Luận văn tốt nghiệp - Một số vấn đề cơ bản của đồ thị

Luận văn tốt nghiệp



9
Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ



I. CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ
1. Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh
này, các loại đồ thị khác nhau được phân biệt bởi kiểu và số lượng cạnh nối
hai đỉnh nào đó của đồ thị.

Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U
XX.
Bộ
G = <X, U> được gọi là đồ thị hữu hạn. Mỗi phần tử xX gọi là một đỉnh
và mỗi phần tử u = (x,y) U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>.
Xét một cạnh u

U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y

X sao cho u = (x, y), ta nói
rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u.

- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh
kề nhau.

- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.
- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y
thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh
vào.
- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng
cặp đỉnh là những c
ạnh song song hay là cạnh bội



a) b) c)
a. Tại đỉnh y có một khuyên b. Một cung có hướng từ x sang y
c. Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song
Hình 1.1
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để
biểu diễn, như sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lưới giao thông, sơ đồ
thi công một công trình.
x
y
x

y
u

x
y

y

Luận văn tốt nghiệp



10
Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô
hình đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy được nối với nhau
bằng các dây truyền, chúng tương ứng là các cạnh của đồ thị. Một mô hình
mạng máy tính như hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tương ứng là
các đỉnh, giữa 2 máy được nối trực tiếp với nhau thì tương ứng với 1 cặp đỉnh
kề
nhau.




Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị
2. Đồ thị đơn
Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ được nối
với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội,
không có khuyên.
Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn
3. Đa đồ thị
Đồ thị G = <X, U> được gọi là
đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh được
nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên.
4. Giả đồ thị
Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn. Tóm lại đây
là loại đồ thị tổng quát nhất.

a) b)

Hình 1.3 a. Đa đồ thị b. Giả đồ thị

II. CÁC LOẠI ĐỒ THỊ
1.
Đồ thị vô hướng
A
B
C
D
A
B
C
D


A
B
C
D
Luận văn tốt nghiệp



11

Đồ thị G=<X,U> được gọi là đồ thị vô hướng nếu tất cả các cạnh e

U
mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y)

X không phân biệt thứ tự. Đồ thị vô hướng
là đồ thị không có bất kỳ một cung nào.
Ví dụ: như hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hướng.
2. Đồ thị có hướng
Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị có hướng nếu tất cả các cạnh e

U
mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y)

X có phân biệt thứ tự. Đồ thị có hướng là
đồ thị mà mọi e = (x, y)

X đều là cung.



Hình 2.1 Đồ thị có hướng
3. Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hướng, vừa có cạnh có hướng thì nó được
gọi là đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi được dùng tới.
Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính
tương đối, hiện nay vẫn còn chưa mang tính thống nhất chu
ẩn trên nhiều tài
liệu.
III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ

1. Bậc đồ thị
1.1 Bậc đồ thị vô hướng
Cho đồ thị vô hướng G = <X,U>. Xét 1 đỉnh x

X đặt m(x) là số cạnh
thuộc đỉnh x khi đó m(x) được gọi là bậc của đỉnh x. Nếu x có một khuyên thì
m(x) được cộng thêm 2.



m(x) = 3 m(x) = 2
- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x được gọi là đỉnh cô lập
- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo
Ta đặt
thì m(G) được gọi là bậc của đồ thị vô hướng G = <X, U>
x


x
∑
∈
=
X x
m(x) m(G)
A
B
C

Luận văn tốt nghiệp

12
1.2 Bậc đồ thị có hướng
Cho đồ thị có hướng G= <X,U> xét 1 đỉnh x

X, ta ký hiệu m
+
(x) là số các
cung vào của đỉnh x, còn m
-
(x) là số các cung ra khỏi x. Khi đó ta gọi m
+
(x) là
bậc vào của đỉnh x còn m
-
(x) là bậc ra của đỉnh x.
- Nếu m
+
(x) + m
-
(x) = 0 thì đỉnh x được gọi đỉnh là cô lập
- Nếu m
+
(x) + m
-
(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo
Ta đặt

Khi đó m(G) được gọi là bậc của đồ thị có hướng G = <X,U>.

Trong đồ thị có hướng thì m
+
(x) = m
-
(x) =

U


Ví dụ:
- Xét đồ thị vô hướng như trong hình 1.3.a ta có:
m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10
- Xét đồ thị có hướng trong hình 2.1 ta có:
m(G) = [m
+
(A) + m
+
(B) + m
+
(C) ] + [m
-
(A) + m
-
(B) + m
-
(C)]
= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8
Định lý
:
Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh

của đồ thị, tức là m(G) = 2

U


Chứng minh:
Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2,
nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết
cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý.
Hệ quả:
Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn
Chứng minh:
Gọi A và B tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị. Ta
có:
Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn. Mà tổng bậc của các đỉnh
bậc chẵn (xA) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (xphả
i là
số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số
chẵn các số hạng. Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn.
2. đường đi và chu trình
∑∑
∈
−
∈
+
+=
X xX x
(x)m (x)m m(G)
∑∑∑
∈∈∈

+==
B xA xX x
m(x) m(x) m(x) 2m
Luận văn tốt nghiệp



13
2.1 Đường đi
Xét đồ thị G = <X,U> với
- Tập đỉnh X = {x
1
,x
2
,...,x
n
}
- Tập cạnh U = {u
1
,u
2
,...,u
m
}

Tập hợp các đỉnh kề nhau từ x
i
đến x
j
được gọi là 1 đường đi, kí hiệu

x
i
x
i1
x
i2
... x
j


x
i
u
i
x
i1
u
i1
x
i2
u
i2
... u
j
x
j

Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đường đi có thể lặp lại
Độ dài của đường đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đường đi đó.
*Chú ý rằng trong đồ thị có hướng, trên một cung uv chẳng hạn thì đường đi

chỉ có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngược lại.
2.2 Chu trình
Xét một đường đi từ x
i
- x
j
. Nếu x
i


x
j
thì đường đi này được gọi là một
chu trình. Như vậy chu trình là một đường đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết
thúc trùng nhau.
Chú ý rằng đường đi trong đồ thị có hướng không được đi ngược chiều mũi
tên
- Đường đi (chu trình) được gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá
một lần.
- Đường đi (chu trình) được gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đ
úng một
lần





Hình 3.1
Ví dụ như ở hình 3.1 ADBE là một đường đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;
ABCDBE là đường đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5;

ABDAB là một đường đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài
4; ABDA Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đường đi độ dài 0.
Xét đồ thị có hướng như hình 2.1 thì ABCB là m
ột đường đi độ dài 3; CBA
không là một đường đi vì không có cung đi từ B đến A.
Định lý:

Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2

x
 X | m(x)thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình.
Chứng minh:
A
B
C
D

E
Luận văn tốt nghiệp



14
Xét tất cả các đường đi đơn. Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đường đi
đơn là hữu hạn. Chọn một đường đi là dài nhất nào đó ví dụ từ x
i1
đến x
ij +1

(xem hình vẽ dưới đây). Theo giả thiết m(x)


nên tồn tại ít nhất một
đỉnh x
i0
và một cạnh nối đỉnh x
i1
và x
i0
. Đỉnh x
i0
thuộc một trong các đỉnh trên
đường đi đã chọn chẳng hạn x
ij
vì đường đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại
một chu trình trong đường đi.






3. Đồ thị liên thông
Cho đồ thị G = <X,U>. Hai đỉnh phân biệt x,y

X được gọi là liên thông
nếu tồn tại một đường đi nối các đỉnh x, y với nhau. Đồ thị G được gọi là liên
thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông.
Ví dụ như hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đường đi nối hai đỉnh
bất kỳ của đồ thị, còn đồ thị như hình 3.2 là không liên thông vì không có
đường đi từ A tới D hoặ

c từ D tới F v.v..
Xét 2 đồ thị liên thông
G
1
= <X
1
, U
1
> và G
2
= <X
2
, U
2
>
Trong đó: X
1


X
2
=


và U
1


U
2

=


Khi đó: X = X
1


X
2

U = U
1


U
2

Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G
1
, G
2
.




Hình 3.3
Ví dụ như đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:
G
1

= <X
1
, U
1
> với X
1
= {A,B,C} và U
1
= {AB, AC, CB}
G
2
= <X
2
, U
2
> với X
2
= {D, E} và U
2
= {DE}
G
3
= <X
3
, U
3
> với X
3
= {F} và U
3

=



Cho đồ thị có hướng G = <X, U>
x
i0
x
i1

x
i2
x
i3
x
ij
x
ij+1
A
B
F
C

ED