Tải bản đầy đủ (.pdf) (264 trang)

Tài liệu ôn thi quốc gia môn toán tham khảo

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.52 MB, 264 trang )

UBND TNH BC NINH
 GIÁO DC VÀ ÀO TO
 CNG
ÔN THI THPT QUC GIA MÔN TOÁN
m hc 2014 - 2015
c Ninh, tháng 11 nm 2014
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

CHUYÊN  1. KHO SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Biên son và su tm: Ngô Vn Khánh – GV trng THPT Nguyn Vn C
1. Ch 1: Bài toán v tip tuyn
1.1. Dng 1: Tip tuyn ca  th hàm s ti mt m
00
M( , ) ( ): ()
x y C y fx
Î=
* Tính
''
()
y fx
=
; tính
'
0
()
k fx
=
(h s góc ca tip tuyn)
* Tip tuyn ca  th hàm s
()
y fx


=
ti m
(
)
00
;
Mxy
có phng trình
(
)
'
000
()
yy fxxx
-=-
vi
00
()
y fx
=
Ví d 1: Cho hàm s
3
35
yxx
=-+
(C). Vit phng trình tip tuyn ca  th (C):
a) i m A (-1; 7).
b) i m có hoành  x = 2.
c) i m có tung  y =5.
Gii:

a) Phng trình tip tuyn ca (C) ti m
000
(;)
Mxy
có dng:
0 00
'()()
yy fxxx
-=-
Ta có
2
'33
yx
=-
'(1)0
y
Þ -=
.
Do ó phng trình tip tuyn ca (C) ti m A(-1; 7) là:
70
y
-=
hay y = 7.
b) T
27
xy
=Þ=
.
y’(2) = 9. Do ó phng trình tip tuyn ca (C) ti m có hoành  x = 2 là:
7 9( 2) 7 9 18 9 11

y x y x yx
-= -Û-=-Û=-
c) Ta có:
33
0
535530 3
3
x
y xx xx x
x
é
=
ê
ê
=Û-+=Û-=Û=-
ê
ê
ê
=
ê
ë
+) Phng trình tip tuyn ti ca (C) ti m (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
Do ó phng trình tip tuyn là:
5 3( 0)
yx
-=
hay y = -3x +5.
+) Phng trình tip tuyn ti ca (C) ti m
( 3; 5)

-
.
2
'( 3) 3( 3) 3 6
y
- =- -=
Do ó phng trình tip tuyn là:
5 6( 3)
yx
-=+
hay
6 635
yx
=++
.
+) Tng t phng trình tip tuyn ca (C) ti
( 3; 5)
-
là:
6 635
yx
=-+
.
Ví d 2: Cho  th (C) ca hàm s
32
2 24
yxxx
=- +-
.
a) Vit phng trình tip tuyn vi (C) ti giao m ca (C) vi trc hoành.

GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

b) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti giao m ca (C) vi trc tung.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti m x
0
tha món y(x
0
) = 0.
Gii:
Ta cú
2
'3 42
yxx
= -+
. Gi
(
)
00
;
Mxy
l tip m thỡ tip tuyn cú phng trỡnh:
0 0 0 0 00
'()() '()() (1)
yy yxxx y yxxx y
-=-=-+
a) Khi

()
M C Ox
=

thỡ y
0
= 0 v x
0
l nghim phng trỡnh:
32
22402
xxxx
- + -==
; y(2) = 6, thay cỏc giỏ tró bit vo (1) ta c phng
trỡnh tip tuyn:
6( 2)
yx
=-
b) Khi

()
M C Oy
=
thỡ x
0
= 0
0
(0)4
yy
ị = =-
v
0
'( ) '(0) 2
yxy

==
, thay cỏc
giỏ tró
bit vo (1) ta c phng trỡnh tip tuyn:
24
yx
=-
.
c) Khi x
0
l nghim phng trỡnh y= 0. Ta cú: y = 6x 4.
y = 0
00
2 2 88
6 40
3 3 27
x x x yy
ổử



- = = = ị = =-





ốứ
;
0

22
'()'
33
yxy
ổử



==





ốứ
Thay cỏc giỏ tró bit vo (1) ta c phng trỡnh tip tuyn:
2 100
3 27
yx=-
Vớ d 3: Cho hm s
3
31
yxx
=-+
(C)
a) Vit phng trỡnh tip tuyn d vi (C) tai m cú honh x=2.
b)Tip tuyn d ct li th (C) ti m N, tỡm ta ca m N.
Gii
a) Tip tuyn d ti m M ca th (C) cú honh
00

23
xy
=ị=
Ta cú
2
0
'( ) 3 3 '( ) '(2) 9
yx x yxy
=-ị ==
Phng trỡnh tip tuyn d ti m M ca th (C) l
0 00
'( )( ) 9( 2) 3 9 15
yyxxxyy x yx
= - + ị= -+ị= -
y phng trỡnh tip tuyn d ti m M ca th (C) l
9 15
yx
=-
b) Gi s tip tuyn d ct (C) ti N
Xột phng trỡnh
()
( )
332
2
3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0
4
x
xx x x x x xx
x


=

-+=-- +=- +-=

=-


y
(
)
4; 51
N

l m cn tỡm
Vớ d 4: Cho hm s
3
3 1 ()
yxxC
=-+
v m
00
(,)
Axy

(C), tip tuyn ca th
(C) ti m A ct (C) ti m B khỏc m A. tỡm honh m B theo
0
x
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015


i gii:
Vỡ m
00
(,)
Axy

(C)
3
000
31
yxx
ị=-+
,
'2'2
00
33 ()33
yx yxx
=-ị =-
Tip tuyn ca th hm cú dng:
' 23
0 00 0 000
23
0 00
( )( ) (3 3)( ) 3 1
(3 3)( ) 2 1 ( )
yyxxxyyx xxxx
yxxxxd
= -+= - -+-+
= - +
Phng trỡnh honh giao m ca (d) v (C):

32 33232
0 00 00 00
2
0
0
0
0
0
31(33)()21 320()(2)0
( )0
( 0)
2
20
x x x xx x x xxx xxxx
xx
xx
x
xx
xx
-+= +- +=- +=


=
-=





=-

+=




y m B cú honh
0
2
B
xx
=-
Vớ d 5: Cho hm s
32
1
23
3
yxxx
= -+ (C). Vit phng trỡnh tip tuyn d ca th
(C) ti iờm cú honh
0
x
tha món
''
0
()0
yx
=
v chng minh d l tip tuyn ca (C) cú
s gúc nh nht.
Gii

Ta cú
' 2 ''
43 24
yxx yx
=-+ị=-
000
2
''( ) 0 2 4 0 2 (2; )
3
yx x xM= -= =ị
Khi ú tip tuyn ti M cú h s gúc
0
k
=
''
0
()(2)1
yxy
= =-
y tip tuyn d ca th (C) ti m
2
2;
3
M
ổử









ốứ
cú phng trỡnh
(
)
'
000
()
yy fxxx
-=-
suy ra
()
2
12
3
yx
-=
hay
8
3
yx
=-+
Tip tuyn d cú h s gúc
0
k
=
-1
t khỏc tip tuyn ca thi (C) ti m by k trờn (C) cú h s gúc

(
)
2
'2
0
() 43 211
kyxxxxk
= = - + = - --=
Dõu = xy ra
1
x
=
nờn ta tip iờm trựng vi
2
2;
3
M
ổử








ốứ
y tip tuyn d ca (C) ti m
2
2;

3
M
ổử








ốứ
cú h s gúc nh nht.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

Ví d 6: Vit phng trình tip tuyn vi  th (C):
2
1
x
y
x
+
=
-
ti các giao m ca (C)
i ng thng (d):
32
yx
=-
.

+ Phng trình hoành  giao m ca (d) và (C):
2
3 2 2 (3 2)( 1)
1
x
x x xx
x
+
= -Û+= - -
-
(x = 1 không phi là nghim phng trình)
2
3 6 0 0 ( 2) 2 ( 4)
xx xy xy
Û-=Û==-Ú==
y có hai giao m là: M
1
(0; -2) và M
2
(2; 4)
+ Ta có:
2
3
'
( 1)
y
x
-
=
-

.
+ Ti tip m M
1
(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tip tuyn có phng trình:
32
yx
=
+ Ti tip m M
2
(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tip tuyn có phng trình:
3 10
yx
=-+
Tóm li có hai tip tuyn tha mãn yêu cu bài toán là:
32
yx
=

3 10
yx
=-+
.
Ví d 7: Cho hàm s
32
11
323
m
yxx
=-+
(C

m
).i M là m thuc  th (C
m
) có hoành
 bng -1. Tìm m  tip tuyn vi (C
m
) ti M song song vi ng thng d: 5x-y=0
Gii
Ta có
'2
y x mx
=-
ng thng d: 5x-y=0 có h s góc bng 5, nên  tip tuyn ti M song song vi ng
thng d trc ht ta cn có
'
(1)5154
y mm
-=Û +=Û =
Khi
4
m
=
ta có hàm s
32
11
2
33
yxx
= -+
ta có

0
1
x
=-
thì
0
2
y
=-
Phng trình tip tuyn có dng
'
0 00
()( ) 5(1)2 53
y yxxx y y x y x
= -+Þ= +-Û=+
Rõ ràng tip tuyn song song vi ng thng d
y
4
m
=
là giá tr cn tìm.
Ví d 8: Cho hàm s
32
3
yx xm
=-+
(1).
Tìm m  tip tuyn ca  th (1) ti m có hoành  bng 1 ct các trc Ox, Oy ln
t ti các m A và B sao cho din tích tam giác OAB bng
3

2
.
Gii
i
00
12
x ym
=Þ = -Þ
M(1 ; m – 2)
- Tip tuyn ti M là d:
2
000
(36)()2
y x xxx m
= - - +-
Þ
d: y = -3x + m + 2.
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

- d ct trc Ox ti A:
22
0 3 2 ;0
33
AA
mm
xmxA
ổử
++




=-++=ị





ốứ
- d ct trc Oy ti B:
2 (0 ; 2)
B
y m Bm
=+ị+
-
2
3132
|||| ||||3 23(2)9
2223
OAB
m
S OA OB OA OB m m
+
= = = += + =
231
235
mm
mm
ộộ
+==
ờờ


ờờ
+ =- =-
ờờ
ởở
y m = 1 v m = - 5
1.2. Dng 2: Vit tip tuyn ca thi hm s
()
y fx
=
(C) khi bit trc h s gúc ca nú
+ Gi
00
(,)
Mxy
l tip m, gii phng trỡnh
'
00
()
fx k xx
=ị=
,
00
()
y fx
=
+ n õy tr v ng 1,ta dờ dng lp c tip tuyn ca th:
00
()
ykxxy

= -+
Cỏc dng biu din h s gúc k:
*) Cho trc tip:
3
5; 1; 3;
7
kkkk= = = =
*) Tip tuyn to vi chiu dng ca trc Ox mt gúc
a
, vi
000
2
15 ;30 ;45 ; ; .
33
pp
a
ỡỹ
ùù
ùù

ớý
ùù
ùù
ợỵ
Khi ú h s gúc k =
tan
a
.
*) Tip tuyn song song vi ng thng (d): y = ax + b. Khi ú h s gúc k = a.
*) Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng (d): y = ax + b

1
1kak
a
-
ị =-= .
*) Tip tuyn to vi ng thng (d): y = ax + b mt gúc
a
. Khi ú:
tan
1
ka
ka
a
-
=
+
.
Vớ d 9: Cho hm s
32
3
yxx
=-
(C). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit h
gúc ca tip tuyn k = -3.
Gii:
Ta cú:
2
'36
y xx
=-

i
00
(;)
Mxy
l tip iờm

Tip tuyn ti M cú h s gúc
'2
0 00
()36
kfx xx
= =-
Theo gi thit, h s gúc ca tip tuyn k = - 3 nờn:
22
00000
3632101
xx xx x
- =-- +==
Vỡ
00
1 2 (1; 2)
xyM
=ị=-ị-
.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

Phng trinh tip tuyn cn tìm là
3(1)2 31
y x yx
=- - - Û =- +

Ví d 10: Vit phng trình tip tuyn ca  th hàm s
32
31
yxx
=-+
(C). Bit tip
tuyn ó song song vi ng thng y = 9x + 6.
Gii:
Ta có:
2
'36
y xx
=-
i
00
(;)
Mxy
là tip m
Þ
Tip tuyn ti M có h s góc
'2
0 00
()36
kfx xx
= =-
Theo gi thit, tip tuyn ó song song vi ng thng y = 9x + +6
Þ
tip tuyn có h
 góc k = 9
Þ

022
00 00
0
1 ( 1; 3)
3 6 9 2 30
3 (3; 1)
xM
xx xx
xM
é
=-Þ
ê
- =Û - -=Û
ê

ê
ë
Phng trinh tip tuyn ca (C) ti M(-1;-3) là:
9( 1) 3 9 6
y x yx
= +-Û=+
(loi)
Phng trinh tip tuyn ca (C) ti M(3;1) là:
9( 3) 1 9 26
y x yx
= -+Û=-
Ví d 11: Cho hàm s
3
32
yxx

=-+
(C). Vit phng trình tip tuyn ca (C) bit tip
tuyn ó vuông góc vi ng thng
1
9
yx
-
= .
Gii:
Ta có
2
'33
yx
=-
. Do tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ó vuông góc vi ng
thng
1
9
yx
-
= nên h s góc ca tip tuyn k = 9.
Do ó
22
' 3 3 9 4 2.
ykx xx
= Û - = Û = Û =±
+) Vi x = 2
4
y
Þ=

. Pttt ti m có hoành  x = 2 là:
9( 2) 4 9 14.
y x yx
= -+Û=-
+) Vi
20
xy
=-Þ=
. Pttt ti m có hoành  x = - 2 là:
9( 2) 0 9 18
y x yx
= ++Û=+
.
Vy có hai tip tuyn c (C) vuông góc vi ng thng
1
9
yx
-
= là:
y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví d 12: Lp phng trình tip tuyn vi  th (C) ca hàm s:
42
1
2
4
yxx
=+,
bit tip tuyn vuông góc vi ng thng (d):
5 2010 0
xy

+-=
.
Gii:
(d) có phng trình:
1
402
5
yx=-+ nên (d) có h s góc là -
1
5
.
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

i
D
l tip tuyn cn tỡm cú h s gúc k thỡ
1
. 1 5 ( ( ))
5
k kdod
- =- = D^ .
Ta cú:
3
'4
yxx
=+
nờn honh tip m l nghim phng trỡnh:
3
45
xx

+=
32
9
4 50 ( 1)( 5)0 10 1
4
xx xxx x xy
+ -= - ++ =-= =ị=
y tip m M cú ta l
9
1;
4
M
ổử








ốứ
Tip tuyn cú phng trỡnh:
9 11
5(1)5
44
y x yx-= -=-
y tip tuyn cn tỡm cú phng trỡnh:
11
5

4
yx=
Vớ d 13: Cho hm s
2
23
x
y
x
+
=
+
(C). Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit rng tip
tuyn ct trc honh ti A, trc tung ti B sao cho tam giỏc OAB vuụng cõn ti O, õy O
l gúc ta .
Gii
Ta cú:
'
2
1
(2 3)
y
x
-
=
+
Vỡ tip tuyn to vi hai trc ta mt tam giỏc vuụng cõn nờn h s gúc ca tip tuyn
l:
1
k
=

Khi ú gi
(
)
00
;
Mxy
l tip m ca tip tuyn vi th (C) ta cú
'
0
()1
yx
=
0
2
0
0
2
1
1
1
(2 3)
x
x
x

=-
-

=


=-
+


i
0
1
x
=-
thỡ
0
1
y
=
lỳc ú tip tuyn cú dng
yx
=-
(trng hp ny loi vỡ tip
tuyn i qua gúc ta , nờn khụng to thnh tam giỏc OAB)
i
0
2
x
=-
thỡ
0
4
y
=-
lỳc ú tip tuyn cú dng

2
yx
=
y tip tuyn cn tỡm l
2
yx
=
Vớ d 14: Cho hm s y =
21
1
x
x
-
-
cú th (C).
Lp phng trỡnh tip tuyn ca th (C) sao cho tip tuyn ny ct cỏc trc Ox, Oy ln
t ti cỏc m A v B tha món OA = 4OB.
Gii
Gi s tip tuyn d ca (C) ti
00
(; ) ()
MxyC

ct Ox ti A, Oy ti B sao cho
4O
OAB
=
.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015


Do OAB vuông ti O nên
1
tan
4
OB
A
OA
==
 H s góc ca d bng
1
4
hoc
1
4
-
.
 s góc ca d là
0
22
00
1 11
()0
4
( 1) ( 1)
yx
xx
¢
=- < Þ- =-



00
00
3
1()
2
5
3()
2
xy
xy
é
ê
=-=
ê
ê
ê
==
ê
ë
Khi ó có 2 tip tuyn tha mãn là:
1 3 15
( 1)
4 2 44
1 5 1 13
( 3)
4 2 44
y x yx
y x yx
éé
êê

=- + + =- +
êê
Û
êê
êê
=- - + =- +
êê
ëë
.
1.3. Dng 3: Tip tuyn i qua iêm
Cho  th (C): y = f(x). Vit phng trình tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua
m
(;)
A
ab
.
Cách gii
+ Tip tuyn có phng trình dng:
0 00
() '()( )
yfx fxxx
-=-
, (vi x
0
là hoành 
tip m).
+ Tip tuyn qua
(;)
A
ab

nên
0 00
( ) '( )( ) (*)
fxfxx
ba
-=-
+ Gii phng trình (*)  tìm x
0
ri suy ra phng trình tip tuyn.
Ví d 15: Cho  th (C):
3
31
yxx
=-+
, vit phng trình tip tuyn vi (C) bit
tip tuyn i qua m A(-2; -1).
Gii:
Ta có:
2
'33
yx
=-
i M
(
)
3
000
; 31
xxx
-+

là tip m. H s góc ca tip tuyn là
2
00
'()33
yxx
=-
.
Phng trình tip tuyn vi (C) ti M là
D
:
(
)
32
0000
3 1 (3 3)( )
y x x x xx
+=
D
qua A(-2;-1) nên ta có:
(
)
32
0000
1 31(33)(2)
xxxx
- + = -
32
00
3 40
xx

Û + -=
002
0 00
00
11
(1)(44)0
21
xy
x xx
xy
é
= Þ =-
ê
Û - + + =Û
ê
=- Þ =-
ê
ë
y có hai tip tuyn cn tìm có phng trình là:
: 1 ; : 9 17
y yx
D=-D=+
1.4. Dng 4. Mt s bài toán tip tuyn nâng cao.
Ví d 16: Tìm hai m A, B thuc  th (C) ca hàm s:
3
32
yxx
=-+
sao cho
tip tuyn ca (C) ti A và B song song vi nhau và  dài n AB =

42
.
Gii:
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

i
33
( ; 3 2), ( ; 3 2),
Aaa a Bbb b ab
-+ -+ạ
l hai m phõn bit trờn (C).
Ta cú:
2
'33
yx
=-
nờn cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B cú h s gúc ln lt l:
22
'()3 3'()3 3
ya a vyb b
=- =-
.
Tip tuyn ti A v B song song vi nhau khi:
22
'( ) '( ) 3 3 3 3 ( )( ) 0 ( ỡ 0)
ya yb a b abab a bva b ab
= -= - - + = =- ạ-ạ
2
2 233
4 2 32 ( ) ( 3 2) ( 3 2) 32

AB AB ab aa bb
ộự
= =-+ -+ + =
ờỳ
ởỷ
22
233 2 22
()( )3()32()()( )3()32
ab a b ab ab aba abb ab
ộựộự
-+ - =-+- ++- - =
ờỳờỳ
ởỷởỷ
2
2 222
()()( )332
ab ab a abb
ộự
-+- ++-=
ờỳ
ởỷ
, thay a = -b ta c:
(
)
(
)
22
222 222 642
4 4 3 32 3 80 6 10 80
b bb b bb b b b

+ - = + - -= - + -=
2422
22
( 4)( 2 2)0 40
22
ba
bbbb
ba

= ị =-

- - + = -=

=-ị=


-i
22
a vb
=- =ị
( 2;0) , (2;4)
AB
-
- i
22
a vb
= =-ị
(2;4) , ( 2; 0)
AB
-

Túm li cp m A, B cn tỡm cú ta l:
( 2; 0) (2; 4)
v
-
Vớ d 17: Tỡm hai m A, B thuc th (C) ca hm s:
21
1
x
y
x
-
=
+
sao cho tip
tuyn ca (C) ti A v B song song vi nhau v di n AB =
2 10
.
Gii:
Hm sc vit li:
3
2
1
y
x
=-
+
i
33
;2 , ;2
11

Aa Bb
ab
ổ ửổử
ữữ
ỗỗ
ữữ

ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
++
ố ứốứ
l cp m trờn th (C) tha món yờu cu bi toỏn.
i u kin:
,1,1
abab
ạ ạ- ạ-
.
Ta cú:
2
3
'
( 1)
y
x
=
+
nờn h s gúc ca cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B l:

22
33
'( ) '( )
( 1) ( 1)
ya vyb
ab
==
++
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
10
Tip tuyn ti A v B song song khi:
22
33
'( ) '( )
( 1) ( 1)
ya yb
ab
==
++
11
2
112
a b ab
ab
a b ab
ộộ
+=+=
ờờ
=
ờờ

+ =- - =- -
ờờ
ởở
(1) (do
ab

)
2
22
33
2 10 40 ( ) 40
11
AB AB a b
ba
ổử



==-+-=





++
ốứ
22
22
336
( 2 2) 40 4( 1) 40

111
bb
bbb
ổ ử ổử
ữữ
ỗỗ
ữữ
+- =++=
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
+ +
ố ứ ốứ
( do thay a (1) )
2
42
2
(1)1 11 11
(1)10(1)90
13 13
(1)9
b bb
bb
bb
b


+ = +=+=-



+- ++=


+=+=-
+=




02
20
24
42
ba
ba
ba
ba

= ị =-


=-ị=



= ị =-



=-ị=


p m A v B cn tỡm cú ta l:
( 2; 5) (0; 1) ; (2;1) ( 4; 3)
vv

Vớ d 18: Cho hm s: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cú (C
m
); (m l tham s). Xỏc nh m
(C
m
) ct ng thng y = 1 ti 3 m phõn bit C(0, 1), D, E sao cho cỏc tip tuyn ca
(C
m
) ti D v E vuụng gúc vi nhau.
Gii
Phng trỡnh honh giao m ca (C
m
) v ng thng y = 1 l:
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 x(x
2

+ 3x + m) = 0
2
0
3 0 (2)
x
x xm

=


++=


* (C
m
) ct ng thng y = 1 ti C(0, 1), D, E phõn bit:
Phng trỡnh (2) cú 2 nghim x
D
, x
E
0.

2
0
940
4
0300
9
m
m

m
m

ù


ù
ù
D=->
ù
ù
ù

ớớ
ùù
++ạ
<
ùù
ù

ù

Lỳc ú tip tuyn ti D, E cú h s gúc ln lt l:
k
D
= y(x
D
) =
2
3 6 ( 2 );

DDD
xxm xm
+ +=-+
k
E
= y(x
E
) =
2
3 6 ( 2 ).
EEE
xxm xm
+ +=-+
Cỏc tip tuyn ti D, E vuụng gúc khi v ch khi: k
D
k
E
= 1.
(3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E

) + 4m
2
= 1
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
11
9m + 6m

(3) + 4m
2
= 1; (vỡ x
D
+ x
E
= 3; x
D
x
E
= m theo nh lý Vi-t).
4m
2
9m + 1 = 0 m =
(
)

1
9 65
8
S: m =
(
)

(
)

11
9 65 9 65
88
haym-=
Vớ d 19: p phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ca hm s:
22
1
x
y
x
-
=
+
, bit
ng khong cỏch tm I(-1; 2) n tip tuyn l ln nht.
Gii:
i
D
l tip tuyn ca th (C) ti tip m M
()
22
; , ()
1
a
a MC
a
ổử

-









+
ốứ
.
Ta cú:
()
22
44
' '() ,1
( 1) ( 1)
y yaa
xa
= ị = ạ-
++
y
22
2
224
: ( ) 4 ( 1) 2 4 2 0 (*)
1
( 1)

a
y xa xa yaa
a
a
-
D - = - - + + - -=
+
+
()
22
44
4( 1) ( 1) .2 2 4 2
81
;
4 ( 1) 4 ( 1)
a aa
a
dI
aa
+ +
+
D==
++ ++
.
Ta cú:
2
4222 42
4 ( 1) 2 ( 1) 2.2( 1) 4 ( 1) 2.2( 1) 2 1
a a a a aa
ộự

++=++ +ị++ +=+
ờỳ
ởỷ
()
81
;4
21
a
dI
a
+
ịDÊ=
+
. Vy
(
)
;
dI
D
ln nht khi
(
)
;
dI
D
= 4
22
121
2 ( 1)
123

aa
a
aa
ộộ
+==
ờờ
=+
ờờ
+ =- =-
ờờ
ởở
. C hai giỏ tru tha món
1
a

+ Vi a = 1 thay vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn l:
4 4 40 10
x y xy
- -= =
+ Vi a = -3 thay vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn l:
4 4 280 70
x y xy
- + =-+=
Túm li: Cú hai tip tuyn cn tỡm cú phng trỡnh l:
10; 70
xy xy
= =
Vớ d 20: Cho (C) l th hm s
1
21

x
y
x
+
=
+
. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C),
bit tip tuyn ú ct trc honh, trc tung tng ng ti cỏc m A, B tha món
D
OAB vuụng cõn ti gc ta O.
Gii:
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
12
i
(
)
00
;
Mxy
là tip m. Tip tuyn vi (C) ti M phi tha mãn song song vi các
ng thng y = x hoc y = -x.
Ta có:
2
1
'
(2 1)
y
x
=-
+

nên tip tuyn vi (C) ti M có h s góc là:
0
2
0
1
'()0
(2 1)
yx
x
=-<
+
y tip tuyn vi (C) ti M song song vi ng thng d: y = -x
Do ó,
2
0
2
0
1
1(2 1)1
(2 1)
x
x
- =-Û +=
+
; (
0
1
2
x
=-

không là nghim phng trình)
0 00
0 00
211 01
211 1 0
x xy
x xy
éé
+= =Þ=
êê
ÛÛ
êê
+ =- =- Þ =
êê
ëë
. Vy có hai tip m là:
12
(0;1) , ( 1; 0)
MM
-
.
+ Ti m M
1
(0; 1) ta có phng trình tip tuyn là: y = - x + 1: tha mãn song song vi d
+ Ti m M
2
(-1; ) ta có phng trình tip tuyn là: y = - x - 1: tha mãn song song vi d
y có hai tip tuyn cn tìm có phng trình là:
1;1
yx yx

=- + =- -
Ví d 21: Cho hàm s
3
1
x
y
x
+
=
-
.
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Cho m
(;)
ooo
Mxy
thuc  th (C). Tip tuyn ca (C) ti M
0
ct các tim cn ca
(C) ti các m A và B. Chng minh M
o
là trung m ca n thng AB.
Gii
a)  làm
b)
(;)
ooo
Mxy

(C)


0
0
4
1
1
y
x
=+
-
.
Phng trình tip tuyn (d) ti M
0
:
00
2
0
4
()
( 1)
yy xx
x
-=
-
Giao m ca (d) vi các tim cn là:
00
(2 1;1), (1; 2 1)
Ax By

.


00
;
22
AB AB
xx yy
xy
++
== M
0
là trung m AB.
Ví d 22: Cho hàm s:
2
1
x
y
x
+
=
-
(C)
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Chng minh rng mi tip tuyn ca  th (C) u lp vi hai ng tim cn
t tam giác có din tích không i.
Gii
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
13
a) lm
b) Gi s M
2

;
1
a
a
a
ổử
+








-
ốứ
(C).
PTTT (d) ca (C) ti M:
2
().()
1
a
y yaxa
a
+
Â
= -+
-


2
22
3 42
( 1) ( 1)
aa
yx
aa
- +-
=+

Cỏc giao m ca (d) vi cỏc tim cn l:
5
1;
1
a
A
a
ổử
+






ốứ
-
,
(2 1;1)
Ba

-
.
6
0;
1
IA
a
đ
ổử



=





-
ốứ

6
1
IA
a
=
-
;
(2 2; 0)
IBa

đ
=-

21
IBa
=-
Din tớch
IAB
D
: S
IAB
D
=
1
.
2
IAIB
= 6 (vdt)

PCM.
Vớ d 23: Cho hm s
23
2
x
y
x
-
=
-
.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Cho M l m bt kỡ trờn (C). Tip tuyn ca (C) ti M t cỏc ng tim cn ca
(C) ti A v B. Gi I l giao m ca cỏc ng tim cn. Tỡm ta m M sao cho
ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch nh nht.
Gii
Gi s
0
00
0
23
; ,2
2
x
Mxx
x
ổử
-










-
ốứ
,

(
)
0
2
0
1
'()
2
yx
x
-
=
-
Phng trỡnh tip tuyn () vi (C) ti M:
(
)
0
0
2
0
0
23
1
()
2
2
x
y xx
x
x

-
-
= -+
-
-
a giao m A, B ca () vi hai tim cn l:
( )
0
0
0
22
2; ; 2 2;2
2
x
A Bx
x
ổử
-



-ỗ





-
ốứ
Ta thy

0
0
222
22
AB
M
xxx
xx
+ +-
= ==,
0
0
23
22
AB
M
yyx
y
x
+-
==
-
suy ra M l trung
m ca AB.
t khỏc I(2; 2) v IAB vuụng ti I nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch
S =
2
222
0
00

2
0
0
23
1
(2) 2 (2) 2
2
( 2)
x
IMxx
x
x
pp pp
ộự
ộự
ổử
-
ờỳ


ờỳ

=-+ -=-+ ỗ
ờỳ

ờỳ





-
ờỳ
-
ốứ
ờỳ
ởỷ
ờỳ
ởỷ
u = xy ra khi
02
0
2
0
0
1
1
( 2)
3
( 2)
x
x
x
x

=

-=

=
-



GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
14
Do ó m M cn tìm là M(1; 1) hoc M(3; 3)
Ví d 24: Cho hàm s
21
1
x
y
x
-
=
+
. Tìm ta m M sao cho khong cách tm
( 1;2)
I
-
i tip tuyn ca (C) ti M là ln nht.
Gii.
u
0
0
3
;2 ()
1
MxC
x
æö
÷

ç
÷
-Îç
÷
ç
÷
÷
ç
+
èø
thì tip tuyn ti M có phng trình
0
2
0
0
33
2 ()
1
( 1)
y xx
x
x
-+=-
+
+
hay
2
000
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0
xxxyx

- - + +=
Khong cách t
( 1;2)
I
-
ti tip tuyn là
()
000
44
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
91
( 1)
( 1)
xxx
d
x
x
x
x
++
= ==

++
++
++
+
.
Theo bt ng thc Côsi
2
0
2
0
9
( 1) 296
( 1)
x
x
++³=
+
, vây
6
d
£
.
Khong cách d ln nht bng
6
khi
()
2
2
000
2

0
9
( 1) 1 3 13
( 1)
xxx
x
=+Û +=Û=-±
+
.
y có hai m M:
(
)
13;23
M -+- hoc
(
)
13;23
M +
Ví d 25: Cho hàm s
21
1
x
y
x
+
=
+
. Vit phng trình tip tuyn ca  th (C), bit rng
tip tuyn cách u hai m A(2; 4), B(4; 2).
Gii

Gi x
0
là hoành  tip m (
0
1
x
¹-
).
PTTT (d) là
0
0
2
0
0
21
1
()
1
( 1)
x
y xx
x
x
+
= -+
+
+

22
0 00

( 1) 2 2 10
xx yxx
- + + + +=
Ta có:
(,) (,)
dAd dBd
=

22 22
0 00 0 00
24(1)221 42(1)221
x xx x xx
- ++++=-+ ++++

000
102
xxx
=Ú=Ú=-
y có ba phng trình tip tuyn:
15
; 1; 5
44
y x yx yx
= + =+ =+
Chú ý: Bài toán này có thê gii bng cách sau: Tip tuyn cách u A, B nên có 2 kh nng:
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
15
Tip tuyn song song (trựng )AB hoc tip tuyn i qua trung iờm ca AB
Vớ d 26: Cho hm s
2

()
1
x
yC
x
=
+
tỡm m M
()
C

sao cho tip tuyn ca th hm
ti M ct hai trc ta ti A, B sao cho tam giỏc OAB cú din tớch bng
1
4
Gii:
i
0
000
0
2
(, ) ()
1
x
MxyCy
x
ẻ đ=
+
,
2

2
'
( 1)
y
x
=
+
Tip tuyn ti M cú dng:
2
00
0000
2 22
0
0 00
22
22
'()() () ()
1
( 1) ( 1) ( 1)
xx
y yxxx y y xx y x d
x
x xx
= - + = - + = +
+
+ ++
i
( ) ox
Ad
=ầ


ta m A l nghim ca h:
2
2
0
2
0
22
0
00
2
2
( , 0)
( 1) ( 1)
0
0
x
xx
yx
Ax
xx
y
y

ù
ù

ù
=-
=+

ù
ù
ùù
ị-
++
ớớ
ùù
=
ùù
ù

=
ù
ù

i
( ) oy
Bd
=ầ

ta m B l nghim ca h:
2
22
0
0022
22
00
00
2
2

0
22
(0,)
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
0
x
x
yx
xx
B
xx
y
xx
x

ù
ù

ù
=
=+
ù
ù
ù

++
ớớ
ùù
=

++
ùù

=
ù
ù

Tam giỏc OAB vuụng ti O ; OA =
22
00
xx
-=
; OB =
22
00
22
00
22
( 1) ( 1)
xx
xx
=
++
Din tớch tam giỏc OAB:
S =
1
2
OA.OB =
4
0

2
0
2
11
.
24
( 1)
x
x
=
+
22
0 0 0042
00
22
00
0 0 00
00
1
2 1 2 10
2
4 ( 1)
2
2 1 2 1 1()
11
x x xx
xy
xx
x x x x vn
xy


ộộ
= + - -=

=- ị =-
ờờ

=+
ờờ

= ++
ờờ
=ị=
ờởở

y tỡm c hai m M tha món yờu cu bi toỏn:
12
1
( ; 2) ; (1, 1)
2
MM
Bi tp t luyn
Bi 1. Cho hm s
32
3 2 5()
yxxx C
=- +-
. Vit phng trỡnh tip tuyn ti m cú
honh x = 1
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

16
Bài 2. Cho hàm s
3
12
33
y xx
= -+
, vit phng trình tip tuyn bit tip tuyn vuông
góc vi ng thng
12
()
33
y xd
=-+
Bài 3. Cho hàm s
32
3 9 5 ()
yxxxC
=+ -+
. trong tt c các tip tuyn ca (C ) tìm
tip tuyn có h s góc nh nht
Bài 4. Cho hàm s:
42
1
x
y
x
-
=
+

(C). Tính din tích hình phng gii hn bi (C), trc Oy
và tip tuyn ca (C) ti m có hoành  x = 3.
Bài 5. Cho hàm s
42
6
y xx
= +
. Vit phng trình tip tuyn ca  th (C) bit tip
tuyn ó vuông góc vi ng thng d:
1
1
6
yx
=-
Bài 6. p phng trình tip tuyn vi  th (C) ca hàm s
21
1
x
y
x
+
=
+
. Bit tip tuyn
i qua m A(-1; 3).
Bài 7. Cho hàm s: y =
2
2
x
x

+
-
có  th (C). Vit phng trình tip tuyn ca (C) i qua
A(-6,5)
Bài 8. p phng trình tip tuyn ca  th (C) ca hàm s y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1 k t
m
23
;2
9
A
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 9. Cho hàm s
23
2
x
y

x
-
=
-
có  th (C).
a) Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s (C)
b) Tìm trên (C) nhng m M sao cho tip tuyn ti M ca (C) ct hai tim cn ca
(C) ti A, B sao cho AB ngn nht
Bài 10.
Cho hàm s:
1
1
x
y
x
+
=
-
. CMR:
a) Nu tip tuyn ca ths ct hai ng tim cn ti A và B thì tip m là trung
m ca AB.
b) Mi tip tuyn ca  thu to vi hai ng tim cn mt tam giác có din
tích không i.
c) Tìm tt c các m thuc  th hàm s sao cho tip tuyn ti ó to vi hai
ng tim cn mt tam giác có chu vi nh nht.
Bài 11.
Cho hàm s
3
1 ( 1)
y x mx

=+-+
()
m
C
.Tìm m  tip tuyn ca
()
m
C
ti giao m
a nó vi trc tung to vi hai trc ta  mt tam giác có din tích bng 8.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
17
Bài 12. Cho hàm s:
1
2( 1)
x
y
x
-
=
+
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Tìm nhng m M trên (C) sao cho tip tuyn vi (C) ti M to vi hai trc ta
 mt tam giác có trng tâm nm trên ng thng 4x + y = 0.
2. Ch 2: Cc tr ca hàm s.
2.1. Kin thc c bn
2.1.1. Các quy tc tìm các m cc tr ca hàm s:
QUY TC I QUY TC II
c 1: Tìm TX
c 2: Tính

(
)
/
fx
. Xác nh các m ti
n.
c 3: Lp bng bin thiên. Kt lun.
c 1: Tìm TX
c 2: Tính
(
)
/
fx
. Gii phng trình
(
)
/
0
fx
=
và kí hiu
i
x
(
1, 2,
i
=
) là các
nghim ca nó.
c 3: Tính

(
)
//
fx

(
)
//
i
fx
. Kt lun
2.1.2. S tn ti cc tr
a/ u kin  hàm s có cc tr ti x = x
0:
0
0
'()0
' dôi dau qua x
yx
y
ì
ï
=
ï
í
ï
ï
î
hoc






0)(''
0)('
0
0
xy
xy
b/ u kin  hàm s có cc i ti x
0
:
0
0
'()0
' doi dau tu .
yx
y sang quax
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
+-
ï
ï
î

hoc





0)(''
0)('
0
0
xy
xy
c/ u kin  hàm s có cc tu ti x
0
:
0
0
'()0
' doi dau tu .
yx
y sang quax
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
-+
ï

ï
î
hoc





0
0
y'(x)0
y''(x)0
d/ u kin  hàm bc 3 có cc tr (có cc i, cc tiu):
y’= 0 có hai nghim phân bit

a0
0





e/ u kin  hàm bc 4 có 3 cc tr: y
/
= 0 có 3 nghim phân bit.
2.1.3. Tìm u kin  các m cc tr ca hàm s tha mãn u kin cho trc.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
18
Phng pháp:
 Tìm u kin  hàm s có cc tr

 Biu din u kin ca bài toán qua ta  các m cc tr ca  th hàm s,
ó a ra u kin ca tham s.
2.2. Ví d và bài tp
Vi d 1: Tìm cc tr ca ca hàm s
32
11
22
32
yx xx  .
Gii
 Cách 1.
* Tp xác nh:R.
Ta có: .
* Bng bin thiên:
x – 1 2
y’ + 0 – 0 +
y
y hàm st cc i ti x = -1 và giá tr cc i y

()
19
1
6
y= -=
Hàm st cc tiu ti x = 2 và giá tr cc tiu y
CT
()
4
2
3

y
-
==
.
Cách 2. (S dng quy tc 2)
* Tp xác nh:
D = 
.
Ta có: .
*
()
'' 2 1, '' 1 3 0y xy= - - =-<
nên hàm st cc i ti m x = -1 và giá tr cc i
y

()
19
1
6
y= -=
*
()
''2 30y =>
nên hàm st cc tiu ti x = 2 và giá tr cc tiu y
CT
()
4
2
3
y

-
==
.
Vi d 2: Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a)
1
cos os2 1
2
y x cx=+- b)
21
3 sinx cos
2
x
yx
+
= ++
(?) Ta thy hàm s này rt khó xét du ca y’, do ó hãy s dng quy tc 2  tìm cc tr?
2
1
' 2;'0
2
x
yxxy
x


  






2
1
' 2;'0
2
x
yxxy
x


  



GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
19
Gii
a) TX: D=R
*
' sinx sin2
yx
=
sinx0
'0 sinx(12cos)0
12
cos2
23
xk
yx

xxn
p
p
p
éé
êê
êê
êê
êê
ëë
==
=Û + =Û Û
=- =±+
*
" cos 2 os2
y x cx
=
Ta có
"( ) os( ) 2 os( 2 ) 1 2 0
yk ck ck
ppp
=- - =±-<
Þ
Hàm st cc tiu ti:
()
xkk
p
= ÎZ
13
10

22
2 24
" 2 os - 2cos
3 33
y nc
p pp
p
æ ö æö æö
÷ ÷÷
ç çç
÷ ÷÷
=+=>
ç çç
÷ ÷÷
ç çç
÷ ÷÷
÷ ÷÷
ç çç
è ø èø èø
±+=-±±
Þ
Hàm st cc tiu ti:
2
2 ()
3
x n nZ
p
p=±+Î
b) TX: D=R.
*

' 3cos sinx1
yx
= -+
'03cossinx1
yx
= Û - =-
311
cos sinx
222

- =-
1
sin x sin
326
pp
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Û - ==
2
2
7

2
6
xk
xk
p
p
p
p
é
ê
ê
Û
ê
ê
ê
ê
ë
=+
=+
*
" 3 sinx cos
yx
=
Ta có:
+
" 2 3sin cos 30
2 22
yk
p pp
p

æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
=+ =- - =-<
+
7
" 2 30
6
yk
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø

+ =>
y hàm st cc i ti
2
2
xk
p
p
=+
Hàm st cc tiu ti
7
2
6
xk
p
p
=+
* Giáo viên cn làm cho hc sinh hiu rõ th mnh ca vic s dng quy tc 1 và quy tc 2.
Chú ý: Quy tc 1 có u m là ch cn tính o hàm cp mt ri xét du y’ và lp
ng xét du y’, tó suy ra các m cc tr. Nhng quy tc 1 có nhc m là nó òi hi
phi xét du y’, u này không phi bao gi cng n gin.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
20
u bài toán không yêu cu tìm m cc tr thì quy tc 1 là hi tha, khi ó ta s dng
quy tc 2. Song quy tc 2 cng có nhc m là nhiu khi vic tính y” là rt phc tp, c
bit khi không s dng c trong trng hp
,
0
()
fx
=

,,
0
()
fx
=0.
Quy tc 1 thng c dùng cho các hàm a thc, hàm phân thc và tích các ly
tha. Quy tc 2 thng c s dng cho các hàm lng giác.
Vi d 3: Tìm m hàm s:
(
)
(
)
32 22
1
2315
3
y x m m x m xm
= + -+ + + +-
t cc tiu
i x  2.
Gii:
(
)
(
)
222
2 231
yxx mm xm
¢
=+ -+++


(
)
(
)
2
222
yx x mm
¢¢
= + -+
 hàm st cc tiu ti x  2 thì
(
)
()
(
)
(
)
()
2
2
20 4 30 1 30
3
0
20 10
y mm mm
m
mm
y mm
ìì

ì
ïï
ï
¢
-= -+ -= - -=
ïï
ï
ïïï
Û Û Û=
ííí
ïïï
¢¢
->
-> ->
ïïï
ï
ïï
î
îî
Vi d 4: Cho hàm s:
32
3(1)9
y x m x xm
=- + +-
, vi m là tham s thc.Xác nh
m

hàm sã cho t cc tr ti
12
,

xx
sao cho
12
2
xx

.
Gii
 Ta có
2
' 3 6( 1) 9.
y x mx
= - ++

Hàm s có cc i, cc tiu x
1
, x
2
.
Û
PT y’ = 0 có hai nghim phân bit là x
1
, x
2
.
Û
2
2( 1) 30
x mx
- + +=

có hai nghim phân bit là
12
,
xx
.
2
'( 1)30 13 13
m mm
ÛD= + - > Û >-+ Ú <
(1)
Theo  ta có:
(
)
2
1 2 1 2 12
2 4 4 (*)
x x x x xx-£Û+-£
Theo nh lý Viet ta có:
1 2 12
2( 1); 3.
x x m xx
+=+=
(
)
2
(*) 4 1 124
m
Û +-£
2
( 1) 4 3 1 (2)

mm
Û + £Û-££
 (1) và (2) suy ra giá tr m cn tìm là:
3 13
m
-£ <
hoc
1 3 1.
m
-+ <£
Vi d 5: Cho hàm s
(
)
32
() 3 11
y f x mx mx m x
= = +
, m là tham s. Xác nh các giá
tr ca m  hàm s
()
y fx
=
không có cc tr.
Gii
+ Khi m = 0
1
yx
Þ=-
, nên hàm s không có cc tr.
+ Khi

0
m
¹
(
)
2
'361
y mx mx m
Þ= +
Hàm s không có cc tr khi và ch khi
'0
y
=
không có nghim hoc có nghim kép
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
21
(
)
22
'9 3 112 30
mmm mm
ÛD= + -= -£
1
0
4
m
Û££
y
04
m

££
là gtct
Vi d 6: Cho hàm s
3 22
(21)( 32)4
yx mxmmx
=-++ +-
(m là tham s) có  th là
(C
m
). Xác nh m (C
m
) có các m cc i và cc tiu nm v hai phía ca trc tung.
Gii
22
3 2(2 1) ( 3 2)
y x mxmm
¢
=-+ +- -+
.
(C
m
) có các m C và CT nm v hai phía ca trc tung

PT
0
y
¢
=
có 2 nghim trái

u

2
3( 3 2)0
mm
- +<

12
m
<<
.
Vi d 7: Tìm m hàm s
(
)
(
)
(
)
32
11
132
33
fx mxmx mx
= +-+
t cc tr ti x
1
, x
2
tha mãn
12

21
xx
+=
.
Gii:
Hàm s có C, CT 
(
)
(
)
(
)
2
2 1 3 20
fxmx mxm
¢
= - - + -=
có 2 nghim phân
bit 
() ()
2
0
1 3 20
m
m mm
ì
ï
¹
ï
í

¢
D= - - ->
ï
ï
î

66
1 01
22
m- < ¹ <+ (*)
i u kin (*) thì
(
)
0
fx
¢
=
có 2 nghim phân bit x
1
, x
2
và hàm s f (x) t cc tr ti x
1
,
x
2
. Theo nh lý Viet ta có:
(
)
(

)
1 2 12
21 32
;
mm
x x xx
mm

+==
Ta có:
(
)
(
)
1221
21 21
2 2 34
211;
mm
m mm
xxxx
m m mmm

-
+=Û=- = = -=
(
)
()( ) ()
32
2 34

23432
m
mm
m m mm
mmm
-

Þ× = Û- -=-
2
2
3
m
m
é
=
ê
Û
ê
=
ê
ë
 2 giá tr này u tha mãn u kin (*). Vy
12
21
xx
+=
2
2
3
mm

Û=Ú=
Ví d 8. Cho hàm s
3 23
34
yxmxm
=-+
(m là tham s) có  th là (C
m
). Xác nh m
(C
m
) có các m cc i và cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.
Gii
Ta có: y’ = 3x
2
 6mx = 0 
0
2
x
xm
é
=
ê
ê
=
ê
ë
 hàm s có cc i và cc tiu thì m  0.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
22

Gi s hàm s có hai m cc tr là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0) 
  
3
(2;4)
AB mm
=-
Trung m ca n AB là I(m; 2m
3
)
u kin  ABi xng nhau qua ng thng y = x là AB vuông góc vi ng thng y
= x và I thuc ng thng y = x
3
3
240
2
mm
mm
ì
ï
-=
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
ï

î
Gii h phng trình ta c
2
2
m =± ;m = 0
t hp vi u kin ta có:
2
2
m =±
Ví d 9. Cho hàm s
3223
3 3( 1)
yx mx m xmm
=- + +
(1). Tìm m hàm s (1) có
c trng thi khong cách tm cc i ca  th hàm sn gc ta  O bng
2
n khong cách tm cc tiu ca  th hàm sn gc ta  O.
Gii
Ta có
22
3 6 3( 1)
yxmxm
¢
=-+-
Hàm s (1) có cc tr thì PT
0
y
¢
=

có 2 nghim phân bit
22
2 10
x mxm
Û - + -=
có 2 nhim phân bit
1 0,
m
ÛD=>"
Khi ó, m cc i
( 1;2 2)
Amm

và m cc tiu
( 1;2 2)
Bmm
+
Ta có
2
3 22
2 6 10
3 22
m
OA OB m m
m
é
=-+
ê
= Û + +=Û
ê

ê
=
ë
.
Ví d 10. Cho hàm s
(
)
4 22
21
m
yxmxC
=-+
(1). Tìm m d hàm s (1) có ba m cc
tr là ba nh ca mt tam giác vuông cân.
Gii
Ta có:
()
3 2 22
22
0
' 4 4 4 0 0 (*)
x
yxmxxxmm
xm
é
=
ê
= - = - =Û Þ¹
ê
=

ê
ë
i u kin (*) thì hàm s (1) có ba m cc tr. Gi ba m cc tr là:
(
)
(
)
(
)
44
0;1 ; ;1 ; ;1
A BmmCmm

. Do ó nu ba m cc tr to thành mt tam giác
vuông cân, thì nh s là A.
Do tính cht ca hàm s trùng phng, tam giác ABC ã là tam giác cân ri, cho nên 
tha mãn u kin tam giác là vuông, thì AB vuông góc vi AC.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
23
(
)
(
)
(
)
  
44
;; ;; 2;0
AB mmAC mmBC mÛ= =-=
Tam giác ABC vuông khi:

(
)
2 2 2 2 28 28
4
BC ABAC m mm mm
= + Û =+++
(
)
244
210;11
mm mm
Û - = Þ = Û =±
y vi m = -1 và m = 1 thì tha mãn yêu cu bài toán.
Ví d 11. Cho hàm s
4 22
21
y x mx
=-+
(1).Tìm tt c các giá tr m  th hàm s (1)
có ba m cc tr A, B, C và din tích tam giác ABC bng 32 (n v din tích).
Gii
+) Ta có y’ = 4x
3
– 4m
2
x ; y’ = 0
Û
22
0
x

xm
é
=
ê
ê
=
ê
ë
; K có 3 m cc tr: m
¹
0
+) Ta  ba m cc tr: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m
4
), C(m ; 1 – m
4
) ;
+) CM tam giác ABC cân nh A. Ta  trung m I ca BC là I(0 ; 1 – m
4
).
+)

5
4
1
. 322
2
ABC
SAIBCmmmm
= = = = Û =±
(tm)

Ví d 12. Cho hàm s
42
21
y x mx
=-+
(1). Tìm các giá tr ca tham s m  thi hàm
 (1) có ba m cc tr và ng tròn i qua ba m này có bán kính bng 1.
Gii
Ta có
3
'44
y x mx
=-
2
0
'0
x
y
xm
é
=
ê

ê
=
ê
ë
Hàm s có 3 cc tr
Û
y’ i du 3 ln

Û
phng trình y’ = 0 có 3 nghim phân bit
Û
m > 0
Khi m > 0,  th hàm s (1) có 3 m cc tr là
22
( ;1 ) , ( ;1 ) , (0;1)
AmmBmmC-
i I là tâm và R là bán kính ca ng tròn i qua 3 m A, B, C.
Vì 2 m A, B i xng qua trc tung nên I nm trên trc tung.
t I(0 ; y
0
). Ta có: IC = R
02
0
0
0
(1 )1
2
y
y
y
é
=
ê
Û - =Û
ê
=
ê
ë

(0 ; 0)
IO
Þº
hoc
(0 ; 2)
I
* Vi
(0 ; 0)
IO
º
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
24
IA = R
22 42
0
1
15
(1)120
2
15
2
m
m
m m m mm
m
m
é
=
ê
ê

=
ê
ê

ê
Û +- =Û - + =Û
=
ê
ê
ê
-+
ê
=
ê
ë
So sánh u kin m > 0, ta c m = 1 và m =
15
2
-+
* Vi I(0 ; 2)
IA = R
22 42
(1)120
m m m mm
Û + =Û + +=
(*)
Phng trình (*) vô nghim khi m > 0
y bài toán tha mãn khi m = 1 và m =
15
2

-+
Ví d 13. Cho hàm s
42
21
yx mxm
= - +-
(1), vi
m
là tham s thc. Xác nh
m

hàm s (1) có ba m cc tr, ng thi các m cc tr ca  th to thành mt tam giác
có bán kính ng tròn ngoi tip bng
1
.
Gii
()
'32
2
0
4440
x
y x mx xxm
xm
é
=
ê
= - = - =Û
ê
=

ê
ë
Hàm sã cho có ba m cc tr
Û
pt
'
0
y
=
có ba nghim phân bit và
'
y
i du khi
x
i qua các nghim ó
0
m
Û>
 Khi ó ba m cc tr ca  th hàm s là:
(
)
(
)
(
)
22
0;1,;1,;1
Am B mm m Cmm m
- - - +- - +-



2
1
.
2
ABC BACB
S y y x x mm
= - -= ;
4
,2
AB AC m m BC m
==+=
(
)

4
3
2
1
2

1 1 2 10
51
4
4
2
ABC
m
mmm
AB AC BC

R mm
S
m
mm
é
=
+
ê
ê
= =Û =Û - +=Û
-
ê
=
ê
ë
Bài tp t luyn
Bài 1. Cho hàm s
(
)
32
2316
y x m x mx
=-++
.
a) Tìm
m
 hàm s có cc tr.

×