CHUYEN DE DUONG TRON

DƯỜNG TRÒN
Bài 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)
2
+(y – 1)
2
= 4. Biết tiếp
tuyến đi qua A(4; -2).
Bài giải:
Cách 1
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI =
R>13
nên qua A có hai tiếp tuyến
của (C)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(4; -2) có
phương trình là: y = k(x – 4) – 2 hay (d): kx –y - 4k – 2.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R
= 2
Hay
12
5
51212322
1
2412
2
2
−=⇔−=⇔+=+⇔=
+
−−−
kkkk
k
kk

Với
12
5
−=
k
thì (d
1
): 5x + 12y + 4 = 0.
Xét đường thẳng(d
2
): x – 4 = 0, khoảng cách từ tâm I đến (d
2
) là
R
==
+
−
2
01
42
22
nên
(d
2
) cũng là tiếp tuyến của (C) đi qua A(2; 1)
Kết luận : Hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d
1
): 5x + 12y + 4 = 0 và (d
2
): x – 4 = 0.

Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI =
R>13
nên qua A có hai
tiếp tuyến của (C)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) có phương trình là : ax + by +c = 0 với
0
22
≠+
ba
. Do (d) đi qua A(4; -2) nên c = -4a + 2b
Suy ra (d): ax + by -4a +2b = 0. (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ I
đến (d) bằng R = 2. Hay
01252322
242
222
22
=−⇔+=−⇔=
+
+−+
abbbaba
ba
baba
Chọn b = 0, a = 1 thì c = 4 khi đó (d): x – 4 = 0
Chọn b = 12 , a = 5 thì c = 4 khi đó (d): 5x + 12y + 4 = 0
Kết luận : hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d
1
): 5x + 12y + 4 = 0 và (d
2
): x – 4 = 0
Chú ý : qua hai cách giải bài toán 2 để hiểu kỹ về chú ý ở phần lý thuyêt phương trình

tiếp tuyến của đường tròn
Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường
thẳng (d
1
): x – 5y - 2 = 0; (d
2
): x – y + 2 = 0; (d
3
): x + y - 8 = 0.
Bài giải:
Gọi A là giao điểm của (d
1
) và (d
2
) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

)1;3(
02
025
−−⇒



=+−
=−−
A
yx
yx
Gọi B là giao điểm của (d
1

) và (d
3
) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

)1;7(
08
025
B
yx
yx
⇒



=−+
=−−
Gọi C là giao điểm của (d
2
) và (d
3
) thì tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

)4;3(
08
02
C
yx
yx
⇒




=−+
=+−
Gọi (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương trình của (C ) là:
022
22
=++++
cbyaxyx
. Vì (C ) đi qua ba điểm A, B ,C nên có hệ phương trình:
0224:)(
22
0
2
02586
050214
01026
22
=−−+⇒





−=
=
−=
⇔






=+++
=+++
=−−+
xyxC
c
b
a
cba
cba
cba

Chú ý Ta có thể giải cách khác như sau :Do (d
2
) vuông góc với (d
3
) vì vậy đường tròn
(C) nhận AB làm đường kính nên (C) có tâm I(2; 0) là trung điểm của AB và có bán
kính
26
=
R
Suy ra (C) : (x - 2)
2
+ y
2
= 26 hay x
2

+ y
2
- 4x – 22 = 0.
Bài 3:Cho hai đường tròn có phương trình:
(C): x
2
+ y
2
= 1
(C
1
): x
2
+ y
2
– 6x + 6y + 17 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó.
Bài giải:
2
-2
-4
-6
-5
5
10
d
4
d
3
d

2
d
1
I
I
1
Đường tròn (C) có tâm I(0; 0), bán kính R = 1
Đường tròn (C
1
) có tâm I
1
(3; -3), bán kính R
1
= 1
Ta có R + R
1
=
233)3(2
22
1
=+−=<
II
vì vậy (C) và (C
1
) ngoài nhau chúng có 4
tiếp tuyến chung.
Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số góc k có phương trình là:
(d) : y = kx + m hay kx – y +m = 0. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường
tròn(C) và (C
1

) khi và chỉ khi : d(I,d) = R = 1 và d(I
1
,d) = R
1
= 1
Hay:














+=
+
−=





+=
=+

⇔





+=
++=
⇔







=
+
++
=
+
(**)
1
2
33
(*)
1
033
1
33

1
1
33
1
1
2
2
2
2
2
km
k
m
km
k
km
mkm
k
mk
k
m
Giải hệ (*)
Ta có

















−=
=
−=
⇔





+=
−=
⇔





+=
=+
2
2

1
1
1
1
033
22
m
m
k
km
k
km
k
Vậy hai tiếp tuyến chung
02:)(,02:)(
21
=−+=++ yxdyxd
Giải hệ (**)
Ta có
( )





















+
+
−=
+
−=







+
=
+
−=
⇔






=++
+
−=
⇔





+=+
+
−=
⇔





+=
+
−=
)569(2
5643
569
5
10
)564(3
5

569
05185
2
33
1233
2
33
1
2
33
2
22
m
k
m
k
kk
k
m
kk
k
m
km
k
m
Vậy hai tiếp tuyến chung là
0564(3)569(210:)(
0564(310)569(2:)(
4
3

=++++
=+−++
yxd
yxd
Kết luận : Hai đường tròn (C) và (C
1
) có 4 tiếp tuyến chung là:
,02:)(
,02:)(
2
1
=−+
=++
yxd
yxd
0564(3)569(210:)(
0564(310)569(2:)(
4
3
=++++
=+−++
yxd
yxd
Bài 4:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1)
Bài giải
Gọi I là tâm đường tròn (C) thì IB = IA, như vậy I thuộc trung trực của đoạn AB. Mặt
khác vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1)
nên I còn thuộc đường thẳng vuông góc với (d) tại điểm B.
Phương trình đường trung trực của AB là : x + y = 0, phương trình đường thẳng (d

1
)
vuông góc với (d) tại điểm B là : 4x + 3y + 11 = 0.
Vậy tọa độ điểm I là nghiệm của hệ



=
−=
⇔



=++
=+
11
11
01134
0
y
x
yx
yx
Bán kính của (C) là R = IB =
15225)111()112(
22
==−−++−
Suy ra (C) : (x + 11)
2
+ (y – 11)

2
= 225 hay (C): x
2
+ y
2
+ 22x - 22y + 17 = 0.
6
4
2
-2
-4
-10
-5
5
a
d
1
d
A
B
Bài 5:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;
)5
, B(-1; 3) và có tâm
nằm trên đường thẳng
01:)(
=++∆
yx
.
Bài giải:
Trong mật phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:

)0(,022
2222
≠+=+−−+
bacbyaxyx
Đường tròn (C) đi qua điểm A(1;
)5
nên
6522
−=+−−
cba
(1)
Đường tròn (C) đi qua điểm B(-1; 3) nên
162
−=+−
cba
(2)
Tâm I (a, b) nằm trên đường thẳng
01:)(
=++∆
yx
nên
01
=++
ba
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ:






−=
=
−=
⇔





=++
−=+−
−=+−−
8
0
1
01
162
6522
c
b
a
ba
cba
cba
Vậy (C):
.082
22
=−++

xyx
Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 0) ,B(1; 0) và tiếp xúc với
đường thẳng (d): x - y = 0.
Bài giải :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:

)0(,022
2222
≠+=+−−+
bacbyaxyx
.Tâm I(a; b), bán kính
cbaR
−+=
22
Đường tròn (C) đi qua điểm A(2; 0) nên: 4 – 4a + c =0 (1)
Đường tròn (C) đi qua điểm B(1; 0) nên: 1 - 2a + c = 0 (2)
Măt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0 nên khoảng cách từ tâm I(a; b) đến
đường thẳng (d) bằng R
Hay
02)(
2
222
=−+⇔−+=
−
cbacba
ba
. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ










=
−=
=
⇔





=−+
=+−
=+−
2
2
7
2
3
02)(
021
044
2
c
b

a
cba
ca
ca
Vậy (C) có phương trình là:
0273
22
=++−+
yxyx
.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 1) và tiếp xúc với cả hai đường
thẳng (d
1
): 7x + y – 3 = 0 , (d
2
): x + 7y – 3 = 0.
Bài giải:
4
2
-2
-4
-5
5
d
2
d
1
A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:

)0(,022
2222
≠+=+−−+
bacbyaxyx
.Tâm I(a; b), bán kính
cbaR
−+=
22
Do (C) đi qua A(1; 1) nên:
0222
=+−−
cba
(1)
Lại do (C) tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) nên khoảng cách từ tâm I đến hai
đường thẳng (d
1
) và (d
2
) bằng nhau và bằng IA
Hay
22
)1()1(
50
37
50
37

−+−=
−+
=
−+
ba
baba
(1)
Đặt:
37);(;37);(
−+=−+=
yxyxgyxyxf
Vì tâm I của (C) và điểm A cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ (d
1
) và nửa mặt phẳng
có bờ (d
2
) nên
0);().;(
>
AAII
yxfyxf
và
0);().;(
>
AAII
yxgyxg
Mà:
037);(05317);(
>−+=⇒>=−+=
bayxfyxf

IIAA
(2)

037);(05371);(
>−+=⇒>=−+=
bayxgyxg
IIAA
(3)
Két hợp (1) với (2) và (3) ta có






==
==
⇔



−=−
=
⇔








−+−=
−+
−+
=
−+
8
13
2
7
)1(100)38(
)1()1(
50
37
50
37
50
37
22
22
ba
ba
bb
ba
ba
ba
baba
*Với
01277:)(12
2

7
22
1
=+−−+⇒=⇒==
yxyxCcba
*Với
0
9
8
4
13
4
13
:)(
9
8
8
13
22
2
=+−−+⇒=⇒==
yxyxCcba
Kết luận: có hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) có phương trình ở trên thỏa man điều kiện bài
toán
10. Trong các phng trình sau ây, phng trình no l phng trình ca mt
ng tròn. Xác nh tâm v tính bán kính.

a.
2 2
4 2 6 0x y x y+ + + =
. c.
2 2
6 8 16 0x y x y+ + + =
.
b.
2 2
4 5 1 0x y x y + + =
. d.
2 2
2 2 3 2 0x y x+ =

8. Cho pt x
2
+ y
2
- 2m(x-2) = 0 (1)
a) Xđịnh m để (1) là ptrình của đờng tròn
b) Với m=1 hãy xác định tâm và bán kính của đờng tròn (C)
c) Chứng tỏ rằng điểm M(-2;2) (C) . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng 2x+5y-12=0
9. Viết phơng trình của đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a) (C) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đờng thẳng 4x 3y + 5 = 0
b) (C) đối xứng với (C) có phơng trình:
0
2
)3(
2

)2( =+ yx
qua
đờng thẳng x + y 1 = 0
10. Viết phơng trình đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a) (C) đi qua 3 điểm A(1 ; 0), B(0 ; 2), C(2 ; 3)
b) (C) đi qua A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R =
5
c) (C) đi qua 2 điểm A(2 ; 1),B(4 ; 3) và có tâm I nằm trên đờng thẳng x y + 5= 0
11. Cho đờng tròn (C) : x
2
+ y
2
+4x +4y 17 = 0
b) Tìm tâm và bán kính của đờng tròn
c) Viết phơng trình tiếp tuyến
1

của (C) biết tiếp tuyến này song song với d
1
:3x 4y+9= 0
d) Viết phơng trình tiếp tuyến
2

của (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với d
2
:3
4y 5 = 0
10. Cho phng trình :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + + + =

.
a. Tìm iu kin ca
m
pt trên la ng tròn.
b. Tìm qu tích tâm ng tròn.
11. Cho phng trình
2 2
( 15) ( 5) 0x y m x m y m+ + + =
.
a. Tìm iu kin ca
m
pt trên l ng tròn.
b. Tìm qu tích tâm ng tròn.
12. Cho phng trình
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + + =
.
a. Tìm
m

( )
m
C
la phng trình ca mt ng tròn.
b. Tìm
m

( )
m
C
la ng tròn tâm
(1; 3).I
Vit phng trình ng tròn ny.
c. Tìm
m

( )
m
C
la ng tròn có bán kính
5 2.R =
Vit phng trình ng tròn ny.
d. Tìm tp hp tâm các ng tròn
( )
m
C
.