Hệ thống các vấn đề cơ bản của toán lớp 9 kèm theo các bài luyện tập

PHN I:
H THNG CC VN C BN CA TON 9
***
VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI
A. Kin thc cn nh:
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
2
0x
x a
x a


=

=

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi

A
là căn thức bậc hai của
A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0
b. Hằng đẳng thức
2
A A=
- Với mọi A ta có
2
A A=
- Nh vậy: +
2
A A=
nếu A

0
+
2
A A=
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A

0 và B

0 ta có:
. .A B A B=
+ Đặc biệt với A

0 ta có
2 2
( )A A A= =
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số
không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với
nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số
không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết
quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
Vic lm thờm cui trang Page 1
a. Định lí: Với mọi A

0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó
a không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết
quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho số b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B

0, ta có
2
A B A B=
, tức là
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B

0 thì
2
A B A B=
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B

0 thì
2

A B A B=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B

0 và B

0, ta có
A AB
B B
=
d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có

A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
0A

và
2
A B
, ta có

2
( )C C A B
A B
A B

=


- Với các biểu thức A, B, C mà
0, 0A B
và
A B
, ta có

( )C A B
C
A B
A B

=


A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
3 3 3
3
( )a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
3 3
a b<

- Với mọi a, b thì
3 3 3
.ab a b=
Vic lm thờm cui trang Page 2
- Với mọi a và
0b

thì
3
3
3
a a
b
b
=
A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi
chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
2 n N
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

2k
a
và
2k
a
I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ

2
2 3
. . ( , 0)
( 0; 0)
1
.
0; ( ) ; ( )
A B A B A B
A A
A B
B
B
A B A B
A
A B
B B
A A A A A A
=
= >
=
=
= =

A
xác định khi A

0

II-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
A/Vận dụng: 1)Hng ng thc ỏng nh
Vic lm thờm cui trang Page 3
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 2AB B
A B A B A B
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
= +
+ =
= +
+ = m
M rng:
( ) ( )

( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ = + + +

3)Cỏc phộp tớnh với phân thức:
A B A B
a)
M M M
A C A.D C.B
b)
B D B.D
A C A C
c)
B D B D
A C A.C
d) .
B D B.D
A C A D
e) : .
B D B C
+
+ =
+
+ =

= +
=
=
4)Nhõn n, a thc
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
m n p q m p n q m p n q
) ax y .bx y a.b x .x y .y abx y .
) A B C D A.B A.C A.D
) A B C D A.C A.D B.C B.D
+ +
+ = =
+ + = +
+ + = +
5)Cng, tr n, a thc
Thc cht ca vic l m n y l c ng, tr n thc ng dng da v o
quy tc sau cựng tớnh cht giao hoỏn, kt hp ca phộp cng cỏc a thc.
( )
( )
m n m n m n
m n m p m n m n m p
ax y bx y a b x y
ax y bx y cx y a c x y bx y
=
+ + = + +
B/ Qu á trình rút gọn biểu thức và bài toán liên quan:
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Trong căn

0 ,Mẫu

0 , biểu thức chia

0

A
xđ khi A
0

;
A
B
xđ khi B

0
Vic lm thờm cui trang Page 4
2)Rút gọn biểu thức
-Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thờng tìm cách đa thừa số
ra ngoài dấu căn .Cụ thể là :
+ Số thì phân tích thành tích các số chính phơng
+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn
-Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến
đổi về các căn đồng dạng
- Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta
nên trục căn thức ở mẫu trớc,có thể không phải quy đồng mẫ mẫu nữa.
-Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân
thức trớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi quyđồng, rút

gọn.
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc
,dấu (-) , cách viết căn
Chú ý : Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu
thức không phụ thuộc vào biến, cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức trớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
thì nên thay giá trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay
vào tính (dạng căn bậc hai, căn bậc 3)
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức trớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
-Tìm giá trị của nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:
( )
( )
f x
P
g x
=
Thực hiện chia f(x) cho g(x) đua về dạng:
( )
( ) ( )
f x m
P a
g x g x
= = +

(với
,a m Z

)
Vic lm thờm cui trang Page 5
Hoặc phân tích:
( ) . ( ) . ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x a g x m a g x m m
P a Z m g x
g x g x g x g x g x
+
= = = + = + M
Hay Ư(m)=g(x)
VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
2
ax bx c 0+ + =
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
2
b 4ac =
*) Nếu
0
>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2

b b
x ;x
2a 2a
+
= =
*) Nếu
0
=
phơng trình có nghiệm kép :
1 2
b
x x
2a

= =
*) Nếu
0
<
phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
và
b 2b'
=
2
' b' ac =
*) Nếu
' 0 >

phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
b' ' b' '
x ;x
a a
+
= =
*) Nếu
' 0 =
phơng trình có nghiệm kép :
1 2
b'
x x
a

= =
*) Nếu
' 0 <
phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
thì :
Vic lm thờm cui trang Page 6
1 2

1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=


2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
2
x Sx P 0 + =
(Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
có hai nghiệm :
1 2
c
x 1;x

a
= =
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
có hai nghiệm :
1 2
c
x 1;x
a
= =
IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim tha món c im cho
trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0

Các dạng toán về ph ơng trình bậc hai
L u ý : Cần phân biệt rõ bài toán c/m và bài toán tìm đk ?
Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm
theo Viet
Vic lm thờm cui trang Page 7
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm (Tức là phải có đợc
dạng x
1
+x
2
và x
1
.x
2
)
1.Ph ơng pháp: Bi n i bi u th c l m xu t hi n : (
1 2
x x+
) v
1 2
x x

Dạng 1.
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + = +
Dạng 2.
( )
( )

( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x

+ = + + = + +

Dạng 3.
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

+ = + = + = +

Dạng 4.
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Dạng 5.
1 2
?x x =
Ta bit
( ) ( ) ( )
2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x = + = +
Dạng 6.
2 2
1 2
x x

( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= +
=
(
)
).(4)(
2121
2
21
xxxxxx ++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x

+ + = +

= .
Dạng 8.
4 4
1 2
x x
=
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+
=
Dạng 9.
6 6
1 2
x x+
=
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + +
=
Dạng 10.
6 6
1 2
x x
[ ]
)(.)()()()(

2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
=++== xxxxxxxx
Dạng 11 .
5 5
1 2
x x+
=
)(.))((
21
2
2

2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
xxxxxxxx +++
Dạng12: (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
Dạng13
2
21

21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

Trờng hợp ở dạng phân số thì phải thực hiện quy đồng, biến đổi để
xuất hiện tổng và tích.
Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
B ớc 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
B ớc 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngợc lại
Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
B ớc1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
B ớc 2 : Biến đổi tơng đơng hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm
.Nếu không đợc thì giải hệ ( Hệ thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì

có thể bình phơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
Vic lm thờm cui trang Page 8
Khi tìm GTNN của biểu thức, biến đổi BT về dạng (A+B)
2
+m

m hoặc (A-
B)
2
+m

m
Khi đó : GTNN(min)=m khi A+B=0 hoặc A-B=0
Khi tìm GTLN của biểu thức, biến đổi BT về dạng -(A+B)
2
+m

m hoặc -
(A-B)
2
+m

m
Khi đó :GT LN (max)=m khi A+B=0 hoặc A-B=0
Dạng 5 : Lập ph ơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm
1 2
,x x
ta làm nh sau :

Tính
1 2 1 2
, .x x S x x P+ = =
Vậy PTB2 cần lập là : x
2
- Sx+ P =0
Dạng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích :Dùng phơng pháp thế đa về PTB2
có
.
u v S
u v P
+ =


=

thì u và v là hai nghiệm của pt: x
2
-Sx+P=0
đk có nghiệm:
2 2
4 4 0S P S P
Dạng 8: Nghiệm chung của 2 ph ơng trình
Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phơng trình vô nghiệm
thờng vội kết luận ngay là hai phơng trình đó không tơng đơng với nhau:
Phần IV : Các dạng ph ơng trình cơ bả n
A.Phân loại và ph ơng pháp giải
Loại 1 : Phơng trình bậc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng
ax = B

Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng : ax = b
-Nếu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm : x = b/a
-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi b khác 0 , vô số nghiệm khi b = 0
-Nếu a cha rõ ta phải xét tất cả các trờng hợp (biện luận)
Vic lm thờm cui trang Page 9
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc . Nếu có mẫu th ờng
quy đồng rồi khử mẫu
- Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu Chỉ đợc cùng nhân ,chia 1số khác 0
Loại 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối rồi bỏ dấu giá trị tuyệt
đối.
0
0
A A
A
A A


=

<

Chú ý : -Đối chiếu ĐK . Giải từng phơng trình tìm x và đối chiếu với đk cho từng
trờng hợp và kết luận nghiệm của pt đã cho.
Loại 4 : phơng trình chứa ẩn trong dấu căn (PT vô tỉ)
Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ
= g (x) (1). Đây là dạng đơn giản nhất của phơng trình vô tỉ.
Sơ đồ cách giải:
= g (x)
( )

2
( ) 0(2)
( ) ( ) (3)
g x
f x g x





=



( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x


=

=

Hoặc
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )

f x
f x g x
f x g x


=

=

Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp
suy ra nghiệm của phơng trình (1).
Loại 5 : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Phơng pháp giải : 1) Thông thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu
,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
Chú ý: Trong quá trình biến đổi tơng đơng đẻ giải pt, cần sử dụng linh hoạt các quy tắc
chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử,
VN 3: HM S V TH BC NHT BC 2 (KHUYT)
Vic lm thờm cui trang Page 10
A. KIN THC CN NH:
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b
là các số cho trớc và a

0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có

tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y =
ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi
đó
+
'
// '

'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a =
+
'
'
'
a a
d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT,
trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc
đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
-Hệ số a trong y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
II. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
Vic lm thờm cui trang Page 11
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax

2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy
làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ
thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ
thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M

x x y y
x y
+ +
= =
III. Tng quan th Hm s bc nht Hm s bc hai.
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax
2
= mx + n
(*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt.
- Khi c/m đồ thị hs luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của tham số, biến
đổi hs về dạng: A(x,y).m+B(x,y).m=0 => Đẳng thức độc lập với m khi
( , ) 0
( , ) 0
A x y
B x y
=


=

=> giải hệ tìm ra x và y là tọa độ điểm cố định cần tìm mà đồ thị hs
luôm đi qua với mọi m.
A(x,y) và B(x,y) là các đa thức của 2 biến x và y.
- Khi tìm giá trị của tham số để 3 đờng thẳng đồng quy, xác định tọa độ giao
điểm của 2 trong 3 đờng thẳng rồi thay vào đờng thẳng còn lại để tìm giá trị
của tham số.
- Khi viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có tọa độ cho trớc, thay lần lợt
tọa độ các điểm vào đờng thẳng tổng quát: y=ax+b, sau đó giả hệ pt tìm a và
b => pt đờng thẳng cần tìm.
Vic lm thờm cui trang Page 12
VN 4: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH
H PHNG TRèNH
A. KIN THC CN NH:
Phng phỏp chung:
Bc 1: Gi n phự hp, n v tớnh, iu kin cho n nu cú.
Bc 2: Biu t cỏc i lng cha bit thụng qua n v cỏc i lng ó bit.
Bc 3: Lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh.
Bc 4: Gii phng trỡnh, h phng trỡnh lp c bc 3.
Bc 5: i chiu iu kin v kt lun.
VN 5: H PHNG TRèNH BC NHT HAI N S
A. KIN THC CN NH:
A.1 Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
a. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =

+ =

trong đó a, b, c, a,
b, c

R
b. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Quy tắc thế
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ ph-
ơng trình mới trong đó có một phơng trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
c. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Quy tắc cộng
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao
cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình bằng nhau
hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có
một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phơng trình
một ẩn)
Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
A.2 Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai
Vic lm thờm cui trang Page 13
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S
2


4P) khi đó hai số
x, y là nghiệm của phơng trình: x

2
+ SX + P = 0
A.3 Kiến thức bổ xung
1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y đó thì từng phơng trình của hệ không đổi
b. Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2

4P
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phơng trình:
t
2
St + P = 0
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ =

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

A.2 Hệ phơng trình đối xứng loại 2
d. Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại
e. Cách giải
Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc ph-
ơng trình một ẩn

Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
f. Ví dụ
Giải hệ phơng trình

2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= +


= +



3
3
13 6
13 6
x x y
y y x

=


=

A.3 Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
g. Định nghĩa
- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2 2
2 2
0
' ' ' 0
ax bxy cy
a x b xy c y

+ + =


+ + =


h. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x

0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
Vic lm thờm cui trang Page 14
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình
một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng
tự
VN 7: HèNH HC

A. KIN THC CN NH.
2. Mt s tớnh cht v ng thc lng giỏc cn nh:
a. Vi gúc

nhn (
0 90

< <
o o
) thỡ
0 sin , os 1c

< <
b.
sin os
,cot
os sin
c
tg g
c



= =
c.
1 1
,cot .cot 1
cot
tg g tg g
g tg

= = =
d.
2 2 2 2
sin os 1 sin 1 os , os 1 sinc c c

+ = = =
(Cỏc bn nh ch c
ly giỏ tr dng vỡ tuõn theo tớnh cht a mc ny)
e. Vi gúc

nhn v
sin sin

= =
f.
2 2
2 2
1 1
1 ,1 cot
os sin
tg g
c


+ = + =
(Cụng thc ny thy ó chng minh cho cỏc
bn)
3. Mi quan h lng giỏc ca cỏc gúc ph nhau.

Nu
90

+ =
o
thỡ cỏc giỏ tr lng giỏc ca

v

chộo nhau, tc l:
sin os , os sin , cot ,cotc c tg g g tg

= = = =
4. H thc liờn h gia cnh v gúc trong tam giỏc vuụng. A
.sin .cos
.sin .cos
. .cot
. .cot
b a B a C
c a C a B
b c tgB c gC
c b tgC b gB
= =
= =
= =
= =
c b
Vy: Trong mt tam giỏc vuụng: B a C
a. di mt cnh gúc vuụng bng tớch ca cnh huyn vi sin gúc i hoc
cos gúc k.

Vic lm thờm cui trang Page 15
b. di mt cnh gúc vuụng bng tớch ca cnh gúc vuụng cũn li vi tg gúc
i hoc cotg gúc k.
Note: Gii tam giỏc l khỏi nim ca vic i tớnh s o ca cỏc gúc nhn,
di cỏc cnh ca mt tam giỏc vuụng.
II. GểC V NG TRềN
Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi
gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :
a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm
chung với đờng đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì
giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng
tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn
đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng
tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra
thành hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm
thì vuông góc với dây cung ấy.

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
Vic lm thờm cui trang Page 16
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng
cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung
lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT
Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN
A.Khai thác giả thiết
-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có đợc từ đầu bài ,những
điều đã chứng minh đợc.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:
I.Nếu có điểm thuộc đ ờng tròn thì nghĩ tới
1, Các bán kính bằng nhau
2, Tứ giác nội tiếp
3,Các góc với đờng tròn.Đặc biệt nếu có đờng kính thì sẽ có góc vuông
II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới
1,Các góc đối bù nhau
2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(nếu nối 2 đờng chéo)
3, Góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối( Phải chứng minh)
4, Điểm thuộc đờng tròn
III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới
1,Các tính chất Vuông góc , cách đều , phân giác
2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

IV. Quan hệ Góc - Cung - Dây - Khoảng cách từ tâm đến dây
V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật ,
hình thoi, hình vuông thì nghĩ tới
Tính chất của các hình ấy
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới
định lý Pi ta go và các hệ thức lợng trong tam giác vuông
VII.Nếu có 2 đ ờng thẳng song song thì nghĩ tới
Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị
Vic lm thờm cui trang Page 17
VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ ờng trung tuyến , đ ờng cao , trung trực của
tam giác thì nghĩ tới tính chất của chúng
B.phân tích đi lên từ kết luận(Dựa vào các phép chứng minh)
I - Chứng minh các yếu tố bằng nhau.
1. Chứng minh hai góc bằng nhau.
C1 Thờng CM chúng là hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc
đồng dạng.
C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thờng CM chúng là hai góc ở đáy của tam
giác cân.
C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thờng CM tứ giác đó là hình bình
hành.
C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thờng CM tứ giác là hình thang cân.
C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng
song song.
C7/ Nếu là hai góc trong đờng tròn ta thờng chuyển về chứng minh cung , dây
tơng ứng bằng nhau.
C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất
tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tơng ứng vuông góc hay song
song,
*Chú ý: Nếu không cm đợc trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm
trung gian. (CM chúng cùng bằng ,cùng bù,cùng phụ với 1góc .Hay 2 góc cùng

bằng tổng ,hiệu của 2 góc bằng nhau.)
2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân.
C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông).
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đờng trung tuyến, đờng trung trực,bán
kính , tiếp tuyến
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đờng trung bình trong tam giác, hình thang.
C6/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là Hình thang cân,
HCN, HV.
C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đờng tròn thờng chuyển về dây , góc , kc đến
tâm tơng ứng.
*Chú ý: Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách:
+ Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng.
II-Chứng minh 2 đờng thẳng song song, 2 đờng thẳng vuông góc
1. Chứng minh hai đờng thẳng song song.
C1/CM cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba.
Vic lm thờm cui trang Page 18
C2/ CM 1 cặp góc So le trong hoặc đồng vị bằng nhau , hoặc 1 cặp Trong cùng
phía bù nhau.
C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là Hình bình hành
C4/ Nếu có các đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình của tam giác , hình
thang.
2. Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc.
C1/ Cm chúng là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù hay hai đờng thẳng cắt nhau
tạo ra góc bằng 90
0

.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đờng cao trong tam giác. Sử dụng tính
chất đờng cao ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đờng trung trực.
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn. Đờng kính của đờng
tròn đi qua trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến.
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago.
C5/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng chứng minh tứ giác là hình thoi
C6/ Chứng minh đờng thẳng này vuông góc với đờng thẳng song song với đờng
kia hoặc song song với đờng thẳng vuông góc với đờng kia.
III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng qui.
1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đờng thẳng )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC).
C2/ Chứng minh góc ABC = 180
0
.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề
Ơclit).Hoặc cùng vuông góc với 1 đờng thẳng.
C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đờng chéo và 2 đầu đờng chéo kia trong
hình bình hành thẳng hàng. Đờng kính đi qua tâm.
2. Chứng minh ba đ ờng thẳng đồng qui.
C1/ Chứng minh đờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đờng thẳng kia.
C2/ Sử dụng tính chất các đờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đờng cao
đồng qui,
3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đờng phân giác đồng qui, 3 đờng trung trực
đồng qui.
C3/ Dùng tính chất : Các đờng kính đồng quy tại tâm .Các đờng chéo của
những hình bình hành có chung 1 đờng chéo đồng quy.
C4/ Đa về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
IV - chứng minh các hình cơ bản .

1. Chứng minh tam giác cân.
C1/ CM tam giác có hai góc bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai cạnh bằng nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng đi qua đỉnh đồng thời là một đờng khác của tam
giác.
Vic lm thờm cui trang Page 19
2. Chứng minh tam giác đều.
C1/ CM tam giác có ba cạnh bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai góc bằng 60
0
.hoặc 3 góc bằng nhau.
C3/ CM tam giác cân có một góc bằng 60
0
.hoặc cạnh bên bằng cạnh đáy.
3. Chứng minh tam giác vuông.
C1/ Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago (nếu có độ dài).
C2/ CM tam giác có một góc bằng 90
0
.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh tơng ứng.
4. Chứng minh các đ ờng thẳng đặc biệt.
Để chứng minh một đờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung
tuyến, đờng trung trực, đờng trung bình, trong một tam giác. Ta chứng
minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui của các đờng này trong một tam giác.
C2/ Sử dụng chính tính chất của các đờng ấy:
Ví dụ: + Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.
+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đờng trung trực của đoạn
thẳng ấy.
Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn

C1/ CM bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó (gọi là tâm đờng tròn).
C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh còn lại dới hai góc
bằng nhau.
C4/ CM tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau
C5/Cm góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối.
C6/CM tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thang cân.
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đờng tròn đờng kính là đoạn thẳng nối 2 điểm
còn lại.
Chú ý: Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đờng tròn. Ta chọn ba điểm cố
định rồi chon điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đờng tròn. Sau
đó CM tơng tự với các điểm còn lại.
VI-chứng minh hệ thức , tỉ lệ thức
C1/ Gắn vào 2 tam giác đồng dạng.
C2/ Nếu có đờng thẳng song song thờng dùng định lý Ta Lét.
C3/Nếu có góc vuông thờng dùng hệ thức lợng trong tam giác vuông
C4/ Nếu có phân giác thờng dùng tính chất đờng phân giác
Chú ý: Nếu không chứng minh đợc trực tiếp thì dùng tính chất bắc cầu.
VII-Chứng minh một đ ờng thẳng là tiếp tuyến của đ ờng tròn.
C1/ Chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính tại đầu thuộc đờng tròn.
C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng bằng bán kính.
VIII-các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác.
Vic lm thờm cui trang Page 20
A)Bằng nhau: c. c. c ; c. g.c ; g.c.g
B)Đồng dạng : g. g ; c.c.c ; c.g.c
IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ
1.Công thức tính chu vi và diện tích các hình
2.Diện tích tam giác đều

3.Hệ thức lợng trong tam giác vuông ( cả định lý Pi- ta go) và tỉ số lợng
giác của góc nhọn.
X-Khi giải bài toán quỹ tích (Thờng cho dới dạng Khi một điểm chuyển động
thì điểm đó di chuyển trên đờng nào hoặc chứng minh điểm đó di chuyển trên
một đờng tròn, cung tròn, hay đờng thẳng cố định)
cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau: (Quỹ tích cơ bản hình
học)
1. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vuông là đờng tròn đờng kính
2. Cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đờng tròn tâm
3. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc không đổi là cung chứa góc
4. Cách đờng thẳng cố định một khoảng không đổi là đờng thẳng song song
( hoặc vuông góc)
5. Cách đều 2 điểm cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng
6. Cách đều 2 cạnh một góc cố định là tia phận giác cuả góc
Chú ý : Quỹ tích ( còn gọi là tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định
XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất (bài toán cực trị)trong hình
học cần ghi nhớ:
1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông
2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông
K t qu :
-Vi tam giỏc u cnh l a, ta cú: + đờng cao:
a 3
h
2
=
+ Diện tích:
2
a 3
S
4

=
- Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là: R=
3
3
a
- Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:
3
6
a
r =
- Hình vuông cạnh a, có độ dài đờng chéo:
2a
- Bán kính đờng tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là:
2
2
a
R =
Vic lm thờm cui trang Page 21
- B¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp h×nh vu«ng c¹nh a lµ:
2
a
Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn co thÓ tÝnh ra ®îc chu, diÖn tÝch cña ®êng trßn néi
tiÕp, ®êng trßn ngo¹i tiÕp cua tam gi¸c ®Òu, cña h×nh vu«ng.
VIỆC LÀM THÊM
Cơ sở chăm sóc sức khỏe chúng tôi cần kết hợp kinh doanh với
A/C có vốn 10tr trở lên. Làm vào thời gian rãnh rỗi, không áp lực
doanh số, không cần bán hàng, tiếp thị sản phẩm. Chỉ cần có mối
quan hệ. Ưu tiên 25 tuổi trở lên và đã từng công tác ngành bảo
hiểm.
Liên hệ chi tiết: 0905.366.816 (A.Thể)

Email:
Việc làm thêm cuối trang Page 22