Giải bài toán CLLX CLD thay đổi cơ hệ từ góc nhìn cơ năng

KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO – CON LẮC
ĐƠN THAY ĐỔI CẤU TRÚC - TỪ GÓC ĐỘ CƠ NĂNG
A – ĐẶT VẤN ĐỀ
Chương dao động cơ học có vị trí và vai trò rất quan trọng trong chương
trình vật lí lớp 12. Với đặc điểm của chương trình có thể nói đây là phần
chương trình có liên quan đến kiến thức lớp dưới nhiều nhất, đặc biệt là
chương trình lớp 10, do vậy nó cũng là một trong vài phần khó nhất của
chương trình, nó đã được minh chứng trong thời gian gần đây hầu hết những
câu khó, câu có tính chất phân loại học sinh giỏi trong các đề thi đại học phần
lớn thuộc phần dao động cơ học.
Để gúp học sinh giải quyết tốt các bài tập chương dao động cơ học nói
chung và bài tập phần con lắc lò xo, con lắc đơn nói riêng, giúp các em chuẩn
bị tốt cho kì thi THPT quốc gia. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã phân loại
một số bài tập về con lắc lò xo con lắc đơn thay đổi cấu trúc cơ bản, hay và
khó thường gặp, từ đó đưa ra phương pháp giải cụ thể để gúp các em có một
cách hiểu cụ thể, hiểu sâu bản chất của vấn đề để có thể giải quyết tốt các dạng
bài tập này.
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I – CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 – Cơ năng Con lắc lò xo:
E = E
đ
+ E
t
=
22
2
1
2
1
kxmv +

= E
đmax
=
222
max
2
1
2
1
Ammv
ω
=

= E
tmax
=
2
2
1
kA
Một số vị trí đặc biệt
+ Khi x = 0 <=>
axm
v
<=> E
t
= 0 ; E
đmax
= E

+ Khi x =
A±
<=> v = 0 <=> E
đ
= 0 ; E
tmax
= E
+ Khi x =
2
A
±
 v =
3
2
A
ω
±
<=> E
đ
= Ew
t

+ Khi x =
2
A
±
 v =
2
A
ω

±
 E
t
= E
đ
=
2
E
+ Khi x =
3
2
A
±
 v =
2
A
ω
±
 E
t
= 3E
đ

+ Khi x =
A
n
±
 E
t
=

2
n
E
E
đ
=
E
n
n
2
2
)1( −

1
2 – Cơ năng Con lắc đơn dao động điều hòa biên độ bé:
E = E
đ
+ E
t
=
22
2
1
2
1
α
mglmv +
= E
đmax
=

2
max
2
1
mv
= E
tmax
=
2
0
2
1
α
mgl

3 – Đặc điểm cơ năng hệ dao động điều hòa:
- Động năng của hệ là động năng chuyển động của vật, gắn liền với vật, phụ
thuộc khối lượng , vận tốc của vật.
- Thế năng cuả hệ: Cơ bản phụ thuộc vị trí cân bằng ( thường được chọn làm
mốc tính thế năng )
+ Con lắc lò xo: Là thế năng đàn hồi của lò xo E
t

∈
k, x (A)
+ Con lắc đơn: Là thế năng hấp dẫn của vật E
t

∈
m, g, l, α (α

0
)
- Cơ năng hệ bảo toàn khi trong hệ chỉ có lực thế sinh công : lực đàn hồi,
trọng lực
- Cơ năng hệ không bảo toàn : + Trong hệ có lực cản sinh công âm
+ Hệ thay đổi cấu trúc
4 – Bài toán va chạm hai vật :
a). Va chạm mềm.
( )
'mv MV m M V+ = +
r r
r
=>
'
mv MV
V
m M
+
=
+
Nếu V = 0 =>
'
mv
V
m M
=
+
- Cơ năng con lắc nhận được sau va chạm : W’ =
( )
2 2

1 1
'
2 2
M m V kx+ +
- Biên độ mới : W’ =
2
1
'
2
kA
=> A’ =
2
2
2
'
'
V
x
ω
+

b) Va chạm đàn hồi (vật M gắn vào lò xo ; đạn là m)
- Áp dụng ĐLBT động lượng:
' 'mv MV mv MV+ = +
r r
r r
Giả sử các vec tơ cùng hướng mv + MV = mv’ + MV’
- Áp dụng ĐLBT động năng: mv
2
+ MV

2
= mv’
2
+ MV’
2
.
- Vận tốc của M sau va chạm : V’ =
( )
2mv M m V
M m
+ −
+
;
của m sau va chạm : v’ =
( )
2MV M m v
M m
− −
+
* Nếu V = 0 => V’ =
2mv
M m+
; v’ =
( )
M m v
M m
−
−
+
- Cơ năng con lắc nhận được sau va chạm :

W’ =
2 2
1 1
'
2 2
MV kx+
(x là li độ của vật tại vị trí va chạm)
- Biên độ mới : W’ =
2
1
'
2
kA
=> A’ =
2
2
2
'V
x
ω
+
5 – Bài toán cắt, ghép lò xo :
a) Cắt lò xo.
2
+ Cắt đều lò xo thành n phần bằng nhau :
0
0
;
l
l k nk

n
= =
+ Cắt không đều :
0 0 1 1 2 2
l k l k l k= = =
b) Ghép lò xo.
+ Hệ 2 lò xo ghép song song hoặc xung đối: k = k
1
+ k
2
;
+ Hệ 2 lò xo ghép nối tiếp:
1 2
1 1 1
k k k
= +
6. Bài toán tính quãng đường đi được trong dao động tắt dần
- Xét vị trí cân bằng mới: x
0
=
mg
k
µ
- Số nửa chu kỳ thực hiện được: n =
0
2
A
x
 
 

 
= a,b => lấy phần nguyên a
+ Nếu b
≥
5 => n = a + 1
+ Nếu b < 5 => n = a
- ĐL bảo toàn cơ năng đến khi dừng:
( )
2
2
0
1 1
2 . . .
2 2
kA k A nx m g s
µ
= − +
- Quãng đường đi được:
2
2
2
n mg
s nA
k
µ
= −
7 – Phân loại bài toán :
- Hệ thay đổi cấu trúc nhưng không thay đổi vị trí cân bằng
- Hệ thay đổi cấu trúc và thay đổi vị trí cân bằng
8 – Phương pháp tiếp cận và định hướng giải bài toán :

- Năng lượng là một đại lượng vô hướng có tính cộng đại số
- Cơ năng hệ có thể bảo toàn hoặc không khi cấu trúc cơ hệ thay đổi. Khi cơ
năng hệ không bảo toàn, phải xác định phần cơ năng hệ mất đi hoặc nhận thêm ở
đâu, được chuyển hóa từ phần năng lượng nào
- Tại thời điểm thay đổi cấu trúc cơ hệ phải xác định :
+ Cơ năng của hệ đang tập trung ở đâu, động năng, thế năng hay có cả hai.
Từ đó xác định cấu trúc hệ thay đổi thì cơ năng hệ có thay đổi không
+ Đặc điểm hoặc các đại lượng vật lý biến đổi : Vị trí cân bằng, khối lượng
vật, vận tốc vật, gia tốc trọng trường…từ đó xác định hệ có biến đổi cơ năng hay
không.
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO
II.1 – Con lắc lò xo thay đổi cấu trúc nhưng không thay đổi vị trí cân bằng
3
Bài toán 1 : Con lắc lò xo độ cứng k, khối lượng m dao động điều hòa biên độ A
trên mặt phẳng nằm ngang. Một vật m
1
= m/2 được dính nhẹ nhàng vào vật. Tính
biên độ dao động hệ mới nếu :
a/ Vật m
1
được dính vào m lúc m đang ở biên
b/ Vật m
1
được dính vào m lúc m đi qua vị trí cân bằng
c/ Vật m
1
được dính vào m lúc m đang ở tọa độ x
Giải :
Trước hết xác định vật được dính nhẹ nhàng vào vật là bài toán va chạm
mềm giữa hai vật. cơ hệ ở đây thay đổi khối lượng của vật nhưng không thay đổi lò

xo và vị trí cân bằng
a/ Phân tích : Khi vặt ở biên cơ năng của hệ là thế năng đàn hồi cực đại trên
lò xo. Vật không có động năng, nên khi dính nhẹ nhàng vật m
1
không cấp thêm cơ
năng cho hệ. Vì vậy cơ năng hệ được bảo toàn và biên độ dao động hệ mới vẫn
bằng A
ConstkAkAEE
xt
====
2'2
max
2
1
2
1
b/ Phân tích : Khi vật qua vị trí cân bằng, cơ năng hệ là động năng cực đại
của vật
2
max
2
max
2
1
2
1
mvkAEE
xđ
===
Khi dính vật m

1
= m/2 , áp dụng bảo toàn động lượng :
max
''
1max
3
2
)( vvvmmmv =⇒+=
là vận tốc cực đại của hệ mới
Hệ mới :
AAkAEvmvmmE
3
2
2
1
3
2
)
3
2
(
2
3
2
1
)(
2
1
'2'2
max

2'''
=⇒===+=
Như vậy hệ mới có cơ năng nhỏ hơn hệ cũ. Phần cơ năng mất đi là năng
lượng liên kết hai vật m và m
1
c/ Phân tích : Khi vật ở tọa độ x, hệ có cả động năng ở vật và thế năng của
lò xo. Khi dính vặt m
1
một phần cơ năng hệ cũng mất đi chuyển thành năng lượng
liên kết giữa hai vật
Tại tọa độ x hệ ban đầu : E
đ
= E

- E
t

Khi dính vật :
vvvmmmv
3
2
)(
''
1
=⇒+=
suy ra E’
đ
=
3
2

E
đ

Phần năng lượng bị mất đi : ΔE
đ
= E
d
– E’
đ
=
3
1
E
đ
=
3
1
(E – E
t
)
Cơ năng hệ mới : E’ = E - ΔE
đ
= E -
3
1
(E – E
t
) =
3
2

E +
3
1
E
t

4
Suy ra: A’ =
22
3
1
3
2
xA +
Nhận xét; Ở bài toán này nếu học sinh suy luận theo câu a/ khi dính nhẹ
nhàng vật ở biên thì cơ năng hệ không đổi lại áp dụng cho hai câu sau thì sẽ mắc
sai lầm và dẫn đến suy luận A’ = A. Sai lầm ở đây là chỗ khi dính vật có vận tốc và
không có vận tốc.
Bài toán 2: Con lắc lò xo độ cứng k, khối lượng M dao động điều hòa biên độ A
trên mặt phẳng nằm ngang. Một vật m = M/2 chuyển động theo phương ngang với
vận tốc v bằng vận tốc cực đại của m đến va chạm đàn hồi tuyệt đối xuyên tâm với
m. Tính biên độ dao động hệ mới nếu :
a/ Va chạm vào lúc m đang ở biên
b/ Va chạm vào lúc m đi qua vị trí cân bằng
c/ Va chạm vào lúc m đang ở tọa độ x =
2
3
A
Giải:
Đây là bài toán va chạm đàn hồi tuyệt đối xuyên tâm, động lượng và động

năng hệ hai vật m, m
1
được bảo toàn trong va chạm. Hệ con lắc lò xo không thay
đổi vị trí cân bằng và khối lượng vật nhưng sẽ thay đổi cơ năng. Định hướng cách
giải là đi tính phần động năng m nhận thêm hoặc mất đi trong va chạm để suy ra cơ
năng hệ sau va chạm. Áp dụng phần lý thuyết bài toán va chạm ở trên:
a/ Phân tích: Khi vặt ở biên cơ năng của hệ là thế năng đàn hồi cực đại trên
lò xo. Vật không có động năng : V = 0 . Vận tốc m khi va chạm

max
vv
=
Với
EkAMv ==
22
max
2
1
2
1
Sau va chạm M có vận tốc: V’ =
( )
2mv M m V
M m
+ −
+
=
max
max
3

2
2
0).
2
(
2
2
v
M
M
M
Mv
M
=
+
−+
Động năng hệ nhận thêm : ΔE
đ
=
EvMMV
9
4
)
3
2
(
2
1
2
1

2
max
2'
==
Hệ mới sau va chạm : E’ = E + ΔE
đ
=
E
9
13

Suy ra Biên độ mới: A’ =
A
9
13
b/ Phân tích: Khi vật ở VTCB : cơ năng của hệ là động năng cực đại trên
vật.
V = v
max
. Vận tốc m khi va chạm

max
vv
=
Với
EkAMv ==
22
max
2
1

2
1
5
Sau va chạm M có vận tốc:
V’ =
( )
2mv M m V
M m
+ −
+
=
max
maxmax
3
1
2
).
2
(
2
2
v
M
M
v
M
Mv
M
=
+

−+
Hệ mới sau va chạm : E’ = E’
đmax
=
EvMMV
9
1
)
3
1
(
2
1
2
1
2
max
2'
==
Suy ra Biên độ mới: A’ =
A
3
1
c/ Phân tích : Khi vật ở tọa độ x, hệ có cả động năng ở vật và thế năng của
lò xo
Tại tọa độ x =
2
3
A
E

t
=
E
4
3
, E
đ
=
E
4
1
Suy ra vận tốc vận M lúc va chạm : V =
max
2
1
v
Sau va chạm M có vận tốc:
V’ =
( )
2mv M m V
M m
+ −
+
=
max
maxmax
2
1
2
2

1
).
2
(
2
2
v
M
M
v
M
Mv
M
=
+
−+
= V
Sau va chạm vận tốc m không đổi nên biên độ hệ không đổi : A’ = A
Nhận Xét : Sau khi va chạm cơ năng của hệ có thể tăng giảm hoặc không đổi tùy
theo trạng thái động năng thế năng hệ lúc va chạm. Đặc biệt học sinh cần chú ý
trạng thái thế năng của hệ lúc va chạm.
Bài toán 3. Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang có m = 100g, k
= 10 N/m, hệ số ma sát µ và lấy g = 10 m/s
2
. Ban đầu vật được kéo đến vị trí lò
xo bị giãn 9,5 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Tính quãng đường mà vật đi được
kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng lại nếu:
a) Hệ số ma sát µ = 0,01 rất nhỏ. ( coi vật dừng lại tại vị trí cân bằng )
b) Hệ số ma sát µ = 0,1.
Giải :

Phân tích : Đây là bài toán dao động tắt dần có sự chuyển hóa cơ năng của
hệ thành nhiệt thông qua công của lực ma sát. Tuy nhiên sự thay đổi cấu trúc hệ
không phải tức thời mà diễn ra liên tục đến khi vật dừng lại. Khi vật dừng lại tùy
theo điều kiện đề bài phải xác định hệ còn thế năng đàn hồi hay không
a) Với µ = 0,01 rất nhỏ ( coi vật dừng lại tại vị trí cân bằng )
Khi vật dừng lại hệ không còn cơ năng nên ta có :
6
SmgKA
µ
=
2
0
2
1
suy ra S = 451,25 cm
b) Với µ = 0,1
- Xét vị trí cân bằng mới:
cm
k
mg
x 1
0
±=±=
µ
- Số nửa chu kỳ thực hiện được: n =
0
2
A
x
 

 
 
= 4,75 => lấy phần nguyên n = 5
- ĐL bảo toàn cơ năng đến khi dừng:
( )
2
2
0
1 1
2 . . .
2 2
kA k A nx m g s
µ
= − +
- Quãng đường đi được:
2
2
2
n mg
s nA
k
µ
= −
= 45cm
- Khi vật dừng lại trong khoảng
k
mg
x
M
µ

±=

Nhận xét: Trong câu b) bài toán học sinh có thể gặp sai lầm là dùng công
thức

smgKA
µ
=
2
0
2
1
suy ra S = 45,125 cm vì vật không dừng ở vị trí cân bằng mà
dừng ở vị trí có li độ trong khoảng
k
mg
x
M
µ
±=
, nghĩa là toàn bộ cơ năng dao động
không chuyển hết thành nhiệt khi vật dừng lại mà một phần cơ năng vẫn còn dự trữ
ở dạng thế năng đàn hồi.
Bài toán 4 ( Trích đề thi thử THPT Lương Đắc Bằng 2015)
Một thanh thẳng AB đồng chất, tiết diện đều, chiều dài L = 10cm, khối
lượng m = 1kg được đặt trên một mặt phẳng ngang. Mặt phẳng ngang có hai phần
ngăn cách bởi một đường thẳng: một phần không có ma sát (phần I); phần còn lại
có ma sát, hệ số ma sát giữa thanh và phần này là μ = 0,21 (phần II). Người ta bố trí
một hệ cơ học gồm: Một lò xo nhẹ, độ cứng k = 100N/m, một đầu gắn cố định vào
tường tại O, đầu còn lại nối với đầu A của thanh. Ban đầu trục của thanh và của lò

xo nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng phân cách phần I với
phần II; lò xo không bị biến dạng; thanh nằm hoàn toàn trong phần I và điểm B của
thanh vừa chạm vào đường phân cách đó. Truyền cho thanh một vận tốc
0
v
r
có
phương dọc theo thanh, có chiều hướng về phía phần II và có độ lớn là 0,55m/s.
Gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
. Tính độ dãn cực đại của lò xo
7
I II
Giải :
Phân tích : Trong bài toán này có sự chuyển hóa từ động năng của vật
thành thế năng đàn hồi của lò xo và nhiệt năng thông qua công của lực ma sát. Khi
vận tốc của vật bằng không thì lò xo giãn cực đại. Tuy nhiên cái khó trong bài toán
này là lực ma sát tác dụng lên vật biến đổi nên học sinh gặp khó khăn khi tính
công
Ta có: E
đ
= E
t
+ A
ms
Khi vật dừng lại lò xo giãn cực đại đoạn là x thì vật đi vào miền II có ma sát
đoạn là x
Để tính công ma sát có thể tính theo hai cách :
Cách 1 : Vì lực ma sát tăng đều từ F
ms

= 0 đến
L
x
mgF
ms
η
=
nên có thể lấy
trung bình

L
x
mgF
ms
η
2
1
=
Cách 2 :
∫∫
===
xx
msms
x
L
mg
dx
L
x
mgdxfA

0
2
0
2
η
η
Khi đó ta có : E
đ
= E
t
+ A
ms

⇔

222
0
22
1
2
1
x
L
mg
kxmv
µ
+=

suy ra x
max

= v
0
.
L
mg
k
m
µ
+
= 5cm
II.2 – Con lắc lò xo thay đổi cấu trúc và thay đổi vị trí cân bằng
Bài toán 1 : Một con lắc lò xo có khối lượng m và độ cứng K, nằm ngang.ban đầu
kéo vật khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn 8cm rồi thả nhẹ. Khi vật đang dao động thì giữ
cố định điểm chính giữa lò xo. Xác định biên độ dao động mới của vật. nếu:
a) Cố định lò xo khi vật qua VTCB
b) Cố định lò xo khi vật ở biên
c) Cố định lò xo khi vật cách VTCB đoạn 4cm
d) Trong câu c) sau khi cố định lò xo, khi vật dao động đang ở vị trí biên lại
thả điểm giữ lò xo. Tính biên độ dao động của hệ sau cùng.
8
•
O
• •
O’ M
Giải :
Phân tích: Đây là dạng toán thay đổi chiều dài của lò xo khi vật đang dao
động, dẫn đến VTCB , độ cứng lò xo, và cơ năng hệ có thể biến đổi. Vì giữ điểm
chính giữa lò xo nên độ cứng lò xo hệ mới đều tăng lên gấp đôi: k’ = 2k
a) Khi vật qua VTCB toàn bộ cơ năng của hệ ban đầu
tập trung tại động năng của vật nên khi thay đổi chiều dài lò xo cơ năng hệ không

mất đi. Nhưng với hệ mới độ cứng đã thay đổi nên biên độ cũng thay đổi:
Theo ĐLBTCN:
cm
A
AkAkAEE 24
2
'2
2
1
2
1
'
2'2
==⇒=⇔=
b) Khi vật ở biên toàn bộ cơ năng của hệ ban đầu tập trung tại thế năng đàn
hồi của lò xo. Nên khi giữ cố định một nửa lò xo hệ mới nhận một nửa cơ năng
ban đầu:
cm
A
AkAkAEE 4
2
'
2
1
2
1
2
2
1
2

1
'
22'
==⇒=⇔=
c) Cố định lò xo khi vật ở tọa độ x = 4cm
Cách 1: Theo cách giải cũ
Vận tốc của vật lúc giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó x =
2
A

Theo ĐLBTCN
2
2
mv
=
2
2
kA
-
2
2
kx
=
2
2
kA
-
4
1
2

2
kA
=
4
3
2
2
kA

Độ giãn lò xo là 4cm chia đều trên lò xo. Khi giữ mỗi phần lò xo giãn 2cm
Vị trí cân bằng mới O’ cua hệ mới ( M) bị đẩy ra so với vị trí cũ đúng bằng
độ giãn của phần lò xo trong bị cố định . Nên OO’ = 2cm
Tọa độ của vật khi đó cách vị trí cân bằng mới: x
0
= MO’ = x – OO’ = 2cm
Biên độ dao động mới của vật:
A’
2
= x
0
2
+
2
2
'
ω
v
= x
0
2

+
'
2
k
mv
= x
0
2
+
k
mv
2
2
= x
0
2
+
8
3
2
2
A

A’
2
= 2
2
+
8
3

8
2
= 28 (cm
2
) > A’ = 2
7
(cm).
Cách 2: Theo sự biến đổi cơ năng hệ:
Khi vật ở tọa độ x= 4cm = A/2 hệ vừa có động năng và thế năng. Dễ dàng ta
có:
E
t
=
4
1
E và E
đ
=
4
3
E
Khi giữ chính giữa lò xo thì phần thế năng mất đi một nửa: ΔE
t
=
8
1
E
Vậy hệ mới có cơ năng là: E’ = E -
8
1

E =
8
7
E
9
Ta có:
cmAAkAkA 72
4
7
'
2
1
8
7
'2
2
1
22
==⇒=
d) Khi vật ở biên vật không còn động năng.
Cơ năng của hệ tập trung trên thế năng đàn hồi của lò xo. Khi thả lò xo hệ trở
lại VTCB ban đầu nên biên độ dao động cuối cùng của hệ lại là:
A’’ = A’ + OO’ = 2
7
+ 2 ( cm)
Nhận xét: - Trong bài toán này nếu tính theo phương pháp năng lượng ở
câu c) rõ ràng hiệu quả nhanh hơn so với phương pháp tọa độ khi tính độ dịch
chuyển VTCB
- Trong câu d) nhận thấy A’’< A ban đầu. chứng tỏ cơ năng của hệ bị
mất đi. Phần cơ năng này mất đi vì mỗi phần lò xo có độ giãn trên một đơn vị chiều

dài là khác nhau nên khi ta thả lò xo cho hai phần nhập lại sẽ có một phần thế năng
mất đi trên các phần tử của lò xo.
Sai lầm học sinh có thể mắc ở đây nếu suy luận theo hướng năng lượng có
tính cộng .
Cơ năng hệ cuối E’’ = ΔE
t ( phần Lò xo phía trong )
+ E
t
’ = E (ban đầu)
và khi đó A’’ = A
Bài toán 2: Con lắc lò xo dao động theo phương ngang không ma sát có =100N/m,
m=1kg. Khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương với tốc độ v
0
=40
3
cm/s thì
xuất hiện điện trường đều có độ lớn cường độ điện trường là 2.10
4
V/m và
E
r
cùng
chiều dương Ox. Biết điện tích của quả cầu là q=200µC. Tính cơ năng của con lắc
sau khi có điện trường.
Giải;
Phân tích: Con lắc lò xo nằm ngang thì VTCB khi lò xo không nén giãn.
Trước khi có lực điện cơ năng hệ đang tập trung tại động năng cực đại của vật, thế
năng đàn hồi của lò xo bằng khồn. Khi có điện trường vật chịu thêm tác dụng của
lực điện làm VTCB dich chuyển đến O’ vì vậy cơ năng hệ sẽ thay đổi.
Vị trí cân bằng mới O’ có lực đàn hồi

'
dh
F
r
cân bằng với lực điện trường
E
F
r
.
'
| |
' | | ' 0,04 4
dh E
q E
F F k l q E l m cm
k
= ⇔ ∆ = ⇒∆ = = =
Cách 1: Tính theo tọa độ
Trong hệ quy chiếu mới có gốc tọa độ O’ là vị trí cân bằng mới, theo dữ kiện lúc
đầu:
x’=4cm, v’=v
0
=40
3
cm/s với
10(r d / )
k
a s
m
ω

= =
10
Biên độ dao động mới là A’:
2
2
2
'
' ' 8
v
A x cm
ω
= + =

Cơ năng lúc sau khi có điện trường là:
2 2
' 100.0,08
' 0,32( )
2 2
kA
W J
= = =
.
Cách 2: Theo năng lượng:
Năng lượng ban đầu là W
0
. Khi đi từ O đến O’ thì lực điện trường thực
hiện công dương (A
E
>0) có lực đàn hồi của lò xo thực hiện công âm (A
đh

<0)
Năng lượng lúc sau là:

2
2
0
0
. '
| | . . '
2 2
E dh
mv
k l
W W A A q E l
∆
= + − = + ∆ −
=0,32(J).
Nhận xét: Trong bài toán này khi tính phần năng lượng hệ đươc tăng thêm
học sinh phải nhớ công thức tính công lực điện. Ngoài ra còn nhận biết khi có điện
trường thì lực điện sinh công dương còn lực đàn hồi sinh công âm.
Bài toán 3:
Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m
= 1kg. Nâng vật lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động.
Bỏ qua mọi lực cản. Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật
m
0
= 500g một cách nhẹ nhàng. Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng. Lấy g =
10m/s
2
. Hỏi năng lượng dao động của hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu?

Giải:
Phân tích: Khi vật ở vị trí thấp nhất cơ năng của hệ là thế
năng đàn hồi cực đại của lò xo, vật không có vận tốc. Nên khi
gắn nhẹ nhàng vật m
0
vào hệ không làm tăng thêm động năng
của vật nhưng khi đó hệ mới có VTCB O’ dịch chuyển xuống
dưới ( gần m hơn) vì vậy thế năng cực đại lò xo hệ mới giảm
đi.
Theo đề bài:
1 1
0,1 10
mg
l m cm A
k
∆ = = = =
Nhận thấy m
0
= ½ m nên Δl
2m0
= ½ Δl
1
= 5cm = OO’
Khi gắn thêm vật ở trạng thái không vận tốc nên vị trí gắn vật
cũng là biên dao động của hệ mới
Từ hình vẽ, ta có A
2
= A
1
– OO’ = 5cm

O
'O
'x
'v
r
4
−
11
∆l
2

O
1
∆l
1

-A
1
A
1
m
1
O
2
A
2
P
r
0
P

r
ñh
F
r
Độ biến thiên cơ năng:
2 2 2 2
2 1 2 1
1 1
W W ( ) .100.(0,05 0,1 ) 0,375
2 2
k A A J
− = − = − = −
.
Vậy cơ năng của hệ giảm 0,375 J
Nhận xét: Hệ mới có cơ năng giảm so với hệ ban đầu. Vì thế năng dao động
của hệ con lắc lò xo chỉ tính là thế năng đàn hồi của lò xo chứ không tính thế năng
hấp dẫn của vật. Thế năng hấp dẫn của các vật được bù cho thế năng đàn hồi khi
vật ở VTCB. Nên khi gắn thêm vật vào một phần cơ năng hệ ban đầu mất đi bù cho
phần thế năng hấp dẫn của m
0
III – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TOÁN CON LẮC ĐƠN.
Bài toán 1: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa trong một
thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2

với năng lượng dao động 100mJ, thì thang máy bắt đầu chuyển
động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc 2,5 m/s
2
. Con lắc
sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng bao

nhiêu nếu:
a) Thang máy chuyển động lúc vật có vận tốc bằng không
b) Thang máy chuyển động lúc vật có vận tốc cực đại
c) Thang máy chuyển động lúc vật có li độ góc
2
0
α
α
=
Giải:
Phân tích: Đây là bài toán thay đổi cấu trúc hệ con lắc đơn dao động . Cụ thể là
thay đổi gia tốc trọng trường: g’ = g – a = 7,5 m/s
2

=
4
3
g
Trong mỗi câu cần xác định khi thay đổi cơ năng hệ có thay đổi không:

a) Khi vật có vận tốc bằng không, toàn bộ cơ năng hệ đang tập trung tại thế
năng cực đại của hê. Nên khi thay đổi g thế năng cực đại của hệ cũng thay đổi
+ Ban đầu E = E
tmax
=
1
2
mglα
0
2

+ Khi thang máy chuyển động: E’ = E’
tmax
=
1
2
mg’lα
0
2
Nên ta có:
g
g
E
E
''
=
=> E’ = 75 mJ
Mặt khác biên độ góc dao động của thang máy là không đổi
12
F
a
P
b) Lúc vật có vận tốc cực đại khi vật qua vị trí cân bằng. Lúc này toàn bộ cơ
năng hệ tập trung hết ở động năng cực đại . Nên khi thay đổi gia tốc trong trường
không làm thay đổi cơ năng của hệ. Nên hệ mới có E’ = E
Tuy nhiên biên độ góc dao động mới thay đổi:
Vì E’ = E và g’ < g nên
0
'
0

αα

c) Thang máy chuyển động khi
2
0
α
α
=
vật có cả dộng năng và thế năng
Ta dễ dàng tính được: E
t
=
4
1
E và E
đ
=
4
3
E
Khi chuyển động với g’ =
4
3
g nên

E’
t
=
4
3

E
t

Thế năng con lắc mất đi: ΔE
t
= E’
t
– E
t
=
4
1
E
t
=
16
1
E
Vậy cơ hệ mới có cơ năng: E’ = E - ΔE
t
=
16
15
E = 93,75 mJ
Bài toán 2:
Một con lắc đơn: có khối lượng m
1
= 400g, có chiều dài 160cm. Ban đầu người
ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 60
0

rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi
qua VTCB vật va chạm mềm với vật m
2
= 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s
2
.
Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là bao nhiêu?
Giải
Phân tích: Khi va chạm hệ chỉ có động năng cực đại nên sau va chạm mềm cơ
năng hệ sẽ giảm đi
Cách 1:
Gọi v
0
vận tốc của m
1
trước khi va chạm với m
2
; v vận tốc của hai vật ngay
sau va chạm
Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có:
m
1
v
0
= (m
1
+ m
2
)v => v =
21

1
mm
m
+
v
0
=
5
4
v
0
(1)
Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:
2
2
01
vm
= m
1
gl(1- cosα
0
) (2)

2
)2(
2
1
vmm
+
= (m

1
+ m
2
)gl(1- cosα) (3)
13
Từ (2) và (3):
0
cos -1
cos -1
α
α
=
2
0
2
v
v
=
25
16

=> 1- cosα) =
25
16
(1- cosα
0
) =
25
16
2

1
=
25
8
= 0,32
cosα = 0,68 => α = 47,156
0
= 47,16
0
.
Cách 2:
Vận tốc m
1
khi qua VTCB là
0
1
2 (1 os60 )v gl c= − =
4m/s
Vận tốc 2 vật sau va chạm mềm
1 1
1 2
m v
v
m m
= =
+
3,2m/s
Biên độ góc: Áp dụng ĐLBTCN ta có :

2

ax ax
1
( 1 2) ( 1 2) (1 os )
2
m m
m m v m m gl c
α α
+ = + − ⇒ =
47,16
0

IV –MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Câu 1: Một lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu gắn vào một điểm cố định, một đầu
gắn với vật khối lượng M. Vật M có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm
ngang. Người ta đặt vật nhỏ m lên trên vật M. Hệ số ma sát nghỉ giữa m và M là μ.
Gia tốc trọng trường là g. Kích thích để hệ dao động với biên độ A. Giá trị lớn nhất
của A để vật m không trượt trên M khi hệ dao động là
A.
Mg
k
µ
B.
g
mk
µ
C.
( )m M g
k
µ
+

D.
mg
k
µ
Câu 2: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật
g100M =
và lò xo có độ cứng
m/N10k
=
đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ
.cm10A
=

Khi M đi qua vị trí có li độ
cm6x
=
người ta thả nhẹ vật
g300m
=
lên M (m dính
chặt ngay vào M). Sau đó hệ m và M dao động với biên độ xấp xỉ
A. 6,3 cm. B. 5,7 cm. C. 7,2 cm. D. 8,1 cm.
Câu 3: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k=100 N/m và vật nặng khối lượng
m=400 g, được treo vào trần của một thang máy. Khi vật đang đứng yên ở vị trí cân
bằng thì thang máy đột ngột chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a=5 m/s
2
và sau thời gian 7 s kể từ khi bắt đầu chuyển động nhanh dần đều thì thang máy
chuyển động thẳng đều. Xác định biên độ dao động của vật khi thang máy chuyển
động thẳng đều?
A.

4 2 cm
B.
8 2 cm
C. 4 cm D. 8 cm
Câu 4: Trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát có một lò xo nhẹ độ cứng k =
50N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ có khối lượng m
1
= 0,5 kg. Ban
đầu giữ vật m
1
tại vị trí mà lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ cho dao động. Ở thời
điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên thì m
1
dính vào vật có khối lượng m
2
=
14
3m
1
đang đứng yên tự do trên cùng mặt phẳng với m
1
, sau đó cả hai cùng dao động
điều hòa với vận tốc cực đại là
A. 1,0 m/s. B. 100 m/s. C. 0,5 m/s. D. 5,0 m/s.
Câu 5. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m, một đầu cố định, một đầu gắn
với vật m
1
có khối lượng 750g. Hệ được đặt trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang.
Ban đầu hệ ở vị trí cân bằng. Một vật m
2

có khối lượng 250g chuyển động với vận
tốc 3 m/s theo phương của trục lò xo đến va chạm mềm với vật m
1
. Sau đó hệ dao
động điều hòa. Biên độ của dao động điều hòa là
A. 6,5 cm B. 12,5 cm C. 7,5 cm D. 15 cm
Câu 6 Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A,
năng lượng W. Khi tốc độ của vật bằng một nửa tốc độ cực đại và lò xo đang giãn
thì giữ điểm chính giữa của lò xo. Lúc này lò xo dao động với biên độ:
A' =
A
4
5
B. A' =
A
4
7
C. A' =
A
16
5
D. A' =
A
16
7
Câu 7 Con lắc lò xo dao động theo phương ngang với biên độ A. Một đầu lò xo
được gắn cố định vào điểm Q, đầu còn lại gắn vào vật m. Bỏ qua ma sát. Khi tốc độ
của vật có giá trị cực đại thì ta giữ cố định lại điểm cách điểm Q một khoảng bằng
5/9 chiều dài tự nhiên của lò xo. Lúc này lò xo dao động với biên độ:
A.

A
3
2
B.
A
5
3
C.
A
2
3
D.
A
3
5
Câu 8 Một con lắc lò xo được đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40 N/m và
vật nặng khối lượng m = 400 g. Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn 8 cm rồi thả
nhẹ cho vật dao động điều hoà, Sau khi thả vật t =
3
7
π
thì giữ đột ngột điểm chính
giữa của lò xo khi đó. Biên độ dao động của vật sau khi giữ lò xo là ?
A. 2
6
cm B.
2 5
cm C.
2 7
cm D.

4 2
cm
Câu 9 Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với biên độ
8cm. Khi vật tới vị trí động năng bằng thế năng thì giữ cố định một vị trí trên lò xo
cách vật một khoảng bằng 3/4 chiều dài của lò xo khi đó. Biên độ dao động của vật
là
A.
42
cm B.
4 3
cm C.
44
cm D.
2 3
cm
Câu 10 Con lắc lò xo có độ cứng k, chiều dài
l
, một đầu gắn cố định, một đầu gắn
vào vật có khối lượng m. Kích thích cho lò xo dao động điều hoà với biên độ
2
l
A
=

trên mặt phẳng ngang không ma sát. Khi lò xo đang dao động và bị dãn cực đại,
tiến hành giữ chặt lò xo tại vị trí cách vật 1 đoạn
l
, khi đó tốc độ dao động cực đại
của vật là:
A.

6
k
l
m
B.
2
k
l
m
C.
3
k
l
m
D.
k
l
m
15
Câu 11 Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng
lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định
một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ
A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’ ?
A.
4
6
B.
2
3
C.

3
62
D.
2
1
Câu 12. Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Đúng
lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó
con lắc dao động với biên độ A’. Tỉ số A’/A bằng:
A.
2/2
B. 1/2 C.
2/3
D. 1
Câu 13 Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang với biên độ A.
Đúng lúc vật đi qua vị trí cân bằng, người ta giữ chặt lò xo tại điểm cách đầu cố
định của nó một đoạn bằng 60% chiều dài tự nhiên của lò xo. Hỏi sau đó con lắc
dao động với biên độ A' bằng bao nhiêu lần biên độ A lúc đầu ?
A.
5
2
B.
5
2
C.
5
3
D.
5
3
Câu 14 Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Đầu B được

giữ cố định vào điểm treo đầu O gắn với vật nặng khối lượng m. Khi vật chuyển
động qua vị trí có động năng gấp 16/9 lần thế năng thì giữ cố định điểm C ở giữa lò
xo với CO = 2CB. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ dao động bằng:
A.
22
5
A
B
20
5
A
C 0,77A D 0,6A
Câu 15: Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lò xo có độ cứng 100 N/m, dao
động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu 6cm. Lấy gia tốc trọng trường g =
10m/s
2
, π
2
= 10. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1. Vật dao
động tắt dần với chu kì không đổi
a. Chiều dài quãng đường s mà vật đi được cho tới lúc dừng lại là
A. 80cm. B. 160cm. C. 60cm. D. 180cm.
b. Tìm thời gian từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại.
A. 6s. B. 3s. C. 9s. D. 12s.
Câu 16: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi k = 60N/m và quả cầu có
khối lượng m = 60g, dao động trong một chất lỏng với biên độ ban đầu A = 12cm.
Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn
không đổi F
c
. Xác định độ lớn của lực cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao

động cho đến khi dừng hẳn là Δt = 120s. Lấy π
2
= 10.
A. 0,3N. B. 0,5N. C. 0,003N. D. 0,005N.
Câu 17: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu
nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang
trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm
16
rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200
dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s
2
. Hệ hệ số ma sát μ là
A. 0,05. B. 0,005 C. 0,01. D. 0,001.
Câu 18 : Một con lắc lò xo có m = 0,5kg; k = 245N/m. Vật dao động trên mặt
phẳng nằm ngang có hệ số ma sát
0, 05
µ
=

1. Từ vị trí cân bằng kéo vật theo phương của trục lò xo một đoạn x
0
= 3cm và
buông nhẹ. Xét trong một chu kì coi dao động gần đúng là điều hòa. Độ giảm biên
độ cực đại của vật là
A. 2,5mm. B. 4,0mm. C. 4,5mm. D. 5,0mm.
2. Số dao động mà vật thực hiện được tói khi dừng lại là
A. 5,5. B. 6,5. C. 7,5. D. 8,5.
3. Tổng công thực hiện được của lực ma sát là bao nhiêu khi vật dừng lại
A. -0,05J. B. -0,11J. C. -0,22J. D. 0,10J
Câu 19: Con lắc đơn dao động điều hoà ở nơi có g = 9,8m/s

2
có biên độ góc ban
đầu là 5
0
, chiều dài 50cm, khối lượng 500g, Trong qua trình dao động luôn chịu tác
dụng của lực cản nên sau 5 chu kì biên độ góc còn lại là 4
0
. Coi con lắc dao động
tắt dần chậm. Tính công suất của một máy duy trì dao động của con lắc với biên độ
ban đầu
A. 4,73.10
-6
W. B. 4,73.10
-6
W. C. 4,73.10
-4
W. D. 4,73.10
-7
W.
Câu 20: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng 0,2kg và lò xo có độ cứng k
= 20N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ
số ma sát giữa vật và giá đỡ là 0,01. Từ vị trí lò xo không biến dạng, truyền cho vật
vận tốc ban đầu 1m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò
xo. Lấy g = 10m/s
2
. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình
dao động.
A. 1,98N. B. 2N. C. 1,68N. D. 1,59N.
Câu 21: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q, dây treo
dài l = 2m. Đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường

nằm ngang thì khi vật đứng cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc
.rad05,0
Lấy g = 10 m/s
2
Nếu đột ngột đổi chiều điện trường (phương vẫn nằm
ngang) thì tốc độ cực đại của vật sau đó là
Câu 22; Quả cầu kim loại của con lắc đơn có khối lượng 0,1 kg tích điện q= 10
-7
C
được treo bằng sợi dây không dãn, mảnh, có chiều dài l tại nơi có gia tốc trọng
trường g = 9,8 m/s
2
và được đặt trong một điện trường đều nằm ngang có độ lớn
2.10
6
V/m. Ban đầu người ta giữ quả cầu để cho sợi dây có phương thẳng đứng
vuông góc với phương của điện trường rồi buông nhẹ với vận tốc ban đầu bằng 0.
Lực căng của sợi dây khi quả cầu đi qua vị trí cân bằng mới của nó là:
A. 1,02N B. 1,04N C. 1,36N D. 1,39N
Câu 23 :Một con lắc đơn: có khối lượng m
1
= 400g, có chiều dài 160cm. ban đầu
người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 60
0
rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật
17
đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m
2
= 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s
2

.
Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là
A. 53,13
0
. B. 47,16
0
. C. 77,36
0
. D.53
0
.
Câu 24: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa trong một thang máy đứng yên tại
nơi có gia tốc trọng trường g=9,8 m/s
2
với năng lượng dao động 100mJ, thì thang máy
bắt đầu chuyển động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc 2,5 m/s
2
. Biết rằng thời
điểm thang máy bắt đầu chuyển động là lúc con lắc có vận tốc bằng 0, con lắc sẽ tiếp
tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng
A. 200mJ. B. 74,49mJ. C. 100mJ. D. 94,47mJ.
Câu 25

Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có
gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 với năng lượng dao động là 150mJ, gốc thế năng
là vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không thì thang
máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5m/s
2
. Con lắc sẽ tiếp tục dao
động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động :

A. 150 mJ. B. 129,5 mJ. C. 111,7 mJ. D. 188,3 mJ
C – KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài tập thí dụ và phương pháp giải các bài tập ấy. Kinh
nghiệm cho thấy việc giải các bài toán cơ học nói chung, nhiều khi phải vận
dụng kiến thức tổng hợp, phân tích các hiện tượng vật lí xảy ra trong bài toán,
từ đó mới áp dụng các định luật vật lí - sử dụng nhiều nhất ở phần này là áp
dụng các định luật bảo toàn, áp dụng vào sự biến thiên của các đại lượng vật lí
và tìm ra mối quan hệ giữa chúng, viết được các phương trình diễn tả các mối
liên hệ ấy.
Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, tôi đã lưu ý với học sinh rằng với bộ
môn vật lí nếu không hiểu được bản chất các hiện tượng vật lí, các quá trình xảy
ra trong bài toán, thì tất cả các điều đó làm cho các bài toán trở nên rất khó.
Nhưng nếu các em biết cách học có hệ thống, tư duy chặt chẽ theo “kiểu vật lí”
18
các em sẽ giải quyết các bài toán vật lí dễ dàng hơn, dẫn đến các em ham mê
môn Vật lí hơn.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy, rất
mong được sự góp ý và trao đổi với các bạn đồng nghiệp. Xin cảm ơn!

Hà Trung, tháng 4 năm 2015
Giáo viên
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng năm 2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
19