Những bài toán tổng hợp về các đường conic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG VĂN TRỌNG
NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC
ĐƯỜNG CONIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG VĂN TRỌNG
NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC
ĐƯỜNG CONIC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN MINH KHOA
THÁI NGUYÊN - 2015
Lời nói đầu
Những bài toán về các đường conic là một phần thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng, các đề thi olympic quốc gia và
quốc tế. Hiện nay cũng đã có khá nhiều tài liệu tham khảo viết về các bài toán liên
quan đến đường conic. Tuy nhiên, các tài liệu đó đa phần mới chỉ nêu ra các dạng
bài tập rời rạc hoặc với các trường hợp áp dụng cho số cụ thể mà chưa nêu ra các bài
toán mang tính tổng quát, tổng hợp. Chính vì điều đó đã thôi thúc tác giả nghiên
cứu đề tài "Những bài toán tổng hợp về các đường conic". Hy vọng luận văn sẽ
góp phần giúp cho các học sinh và các thầy cô giáo trung học phổ thông có cái nhìn
tổng quát, cô đọng về các vấn đề liên quan đến đường conic thông qua các bài toán
tổng hợp.
Ngoài phần lời nói đầu, luận văn gồm hai chương, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.

Chương 1 trình bày kiến thức về các đường bậc hai, làm cơ sở để sử dụng trong
chương sau.
Chương 2 dành để trình bày các bài toán tổng hợp về các đường conic, đây là
những bài toán tổng quát làm nền tảng ứng dụng tốt cho những bài toán với số cụ
thể, cho cách nhìn bao quát, tổng hợp về các đường conic.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS
Nguyễn Minh Khoa. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học
Thái Nguyên), các thầy giáo, cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ
i
ii
tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu
và các đồng nghiệp ở trường THCS và THPT Chu Văn An, thành phố Móng Cái,
Quảng Ninh đã động viên, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận
văn này.
Tác giả
Hoàng Văn Trọng
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
1 Các đường bậc hai 1
1.1. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip . . . . . . 3
1.2.3. Dạng đồ thị của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4. Tâm sai của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của hypebol . . . 7
1.3.3. Dạng đồ thị của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Tâm sai của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
iii
iv
1.4.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của parabol . . . . 11
1.4.3. Dạng đồ thị của parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Khảo sát phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Phép quay hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.3. Phép biến hình tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4. Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . 18
2 Bài toán tổng hợp về các đường conic 19
2.1. Bài toán tổng hợp về đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Bài toán tổng hợp về đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Bài toán tổng hợp về đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Chương 1
Các đường bậc hai
Trong chương này, tác giả trình bày một số khái niệm và kết quả về các đường
bậc hai.
1.1. Đường tròn
1.1.1. Định nghĩa
Đường tròn là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một
khoảng không đổi. Điểm cố định gọi là tâm của đường tròn, khoảng không đổi gọi là
bán kính của đường tròn.

1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn
Ta lập phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R: Điểm M(x; y) thuộc
đường tròn khi và chỉ khi:
IM = R ⇔

(x −a)
2
+ (y −b)
2
= R ⇔ (x −a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
. (1.1)
Ta có (1.1) là phương trình chính tắc của đường tròn.
Ví dụ 1.1. Phương trình đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 2 là:
(x −2)
2
+ (y + 3)
2
= 4.
1
2
x
y
b
a
I

M
O
Hình 1.1:
Nhận xét 1.2.
- Nếu a = 0, b = 0 ta có: x
2
+ y
2
= R
2
là phương trình đường tròn tâm O(0; 0),
bán kính R.
- Khai triển (1.1) ta được phương trình
x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + a
2
+ b
2
− R
2
= 0. (1.2)
Ta thấy (1.2) là phương trình bậc hai đối với x, y, trong đó các hệ số của x
2
, y
2
bằng nhau, không có số hạng chéo xy. Ngược lại phương trình bậc hai dạng (1.2)
biểu diễn một quỹ tích nào đó thì đó là đường tròn.

Ví dụ 1.3. Phương trình
x
2
− 4x + y
2
+ 6y + 12 = 0,
có đặc điểm như đã nhận xét. Bởi vì phương trình đã cho tương đương với phương
trình:
(x −2)
2
+ (y + 3)
2
= 1.
Đây là phương trình của đường tròn tâm I(2; −3), bán kính R = 1.
3
1.2. Đường elip
1.2.1. Định nghĩa
Elip là tập hợp những điểm mà tổng khoảng cách tới hai điểm cố định F
1
, F
2
bằng một hằng số 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F
1
, F
2
.
Hai điểm F
1
, F
2

được gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách F
1
F
2
= 2c gọi là tiêu cự
của elip.
1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip
Nhận xét 1.4.
1) Điểm M trong mặt phẳng thuộc elip thì:
MF
1
+ MF
2
= 2a, (1.3)
trong đó a > c > 0.
2) Từ định nghĩa ta thấy elip nhận các đường thẳng đi qua F
1
F
2
và đường trung
trực của đoạn thẳng F
1
F
2
làm trục đối xứng.
x
y
F
2
F

1
O
M
Hình 1.2
Để cho phương trình của elip được đơn giản, ta chọn hệ tọa độ Đề các Oxy với:
Ox là trục đi qua F
1
, F
2
hướng từ F
2
đến F
1
, Oy là đường trung trực của F
1
F
2
, gốc
tọa độ O là trung điểm của đoạn F
1
F
2
.
4
Khi đó các điểm có tọa độ là: O(0; 0), F
2
(−c; 0), F
1
(c; 0). Điểm M(x; y) trong mặt
phẳng Oxy suy ra

MF
1
=

(x −c)
2
+ y
2
,
MF
2
=

(x + c)
2
+ y
2
.
Vậy đẳng thức (1.3) trở thành

(x −c)
2
+ y
2
+

(x + c)
2
+ y
2

= 2a ⇔

(x −c)
2
+ y
2
= 2a −

(x + c)
2
+ y
2
.
Bình phương hai vế, ta có
x
2
− 2xc + c
2
+ y
2
= 4a
2
+ x
2
+ 2xc + c
2
+ y
2
− 4a


(x + c)
2
+ y
2
⇔ a

(x + c)
2
+ y
2
= cx + a
2
.
Tiếp tục bình phương hai vế ta được
a
2
(x
2
+ 2cx + c
2
+ y
2
) = c
2
x
2
+ 2a
2
cx + a
4

⇔ (a
2
− c
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
− c
2
).
Vì a > c =⇒ a
2
− c
2
> 0. Đặt a
2
− c
2
= b
2
, ta có:
b
2

x
2
+ a
2
y
2
= a
2
b
2
⇔
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1. (1.2.2)
Ta có (1.2.2) là phương trình chính tắc của elip.
1.2.3. Dạng đồ thị của elip
Từ phương trình (1.2.2) của elip ta thấy nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các
điểm M
1
(x; −y), M
2
(−x; y), M
3

(−x; −y) cũng thuộc elip. Điều này có nghĩa là đường
elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Tương giao của elip với các trục tọa độ:
Cho y = 0, từ (1.2.2) =⇒ x = ±a. Vậy elip cắt trục Ox tại hai điểm A
2
(−a; 0), A
1
(a; 0).
Cho x = 0, từ (1.2.2) =⇒ y = ±b. Vậy elip cắt trục Oy tại hai điểm B
1
(0; b), B
2
(0; −b).
Bốn điểm A
1
, A
2
, B
1
, B
2
gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A
1
A
2
với độ dài 2a được
gọi là trục lớn của elip. Đoạn thẳng B
1
B
2

với độ dài 2b gọi là trục nhỏ.
Ta gọi a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ. Gốc tọa độ O(0; 0) gọi là tâm của elip.
5
Do elip nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và O(0; 0) làm tâm đối xứng nên để xét dạng
của elip, ta chỉ cần xét trong góc phần tư thứ (I): x ≥ 0, y ≥ 0.
Từ phương trình (1.2.2) ta có:
x
2
a
2
≤ 1 =⇒ x ≤ a.
Khi x tăng từ 0 đến a, thì từ ràng buộc của phương trình (1.2.2) ta có y giảm từ b về
0. Do đó kết hợp với tính đối xứng ta có đường elip có dạng như hình vẽ sau
x
y
b
-b
-c
c
a
-a
F
1
F
2
O
Hình 1.3
Nhận xét 1.5.
1) Khi a = b (tức là c = 0), phương trình (1.2.2) ⇔ x
2

+ y
2
= a
2
, đây là phương
trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính bằng a. Vậy đường tròn là dạng đặc biệt
của elip, là elip có các bán trục bằng nhau.
2) Phương trình:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1,
trong đó b > a > 0 là elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ
O(0; 0) làm tâm đối xứng, có trục lớn nằm trên trục tung, trục nhỏ nằm trên
trục hoành, bán trục lớn là b, bán trục nhỏ là a và c
2
= b
2
− a
2
. Tiêu điểm
F
1
(0; c), F

2
(0; −c) thuộc Oy.
6
x
y
c
-c
b
-b
-a
a
F
1
F
2
A
1
B
1
B
2
A
2
Hình 1.4
Ví dụ 1.6.
x
2
16
+
y

2
25
= 1,
có c
2
= b
2
− a
2
= 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3 nên hai tiêu điểm của elip là
F
1
(0; 3), F
2
(0; −3) và có trục lớn nằm trên Oy, trục nhỏ nằm trên Ox.
3) Elip tâm I(α; β), bán trục lớn a, bán trục nhỏ b:
Phương trình chính tắc
(x −α)
2
a
2
+
(y − β)
2
b
2
= 1.
x
y
α

β
O
B
1
B
2
A
2
A
1
Hình 1.5
7
1.2.4. Tâm sai của elip
Tỷ số giữa tiêu cự và bán trục lớn của elip gọi là tâm sai.
Ta ký hiệu tâm sai là e. Vậy e =
c
a
.
Vì 0 < c < a nên 0 < e < 1. Do c
2
= a
2
− b
2
nên ta có
e
2
=
c
2

a
2
=
a
2
− b
2
a
2
= 1 −
b
2
a
2
.
Suy ra
e =

1 −
b
2
a
2
⇒
b
a
=

1 −e
2

.
Vậy nếu e càng gần 1 thì
b
a
càng gần 0, elip càng dẹt; e càng gần 0 thì b càng gần về
a, elip tiến đến đường tròn. Do đó tâm sai đặc trưng cho dáng điệu của elip.
1.3. Đường hypebol
1.3.1. Định nghĩa
Hypebol là tập hợp những điểm mà hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định F
1
, F
2
bằng một hằng số dương 2a bé hơn khoảng cách giữa hai điểm F
1
, F
2
.
Hai điểm F
1
, F
2
gọi là tiêu điểm, khoảng cách F
1
F
2
= 2c được gọi là tiêu cự.
1.3.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của hypebol
Điểm M trong mặt phẳng nằm trên hypebol khi và chỉ khi:
MF
1

− MF
2
= ±2a, (1.4)
trong đó 0 < a < c.
Từ định nghĩa ta thấy hypebol nhận đường thẳng đi qua F
1
, F
2
và đường trung
trực của đoạn thẳng F
1
F
2
làm các trục đối xứng.
Chọn hệ tọa độ Đề các Oxy như ở phần đường elip, đẳng thức (1.4) trở thành

(x −c)
2
+ y
2
−

(x + c)
2
+ y
2
= ±2a
8
⇔


(x −c)
2
+ y
2
=

(x + c)
2
+ y
2
± 2a.
Bình phương hai vế ta có
x
2
− 2cx + c
2
+ y
2
= x
2
+ 2cx + c
2
+ y
2
+ 4a
2
± 4a

(x + c)
2

+ y
2
⇔ ±a

(x + c)
2
+ y
2
=cx + a
2
.
Tiếp tục bình phương hai vế, ta nhận được
a
2
(x
2
+ 2cx + c
2
+ y
2
) = c
2
x
2
+ 2a
2
cx + a
4
⇔ (c
2

− a
2
)x
2
− a
2
y
2
=a
2
(c
2
− a
2
).
Vì c > a > 0 ⇒ c
2
− a
2
> 0, đặt c
2
− a
2
= b
2
, ta nhận được
b
2
x
2

− a
2
y
2
= a
2
b
2
⇔
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1. (1.5)
Ta có (1.5) là phương trình chính tắc của hypebol.
1.3.3. Dạng đồ thị của hypebol
Từ phương trình (1.5) ta thấy nếu điểm M(x; y) thuộc hypebol thì các điểm
M
1
(−x; y), M
2
(x; −y), M
3
(−x; −y) cũng thuộc hypebol. Điều này có nghĩa là đường
hypebol nhận các trục tọa độ Ox, Oy làm trục đối xứng, nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm

tâm đối xứng.
Tương giao của hypebol với các trục tọa độ:
Cho y = 0, từ (1.5) =⇒ x = ±a. Vậy hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A
2
(−a; 0) và
A
1
(a; 0).
Cho x = 0, từ (1.5) suy ra: −
y
2
b
2
= 1 ⇔ y
2
= −b
2
=⇒ y = ±ib. Vậy hypebol không
cắt trục Oy.
Đoạn thẳng A
1
A
2
với độ dài 2a được gọi là trục thực của hypebol.
Đoạn thẳng B
1
B
2
với độ dài 2b, B
1

(0; b), B
2
(0; −b) gọi là trục ảo.
Ta gọi a là bán trục thực và b là bán trục ảo. Gốc tọa độ O(0; 0) gọi là tâm của
hypebol. Các điểm A
1
, A
2
gọi là đỉnh của hypebol.
Do tính đối xứng nên ta chỉ cần xét dạng của hypebol trong góc phần tư thứ (I):
x ≥ 0, y ≥ 0, từ đó suy ra trong cả mặt phẳng tọa độ Oxy.
9
Từ phương trình (1.5) ta có: y =
b
a
√
x
2
− a
2
, x ≥ a. Khi x tăng từ a đến +∞
thì y tăng từ 0 đến +∞.
Trong góc phần tư thứ (I) khi x tăng ra ∞, ta xét tương quan với đường thẳng
y =
b
a
x. Gọi M và N là hai điểm theo thứ tự nằm trên hypebol và trên đường thẳng
đó có cùng hoành độ x.
Ta thấy:
MN = P N −P M

=
b
a
x −
b
a

x
2
− a
2
=
b
a
(x −
√
x
2
− a
2
)(x +
√
x
2
− a
2
)
x +
√
x

2
− a
2
=
ab
x +
√
x
2
− a
2
→ 0, x → +∞.
Vậy khi điểm M trên nhánh của hypebol trong góc phần tư thứ (I) chạy ra ∞
thì khoảng cách từ M đến đường thẳng y =
b
a
x tiến đến 0. Do đó đường thẳng y =
b
a
x
là đường tiệm cận của hypebol. Vì tính đối xứng của hypebol nên có hai đường tiệm
cận là y =
b
a
x và y = −
b
a
x.
x
y

y =
b
a
x
B
1
A
O
N
P
M
Hình 1.6
Nhận xét 1.7.
1) Hình chữ nhật D
1
E
1
D
2
E
2
có cạnh D
1
E
1
//Ox và có độ dài 2a, có cạnh D
1
E
2
//Oy

và có độ dài 2b, nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm, gọi là hình chữ nhật cơ sở.
10
Hai đường tiệm cận của hypebol nằm theo hai đường chéo của hình chữ nhật cơ
sở.
x
y
-a a
b
-b
y = −
b
a
x
y =
b
a
x
D
1
E
2
D
2
E
1
B
1
B
2
F

1
F
2
A
2
A
1
Hình 1.7
2) Ta có c
2
= a
2
+ b
2
, trong tam giác vuông OA
1
D
1
có
OD
2
1
= OA
2
1
+ A
1
D
2
1

= a
2
+ b
2
= c
2
= OF
2
1
. Do đó OD
1
= OF
1
.
3) Nếu a = b, hình chữ nhật cơ sở thành hình vuông, lúc đó hai đường tiệm cận
vuông góc với nhau. Ta gọi đó là hypebol vuông với phương trình là: x
2
−y
2
= a
2
.
4) Phương trình
y
2
b
2
−
x
2

a
2
= 1, (1.6)
là phương trình của một hypebol nhận các trục tọa độ Ox, Oy làm trục đối xứng,
có trục thực nằm trên Oy, trục ảo nằm trên Ox, có đỉnh là B
1
(0; b) và B
2
(0; −b).
Hai hypebol (1.5), (1.6) gọi là liên hợp với nhau.
x
y
b
-b
-a a
F
2
F
1
O
B
2
B
1
11
Hình 1.8
1.3.4. Tâm sai của hypebol
Tỷ số e =
c
a

được gọi là tâm sai của hypebol.
Tính chất 1.8.
• Tính chất 1.8.1: Do 0 < a < c ⇒ e > 1.
• Tính chất 1.8.2:
c
2
= a
2
+ b
2
⇒ e
2
=
c
2
a
2
=
a
2
+ b
2
a
2
= 1 +

b
a

2

=⇒ e =

1 +

b
a

2
;
b
a
=

e
2
− 1.
Tâm sai e càng gần 1, tỷ số
b
a
càng nhỏ, hình chữ nhật cơ sở càng dẹt. Vậy tâm sai
đặc trưng cho dáng điệu của hypebol.
1.4. Đường parabol
1.4.1. Định nghĩa
Parabol là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định F và một đường
thẳng cố định ∆ không đi qua F. Điểm cố định F được gọi là tiêu điểm của parabol,
∆ được gọi là đường chuẩn của parabol. Khoảng cách p = F I từ tiêu điểm F tới
đường chuẩn ∆ được gọi là tham số của parabol.
1.4.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của parabol
Nhận xét 1.9.
1) Điểm M(x; y) trong mặt phẳng nằm trên parabol khi và chỉ khi

MF = MH, (1.7)
12
với MH là khoảng cách từ M tới đường chuẩn ∆.
x
y
p
2
−
p
2
(∆)
F
H
M
C
Hình 1.9
2) Từ định nghĩa ta thấy parabol nhận đường thẳng đi qua F, I làm trục đối xứng.
Để xây dựng phương trình parabol, ta chọn trục Ox là đường thẳng đi qua I, F ,
hướng từ I tới F ; trung điểm đoạn thẳng IF là gốc tọa độ O.
Khi đó điểm F có tọa độ là F(
p
2
; 0), điểm I có tọa độ là I(−
p
2
; 0).
Do vậy ta có
MF =



x −
p
2

2
+ y
2
, MH = x +
p
2
.
Đẳng thức (1.7) tương đương với:


x −
p
2

2
+ y
2
= x +
p
2
.
Bình phương hai vế ta đi đến
x
2
− px +
p

2
4
+ y
2
= x
2
+ px +
p
2
4
⇔ y
2
= 2px. (1.8)
Ta nhận được (1.8) là phương trình chính tắc của parabol.
1.4.3. Dạng đồ thị của parabol
- Từ phương trình (1.8) ta thấy nếu điểm M(x; y) thuộc parabol thì điểm M

(x; −y)
cũng thuộc parabol, vậy parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng. Cũng từ
13
phương trình (1.8)) ta suy ra x ≥ 0, vậy parabol nằm bên phải trục Oy.
Do tính đối xứng ta khảo sát dạng của parabol trong góc phần tư thứ (I). Khi
x tăng từ 0 → +∞, ta có y cũng tăng từ 0 → +∞. Parabol đi qua gốc tọa dộ
O(0; 0), trục đối xứng gọi là trục ảo, O(0; 0) gọi là đỉnh của parabol.
- Đường thẳng đứng, chẳng hạn x = 1 cắt parabol tại 2 điểm:
A
1
(1;
√
2p), A

2
(1; −
√
2p). Khoảng cách A
1
A
2
= 2
√
2p, do đó nếu tham số p càng
lớn, khoảng cách A
1
A
2
càng lớn, parabol càng mở. Vì vậy tham số p đặc trưng
cho dáng điệu của parabol.
Nhận xét 1.10. Các dạng khác của parabol
x
y
y
2
= −2px
O
Hình 1.10
x
y
x
2
= 2py
Hình 1.11

14
x
y
x
2
= −2py
O
Hình 1.12
1.5. Khảo sát phương trình bậc hai tổng quát
Xét phương trình
ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0, (1.9)
có ít nhất một trong các hằng số a, b, c khác 0.
Ta đổi trục tọa độ để chuyển phương trình (1.9) sang dạng đơn giản hơn. Ta xét ba
phép đổi tọa độ hay dùng sau:
1.5.1. Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ
x
y
a
b
x
y
X
Y
A
X
C

Y
E
M
G
O
I
Hình 1.13
Ta tịnh tiến hệ trục Oxy sang hệ trục IXY , tức là ta tịnh tiến theo véc tơ
−→
OI. Điểm
I có tọa độ trọng hệ Oxy là I(a; b).
15
Điểm M(x; y) trong hệ cũ Oxy có tọa độ trong hệ mới IXY là (X, Y ).
Ta có công thức đổi tọa độ như sau





x = X + a
y = Y + b
⇒





X = x − a
Y = y − b.
(∗)

Ví dụ 1.11. Tìm ý nghĩa hình học của phương trình: y = 3x
2
− 6x + 5.
Lời giải
Phương trình đã cho ⇔ y − 2 = 3(x − 1)
2
.
Do đó nếu đặt X = x − 1, Y = y − 2 ta được: Y = 3X
2
, đây là parabol nhận gốc I
của hệ tọa độ mới IXY làm đỉnh, nhận IY làm trục đối xứng. Gốc I(1; 2) trong hệ
tọa độ cũ, tịnh tiến theo véc tơ
−→
OI = (1; 2) ta được hệ tọa độ mới IXY .
Như vậy bằng phép tịnh tiến để đổi trục tọa độ ta thấy rõ ý nghĩa hình học của
phương trình bâc hai đã cho.
1.5.2. Phép quay hệ trục tọa độ
Xây dựng hệ trục tọa độ mới OXY nhận được từ hệ trục tọa đỗ cũ bằng cách
quay một góc ϕ(0 < ϕ < 2π) quanh gốc O. Với một điểm M(x; y) tùy ý trong hệ tọa
độ cũ sẽ có tọa độ trong hệ tọa độ mới là M(X, Y ).
y
X
Y
x
y
x
C
O
Y
X

ϕ
Q
P
M
Q
1
P
1
Hình 1.14
16
Biểu diễn trên hình ta có
OP = x, OQ = y, OP
1
= X, OQ
1
= Y.
Từ đẳng thức véc tơ
−−→
OM =
−−→
OP
1
+
−−→
P
1
M,
ta chiếu đẳng thức véc tơ này lên trục Ox ta được
x = ch
Ox

−−→
OM
= ch
Ox
−−→
OP
1
+ ch
Ox
−−→
P
1
M
= |
−−→
OP
1
|cos ϕ + |
−−→
P
1
M|cos

ϕ +
π
2

= X cos ϕ −Y sin ϕ.
Tương tự chiếu đẳng thức véc tơ đó lên trục Oy ta nhận được
y = X sin ϕ + Y cos ϕ.

Vậy ta có công thức biểu diễn các tọa độ X, Y theo tọa độ x, y của phép quay là:





x = X cos ϕ −Y sin ϕ;
y = X sin ϕ + Y cos ϕ.
(∗∗)
Ví dụ 1.12. Tìm ý nghĩa hình học của phương trình xy = 1.
Lời giải
Quay hệ trục Oxy một góc ϕ =
π
4
, ta được hệ trục mới OXY .
Theo công thức (∗∗) ta có





x = X cos
π
4
− Y sin
π
4
=
√
2

2
(X − Y );
y = X sin
π
4
+ Y cos
π
4
=
√
2
2
(X + Y ).
Thay vào phương trình đã cho ta được
1
2
(X
2
− Y
2
) = 1 ⇔

X
√
2

2
−

Y

√
2

2
= 1.
17
Đây là một hypebol vuông nhận OX, OY làm trục đối xứng, có đỉnh nằm trên trục
OX.
1.5.3. Phép biến hình tổng hợp
Ta thực hiện đồng thời cả phép tịnh tiến và phép quay.
Giả sử có hai hệ trục tọa độ Oxy và IXY . Gốc I có tọa độ trong hệ trục Oxy là (a;b),
trục IX suy từ Ox bằng phép quay góc ϕ, trục IY suy từ trục Oy cũng vậy.
Ta đưa vào hệ trục tọa độ Ix

y

với các trục Ix

, Iy

cùng hướng với Ox, Oy.
Điểm có tọa độ (x; y) trong hệ Oxy; tọa độ (X; Y ) trong hệ IXY ; tọa độ (x

; y

) trong
hệ tọa độ Ix

y


. Như vậy ta thấy hệ Ix

y

suy từ hệ Oxy bằng phép tịnh tiến theo
công thức (*) x = x

+ a, y = y

+ b.
Hệ IXY suy từ hệ Ix

y

bằng phép quay quanh gốc I một góc ϕ, theo công thức (**)
ta có
x

= X cos ϕ −Y sin ϕ; y

= X sin ϕ + Y cos ϕ.
Vậy





x = X cos ϕ −Y sin ϕ + a;
y = X sin ϕ + Y cos ϕ + b.
(∗ ∗∗)

x
y
a
b
x

y

I
Y
X
ϕ
O
Hình 1.15
18
1.5.4. Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai tổng quát
Người ta chứng minh được kết quả sau
1) Nếu ∆ = ac − b
2
> 0 thì phương trình (1.9) xác định một elip, hoặc một điểm,
hoặc một đường ảo.
2) Nếu ∆ = ac − b
2
< 0 thì phương trình (1.9) xác định một hyperbol hoặc một
hyperbol suy biến thành một cặp đường thẳng giao nhau.
3) Nếu ∆ = ac−b
2
= 0 thì phương trình (1.9) xác định một parabol hoặc một parabol
suy biến thành một cặp đường thẳng song song hoặc trùng nhau, hoặc một đường ảo.
Chương 2

Bài toán tổng hợp về các đường conic
2.1. Bài toán tổng hợp về đường elip
Cho Elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, 0 < b ≤ a (E).
Bài toán 2.1.1. Với mọi điểm M ∈ (E), chứng minh
b ≤ OM ≤ a.
Lời giải
Cách 1: Giả sử M(x
0
; y
0
) ∈ (E), ta có
1 =
x
2
0
a
2
+
y
2

0
b
2
≤
x
2
0
b
2
+
y
2
0
b
2
⇒ b ≤

x
2
0
+ y
2
0
⇔ b ≤ OM.
Ta lại có
1 =
x
2
0
a

2
+
y
2
0
b
2
≥
x
2
0
a
2
+
y
2
0
a
2
⇒

x
2
0
+ y
2
0
≤ a ⇔ OM ≤ a.
Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Với M(x; y), ta có

OM =

x
2
+ y
2
,
M(x; y) ∈ (E) ⇒
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 ⇒ y
2
= b
2

1 −
x
2
a
2

.
19