uu

g) Gán
:1
kk=+
rồi quay lại bước a).
Định lý 4.4: Trong hệ điều khiển dự báo cho đối tượng song tuyến (4.33) và (4.34) bằng bộ điều
khiển dự báo phản hồi đầu ra thiết kế theo thuật toán
4.3, nếu tại mọi thời điểm k có:
a) Ma trận
0
()

k
L x trong công thức (4.10) của bộ điều khiển (4.11) ứng với 0i = là xác định
dương.
b)
Đối tượng là quan sát đều tức là có cửa sổ dự báo M được chọn đủ lớn sao cho (4.25)
được thỏa mãn.
c) Tồn tại ít nhất một chỉ số
0 lM≤< để có
l
=
0e với vector
l
e được xây dựng theo công
thức
(4.26),
thì hệ kín sẽ ổn định tiệm cận.

Sau đây ta sẽ áp dụng thuật toán 4.4 để kiểm chứng tính ổn định của hệ điều khiển dự báo
phản hồi đầu ra là kết hợp giữa bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái tối ưu
cho một đối tượng song tuyến không ổn định.
Ví dụ 4.3: Xét đối tượng song tuyến bậc hai được mô tả bởi:

() ()
() ()
12
1
12
1.25
0.5
k

k
k
xk ux k
ux k x k
+
+
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
x
và
(
)
(
)
(
)
12
1 , 1
kk
yxkxk
=
+=x (4.38)
trong đó
() ()
()
12
,

T
k
xk x k=x là vector trạng thái của hệ. Đối tượng (4.38) này đồng thời
chuyển được về cả hai dạng (4.33) và (4.34) với:

()
2,
1,
1.25 0
, ( ) , ( ) 1 , 1
00.5
k
kk
k
x
ABCC
x
⎛⎞
⎛⎞
====
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎝⎠
xu
và
/
(
1.25

)
0.5
k
k
k
u
A
u
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
u .
Chọn cửa sổ quan sát
5M = . Ngoài ra hàm mục tiêu của bộ điều khiển có dạng (4.35) với
22k
QQI
×
== và 1.
k
RR== Hàm mục tiêu của bộ quan sát là (4.36) với
55
.PI
×
= Hình 4.8 và
4.9 biểu diễn đáp ứng thời gian của các biến trạng thái thực của hệ kín khi không có nhiễu đầu ra
(đường nét liền) và khi có nhiễu đầu ra với phân bố đều trong khoảng [ 0.1 , 0.1]− và có trung
bình bằng 0 (đường nét đứt). Các đáp ứng trạng thái của hệ khi có nhiễu sai khác không đáng kể

22
so với khi có nhiễu và đều tiến về 0 sau một khoảng thời gian chứng tỏ hệ kín ổn định với bộ điều
khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách. Đồ thị của tín hiệu điều khiển được cho trên
hình 4.10.

0 5 10 15 20 25 30 35
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
k
Control input


without noise
with noise

Hình 4.10: Tín hiệu điều khiển u cho ví dụ 4.3.

4.4 Tóm tắt chương và các mở rộng
4.4.1 Tóm tắt chương
Trong chương này, một phương pháp điều khiển dự báo sử dụng phản hồi đầu ra theo
nguyên lý tách cho hệ song tuyến đã được trình bày.

4.4.2 Các mở rộng
Ràng buộc theo từng thành phần của tín hiệu điều khiển
Việc thay đổi
k
R để đảm bảo điều kiện ràng buộc cho độ lớn của vector tín hiệu điều khiển
()
1
(), , ()
T
km
uk u k= …u còn có thể mở rộng cho các ràng buộc của từng thành phần của
k
u :

()
,maxjj
uk u≤ , 1, 2, ,jm= … . (4.39)
Khi đó, với ma trận
()
1, 2, ,
,,,
kkkmk
Rdiagrr r= … , ta có thể thay đổi từng giá trị của
,
,
jk
r
1, 2, ,jm= … để có được (4.38).
Hình 4.8: Đáp ứng thời gian của biến trạng
thái

1
x
cho ví dụ 4.3.
Hình 4.9: Đáp ứng thời gian của biến
trạng thái
2
x
cho ví dụ 4.3.
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
k
x
1


without noise
with noise
0 5 10 15 20 25 30 35
-30
-20
-10
0

10
20
30
40
50
k
x
2


without noise
with noise

23
Ràng buộc theo số gia của tín hiệu điều khiển
Trong nhiều bài toán điều khiển, ngoài ràng buộc của tín hiệu điều khiển, người ta còn
mong muốn số gia của tín hiệu điều khiển,
1kkk
−
=
−uuu
Δ
, phải nằm trong một giới hạn cho
trước:

maxk
u≤ΔuΔ
. (4.40)
Phương pháp thiết kế bộ điều khiển dự báo với hàm mục tiêu có tham số biến đổi ở mục 4.1 vẫn
được áp dụng nếu ta chuyển mô hình trạng thái (4.3) về dạng thích hợp với sai lệch

k
uΔ
như sau

1
1
0
kk
kk k
k
kk
+
−
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
AB B
xx
u
uu
Δ
II

hay:

1kkkkk+

=+XAXB


uΔ
trong đó

1
,
k
k
k
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
X
x
u

0
kk
k
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
AB
A


I
và
k
k
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
B
B

I
.
Lúc này, hàm mục tiêu (4.5) trở thành:

()
1
0
N
TT T
kkikikikikikikNkNkN
i
J
−
++ + + + + + + +
=
∑
=++XQX R X Q XuuΔΔ

trong đó

ki+
Q
,
ki+
R
sẽ được lựa chọn để thỏa mãn (4.40).
Điều khiển bám ổn định theo quỹ đạo trạng thái mẫu
Với bài toán điều khiển mà ở đó yêu cầu chất lượng lại là trạng thái
k
x của hệ song tuyến
(4.1) bám ổn định theo được quỹ đạo mẫu là hằng số
ref
k
x cho trước, ta hoàn toàn vẫn sử dụng
được bộ điều khiển dự báo làm hệ ổn định đã phát biểu trong định lý 4.1 cũng như ở thuật toán
4.1 (không bị ràng buộc) và thuật toán 4.2 (khi có ràng buộc) như sau.
Giả thiết ma trận
()
k
B x
luôn có hạng là
m , trong đó
mn
≤
là số các tín hiệu đầu vào, tức
là số các phần tử của
k
u và
n
là bậc của hệ. Khi đó ở hệ tương đương (4.3) sẽ có

T
kk
BB là ma
trận vuông
mm× luôn khả nghịch. Bởi vậy ở chế độ xác lập ta sẽ có:

ref ref ref
kkkkk
=+ABxxu
⇒
(
)
()
1
ref T T r ef
kkkk kk
I
−
=−BB B Aux
. (4.41)
Đặt:

eref
kkk
=−uuu và
eref
kkk
=−xxx
thì bài toán điều khiển bám ổn định
ref

kk
→xx cho hệ (4.3) là tương đương với bài toán điều
khiển ổn định cho hệ sai lệch:

1
eeeee
kkkkk
+
=+ABxxu (4.42)
tức là tương đương với bài toán điều khiển sao cho
0
e
k
→x . Hiển nhiên cho bài toán điều khiển
ổn định này ta hoàn toàn sử dụng lại được nội dung định lý 4.1 cũng như thuật toán 4.1 (khi
không có điều kiện ràng buộc) hoặc thuật toán 4.2 (khi có điều kiện ràng buộc).
Điều khiển bám ổn định theo tín hiệu đầu ra mẫu
Nội dung định lý 4.1 và thuật toán 4.1 (cho trường hợp bài toán không có ràng buộc), thuật
toán 4.2 (khi bài toán có thêm ràng buộc (4.6)) cũng hoàn toàn áp dụng được cho bài toán điều
khiển bám hệ song tuyến (4.1) để tín hiệu ra
k
y của bám ổn định theo được tín hiệu ra mẫu
ref
k
y
cho trước, nhờ một sửa đổi nhỏ như sau.
Trước tiên ta giả thiết rằng
mr=
, tức là hệ có số đầu vào bằng số đầu ra. Thêm nữa ta giả
thiết rằng ở chế độ xác lập, khi đã có

ref
kk
→yy, tức là khi có:

24

ref ref ref
kkkkk
ref ref
kkk
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
AB
C
xxu
yx
⇔
0
ref ref
kkk k
k
ref
ref ref
k
k

kk
I
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
−
⎛⎞
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
Θ
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
AB
A
C

xx
y
uu

thì ma trận

kk
k
k
I−

⎛⎞
=
⎜⎟
Θ
⎝⎠
AB
A
C


là không suy biến. Với giả thiết trên ta có ngay được:

1
1
ref
kkk
k
ref ref
ref
k
kk
k
I
−
−
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎛⎞
==

⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
Θ
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
00
AB
A
C

x
yy
u
. (4.43)
Lại sử dụng ký hiệu mô tả sai lệch:

eref
kkk
=−uuu và
eref
kkk
=−xxx
trong đó
,
ref ref
kk

ux
được xác định từ
ref
k
y
theo (4.43), thì hệ sai số cũng sẽ là (4.42).
Khả năng ứng dụng cho hệ song tuyến liên tục
Mặc dù tất cả các thuật toán điều khiển dự báo cho hệ song tuyến được trình bày trong
chương này đều được xây dựng cho hệ song tuyến không liên tục (4.1), hay để đơn giản về mặt
ký hiệu, các hệ đó đã được viết thành (4.3), song chúng vẫn hoàn toàn áp dụng được cho cả
trường hợp hệ song tuyến liên tục, mô tả bởi:

() ()=+


d
AB.
dt
x
xx xu
(4.44)
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Những vấn đề đã được giải quyết
Các kết quả nghiên cứu mở rộng của luận án về điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ
phi tuyến có thể được tóm tắt như dưới đây:
− Tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ phi tuyến mà ở đó hàm
mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong cửa sổ dự báo cũng như theo sự dịch chuyển của cửa sổ
dự báo trên trục thời gian (hệ quả 3.1 và 3.2).
− Bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ song tuyến làm cho hệ kín thu được là ổn định
tiệm cận (định lý 4.1 và 4.2).

− Thuật toán quan sát trạng thái tối ưu cho hệ phi tuyến và điều kiện đủ để bộ quan sát đó trở
thành bộ quan sát FTO (định lý 3.1 và 3.2).
− Điều kiện cần và đủ để hệ song tuyến là quan sát đều và xây dựng thuật toán quan sát trạng
thái tối ưu cho hệ song tuyến (định lý 4.3).
− Điều kiện đủ để bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra, xây dựng trên nền nguyên lý tách,
làm hệ phi tuyến nói chung và hệ song tuyến nói riêng là ổn định tiệm cận với bộ quan sát
FTO (hệ quả 3.3, định lý 3.3 và 4.4) và ổn định ISS (định lý 3.4).
Kiến nghị
Như đã được đề cập ở chương 4, luận án đã nêu lên một bài toán mở cần được nghiên cứu
tiếp theo là xác định tham số hàm mục tiêu cho bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ song
tuyến để bộ điều khiển đó thỏa mãn được các điều kiện bị chặn của tín hiệu điều khiển.
Ngoài ra, ở chương 3, mặ
c dù định lý 3.3 đã đưa ra điều kiện đủ (3.52) để hệ kín phản hồi
đầu ra là ổn định tiệm cận, song có thể thấy đây là một điều kiện khá chặt, khó thực thi trong ứng
dụng. Để mềm dẻo hơn, nghiên cứu sinh đã đưa ý tưởng kết hợp thêm phần chỉnh định thích nghi
để có bộ điều khiển dự báo thích nghi. Đây cũng sẽ là hướ
ng nghiên cứu sau này của nghiên cứu
sinh.