Giao an BD HSG toan 6 2010-2011

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Buổi 1:
Chuyên đề 1: Tập hợp, cách ghi số tự nhiên.
I , Mục tiêu:
- HS đợc hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số
kháI niệm về tập hợp
- Hiểu sâu về tập hợp số tự nhiên và cách ghi số tự nhiên
- HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiên
trong hệ thập phân
- HS t duy thành thạo và làm các bài tâp thay số và điền số
II, Nội dung
Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8: x = 2.
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5.
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2.
d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x
Hỡng dẫn:
a, A =
{ }
4
; b, B =
{ }
1;2
c, C =

; d, D = N
Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử.
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Hỡng dẫn:
a, Các tập hợp con của A là:
{ }
a
;
{ } { } { } { } { } { } { } { } { }
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;b c d a b a c a d b c b d c d
;
{ } { } { } { } { }
; ; ; ; ; ; ; ; ; , ; ; ; ; ;a b c a b d a c d b c d a b c d
b,
{ } { } { } { } { } { }
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;a b a c a d b c b d c d
c, có 4 tập hợp con của A có 3 phần tử, có 1 tập hợp con của A có 4 phần tử
d, tập hợp A có 15 tập hợp con
Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các
trờng hợp sau.
a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên
chẵn.
hỡng dẫn:
a, A

B ; b, A

B c, A

B (vì A có phần tử 0)
Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu

A B
;
A B
. Hãy viết các tập
con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}.
Hỡng dẫn:
{ } { } { } { } { } { }
1 ; 2 ; 3 ; 1;2 ; 1;3 2;3
Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp vừa
là tập con của A, vừa là tập con của B.
Hỡng dẫn:

{ } { } { }
3 ; 4 ; 3;4
Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu
,A B B C
thì
A
C


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
3
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Hỡng dẫn:
Lấy x

A => x

B (vì mọi phần tử của A dều thuộc B) => x

C (vì mọi phần
tử của B đều thuộc C
=>
A
C
Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết.
a,
x B
thì
x A
b,
x A
thì
x B
,
x B
thì
x A
.
Hỡng dẫn:
a,
B A
b, A = B
Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu
tiên.
a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b,CMR
H K
c, Tập hợp M với

,H M M K
.
- Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên?
Hỡng dẫn
a,
{ }
0;2;4

b, Vì H =
{ }
1;3;5
và K =
{ }
0;1;2;3;4;5
=>
H K
c, M có ít nhất là 3 phần tử , Nhiều nhất là 6 phần tử
có 3 tập hợp M thỏa mãn điều kiện trên (yêu cầu HS viết cụ thể)
Bài toán 9. Cho
{ } { }
18;12;81 , 5;9a b
. Hãy xác định tập hợp M = {a - b}.
Hỡng dẫn:
M =
{ }
13;9;7;3;76;72
Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu
,
vào ô trống.

a, 14 A ; b,{14} A; c, {14;30} A.
Hỡng dẫn:
a,

b,

c,

Bài 11: Thay các chữ bởi các số thích hợp
a, abc + acb = cba
b, abcd . 9 = a0bcd
c, (ab . c + d) . d = 1977
========================================================
Buổi 2-3
Chuyên đề 2 : Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
I, Mục tiêu:
- Hệ thống và khác sâu các kiến thức về các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
- HS tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán
- hình thành và phát triển kỹ năng suy luận, lập luận
II. Nội dung
Bài toán 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số:
a, Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục.
b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4.
c, Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục.
HD HS tự làm:
a, A =
{ }
24;36;48;12
b , B =
{ }

40;51;62;73;84;95


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
4
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

c , C =
{ }
12;13 ;19;23;24; 29;34 39;45 ;89
Tập hợp này có tất cả : 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (phần tử)
Bài toán 2. Cho một số có 3 chữ số là
abc
(a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi
chỗ các chữ số cho nhau ta đợc một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ
số nh vậy? (kể cả số ban đầu).
HD HS:
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( Hoặc a , hoặc b, hoặc c) . Sau khi chọn chữ
số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số
hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vởy có tất
cả 3.2.1 = 6 số
abc
,
acb
,
bac
,
bca
,
cab

,
cba
Bài toán 3. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a,b,c khác nhau và khác 0).Với cùng cả 4
số này có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số?
Giải :
Chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, ba
cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chụcvà 1 cách chọn chứ
số hàng đơn vị. Vậy có tất cả 3.3.2.1 = 18 (Số)
Bài toán 4. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập đợc
bao nhiêu số có 5 chữ số?
HD HS:
- Trờng hợp không có chữ số 0 thì có : 5.4.3.2.1 = 120 ( số)
- Trờng hợp có chữ số 0 thì có : 4.4.3.2.1 = 96 (số)
Bài toán 5. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang.Hai trang đầu
không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của
quyển sách này?
Giải :
Từ trang 3 đén trang 9 có : 9-3+1 = 7 trang có 1 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có : 99-10+1 = 90 trang có 2 chữ số
Từ trang 10 đến trang 132 có : 132-100+1 = 33 trang có 3 chữ số
Số chữ số cần dùng là : 7.1 + 90.2 +33.3 = 286 ( Chữ số)
Bài toán 6. Tìm hai số biết tổng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và
số này là số kia viết theo thứ tự ngợc lại.
Giải :
Gọi số thứ nhất là
ab
, thì số thứ hai là
ba
, Theo đề bài ta có :
ab

ba
176
Từ cột hàng chuch ta thấy a+b > 10, vậy từ cột hàng chục suy ra a + b = 16. Vì
a# b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9
Hai số cần tìm là 97 và 79
Bài toán 7 . Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0.
a) Chứng tỏ rằng có thể lập đợc 4! số có 4 chữ số khác nhau.
b) Có thể lập đợc bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó.
HD HS:
a, Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn( Hoặc a , hoặc b, hoặc c, hoặc d). Sau khi
chọn chữ số hàng nghìn còn 3 cách chọn chữ số hàng trăm . Sau khi chọn chữ
số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số
hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất
cả 4.3.2.1 = 4! (số )


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
5
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

b , Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có
tất cả : 4.3 = 12 (số)
Bài toán 8. Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 + + n b) 2 + 4 + 6 + 8 + + 2.n
c) 1+ 3 + 5 + 7 + + (2.n + 1) d) 1 + 4 + 7 + 10 + + 2005
e) 2 + 5 + 8 + + 2006 f) 1+ 5 + 9 + . . + 2001
HD HS:
Tính tổng theo cách tính của Gau-Xơ .Dãy số cách đều
a) 1 + 2 + 3 + 4 + + n
S = (1 + n ).n : 2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + + 2.n
S = ( 2 + 2n).n : 2 = (1+n).n
c) 1+ 3 + 5 + 7 + + (2.n + 1)
S = (1 + 2n+1 ).(n+1) : 2 = (n+1).(n+1)
d) 1 + 4 + 7 + 10 + + 2005
S = [(1+2005).669] : 2 = 1003.669 = 671 007
Bài toán 9 Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 8192
Bài toán 10 a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 11.
a) Tổng 1+ 2 + 3 + 4 + + n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 2004
HD HS:
a .Ta có S = (u
1
+ u
n
).n : 2 Hay 190 = (u
1
+ u
n
).n :2 từ đó tìm đợc n =u
n
= 19
b. Không có số n nào để 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 2004
Bài toán 12. Tính giá trị của biểu thức.
a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3) (100 - n) với n

N
*

và tích trên có đúng
100 thừa số.
b) B = 13a + 19b + 4a - 2b vớ a + b = 100.
HD HS:
a, A = 0 vì tích trên có 100 thừa số , thừa số thứ 100 là 100 100 = 0
b, B = 13a + 19b + 4a - 2b = 17a + 17b = 17(a+b) = 17.100 = 1700
Bài toán 13.Tìm các chữ số a, b, c, d biết
. .a bcd abc abcabc=
Bài toán 14. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết đợc thành một tích của hai thừa
số bằng nhau: 11111111 - 2222.
HD HS:
Ta có : 11111111 - 2222. = 1111.( 10001 2) = 1111.9999
= 1111.3.3333 = 3333.3333 (đccm)
Bài toán 15. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số d, a

b.
Chứng tỏ rằng a - b : m
HD HS:
Gọi số d là r, Ta có: a = mk
1
+ r b = mk
2
+ r
Vậy a b = (mk
1
+ r) (mk
2
+ r) = mk
1
+ r - mk

2
r = mk
1
mk
2
= m ( k
1
k
2
)
M
m
Bài toán 16. Chia 129 cho một số ta đợc số d là 10. Chia 61 cho số đó ta đợc số
d là 10. Tim số chia.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
6
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

HD HS:
Gọi số chia là b theo đầu bài ta có :
129 = b.k
1
+10 => bk
1
=119 = 119.1 = 17.7
Và 61 = bk
2
+ 10 => bk

2
= 51 = 51.1 = 17.3
Vì b >10 và k
1


k
2
nên ta chọn đợc b = 17
Bài toán 17. Cho S = 7 + 10 + 13 + + 97 + 100
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
b) Tim số hạng thứ 22
c) Tính S.
HD HS:
a) Số hạng của tổng là : (100 7) : 3 +1 = 32 (Số hạng)
b) Gọi số hạng thứ 22 là x, ta có : (x-7) : 3 +1 = 22
x 7 =21.3 =63
x = 70
c) S = ( 100+ 7 ) . 32 : 2 = 1712 ( Cách tính tổng của Gau- Xơ)
Chú ý cho HS cách tính tổng của dãy số cách đều :
Số số hạng của dãy kí hiệu là n
Các số hạng của dãy lần lợt ký hiệu : u
1
, u
2
, u
3
, .u
n
Khoảng cách giữa 2 số hạng là d

Tổng của n số hạng đầu tiên là S
n
Ta có :
n =( u
n
u
1
) :d +1
u
n
= u
1
+ (n-1).d
S
n
= ( u
1
+ u
n
).n : 2
Bai toán 18. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đợc thành một tích của
hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ; b) 444222
HD HS:
a) 111222 = 111000 + 222 =111.(1000+2) = 111.1002 = 111.3.334
= 333.334
b) 444222 = 444000 + 222 = 222.(2000 + 1) = 222.2001 = 222.3.667
= 666.667
Bài toán 19 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thơng bằng 6, số d bằng 3,
tổng của số bị chia,số chia và d bằng 195.

HD HS:
Gọi số bị chia là a số chia là b (a,b

N ; a,b

0 , b >3) . Ta có
a = b.6 + 3 (1)
a + b + 3 = 195 (2)
Từ (1) và (2) => b = 27 và a = 165
Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thơng bằng 6, số d bằng 49,
tổng của số bị chia,số chia và d bằng 595.
Tơng tự bài 19 HS tự giải
Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý.
a)
44.66 34.41
3 7 11 79
A
+
=
+ + + +
b)
1 2 3 200
6 8 10 34
B
+ + + +
=
+ + + +

Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
7
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

c)
1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
C
+ + +
=
+ + +
Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân.
a)
{
{
2005 . 2005 .
33 3.99 9
c s c s
A =
b)
{ {
2005 . 2005 .
33 3.33 3
c s c s
B
=
Bài toán 23.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2009 1005 : (999 - x) với x
N

Giải :
Biểu thức A có giá trị NN

1005 : (999 - x)có giá trị lớn nhất


(999 - x)có giá trị lớn nhất
(999 - x)có giá trị lớn nhất

999 x =1 ( Vì số chia khác 0)


x = 998 . Khi đó A = 2009 1005 : 1 = 1004
Bài toán 24.
Trong mọt phép chia có số bị chia là 155; số d là 12. Tìm số chia và thơng
Giải :
Gọi số bị chia, số chia, thơng và số d lần lợt là : a, b, q, r
Ta có : a = b.q + r ( b

0; r < b )
b.q= a r = 155 12 = 143 = 143.1 = 13.11
Vì b> 12 nên ta chọn b = 143 ; q = 1 hoặc b = 13 ; q = 11
Bài toán 25.:
Để đánh số trang một quyển sách phảI dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách
đó có bao nhiêu trang?
Giải :
99 trang đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số)
999 trang đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số
Vì 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phảI có 3 chữ số
số chữ số dùng để đánh số trang có 3 chữ số là :

600 189 = 411 (chữ số)
Số trang có 3 chữ số là : 411 : 3 = 137 (trang)
Số trang của quyển sách là : 99 + 137 = 236 ( Trang)
Bài toán 26.
Ngời ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5, Hỏi chữ số
thứ 659 là chữ số nào ?
Giải :
99 số đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số)
999 số đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số
Vì 189 < 659 < 2889 nên ta viết đến số có 3 chữ số
số chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số là :
659 189 = 470
Số có 3 chữ số là : 470 : 3 = 156 (d 2)
Do đó ta đã viết đợc 156 số có 3 chữ số , ngoài ra còn viết đợc đếnỡch số thứ
hai của số tiếp theo. Ta có 99 + 156 = 255 , Số liền sau 255 là số 256, chữ số thứ
hai của số này là số5.
Vậy chữ số thứ 659 là chữ số 5 của số 256
=========================================== == =


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
8
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

buổi 4-5-6
Chuyên đề 3 : luỹ thừa với số mũ trên tự
nhiên
I, Mục tiêu:
- Hệ thống và khác sâu các kiến thức,các phép toán về luỹ thừa, cách tìm chữ số
tận cùng của một tích, một luỹ thừa, bớc đầu làm quen với số chính phơng

- Học sinh biết đợc các dạng toán về so sánh luỹ thừa
- Tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán
- Rèn kỹ năng suy luận, lập luận
II. Nội dung
A. Kiến thức cơ bản: +
n
a =
a.a a ( n thừa số a, n

o )
+ Quy ớc: a
1
= a, a
0
= 1.
+ a
m
. a
n
= a
m+n
(m, n

N
*
); a
m
: a
n
= a

m-n
(m, n

N
*
, m

n, a

0);
- Nâng cao: + Luỹ thừa của một tích: (a.b)
n
= a
n
.b
n

+ Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
m
)
n
= a
m.n
+ Luỹ thừa tầng:
n
m
a
=
( )
n

m
a
( trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống dới ).
+ Số chính phơng là bình phơng của một số tự nhiên.
- So sánh hai luỹ thừa: + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ
thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m > n Thì a
m
> a
n
(a > 1)
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ lớn hơn 0 thì luỹ thừa nào có cơ số lơn hơn sẽ
lớn hơn.
Nếu a > b Thì a
m
> b
m
(m > o)
B. Bài tâp.
Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc thơng sau dới dạng luỹ thừa của một số.
a) 2
5
. 8
4
; b) 25
6
.125
3
; c) 625

5
:25
7
Giải :
a) 2
5
. 8
4
= 2
5
.(
3
2
)
4
= 2
5
.2
12
= 2
17

b) 25
6
.125
3
= (5
2
)
6

.(5
3
)
3
= 5
12
.5
9
= 5
21

c) 625
5
:25
7
= (5
4
)
5
:(5
2
)
7
= 5
20
: 5
14
= 5
6

Bài toán 2: Viết mỗi tích , thơng sau dới dạng một luỹ thừa:
a) 4
10
.2
30
; b)
25 4 3
9 .27 .81
; c)
50 5
25 .125
; d)
3 8 4
64 .4 .16
;
e)
8 6
3 :3
;
10 3
2 :8
;
7 7
12 : 6
;
5 3
21 :81
f)
8 2
5 : 25

;
9 2
4 :64
;
25 4
2 :32
;
3 4
125 : 25
Hớng dẫn HS giảI nh bài 1
Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức.
a)
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A
+
=
;
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
B
+
=
c)
3 2
4

72 .54
108
C =
; d)
22 7 15
14 2
11.3 .3 9
(2.3 )
D

=
Giải :
a)
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A
+
=

10
9
3 (11 5)
3 .16
+
=
= 3

Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
9
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

b)
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
B
+
=
10
10
2 .(13 65)
2 .26
+
=
=
78
26
= 3
c)
3 2
4
72 .54
108
C =

3 2 3 3 2

2 3 4
(2 .3 ) .(2.3 )
(2 .3 )
=
=
9 6 2. 6
8 12
2 .3 .2 3
2 .3
=
= 8
d)
22 7 15
14 2
11.3 .3 9
(2.3 )
D

=

29 30
2 28
11.3 3
2 .3

=

29
2 28
3 .(11 3)

2 .3

=
=
3.8
4
= 6
Bài toán 4: Viết các số sau dới dạng tổng các luỹ thừa của 10.
213; 421; 2009;
abc
;
abcde
Giải :
Hớng dẫn
213 = 200 + 10 + 3 = 2.10
2
+ 10 + 3.10
0
= 10
2
+10
2
+10 + 10
0
+ 10
0
+ 10
0
421; 2009; tơng tự
abc

= a.10
2
+b. 10 +c.10
0
Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 27
11
và 81
8
b) 625
5
và 125
7
c) 5
23
và 6. 5
22
d) 7. 2
13
và 2
16
Giải :
a) Ta có : 27
11
= 3
33
; 81
8
= 3
32

Vì 3
33
> 3
32
Nên 27
11
> 81
8

b) 625
5
= 5
20
125
7
= 5
21
Vì 5
20
< 5
21
Nên 625
5
< 125
7

c) 5
23
và 6. 5
22

5
23
= 5.5
22
< 6.5
22
Nên 5
23
< 6. 5
22
d) 7. 2
13
và 2
16
2
16
= 8.2
13
> 7. 2
13
Nên 2
16
> 7. 2
13
Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a
3
.a
9

b) (a
5
)
7
c) (a
6
)
4
.a
12
d) 5
6
:5
3
+ 3
3
.3
2
e) 4.5
2
- 2.3
2
Học sinh tự làm
Bài toán 7. Tìm n

N
*
biết.
a)
2 5

3 .3 3 ;
n
=
b)
2
(2 : 4).2 4;
n
=
c)
4 7
1
.3 .3 3 ;
9
n
=
d)
1
.27 3
9
n n
=
;
g)
32 2 128;
n
< <
h)
2.16 2 4.
n
>

Giải :
a)
2 5
3 .3 3
n
=
; 3
n
= 3
3
n = 3
b)
2
(2 : 4).2 4;
n
=
n = 2
c)
4 7
1
.3 .3 3 ;
9
n
=
3
n
= 3
6
n = 6
d)

1
.27 3
9
n n
=
; (9.3)
n
= 9.3
n
9
n
= 9 n=1
g)
32 2 128;
n
< <
2
5
<2
n
< 2
7
n = 6
h)
2.16 2 4.
n
>

5 2
2 2 2

n
>
n = {3; 4; 5 }
Bài toán 8 Tìm x

N biết.
a) ( x - 1 )
3
= 125 ; b) 2
x+2
- 2
x
= 96;
c) (2x +1)
3
= 343 ; d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 2
3
.5.
e) 16
x
< 128
4



Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
10
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Học sinh tự làm

Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100
B = 1 + 3 + 3
2
+3
3
+ + 3
2009
C = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
1998
D = 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
n
Giải :
A = 2 + 2
2

+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100
(1)
Nhân cả 2 vế của A với 2 ta đợc
2A = 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100
+2
101
(2)
Lấy (2) (1) ta đợc A = 2
101
- 2
b) B = 1 + 3 + 3
2
+3
3
+ + 3
2009
(1)
Nhân cả 2 vế của B với 3 ta đợc :

3B = 3 + 3
2
+3
3
+ + 3
2009
+ 3
2010
(2)
Lấy (2) (1) ta đợc B =
2010
3 1
2

Tơng tự HS làm 2 phần còn lại
C = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
1998
D = 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
n
Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2

3
+ 2
4
+ +2
200
. Hãy viết A + 1 dới dạng
một luỹ thừa.
Giải :
A =1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
200
(1)
Nhân cả 2 vế của A với 2 ta đợc
2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100
+2
201
(2)
Lấy (2) (1) ta đợc A = 2

201
- 1
Vậy A + 1 = 2
201
Bài toán 11. Cho B = 3 +3
2
+3
3
+ + 3
2005
. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3.
Giải :
B = 3 +3
2
+3
3
+ + 3
2005
(1)
Nhân cả 2 vế của B với 3 ta đợc :
3B = 3
2
+3
3
+ + 3
2009
+ 3
2006
(2)
Lấy (2) (1) ta đợc 2B = 3

2006
- 3 => 2B +3 = 3
2006
Bài toán 9. Chứng minh rằng:
a) 5
5
-5
4
+5
3

M
7 b)
6 5 4
7 7 7 11+ M
c)
9 8 7
10 10 10 222+ + M
d)
6 7
10 5 59 M
e)
2 2 *
3 2 3 2 10
n n n n
n N
+ +
+ M
f)
7 9 13

81 27 9 45 M
Giải :
a) 5
5
-5
4
+5
3
=5
3
(25 5 + 1) = 5
3
.21
M
7
b)
6 5 4
7 7 7+
= 7
4
( 49 +7 1) = 7
4
.55 = 7
4
.11.5
M
11
c)
9 8 7
10 10 10+ +

= 10
7
.(100 +10 +1) = 10
7
.111
M
111 Và 10
7
.111
M
2
=> 10
7
.111
M
222 Hay
9 8 7
10 10 10+ +
M
222
d)
6 7
10 5
=( 2.5)
6
5
7
= 5
6
.( 64 5) = 5

65
.59
M
59
f)
7 9 13
81 27 9
=( 3
4
)
7
(3
3
)
9
(3
2
)
13
= 3
28
3
27
3
26
= 3
26
.(9 3 1) =
3
24

.9.5
= 3
24
.45
M
45


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
11
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+2
2
; 2+2
2
+2
3
; 2+2
2
+2
3
+2
4
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4

+ +2
2004
chia hết cho 3;7 và 15
Giải :
a) 2+2
2
= 6 = 3.2
2+2
2
+2
3
= 14 =2.7
2+2
2
+2
3
+2
4
= 30 = 2.15
b,
+) A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
2004
= (2 +2
2

) + 2
2
(2 +2
2
) +2
4
(2 +2
2
) + 2
6
(2 +2
2
) + +2
2002
(2 +2
2
)
=6.(1 + 2
2
+ 2
4
+2
6
+ .+2
2004
) = 2.3.(1 + 2
2
+ 2
4
+2

6
+ .+2
2004
)
M
3
+) A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
2004
= (2 + 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+

2
5
+2
6
) + .+ (2
2002
+ 2
2003

+ 2
2004
)
= (2 + 2
2
+ 2
3
).(1 + 2
3
+ 2
6
+2
9
+.+ 2
2001
)
= 14. (1 + 2
3
+ 2
6
+2
9
+.+ 2
2001
) = 2.7.(1 + 2
3
+ 2
6
+2
9

+.+ 2
2001
)
M
7
+) A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
2004
= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
) + (

2
5
+2
6
+2
7
+ 2
8
) + .+ (2

2001
+ 2
2002
+ 2
2003
+ 2
2004
)
= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
).(1 + 2
4
+ 2
8
+2
12
+.+ 2
2000
)
= 30. (1 + 2
4
+ 2
8
+2
12
+.+ 2

2000
) = 2.15.(1 + 2
4
+ 2
8
+2
12
+.+ 2
2000
)
M
15
Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành một tích 3
4
+3
5
+3
6
+ 3
7
b) Chứng minh rằng:
+ A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100

M
31
+ B = 1 + 3 +3
2
+3
3
+ + 3
99
M

40
+ C = 16
5
+ 2
15

M
33
+ D = 53! - 51!
M
29
Giải :
a)
3
4
+3
5
+3
6
+ 3

7
= 3
4
.( 1 +3 +3
2
+3
3
) = 3
4
.40
b, + A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100

= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
+2
5
) + (2
6
+2

7
+ 2
8
+ 2
9
+2
10
) + .+(2
96
+2
97
+2
98
+2
99
+2
100
)
= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
+2
5
).(1+ 2
5
+2
10

+. +2
95
)
= 62. (1+ 2
5
+2
10
+. +2
95
) =2.31.(1+ 2
5
+2
10
+. +2
95
)
M
31
+ B = 1 + 3 +3
2
+3
3
+ + 3
99

= (1 + 3 +3
2
+3
3
) +(3

4
+ 3
5
+ 3
6
+3
7
) + + (3
96
+3
97
+3
98
+ 3
99
)
= 40 + 40.3
4
+ 40.3
8
+.+40.3
96
= 40.( 1 + 3
4
+ 3
8
+ 3
12
+. +3
96

)
M
40
+ C = 16
5
+ 2
15
=( 2
4
)
5
+ 2
15
= 2
15
.( 2
5
+1)
= 2
15
.33
M
33
+ D = 53! - 51!
M
29
= 51!(52.53 1) = 51!(2756 1) = 51! . 2755
= 51!.29.95
M
29

Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a) (2
17
+17
2
).(9
15
- 15
9
)(4
2
- 2
4
) b) (7
1997
- 7
1995
):(7
1994
.7)
c)
2 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + +
d)
8 3 5 3
(2 8 ) :(2 .2 )+
Các bài toán về chữ số tận cùng:
* Tóm tắt lý thuyết:
- Tìm chữ số tận cùng của một tích: +Tích của các số lẽ là một số lẽ
+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số

chẵn.
- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
12
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0)
vẫn giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó.
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n

0)
đều có tận cùng bằng 6.
2
4n
= 6 ; 4
4n
= 6 ; 8
4n
= 6
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n (n

0)
đều có tận cùng bằng 1.
3
4n
= 1 ; 7
4n
= 1 ; 9

4n
= 1
- Một số chính phơng thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8.
* Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
2003 99 99 99 99 99 573 32 33
2 ;4 ;9 ;3 ;7 ;8 ;789 ;87 ;58
Giải :
+ 2
2003
= (2
4
)
500
.2
2
= (16)
500
.4 = (.6).4 = .4
+ 4
99
= (4
2
)
49
.4 = 16
49
.4 = (6).4 =4
+ 9
99

= (9
2
)
49
.9 = 81
49
.9 = ( .1).9 = 9
+ 3
99
= (3
4
)
24
.3
3
= (81)
24
.27 = (1).27 = .7
+ 7
99
= (7
4
)
24
.7
3
= (.1)
24
.343 = (.1).343 = 3
+ 8

99
= (8
4
)
24
.8
3
= 4096
24
.512 = (.6).512 = .2
+ 789
573
Ta tìm chữ số tận cùng của số 9
573
= (9
4
)
143
.9 =6561
143
.9 = (.1).9 =9
+ 87
32
= (87
4
)
8
= (.1)
8
= .1

+ 58
32
= (58
4
)
8
= (.6)
8
=.6
Bài toán 2: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10.
481
n
+ 1999
1999
; 16
2001
- 8
2000
; 19
2005
+ 11
2004
; 17
5
+ 24
4
- 13
21
Giải :
+ Ta có :

481
n
có chữ số tận cùng là 1
1999
1999
= (1999
2
)
999
.9 = (.1)
999
.9 = (1).9 = 9 có chữ số tận cùng là 9.
Vậy 481
n
+ 1999
1999
có : chữ số tận cùng là 0
nên 481
n
+ 1999
1999
chia hết cho 10
+ Ta có :
16
2001
= 6 có chữ số tận cùng là 6
8
2000
= (8
4

)
500
= 4096
500
= 6 có chữ số tận cùng là 6
= > 16
2001
- 8
2000
Có chữ số tận cùng là 0
Nên 16
2001
- 8
2000
chia hết cho 10
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
96

Giải :
Tổng trên có 97 số hạng, mỗi số hạng đều có chữ số tận cùng bằng 5 .
Vậy tổng có chữ số tận cùng là 5 (.5.97 = .5 )
Bài toán 4: Chứng minh rằng A =
2006 94
2004 92
1
.(7 3 )

10

là một số tự nhiên.
Bài toán 5: Cho S = 1 + 3 +3
2
+3
3
+ + 3
30
. Tìm chữ số tận cùng của S.
CMR: S không là số chính phơng.
Giải :
S = 1 + 3 +3
2
+3
3
+ + 3
30

= (1 + 3 + 9 + 27 ) + (1 + 3 + 9 + 7 ) + +(1 + 3 + 9 + 7 ) +(1
+ 3 + 9 )
= 0 +0 + 0 + +0 + 3
= .0.8 + 3 = 0 + 3 = 3


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
13
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Vậy chữ số tận cùng của S là 3

Vì số chính phơng không có chữ số tận cùng là 3 nên S không phảI là số chính
phơng
Bài toán 6: Cho

A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100

a) Chứng minh A
M
3
b) Chứng minh A
M
15 ;
c) Tìm chữ số tận cùng của A.
Giải :
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
100
= (2+2

2
) + (2
3
+ 2
4
) + + (2
99
+2
100
)
= 3.(2 +2
3
+2
5
+.+2
99
)
M
3.
Vậy A
M
3
= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
) + (2
5

+ 2
6
+2
7
+ 2
8
) + .+(2
97
+2
98
+2
99
+2
100
)
= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
).(1+ 2
4
+2
8
+. +2
96
) = 30.(1+ 2
4
+2

8
+. +2
96
)
= 15.2.(1+ 2
4
+2
8
+. +2
96
)
M
15
Vậy A
M
15
Bài toán 7. Chú ý: +
*
01 01( )
n
x y n N=
+
*
25 25( )
n
x y n N=

+ Các số 3
20
; 81

5
; 7
4
; 51
2
; 99
2
có tận cùng bằng 01.
+ Các số 2
20
; 6
5
; 18
4
;24
2
; 68
4
;74
2
có tận cùng bằng 76.
+ 26
n
(n >1) có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.
2
100
; 7
1991
; 51

51
;
99
99
99
; 6
666
; 14
101
.16
101
.
Giải :
2
100
=(2
10
)
10
= 1024
10
= (1024
2
)
5
=(76)
5
=76
7
1991

= 7
1988
.7
3
= (7
4
)
497
.343 = (01)
497
.343 = (01).343 = 43
51
51
=(51
2
)
25
.51 = (01)
25
.51= (01).51 = 51
99
99
99
= 99
2k + 1
=(99
2
)
k
.99 = (01)

k
.99 = (01).99 = 99
6
666
= ( 6
5
)
133
.6 = (76)
133
.6 =(76).6 = 56
14
101
.16
101
= (14.16)
101
= 224
101
(224
2
)
50
.224 = (76)
50
.224 = (76).224 = 24
Bài toán 8. Tìm chữ số tận cùng của hiệu 7
1998
- 4
1998

Giải :
Ta có :
7
1998
= (7
4
)
499
.7
2
= 2401
499
.49 = 1.49 = .9 (7
1998
có chữ số rận cùng là 9)
4
1998
= (4
2
)
999
= 16
999
= 6 (4
1998
có chữ số rận cùng là 6 )
Vậy hiệu 7
1998
- 4
1998

có chữ số tận cùng là 3
Bài toán 9 . Các tổng sau có là số chính phơng không?
a) 10
8
+ 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10
100
+ 10
50
+ 1.
HDHS tìm chữ số tận cùng của tổng rồi kết luận
Bài toán 10 . Chứng minh rằng
a) 2002
2004
- 1002
1000

M
10 b) 1999
2001
+ 201
2005

M
10;
HDHS tìm chữ số tận cùng của tổng rồi kết luận
Bài toán 11. Chứng minh rằng: a) 0,3 . ( 2003
2003
- 1997
1997
) là một số từ nhiên

Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
14
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

b)
2006 1998
2004 1994
1
(1997 1993 )
10

===========================================================
Ngày giảng :
Buổi 7 8:Chuyên đề 3:
chia hết trong tập số tự nhiên
I, Mục tiêu:
- Học sinh ôn luyện các kiến thức về dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự
nhiên. Vận dụng dấu hiệu chia hết để giải một số bài toán nâng cao
- Học sinh biết đợc các phơng pháp chứng minh về chia hết
- Có kỹ năngTính toán thành thạo.
- Rèn luyện kỹ năng suy luận, lập luận
I. Kiến thức bổ sung:
+)TíNH CHấT CHIA HếT CủA MộT TổNG.
Tính chất 1: a

m , b

m , c

m (a + b + c)

m
Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a

m , b

m , (a - b)

m
Tính chất 2: a

m , b

m , c
M
m (a + b + c)
M
m
Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu. a

m , b
M
m , (a - b)
M

mCác tính chất 1& 2 cũng đúng với một tổng(hiệu) nhiều số hạng.
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 2, CHO 5.
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia

hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết
cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
S chia ht cho 2 v 5 cú ch s tn cựng bng 0
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 3, CHO 9.
Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết
cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
Chú ý: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9.
2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu
1. a
M
m ; b
M
m

k
1
a + k
2
b
M
m


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
15
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

2. a

M
m ; b
M
m ; a + b + c
M
m

c
M
m
II. Bài tập:
* Các phơng pháp chứng minh chia hết.
PP 1: Để chứng minh A
M
b (b
0
). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k

N
PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng.
Nếu a

b
M
m và a
M
m thì b
M
m.
PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b

khác 0) ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b.
PP 4. Để chứng minh A
M
b. Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n. Khi đó.
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A
M
m và A
M
n suy ra A
M
m.n hay A
M
b.
+ Nếu (m,n)

1 ta biểu diễn A = a
1
.a
2
rồi tìm cách chứng minh a
1

M
m; a
2

M
n thì
tích a
1

.a
2

M
m.n suy ra A
M
b.
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết.
PP 6. Để chứng minh A
M
b ta biểu diễn
1 2

n
A A A A= + +
và chứng minh các
( 1, )
i
A i n b= M
Bi tp 1: Dựng 4 ch s 0;1;2;5 cú to thnh bao nhiờu s cú 4 ch s, mi
ch s ó cho ch dựng 1 ln sao cho:
a, cỏc s ú chia ht cho 2.
b,Cỏc s ú chia ht cho 5
c.cỏc s chia ht cho 3
Gii:
a. cỏc s cú chữ s 0 tn cựng gm cỏc s: 1520;
1250;2150;1250;5120;5210
b. cỏc s cú ch s 2 tn cựng gm cỏc s:5102; 5012; 1502; 1052
c. cỏc s chia ht cho 3 gm cỏc s cú tng cỏc ch s chia ht cho 3 khụng
cú s no.

Bi tp 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x

N.
Tìm điều kiện của x để A

3, A
M
3. Giải:
- Trờng hợp A

3
Vì 12

3,15

3,21

3 nên để A

3 thì x

3.
- Trờng hợp A
M
3.
Vì 12

3, 15

3, 21

3 nên để A
M
3 thì x
M
s
3.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
16
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Bi tp 3:Khi chia STN a cho 24 đợc số d là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2
không, có chia hết cho 4 không? Giải:
Số a có thể đợc biểu diễn là: a = 24.k + 10.
Ta có: 24.k

2 , 10

2 a

2.
24. k

4 , 10
M
4 a
M
4.

Bi tp 4: Chứng tỏ rằng:
a/ Tổng ba STN liên tiếp là một số chia hết cho 3.
b/ Tổng bốn STN liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Giải:
a/ Tổng ba STN liên tiếp là:
a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hết cho 3
b/ Tổng bốn STN liên tiếp là:
a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6
không chia hết cho 4.
Bài tập 5
Chứng minh rằng với mọi n

N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhng không chia
hết cho 30. Giải:
Ta có : 60n +45 = 15.( 40n +3 )
M
15
60n
M
30
45
M
30
=> 60n +45
M
30
Bài toán 6: Chứng minh rằng: a)
11ab ba+ M
b)
9ab ba M

với a>b.
Hỡng dẫn:
Viết các số ab và ba thành tổng các lũy thừa của 10 sau đó da về dạng 11.Q và
9.Q
ab ba+
= 10a + b + 10b +a = 11.( a+b)
M
11
ab ba
= 10a + b 10b a = 9.(a- b)
M
9
Bài toán 7 : Chứng minh rằng:
a) A =1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
39
là bội của 15
b, T = 125
7
-25
9
là bội của 124
c) M =
2 3 4 2000
7 7 7 7 7 8+ + + + + M

d) P =
2 3 2
1
n
a a a a a+ + + + +M
với a,n

N
gợi ý :
a, nhóm 4 hạng tử liên tiếp với nhau có tổng các hạng tử có thừa số 15
b, đa về cùng cơ số 5 vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
17
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

c, d tơng tự cách làm câu a
Bài toán 8: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
+ Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6.
+ Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5
số lẽ liên tiếp thì chia 10 d 5
Bài toán 9: Cho a,b

N và a - b
M
7 . CMR 4a +3b
M
7.

Gợi ý:
a b
M
7 4 (a b)
M
7 4a 4b
M
7 4a + 3b -7b
M
7 => 4a + 3b
M
7 (vì
7b
M
7)
Bài toán 10: Tìm n

N để.
a) n + 6
M
n ; 4n + 5
M
n ; 38 - 3n
M
n
b) n + 5
M
n + 1 ; 3n + 4
M
n - 1 ; 2n + 1

M
16 - 3n
gợi ý:
vận dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu
+) n + 6
M
n => 6
M
n => n

Ư
(6)
= {1; 2 ; 3; 6; -1; -2; -3; -6}
+) 4n + 5
M
n => 5
M
n => n

Ư(5) = {1; 5 ; -1; -5}
+) n + 5
M
n + 1 => n + 1 + 4
M
n+1 => ( n+ 1)

Ư(4) = { 1; 2; 4; -1; -2; -4}
n +1 = 1 => n = 0
n + 1 = 2 => n = 1
n +1 = 4 => n = 3

n + 1 = -1 => n = -2
n + 1 = -2 => n = -3
n + 1 = -4 => n = -5
+) 3n + 4
M
n - 1 => 3(n-1) + 7
M
n 1 => n-1

Ư(7) = {1; 7; -1; -7}
HS làm tiếp
+) 2n + 1
M
16 - 3n => (-6n 3)
M
16 -3n => 2(16-3n) 35
M
16 - 3n
16 - 3n

Ư(35) = {1; 5; 7; 35; -1; -5; -7; -35}
HS làm tiếp
Bài toán 11. Chứng minh rằng: (5n)
100

M
125
Gợi ý:
(5n)
100

= 5
100
. n
100
= 5
3
.5
97
.n
100

M
125
Bài toán 12. Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
2004
.
CMR A chia hết cho 7;15;3
Gợi ý:
Nhóm Tơng tự bài tập 7
Bài toán 13. Cho S = 3 +3
2
+3
3
+ + 3
1998
. CMR

a) S
M
12 ; b) S
M
39
Bài toán 14. Cho B = 3 +3
2
+3
3
+ + 3
1000
; CMR B
M
120
Bài toán 15. Chứng minh rằng:
a) 36
36
- 9
10
M
45 ; b) 8
10
- 8
9
- 8
8

M
55 ; c) 5
5

- 5
4
+ 5
3

M
7
d)
6 5 4
7 7 7 11+ M
e)
9 8 7
10 10 10 222+ + M
g)
6 7
10 5 59 M
h)
2 2 *
3 2 3 2 10
n n n n
n N
+ +
+ M
i)
7 9 13
81 27 9 45 M
Bài toán 16. Tìm n

N để :
a) 3n + 2

M
n - 1 b) n
2
+ 2n + 7
M
n + 2 c) n
2
+ 1
M
n - 1
d) n + 8
M
n + 3 e) n + 6
M
n - 1 g) 4n - 5
M
2n - 1
Bài toán 17. CMR:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
18
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
(Chú ý: Bài toán trên đợc sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại)
Bài toán 18. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đ-

ợc những số d khác nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5.
Bài toán 19. Cho số
abc
không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít
nhất mấy lần để dợc một số chia hết cho 3.
Bài toán 20: Cho n

N, Cmr n
2
+ n + 1 không chia hết cho 4 và không chia
hết cho 5.
Bài toán 21. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các
chữ số của nó.
Bài toán 22. Cmr a)
n N

thì
{
. / 1
2 11 1 3
n c s
A n= + M
(gợi ý: 111.1 có tổng các chữ số là n => A
M
3
b)
, ,a b n N
thì
( )
{

. / 1
10 1 . 11 1 . 9
n
n c s
B a n b

= +
ữ

M
Bài toán 23. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng
minh rằng a
M
3
Gợi ý:
Mọi số tự nhiên đều viết đợc dới dạng tổng các chữ số của nó cộng với số chia
hết cho 9 ( chia hết cho 3)
a = k + số
M
3 => 2a = k + số
M
3 => 2a a = số
M
3 số
M
3 => a
M
3
Bài toán 24. CMR: m + 4n
M

13

10m + n
M
13.
,m n N
Gợi ý:
m + 4n
M
13 10(m + 4n)
M
13 10m + 40 n
M
13 10m + n + 39n
M
13
10m + n
M
13 (vì 39n
M
13)

Ngày giảng :
Buổi 9: Chuyên đề 4:
Số nguyên tố Hợp số số chính phơng
I, Mục tiêu :
- Học sinh nắm chắc khái niệm về số nguyên tố, hợp số, số chính phơng
- Cách chứng minh một số có phải hay không phải số nguyên tố, hợp số
- Vận dụng biết giải một số các bài toán tổng hợp
II, Nội dung :

A. Kiến thức bổ sung:
+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho
mọi số nguyên tố mà bình phơng không vợt quá a.
+ Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ớc khác 1 và
a.
+ Cách xác định số lợng các ớc của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố đợc M = a
x
. b
y
c
z
thì số lợng các ớc
của M là ( x + 1)( y + 1)( z + 1).


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
19
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phơng chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra.
- Số chính phơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 2
2
.
- Số chính phơng chia hết cho 2
3
thì phải chia hết cho 2
4
.

- Số chính phơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3
2
.
- Số chính phơng chia hết cho 3
3
thì phải chia hết cho 2
4
.
- Số chính phơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 5
2
.
+ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a
M
p hoặc b
M
p.
Đặc biệt nếu a
n

M
p thì a
M
p
+ Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phơng lên
không vợt quá nó.
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng:
4 1n
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng:
6 1n

+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
+ Một số bằng tổng các ớc của nó (Không kể chính nó) gọi là Số hoàn chỉnh.
Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
các dạng bài tập về số nguyên tố hợp số:
- Dạng 1
B. Bài tập.
Số 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a. p+ 2 và p+ 10
b. p+ 10 và p+20
c. p+2 ; p=6 ; p+ 8; p+ 12; p+14
Giải:
a. Với p = 2 thì : p+12 = 12 ( loại)
-Với p= 3: p+2 = 5 ( thoả mãn)
p+ 10 = 13 ( thoả mãn)
-Với p = 3.k ( k N) thì :
p= 3.k là hợp số ( loại)
-Với p = 3.k + 1 thì:
p+2 = 3.k+1+ 2= 3.(k+ 1) là hợp số (loại).
-Với p = 3.k+ 2 thì:
p+10 = 3.k +2+10 = 3.( k+ 4) là hợp số ( loại)
Vậy p = 3 thì p+ 2 và p+ 10 là số nguyên tố.
b. Với p= 2 thì p + 10 = 12 là hợp số ( loại)
-Với p = 3 thì p+ 10 = 13
p+ 20 = 23 ( thoả mãn)
-Với p = 3.k ( với k N) thì : p = 3.k là hợp số ( loại)
-Với p = 3.k+1 thì p+20 = 3.k+1+20= 3(k+7) là hợp số ( loại)
-Với p= 3.k+2 thì :
p+10=3.k+2+10= 3(k+4) là hợp số ( loại)
Vậy số nguyên tố cần tìm là p =3

c. Tơng tự nh cách làm trên ta tìm đợc p= 5.
(Xét p dới các dạng : p= 5; 5.k; 5k+1 ; 5k+ 2 ; 5k+3 ; 5k+4 ) ( k N)
Số 2
Tìm số nguyên tố a sao cho a+10 ; a+ 14 đều là các số nguyên tố.
( Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện 2007-2008)


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
20
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Giải:
Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có 1 trong các dạng:
3k; 3k+1 ;3k+ 2. ( với k N)
-Với a = 3 thì a+10 = 13 ( thoải mãn)
a+14 = 17 (thoải mãn)
- Với a= 3k ( với k N)thì a= 3k là hợp số ( loại)
- Với a= 3.k +1 thì: a+14= 3k+15 = 3(k+5) là hợp số ( loại)
- Với a= 3k+ 2 thì: a+ 10 = 3k+12 = 3(k+ 4) là hợp số (loại)
Vậy số cần tìm là a = 3.
Số 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng
là các số nguyên tố.
Giải:
Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì là số nguyên tố lớn hơn 2).
Suy ra ít nhất 1 trong các số p và q phải chẵn tức là bằng 2.
+, Gỉa sử p = 2 khi đó:
.7p+q = 7.2 +q = 14 + q
.pq + 11 = 2.q + 11
- Nếu q = 2 thì : 7p+q = 14 + 2 = 16 là hợp số ( loại)
- Nếu q = 3 thì : 7p+q = 14 +q = 14+ 3 = 17

pq + 11 = 2q + 11 = 2.3+11=11 (thoả mãn)
- Nếu q =3k+1 (với k N) thì:
7p+q = 14+q= 14+3k+1= 3(5+k) là hợp số ( loại)
- Nếu q=3k+2 thì : pq+11=2q+11=2(3k+2)+11=6k+15
=3(2k+5) là hợp số (loại)
Vậy p=2 và q=3.
+, Nếu q=2 . Lập luận tơng tự nh trờng hợp trên ta tìm đợc 1 cặp số: p=3 và q=2
. Đáp số: Số nguyên tố phải tìm là: p=2 và q=3 hoặc p=3 và q=2
Số 4: Tìm 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Giải:
Gọi 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp phải tìm là p ; p+2 ; p+ 4. ( p lẻ)
Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là 3.
-Nếu p=3 thì: p+2 = 5
p+ 4= 7 ( thoả mãn)
-Nếu p = 3k +1 ( với k N) thì:
p+2=3k+1+2=3(k+1) là hợp số ( loại)
- Nếu p=3k+2 thì:
p+4= 3k+6 = 3( k+2) là hợp số ( loại)
Vậy với p = 3 thì 3 số phải tìm là 3 , 5, 7.
Số 6:
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b , c. Ta có:
abc= 5(a+b+c). Suy ra 5 là ớc của abc.
Vì a, b, c bình đẳng nên
Gỉa sử 5 là ớc của a và a là số nguyên tố nên a= 5
Suy ra: bc= 5+b+c (b-1)(c-1) = 6
Do đó : b-1 = 1 b = 2
c-1 = 6 c= 7

Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
21
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

b-1 = 2 b=3 ( loại)
c-1 = 3 => c= 4
Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2,5,7.
Số 7: Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phơng trình:
x
2
2y
2
1 =0 (1)
Giải: Ta có :
(1) (x-1)(x+1) = 2y
2
Vì x, y là số nguyên tố nên chỉ có các khả năng:
+, x+1 = 2y; x-1 =y suy ra : x=3: y=2.
+, x+1=y ; x-1 = 2y suy ra : vô nghiệm
+, x+1= 2y ; x-1 = 1 suy ra : vô nghiệm
+, x+1 = 1 ; x-1 = 2y suy ra vô nghiệm
Vậy (x,y ) =(3,2) là nghiệm duy nhất.
Bài tập t ơng tự:
Số 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
P+6 ; p+8 ; p+12; p+14.
Số 2:
Tìm hai số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
Đáp số: 1, 2.
Số 3: tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?

Số4: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Số 5: Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình sau:
x
2
- 2y
2
=1
Bài tập về nhà
Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Bài 3. Cho A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
100
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Số A có phải là số chính phơng không?
Bài 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 1.3.5.713 + 20
b) 147.247.347 13
Bài:Tìm số nguyên tố p sao cho
a) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
b) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố.
c) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố.
Bài 7. Cho n

N
*
; Chứng minh rằng:

/ 1 / 1
111 12111 1
nc s nc s
A =
12 3 123
là hợp số.
Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n
2
chia 3 d 1.
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p
2
+ 2003 là số nguyên tố hay hợp
số?
Bài 9. Cho n

N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n
2
1 và n
2
+ 1 không
thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p 1 là số
nguyên tố, số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số.
=======================================================
Ngày giảng :


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy

22
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Buổi 10: Chuyên đề 4:
Số nguyên tố Hợp số số chính phơng
I, Mục tiêu :
- Học sinh nắm chắc khái niệm về số nguyên tố, hợp số, số chính phơng
- Cách chứng minh một số có phải hay không phải số nguyên tố, hợp số
- Vận dụng biết giải một số các bài toán tổng hợp
II, Nội dung :
Dạng 2: Số nguyên tố cùng nhau.
A. Lý thuyết:
Hai số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ƯCLN bằng 1.
Nói cách khác chúng chỉ có ớc chung lớn nhất là 1
(a,b) = 1
Phơng pháp giải:
Muốn chứng minh a, b nguyên tố cùng nhau thoả mãn điều kiện bài toán ta
thờng làm nh sau:
Gỉa sử: (a, b) = d (d 1)
Khi đó: a d b d
Kết hợp với điều kiện bài toán ta suy ra:
Một số n d (n N)
Ta cần chứng minh : d= 1
B.Bài tập:
Số 1: Cho a+b=p là số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Gỉai: Gỉa sử: a và b không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra a và b có ít nhất 1 -
ớc số d > 1. Khi đó: a d; b d a+b d p d , d >1.
Điều này vô lý vì p là số nguyên tố.
Vậy ( a, b) = 1.
Số 2:

Chứng minh rằng 2 số A= 2n+1 và B= n(n+1) : 2 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Giải: Gọi (A,B) = d với d1
Suy ra: A d và B d.
Hay: (2n+1) d n(2n+1) d
n(n+1): 2 d 2n(n+1) d
2n(n+1)- n(2n+1) d. n d.
2n d mà 2n+1 d
1 d . Suy ra d :1. Mà d 1. d = 1.
Vậy (A,B) = 1.
Số 3: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a+b và ab nguyên tố cùng
nhau.
Gỉai:
Gỉa sử (a+b, ab) không nguyên tố cùng nhau
Do đó a+b và ab có ít nhất 1 ớc d>1


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
23
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Suy ra: a+b d (1)
Và ab d (2)
Từ (2) suy ra a d hoặc b d.
-Nếu a d thì từ (1) b d.
Nh vậy a và b có 1 ớc chung d > 1, trái với giả thiết.
- Nếu b d thì từ (1) a d
Suy ra a, b có ớc số chung nguyên tố d, trái với giả thiết
Vậy (a,b) = 1 thì (a+b, ab) = 1.
Số 4: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh :

A=5a +3b và B= 13a+8b nguyên tố cung nhau.
Giải:
Ta có: A= 5a+3b a=8A-3B
B=13a+8b b=5B-15A
Gỉa sử A và B có ít nhất 1 ớc số chung d > 1
Suy ra: A d và B d
Do đó a d và b d.
a và b có 1 ớc chung d > 1, mẫu thuẫn với giả thiết.
Vậy (A, B) =1 nếu (a,b) = 1.
Số 5:
Cho a là 1 số tự nhiên lẻ, b là 1 số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab+4
nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Gỉa sử (a,ab+4) = d. (d1)
Suy ra: a d ab d
ab+4 d ab+4 d
(ab+4)-ab d
4 d
Suy ra : d= 1;2; 4.
Vì a là số lẻ nên d= 2 hoặc d= 4 loại d = 1 ( thoải mãn)
Vậy a và ab+4 nguyên tố cùng nhau.
Số 6:
Tìm số tự nhiên n để các số 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Gỉa sử 9n+24 và 3n+4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì:
(9n+24)- 3( 3n+4) d
12 d d= 2; 3.
Điều kiện để (9n+24 , 3n+4) = 1 là d # 2 và d #3
Vì 3n+4 không chia hết cho 3 nên d #3
Muốn d # 2 thì phải có ít nhất 1 trong 2 số 9n+24 và 3n+4 không chia hết

cho 2.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
24
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Ta thấy 9n+24 là số lẻ 9n lẻ n lẻ
3n+4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ
Vậy điều kiện để (9n+24 , 3n+4) = 1 là n là số lẻ.
Bài tập tơng tự:
Số 1: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau:
a, 4n+3 và 2n+3
b. 7n+13 và 2n+4
c, 9n+24 và 3n+4.
Đáp số : a. n không chia hết cho 3
b, n là số chẵn
c, n là số lẻ.
Số 2:
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng
nguyên tố cùng nhau:
a. b và a-b (a> b)
b. a+b và ab.
Số 3:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau là 2 số nguyên tố cùng
nhau:
a, 7n+10 và 5n+7
b, 2n+3 và 4n +8.
Số 4: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n khac 0 thì số 3n+1 và số 4n+1 nguyên
tố cùng nhau.

Dạng 3: Chứng minh một số là số nguyên tố.
Số 1: Cho m và m
2
+2 là 2 số nguyên tố. Chứng minh rằng m
3
+2 cũng là 1 số
nguyên tố.
Giải:
- Với m=2 thì m
2
+2=4+2= 6 là hợp số (loại)
- Với m=3 thì m
2
+2 = 9+2= 11 (thoải mãn)
- Với m= 3k+1 ( với k N) thì:
- m
2
+2 = (3k+1)
2
+2 = 3(3k
2
+2k+1) là hợp số ( loại)
- Với m= 3k+2 thì:
m
2
+2= (3k+2)
2
+2 = 3(3k
2
+4k+2) là hợp số (loại)

Vậy với m= 3 thì m và m
2
+2 là sốnguyên tố.
Khi đó m
3
+ 2= 3
3
+2 = 29 là số nguyên tố.
Số 2:Chứng minh rằng nếu p và 8p
2
+1 là 2 số nguyên tố thì 8p
2
-1 là số nguyên
tố.
Giải:
Nếu p =3k+1 ( kN) thì p
2
= (3k +1)
2
= 9k
2
+ 6k +1.
= 3k ( 3k+2) +1
8p
2
+ 1 = 8.3k(3k+2) +8+1
= 3. (8k (3k+2) +3) là hợp số.
Trái với giả thiết.
Tợng tự với trờng hợp p = 3k 1. Ta cũng suy ra trái với giả thiết.
p = 3k mà p là số nguyên tố. p = 3.

Vậy p = 3 thì : 8p
2
+1 nguyên tố và 8p
2
1 nguyên tố.
Số 3:
Cho 2
m
1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m nguyên tố.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
25
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Giải:
- Gỉa sử m là 1 hợp số.
m =p.q với p, q N và p , q > 1.
Ta có : 2
m
1 = (2
p
)
q
1 = (2
p
1) ( 2
p(q-1)
+ 2
p(q- 2)

+ + 1 )
Vì p > 1 2
p
1 > 1.
Và 2
p(q-1)
+ 2
p(q- 2)
+ + 1 > 1
Suy ra 2
m
1 là 1 hợp số Mâu thuẫn với giả thiết.
-Khi m = 1 2
m
1 = 1 ( loại)
Vậy m là 1 số nguyên tố khi 2
m
-1
Bài tập tơng tự:
Số 1:Ch/m rằng nếu p và p
2
+ 2 là số nguyên tố thì p
3
+ 2 cũng là số nguyên tố.
Dạng 4: Bài tập liên quan
Số 1:
Chứng minh rằng 3 số a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k
chia hết cho 6
( Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện 2007-2008)
Giải:

- a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ.
Để a+ k là số nguyên tố thì k phải chẵn k 2
- Cần chứng minh k 3
Gỉa sử k không chia hết cho 3 suy ra k có dạng k= 3t+1 hoặc k=3t+2 (t N)
Xét a ở các dạng a=3p+1 và a= 3p+2 (p N)
Ta có:
+, Với a= 3p+1 và k= 3t+2 thì:
a+k= 3p+1+3t+2=3(p+t)+3 ( Hợp số ) (Loại)
+, Với a=3p+1 và k= 3t+1 thì:
a+2k= 3p+1+2(3t+1) = 3(p+2t)+ 3 là hợp số ( Loại)
+, Với a= 3p+2 và k= 3t+1 thì:
a+k = 3p+2+3t+1 = 3(p+t) +3 là hợp số ( loại)
+, Với a = 3p+2 và k= 3t+2 thì:
a+2k= 3p+2+2(3t+2) =3(p+2t) +6 là hợp số (Loại)
Do vậy k 3
Nh vậy a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6
Số 2
Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn vị. Chứng
minh rằng d 6
.Giải: Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 ( k N) (k>1)
Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại 2 số cùng có 1 dạng , hiệu của chúng
( là d hoặc 2d) chia hết cho 3. Do đó d 3.
Mặt khác d 2 vì d là hiệu của 2 số lẻ.
Vậy d chia hết cho 6.
Số 3: Một số nguyên tố p chia hết cho 42 có số d r là hợp số. Tìm số d r.
Giải:
Ta có: p = 42.k +r =2.3.7.k+r ( k;r N; 0< r <42)


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy

26
Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Vì p là số tự nhiên nên r không chia hết cho 2 ; 3; 7.
Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9 ; 15; 21; 25;27;33;35;35; 39.
Loại đi các số chia hết cho 3 và cho 7 chỉ còn 25.
Vậy r = 25.
Bài tập về nhà :
Số 1: Một số nguyên tố chia hết cho 30 có số d là r. Tìm r biết rằng r không
là số nguyên tố.
Số 2: Chứng minh nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì:
(p-1)(p+1) 24.
Số 3: Chứng minh rằng nếu 8p 1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
Số 4: Cho p là số nguyên tố (p5) và 2p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng
minh rằng 4p+1 và 4p-1 là hợp số.
Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số.
======================================================
Ngày giảng :
Buổi 11 Chuyên đề: ớc chung ƯCLN
I. Mục tiêu :
- HS đợc khắc sâu về 2 sô nguyên tố cùng nhau, 3 số nguyên tố cùng nhau đôi
một
- Nắm đợc Tính chất chia hết liên quan đến ƯCLN
- Rèn kỹ năng giả bài tập tổng hợp
II, Nội dung :
A ; Tiếp bài tr ớc : Số nguyên tố
Số 4: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a-1)(a+4) 6
Giải:
a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 ( k N)
Mà a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a là số lẻ.

Suy ra a-1 là số chẵn nên a- 1 2
(a-1)(a+4) 2 (1)
- Với a = 3k+1 thì:(a-1)(a+4) =3k(3k+5) 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (a-1)(a+4) 6
- Với a= 3k+2 thì: (a-1)(a+4) = (3k+1)(3k+6)
= 3.(3k+1)(k+2) 3
Vậy (a-1)(a+4) 6
Số 5
Một ngày đầu năm 2008, Huy viết th hỏi ngày sinh của Long và nhận đợc
th trả lời:
Mình sinh ngày a tháng b năm sinh 1906 +c và đến nay d tuổi. Biết rằng
a.b.c.d = 59007
Huy đã tính đợc ngày sinh của Long và kịp viết th chức mừng bạn. Hỏi Long sinh
ngày nào?
Giải:
Theo đề ra ta có: a.b.c.d = 59007 , c+d =12.
1 a31 ; 1b 12.


Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy
27