Phuong trinh vi phan tren da tap

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP

Giả sử hàm
(, )
f
xy
xác định và liên tục trong miền G mở của mặt phẳng . Qua mỗi
điểm (x,y) thuộc G, ta vẽ vector có độ dài bằng 1 và lập với chiều dương của trục hoành
một góc
2
\
α
sao cho
(, )tg f x y
α
=
.
Làm như vậy đối với mọi điểm trong G thì ta nhận được một trường vector
còn gọi là trường hướng. Bài toán đặt ra là tìm đường cong là tập
hợp các điểm
() (, (, ()))Vx Vxfxyx=
(, ())
x
yx
với x thuộc miền mở , y liên tục trên D, sao cho tại mỗi
điểm của đường cong đó, tiếp tuyến với đường cong trùng với hướng vector của trường
hướng tại điểm đó. Đường cong đó nếu tồn tại thì gọi là đường cong tích phân, và bài
toán đặt ra sẽ đưa ta đến việc giải phương trình vi phân sau
D ⊂ \
'(,),yfxyxD
=

∈

Tuy nhiên trong thực tế, người ta không quan tâm đến tất cả các đường cong tích phân
này mà chỉ quan tâm đến đường cong tích phân thỏa điều kiện nào đó, chằng hạn đi qua
một điểm cho trước thuộc D. Đó chính là ý nghĩa hình học của Bài toán Cauchy mà ta đã
nghiên cứu
0
00
'(,),
() .
yfxyxx
yx y
D
=
∈
⎧
⎨
=
⎩

Như đã biết, với điều kiện
(, )
f
xy
có tính Lipchitz theo biến thứ hai thì Bài toán Cauchy
có duy nhất nghiệm
()yx
ϕ
=
với x thuộc lân cận đủ bé trong

.\
Hơn thế nữa, người ta cũng chứng minh được rằng Bài toán Cauchy này vẫn tồn tại và
duy nhất nghiệm trong không gian Banach tổng quát, nhưng G vẫn chỉ là tập mở trong
không gian Banach đó.
Một câu hỏi hết sức tự nhiên được đặt ra là liệu chăng Bài toán Cauchy vẫn đảm bảo tính
tồn tại và duy nhất nghiệm hay không nếu ta thay G là đa tạp k-chiều trong không gian

?
n
\
Và đó chính là nội dung chính của bài thu hoạch này.

1
Trước hết, chúng ta cần tìm hiểu sơ bộ các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
thường dựa trên lý thuyết về đa tạp.
PHẦN 1
ĐƯỜNG CONG TÍCH PHÂN

1.1. Trường vector trơn trên đa tạp
Cho M là đa tạp k-chiều trong , ta nói V là trường vector trên đa tạp M nếu V là ánh xạ
từ , biến x thành vector V(x) thuộc TM
n
\
.
x
M
∈
n
M → \
x

, với mọi
Ví dụ. Xét S
1
là đa tạp 1-chiều trong , trường vector được xác định như sau
2
\
12
:
(, ) ( ,).
VS
x
yy
→
−
\
6 x
→ \









(, )Vxy
y
x
y−

y
x
TM












Nếu ánh xạ
VM
là trơn thì ta nói V là trường vector trơn trên M.
:
n

1.2. Đường cong tích phân
Cho M là một đa tạp k-chiều trong , V là truờng vector trơn trên M. Một đuờng cong
tích phân của V là ánh xạ trơn
n
\
: JM
γ
→
, với J là khoảng mở trong sao cho \

'( ) ( ( )),tVt
γ
γ
=
với mọi
tJ
.
∈

Nói cách khác, đường cong tích phân này là đường cong nằm trên M, mà tại mỗi điểm
của nó, vector tiếp xúc tương ứng bằng với trường vector tại điểm đó, trong đó V là
trường vector cho trước.






2
()t
γ
n
\
()t
TM
γ
M
n
\
γ

Nếu thì điểm
0 J∈
được gọi là điểm bắt đầu của
(0) p
γ
=
γ
.
2
M
= \Ví dụ 1.2.1. Xét đa tạp trong , V là ánh xạ được xác định như sau
2
\
:
(, ) (, ) (1,0).
V
x
xy xy
x
∂

=×→×
∂
∂
=
∂
\\ \\
6

Do
2
M
= \ nên với mọi và do đó, V hiển nhiên là trường vector
trên .
2
(,)
,
uv
TM = \
2
(,)uv∈\
2
\
Xét ánh xạ
γ
như sau
2
:( 1,1)
(,ttab
γ
−→

+
\
6 ),

với a,b là hằng số cho trước.
Ta có
với mọi
t

'( ) (1,0),t
γ
= (1,1).∈−
(()) ( ,) (1,0),Vt tab
x
γ
∂
=+=
∂
với mọi
t (1,1).

∈
−
Nên
γ
chính là đường cong tích phân của V, và thỏa .
(0) ( , )ab
γ
=
Và như thế thì luôn có một đường cong tích phân đi qua mọi điểm của mặt phẳng.

Ví dụ 1.2.2. Xét ánh xạ sau
22
(,)
(,)
:
(, )
xy
x
y
W
xy x y
xy
→
∂∂
+
∂∂
\\
6

Ta xét là đường cong trơn được viết theo lối thông thường
2
:
γ
→\\
() ( (), ())txtyt
γ
=

thì điều kiện để

γ
là đường cong tích phân là
()
'( )
t
tW
γ
γ
=
,nghĩa là
( (), ()) ( (), ())
((),()) ((),())
'() '() () () .
xt yt xt yt
x
tyt xtyt
xt yt xt yt
xyxy
∂∂∂∂
+=+
∂∂∂∂

So sánh từng thành phần của vector này thì ta có được điều tương đương là hệ phương
trình vi phân thường sau
'( ) ( ),
'( ) ( ).
x
txt
yt yt
=

=


3
( )
t
x
tae= ( )
t
y
tbe=Nghiệm của hệ phương trình này là và , với
,ab
∈
\
. Nói cách khác,
đường cong tích phân của ta chính là và điểm bắt đầu là ( ) ( , )
tt
taebe
γ
=
(0) ( , ).ab
γ
=
ta
lại thấy rằng luôn tồn tại một đường cong tích phân đi qua mỗi điểm
2
(,) .ab∈\

Như trong ví dụ thứ hai , ta thấy rằng việc tìm đường cong tích phân thì tương ứng với
việc giải một hệ những phương trình vi phân thường của từng thành phần tọa độ. Tổng

quát hơn, xét
: JM
γ
→
là đường cong trơn bất kỳ, nghĩa là nếu viết
γ
dưới dạng
12
() ( (), (), , ())
n
ttt
γγγ γ
= t
12
, , ,
n
γ
γγ
thì thuộc lớp . Để ( )CJ
∞
γ
là đường cong tích phân của trường vector trơn V
thì theo định nghĩa, ta cần
()
1
()
'( ) ( ) '( ) .
n
i
t

i
i
t
tt
x
γ
γ
γγ
=
∂
==
∂
∑
V

Do định nghĩa của trường vector, nên nằm trên không gian tiếp xúc được sinh ra bởi
cơ sở
{
()t
V
γ
}
()
1
/|
n
i
t
i
x

γ
=
∂∂
. Nói cách khác, để
γ
là đường cong tích phân của trường vector trơn
V thì ta cần có sự bằng nhau giữa các tọa độ bộ phận
() ()
()'() (()) ,
ii
ii
tt
tVt
xx
γγ
γγ
∂∂
=
∂∂

điều này dẫn đến một hệ thống những phương trình vi phân thường (ODEs) sau
1112
12
( )( ) ( ( ), ( ), , ( )),

( )( ) ( ( ), ( ), , ( )),
n
nn n
tV t t t
tV t t t

γγγγ
γγγγ
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩

trong đó, là hàm thành phần thứ i của V . Việc giải hệ phương trình vi phân thường
trên tương đương với việc giải từng phương trình vi phân thường. Và từ đây, mục đích
chính của ta là chứng minh dưới những điều kiện nào thì từng phương trình vi phân
thường trên tồn tại và duy nhất nghiệm, nghiệm này khi nào thì liên tục hay trơn. Vì khi
có được những khẳng định này thì ta mới có kết luận tương tự cho việc tìm đường cong
tích phân mà ta đã giới thiệu từ đầu. Và đậy cũng chính là lý do vì sao ta sử dụng thuật
ngữ “đường cong tích phân”, bới ta cần “tích phân” hệ phương trình vi phân trên để tìm
nghiêm của chúng. Tuy nhiên, tùy theo cách tham số hóa mà ta có khẳng định về sự tồn
tại duy nhất đường cong tích phân đi qua mỗi điểm.
i
V

Bổ đề sau đây sẽ cho thấy một đường cong tích phân có thể được tham số hóa lại để thay
đổ điểm bắt đầu của nó bằng cách tịnh tiến theo a.

Bổ đề 1.2 (Bổ đề tịnh tiến) Cho V là một trường vecto trơn trên một đa tạp trơn M .
Cho
J
⊂\
:

J
M
γ
→
là một khoảng mở bất kỳ chứa O . Cho là một đường cong tích
phân của V .Với mỗi đặt
aJ∈
{
}
:
J
ttaJ
=
∈+∈

\ .
Khi đó đường cong

4

i

:
() ( ),
JM
ttta
γ
γγ
→
=+6

()a
γ
là một đường cong tích phân của V,với điểm bắt dầu tại .

Chứng minh. Dễ thấy, đây là một áp dụng trưc tiếp của quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp
trong tọa độ thành phần . Ta xét tác động của
()t
γ
′

trên một hàm trơn f định nghĩa trong
một lân cận của một điểm . Bằng quy tắc lấy đạo hàm hàm hợp , ()
o
t
γ

γ
là một đường
cong tích phân , ta có
()
()
() ()
()
()( )
()
() ()
tt
o
tt

o
d
tf f t
o
dt
d
fta
dt
fta
o
t afV fV f
ota
oo
γγ
γ
γ
γ
γγ
=
=
′
=
=+
′
=+
′
=+= =
+

D

D
D


.
t
γ

là một đường cong tích phân của V . □

5
PHẦN 2
FLOWS
Định nghĩa 2.1 Cho M là một đa tạp trơn. Ta định nghĩa một flow toàn cục trên M là
một ánh xạ trơn
:
M
M
θ
×→\
thỏa mãn những tính chất sau đây với mọi và
mọi
,st∈\
pM∈

(, ( , )) ( , ),
(0, ) .
tsp tsp
pp
θ
θθ
θ
=
+

=
(2.1)
Đôi khi ta còn gọi flow toàn cụa này là tác động nhóm một tham số.

Định nghĩa 2.2 Cho
θ
là một flow toàn cục trên M, Chúng ta định nghĩa hai ánh xạ sau

Với mỗi , ta đặt
t ∈\

:
() (,).
t
t
MM
p
ptp
θ
θθ
→
=6
(2.2)
Với mỗi , ta đặt
pM∈
(2.3)
()
()
:
() (, ).

P
p
M
ttt
θ
θθ
→
=
\
6
p
Từ Định nghĩa (2.1) và (2.2) ta dễ dàng chứng minh được

0
,
.
M
ts ts
Id
θ
θ
θθ
+
=
=D
(2.4)
Mệnh đề sau đây sẽ cho ta thấy rằng một flow toàn cục hiện diện như là tập hợp của
những đường cong tích phân của một vài trường vector đặc biệt.

Bổ đề 2.3 Cho

:
M
M
θ
×→\
p
M
∈
là một flow tòan cục .Với mỗi , ta định nghĩa
một vector tiếp xúc VT bởi M
pp
∈
()
(0) ( , ).
0
p
Vt
p
t
t
θθ
∂
==
∂
=
′
p

Phép tương ứng là một trường vector V trên M , và mỗi đường cong là
một đường cong tích phân của V .

()p
θ
pV
p
6
Trường vector V định nghĩa trong trường hợp này được gọi là sự sinh ra vô cùng nhỏ của
θ
.

Định nghĩa 2.4 Cho M là một đa tạp trơn, V là một trường vector trơn trên M,
là một ánh xạ trơn , ta nói ánh xạ là sự đẩy tiến của V nếu với mỗi
sao cho
:FM M→
*
F
,pM∈
*
:
pFp
FTM T M→
() )*(
() .
Fp
FV p V
=


Định nghĩa 2.5 Cho V là một trường vector trơn trên một đa tạp trơn M, và giả sử
là một vi đồng phôi. Chúng ta nói V là trường vector bất biến dưới F nếu
:FM M→

*
FV V= trên M.

6
Bổ đề 2.6 Cho
θ
là một flow toàn cục trên M và V là sự sinh ra vô cùng nhỏ của
θ
.
Khi đó, V là trường vector bất biến dưới
.t
∈
\
với mỗi ,
t
θ

Các phần chứng minh của các Bổ đề ở phần này lien quan đấn kiến thức về Lý thuyết
nhóm Lie nên ta tạm chấp nhận các kết quả này.
Ví dụ 2.7 Lấy , và lấy
2
{( , ) : 0},Mxy x=∈<\
V
x
∂
=
∂
. Dữ kiện như trong ví dụ
1.2.1 , ta thấy rằng đường cong tích phân của V bắt đầu tại
(,)ab M

∈
() ( ,)ttab
γ
=+
là .
Tuy nhiên , trong trường hợp này , chỉ được định nghĩa với
ta
<
−
γ
.
Rõ ràng một trường vector trơn nhưng chưa chắc là sinh ra một flow toàn cục, tuy vậy
vẫn có đường cong tích phân xác định như là một flow mang tính chất “địa phương”. Vì
lý do này, nên dẫn đến ta có những định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.8 Nếu M là một đa tạp trơn, thì miền xác định flow của M là một mở con
thỏa mãn tính chất với mỗi D⊂×\ M
pM
∈
,tập hợp
{:(,)
p
Dt tpD}
=
∈∈\
là một
khoảng mở chứa 0.

Một flow địa phương trên M là một ánh xạ trơn
:

D
M
θ
→
cũng thỏa mãn các tính chất
sau
(0, ) ,
(, ( , )) ( , ),
pp
tsp tsp
θ
θθ θ
=
=+

với mọi ,
pM∈
(, )
,.
ps
sDtD
θ
∈∈
p
Đôi khi, ta gọi flow địa phương này một cách ngắn gọn là flow hay tác động nhóm một
tham số địa phương.

Nếu
θ
là một flow , ta định nghĩa với ,Đó là định

nghĩa cho flow địa phương . Một cách tương tự , sự sinh ra vô cùng nhỏ của
()
() () (,)
p
ptt
t
θθ θ
==
p
(, )tp D∈
θ
được
dịnh nghĩa bởi .
()
(0)
p
V
p
θ
′
=
Bổ đề 2.7. (Các tính chất của Flows)
Cho D là miền xác định flow trên M,
:
D
M
θ
→
là một flow
(a) Với mỗi tập

,t ∈\
{:(,)
t
}
M
pMtp D=∈ ∈ là mở trong M, và :
tt
M
M
θ
→ là
một vi đồng phôi lên một tập con mở của M.
(b) Quan hệ dưới đây vẫn đúng khi vế trái được định nghĩa
.
ts ts
θ
θθ
+
=
D
(c) Sự sinh ra vô cùng nhỏ V của
θ
là một trường vector trơn.
(d) Với mỗi ,
pM∈
()
:
p
p
D

M
θ
→
là một đường cong tích phân của V có điểm bắt
đầu tại p.
(e) Với mỗi
t
, thì
∈\
t
VV
θ
∗ = trên tập mở ()
tt
.
M
θ


Một tính chất quan trọng khác của Flows là kết quả sau.

7
θ
Bổ đề 2.8. Giả sử là một flow trên M với sự sinh ra vô cùng nhỏ V, và Nếu
thì
.pM∈
0,
p
V =
()p

θ
là một đường cong hằng
()
() .
p
tp
θ
≡
Nếu thì
()
:
p
p
D
M
θ
→
0,
p
V
≠
là
nhúng , nghĩa là
()
*
p
θ
là một đơn ánh.

()p

γ
θ
=Chứng minh. Đặt . Cho bất kỳ thuộc , và đặt t
().qt
γ
=

p
D
'
() 0.t
γ
=
Nhắc lại là ánh xạ
:
tq
TR TM
γ
∗
→
bằng không khi và chỉ khi Từ (e) của Bổ đề
2.7 ta có
'
() 0
q
tV
γ
=
=
.

qtp
VV
θ
∗=
Do đó nếu và chỉ nếu
'(0) 0.
p
V
γ
=
=
'
()t
γ
suy biến tại một t nào đó thuộc thì nó suy biến với mọi t. Nói cách khác, nếu
p
D
Do đó, nếu thì
0
p
V =
γ
là một ánh xạ trơn mà đẩy tiến tại mỗi điểm bằng không.
Suy ra nó là một ánh xạ hằng. (bởi vì miền xác định của nó là liên thông).
Mặt khác, nếu thì khác không, do đó nó là đơn ánh.
γ
∗
0,
p
V ≠

Vậy
γ
là một nhúng. □

8
PHẦN 3
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN
ĐA TẠP

Trong phần này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh dưới những điều kiện nào thì phương
trình vi phân thường có nghiệm duy nhất, và nghiệm này khi nào thì liên tục hay trơn.
Thực tế thì ta chỉ chứng minh sự tồn tại nghiệm với giả thiết rất tốt, đó là trường vector V
mà ta xét cần phải liên tục Lipschitz. Ta sẽ định nghĩa như thế nào là liên tục Lipschitz
trước khi vào phát biểu và chứng minh các kết quả tiếp theo.

Cho U là tập con bất kỳ trong , một ánh xạ gọi là liên tục Lipschipz trên
U nếu có một hằng số C sao cho
n
\
:
m
FU→ \
|| ( ) ( ) || || ||, , .Fx Fy C x y xy U−≤−∀∈

Ngoài ra, do trong quá trình chứng minh ta cần sử dụng đến Định lý điểm bất động nên ta
sẽ xây dựng một không gian metric đầy đủ cần thiết.

Cho U là tập mở bất kỳ trong , J là một khoảng mở trong ,
n

\
0
,xUr0
∈
>\ ,với mỗi
điểm
0
:(
r
JBx
γ
→
x
U∈ )
ta định nghĩa M
x
là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục sao cho
Ta định nghĩa một metric trên M
(0) .
x
γ
=
x
như sau
( , ) sup || ( ) ( ) ||,
tJ
dt
γγ γ γ
∈
=−t

,
γ
γ
∈
với mọi .Dễ dàng kiểm tra rằng với metric này thì MM
x x
là không gian metric đầy
đủ.
Trong suốt phần này, ta sẽ ký hiệu U là tập mở trong , là ánh xạ liên tục
Lipschitz trên U. Với mỗi và bất kỳ
n
\
:
n
VU→ \
x
U
∈
0
t ∈\ ,ta sẽ nghiên cứu bài toán giá trị đầu sau
(3.1)
0
()'() (()),
() .
ii
ii
tV t
tx
γγ

γ
=
=
Trong phần đầu của mục này , ta sẽ nhắc lại các kết quả cổ điển về nghiệm của phương
trình vi phân .
Định lý sau đây sẽ có ích cho kết quả mà chúng ta sẽ phát biểu
Định lý 3.1 (Sự khả vi dưới dấu tích phân) Cho là một tập mở, và
ánh xạ liên tục sao cho các đạo hàm riêng
n
U ⊂ \ ,ab∈ \
:[,]
f
Uab
t
∂
×→
∂
\:[,]fU ab×→\
liên tục.
Ta định nghĩa ánh xạ sau
:
(,)
b
a
FU
x
fxtdt
→
∫
\

6

thì F thuộc C
1
và các đạo hàm riêng của nó có thể được tính bằng cách vi phân dưới dấu
tích phân.
(Phần chứng minh của Định lý này có thể xem trong John M.Lee, Introduction to Smooth
Manifolds, 2000, trang 426).


9
Định lý 3.2 (Sự tồn tại nghiệm). Với mỗi
0
t
∈
\ và
0
x
U
∈
,tồn tại một khoảng mở
chứa , một tập mở chứa
0
J
0
t
0
UU⊂
0
x

, và với mỗi
0
x
U
∈
thì có một đường cong trơn
0
: JU
γ
→
thỏa mãn bài toán giá trị đầu (3.1).

Chứng minh. Nếu
γ
là đường cong liên tục bất kỳ trên U, theo Định lý cơ bản về phép
tính vi tích phân thì
γ
là nghiệm của bài toán giá trị đầu (3.1) nếu và chỉ nếu nó cũng thỏa
phương trình tích phân sau
(3.2)
0
() ( ()) ,
t
t
txVsds
γγ
=+
∫
trong đó tích phân của hàm vector
(())Vs

γ
được hiểu như là tích phân từng thành phần
của nó.
Như đã nói, trong phần chứng minh ta sẽ sử dụng Định lý điểm bất động nên một cách tự
nhiên là ta sẽ đặt vế phải của (3.2) như là một toán tử, cụ thể, ta định nghĩa
0
() ( ()) .
t
t
A
txVsds
γγ
=+
∫

(3.3)
0
()
r
Bx U⊂
Gọi C là hằng số Lipschitz của V. Do U là tập mở nên có r > 0 sao cho , và ta
đặt
0
()
sup || ( ) ||
r
xB x
M
Vx
∈

=
00 0
(,Jt t. Xét tập hợp )
ε
ε
=
−+
0
()UBx
δ
và
0
=
,với các hằng số
ε
δ
và sẽ được chọn sau.
Ta đã xây dựng được không gian metric đầy đủ M
x
, để áp dụng được Định lý điểm bất
động thì ta cần phải chứng minh rằng
:A
MM
→
x x
Rõ ràng là
(0)
A
x
γ

=
, từ cách định nghĩa A thì ta thấy rằng A khả vi và do đó A liên tục.
Bây giờ thì ta cần chứng minh
0
()
r
Bx
A
γ
có giá trị trong . Thật vậy, lấy bất kỳ M
γ
∈
x

và bất kỳ
0
tJ∈
,ta có
0
0
00
0
|| ( ) || || ( ( )) ||
|| || || ( ( )) ||
,
t
t
t
t
A t x x V s ds x

x
xVs
M
γγ
γ
δε
−=+ −
≤− +
≤+
∫
∫
ds
,
33
r
r
M
δε
≤≤
và đến đây thì ta sẽ chọn giá trị
, và do đó ta có được điều cần chứng
minh.
,
γ
γ
∈
Tiếp theo,ta phải kiểm tra A là ánh xạ co. Xét bất kỳ
M
x
,ta được

10
0
00
0
0
( , ) sup (()) (())
sup ( ( )) ( ( ))
(,),
tt
tJ
tt
t
tJ
t
dA A V sds V sds
VsVsds
Cd
γγ γ γ
γγ
εγγ
∈
∈
=−
≤−
≤
∫∫
∫

1

2C
ε
<
và do đó hiển nhiên là ta nên chọn thêm điều kiện
thì ta được điều mong muốn.
1
,min ,
33
rr
2
M
C
δε
⎛
<<
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
Vậy tóm lại, bằng cách chọn hai hằng số thì A có điểm bất
động
, và đó là nghiệm của (3.1). □M
γ
∈
x
Một điều khá lạ ở đây chính là ta chỉ có thể khẳng định sự tồn tại nghiệm của (3.1) trong
một khoảng khá bé chứa trong J, chứ ta không khẳng định được trên toàn khoảng J như
trong giả thiết lúc đầu, và đó cũng là hạn chế của Định lý này.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh sự duy nhất nghiệm của (3.1).

Định lý 3.3 (Sự duy nhất nghiệm). Giả sử như
γ
thỏa (3.1) thì
γ
là nghiệm duy nhất
của phương trình này.
:
J
U
γ
→
Chứng minh. Giả sử như cũng là một nghiệm của (3.1). Ta có
()
()
()
2
2
|| () ()|| ( () ()).( () ())
2( () ()). '() '())
2( () ()).( ( ()) ( ()))
2|| () ()||.|| (()) (())||
2||() ()||.
dd
tt tttt
dt dt
tt t t
t tVt Vt
t t Vt Vt
Ct t
γγ γγγγ

γγ γ γ
γγ γ γ
γγ γ γ
γγ
−= − −
=− −
=− −
≤− −
≤−

Điều này dẫn đến
22
(||()()||)
Ct
d
ett
dt
γγ
−
0,
−
≤

và bằng cách lấy tích phân trên trên , ta được
0
[,]tt
0
2
22 2
00

|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) || , ,
Ct
Ct
ette ttt
γγ γ γ
−
−
−≤ − ≥
0
t

điều này có thể viết lại là
0
2| |
22
00
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) || , ,
Ct t
tte t t tt
γγ γ γ
−
−≤ − ≥
0

hay
0
||
00
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) ||, .
Ct t

tte t t tt
γγ γ γ
−
−≤ − ≥

0
(3.2)
Tương tự, sử dụng ước lượng sau
2
|| () ()|| 2 || () ()||,
d
tt Ctt
dt
γγ γγ
−≥− −

ta cũng có được

11
0
2
22 2
00
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) || , ,
Ct
Ct
ette ttt
γγ γ γ
−≤ − ≤
0

t

hay
0
||
00
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) ||, .
Ct t
tte t t t
γγ γ γ
−
0
t
−
≤−≥

(3.3)
Từ (3.2) và (3.3), ta có thể khẳng định rằng
0
||
00
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) ||, ,
Ct t
tte t t t
γγ γ γ
−
−≤ − ∀∈J
(3.4)
và do đó
() (),tt

γ
γ
=
với mọi .
tJ∀∈
trên J. □
γ
γ
≡
Vậy,

Ngoài tính tồn tại và duy nhất nghiệm ra thì mỗi đường cong tích phân còn phụ thuộc liên
tục theo điều kiện đầu, cụ thể ta có Định lý sau.

Định lý 3.4 (Sự liên tục của nghiệm). Giả sử là khoảng mở chứa , là
một tập mở, và
0
J
0
t
0
UU⊂
00
: JU U
θ
×→
0
x
U∈ là một ánh xạ bất kỳ sao cho với mỗi thì
() (, )ttx

γ
θ
=
là nghiệm của (3.1). Khi đó,
θ
là ánh xạ liên tục.

Chứng minh. Để thuận lợi cho việc chứng minh
θ
liên tục tại mỗi điểm thì ta có thể giả
sử rằng là tập tiền compact trong
\
và là tập tiền compact trong
U
, nghĩa là
0
J
0
J
0
U
compact trong
\
và compact trong
U
.
0
U
x
U

∈
x
U∈
Tại điểm
thì ta có tương ứng là , tại điểm thì ta có tương ứng là
(., )x
θ
γ
=
(., ) ,x
θ
γ
=
và cả hai đều thỏa (3.1).Và do đó , từ (3.4), chúng ta có khẳng định sau
0
0
||
00
||
0
|| ( , ) ( , ) || || ( ) ( ) ||
||() ()||
|| ||, , .
Ct t
Ct t
tx tx t t
ett
exx xxU
θθ γγ
γγ

−
−
−=−
≤−
=−∀∈


0
0
0
,
sup | | ,
tt J
Ttt
∈
=
−<∞
Do giả thiết về tính tiền compact ngay từ đầu, nên ta có thể đặt
nên
0
|| ( , ) ( , ) || || ||, , .
CT
tx tx e x x xx U
θθ
−≤− ∀∈
(3.5)

0
(, )tx J U∈×
Lấy bất kỳ

0
, ta chứng minh
θ
liên tục tại điểm này.
1
CT
CTe M
ε
δ
≤
++
ε
Lấy bất kỳ số dương
, bằng cách chọn số dương ,
với
0
sup || ( ( , )) ||.
xU
MVtx
θ
∈
=

|| ( , ) ( , ) ||tx tx
δ
−
≤
Khi đó, với mọi sao cho
0
(, )tx J U∈× thì ta có được

0

12
00
0
0
|| ( , ) ( , ) || || || ( ( , )) ( ( , ))
|| || || ( ( , )) ( ( , )) || || ( ( , )) ||
|| || || ( , ) ( , ) ||
.
tt
tt
tt
tt
tt
tt
CT
tx tx x x V sx ds V sx ds
x
x V sx V sx ds V sx ds
xx C sx sx ds Mds
CTe M
θθ θ θ
θθ θ
θθ
δδδ
ε
−≤−+ −
≤−+ − +
≤−+ − +

≤+ +
≤
∫∫
∫∫
∫∫

0
(, )tx J U
Và do đó,
θ
0
∈
×
, ta có được điều cần chứng minh. □ liên tục tại bất kỳ

Cuối cùng, ta sẽ đi đến kết quả về sự trơn của nghiệm của (3.1), đó là nội dung của Định
lý sau

Định lý 3.5 (Sự trơn của nghiệm). Cho
θ
có tính chất như trong Định lý (3.3). Nếu
V trơn thì
θ
cũng trơn.

Ý tưởng chứng minh Định lý này là dùng phương pháp quy nạp cho k, cụ thể là ta chứng
minh nếu V thuộc lớp thì
θ
thuộc lớp , do V trơn nên dẫn đến
θ

1k
C
+ k
C
trơn.
(Phần chứng minh kết quả này có thể xem trong John M.Lee,Introduction to Smooth
Manifolds,2000, trang 320).

T ừ bốn Định lý trên, ta có thể phát biểu được Định lý mang tính chất tổng hợp như sau

Định lý 3.6 Cho mở. Giả sử là một ánh xạ trơn.Lấy bất kỳ
và
n
U ⊂ \ :
n
VU→ \
ε
(, )
oo
tx U∈×\ bất kỳ đủ nhỏ. Khi đó tồn tại một tập mở , chứa
0
UU⊂
0
U
0
x
,và
một ánh xạ trơn
00 0
:( , )tt UU

θ
εε
−+×→ thỏa mãn với mỗi
0
,
x
U
∈
thì đường cong
() (, )ttx
γ
θ
=
là nghiệm duy nhất trên khoảng
00
(,tt)
ε
ε
−
+ của bài toán giá trị đầu
0
()'() (()),
() .
ii
ii
tV t
tx
γγ
γ
⎧

=
⎪
⎨
=
⎪
⎩



Hơn thế nữa , sự khẳng định về tính duy nhất nghiệm này cũng đúng trên 1 lân cận của đa
tạp M . Bằng cách kéo lui đường cong tích phân
γ
xuống không gian bởi
n
\
1
ϕ
γ
−
D
.
Khi đó ,
()() ()
1
()
0, 0 .
n
dv
p
dd

pd
dt dt
ϕ
α
ϕα ϕ
−
⎧
∈
⎪
⎨
⎛⎞
=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
\
D


13
Với
α
là nghiệm của (3.1) mà ta xét trên và
n
\
ϕ
là một tham số của .
n
\



















14
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về một kết quả khá quan trọng trên flows, được xem như
là ứng dụng của các kết quả ở trong Phần 3.

PHẦN 4
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP
Trong phần này, chúng ta sẽ thấy rằng mỗi trường vector trơn đều gây ra một flow, và
flow này là duy nhất nếu ta đòi hỏi nó lớn nhất, có nghĩa là nó không thể được mở rộng
thành bất kỳ flow nào mà có miền xác định lớn hơn miền xác định của flow ban đầu.

Định lý 4.1 (Định lý cơ bản trên flows) Cho V là một trường vector trơn trên một đa
tạp trơn M. Khi đó tồn tại duy nhất một flow cực đại mà có sự phát sinh vô cùng nhỏ là
V.

Flow trong định lí này được gọi là flow sinh bởi V.

Lý do sử dụng thuật ngữ “sự phát sinh vô cùng nhỏ” trong một bản đồ địa phương, sự
xấp sỉ tốt nhất của một flow có thể có bằng cách hợp lại rất nhiều sự tịnh tiến affine nhỏ,
với một hướng và độ dài của mỗi lần dịch chuyển liên tiếp xác định bởi giá trị của trường
vector tại điểm đến ở một bước trước đó. Dần dần, các nhà toán học nghĩ rằng flow chính
là hợp lại bởi vô hạn những vô cùng bé của những bước đi tuyến tính nhỏ.

Như ta đã thấy, việc tìm đường cong tích phân của V (và để tìm một flow sinh bởi V) sẽ
dẫn đến việc giải một hệ phương trình vi phân thường (tại địa phương). Do đó, trước khi
nghiên cứu Phần 5, việc ta nêu ra một số định lý cơ bản về nghiệm của phương trình vi
phân thường là rất hữu ích.

Chứng minh. Từ khẳng định tồn tại nghiệm của Định lý 3.6. Dẫn tới tồn tại một đường
cong tích phân có điểm bắt đầu tại
,pM
∈
bởi vì, phương trình của đường cong tích
phân là một hệ những ODEs xét tại lân cận của điểm p.
Bây giờ, ta giả sử

,:JM
γ
γ
→

là hai đường cong tích phân định nghĩa trên cùng một
khoảng mở J sao cho
( ) ( )
o
tt
o
γ
γ
=

0
.tJ
∈
với
Đặt
{ / () ()}.StJ t t
γ
γ
=
∈=


Dễ thấy Vì theo giả thiết ta có
.S ≠∅
0

,tS
∈
và S đóng trong J (do sự liên tục).
Mặt khác, giả sử Khi đó, trong tọa độ lân cận điểm
1
.tS∈
1
()
p
t
γ
=
,
γ
và
γ

đều là
nghiệm của cùng một phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu giống nhau
11
() () .ttp
γ
γ
==

11
(,tt Theo Định lí 3.6, tồn tại một lân cận )
ε
ε
−

+ của mà trên đó tồn
tại nghiệm duy nhất thỏa bài toán điều kiện đầu.
1
t
11
(,tt trên )
ε
ε
−+.
Vậy
γ
γ
≡

Do đó S mở trong J.
Mà J liên thông, và
S
. Nên
J=
trên cả J.
γ
γ
≡

Vậy bất kỳ hai đường cong tích phân nào mà bằng nhau tại một điểm thì chúng sẽ bằng
nhau trên miền xác định chung.
Với mỗi Đặt là hội của tất cả những khoảng chứa 0, mà trên khỏang
đó thì đường cong tích phân có điểm bắt đầu tại p được định nghĩa.
J ⊂ \
p

D
.pM∈

15
Ta nh ngha
()
()
:
() (),
p
p
p
DM
tt



=

vi

l mt ng cong tớch phõn bt k cú im bt u ti p, v c nh ngha trờn
mt khong m cha 0 v t.
()p

Khi tt c ng cong tớch phõn u gp nhau ti p (nh ta ó núi trờn), khi ú

c nh ngha tt, d thy nú cng l ng cong tớch phõn cc i duy nht cú im
bt u ti p.
Bõy gi, t v

() {(,) : },
p
DV t p M t D=ì\
()
:()
(, ) ().
p
DV M
tp t



=

Ta ký hiu
() (,).
t
p
tp


=

Theo nh ngha, ta cú
0
M
id

=
.

Chỳng ta cn chng minh rng

tha lut nhúm (the group law) nh sau
( ) ( ),
ts ts
p
p


+
=
D (5.1)
vi v trỏi ó c nh ngha.
C nh , ta vit Ta nh ngha
()
() ().
p
s
qp s

==
()
() ( ) ( )
p
ts
tpt

+
s
=

=+
.
p
sD

Khi ú
(0) .q

=
V t B tnh tin , ta cú

l mt ng cong tớch phõn ca V.
Do s duy nht trờn, thỡ

phi bng
()q

. Dn n (5.1) vn cũn ỳng.
Mt khỏc, do
()p

v
()q

l cc i, cho nờn
()()
qp
tD ts D.

+

Trng hp c bit l nu v trỏi ca (5.1) c nh ngha, thỡ nú cng chớnh l v
phi.

Tip theo, ta s chng minh D(V) l m trong
, v l trn.
M
ì
\
:()DV M


T iu ny, ta suy ra c D(V) l min xỏc nh ca flow (flow domain).
D thy, D(V) l cc i (theo nh ngha), dn n chng minh xong nh lớ.
Ta nh ngha nh sau
()WDV


= ìì\{( , ) ( ) : ( ) , ( ) , 0 .}W t p D V sao cho D V M trụn trụn treõn J U M J khoaỷng mụỷ chửựa vaứt
Rừ rng W l m trong
,
M
ì\
v hn ch ca

xung W l trn, cn chng t

().WDV
=

00
(, ) ()\ .tp DV W

Gi s ngc li (dựng phn chng),khi ú tn ti

n gin, ta gi s ( trng hp
0
0t >
0
0t
<
tng t).
t
0
sup{ : ( , ) }.ttpW

=
\

16
Theo Định lí 3.6 (áp dụng cho tọa độ xung quanh
0
p
), với
θ
được định nghĩa và nó trơn
trong một lân cận của
0
(0, )

p
, nên
0.
τ
>

0
()
0
().
p
q
θ
τ
=
0
ε
>
Đặt
Theo Định lí 3.6, tồn tại và một lân cận của thỏa
0
U
0
q
0
:( , ) UM
θ
εε
−
×→

là trơn.
Chúng ta sẽ sử dụng luật nhóm để chứng tỏ
θ
mở rộng trơn được trên một lân cận của
0
(, ),
p
τ
trong đó
θ
được định nghĩa và trơn. Điều này trái với cách chọn
.
τ

Chọn
1
t
τ
< thỏa mãn
1
t
ε
τ
+> và
0
()
10
() .
p
tU

θ
∈
10
,(, ) ,ttpW
τ
<∈
11
(, )tU
δ
δ
−
+×
Khi
và do đó tồn tại một lân cận tích của với
10
(, ),tp
θ
được định nghĩa và trơn.
Bởi vì
10 0
(, ) ,tp U
θ
∈ ta có thể chọn đủ nhỏ để
θ
0
U
1
{}tU mang
1
×

vào
0
.U
Mà
θ
thỏa luật nhóm, ta có
11
() (),
tttt
pp
θ
θθ
−
=
D

với vế phải đã được định nghĩa. Do cách ta chọn thì
1
t
1
()
t
p
θ
được định nghĩa với
1
p
U∈ , và phụ thuộc trơn vào p.
1
p

U∈
Hơn nữa, khi
1
0
()
t
pU
θ
∈
với mọi p, thì
11
()
tt t
p
θ
θ
−
D
được định nghĩa với và
1
,tt
ε
−<
và phục thuộc trơn vào .
(, )tp
Điều này cho ta một mở rộng trơn của
θ
1
(, )t
1

U
δ
ε
−
+× lên tập tích , trái với cách
chọn
.
τ


Vậy , chứng minh xong Định lí 4.1. □
()WDV=

17
PHẦN 5
TRƯỜNG VECTOR ĐẦY ĐỦ
Định nghĩa 5.1 Một trường vector gọi là đầy đủ nếu mọi đường cong tích phân đều
được xác định với mọi
t
, nói cách khác, trường vector này sinh ra một flow toàn cục.
∈\

Từ các Định lý cơ bản trong Phần 3 thì nói chung là ta có những tiêu chuẩn để khẳng
định tồn tại đường cong tích phân của một trường vector , và nếu như ta có thể kết luận
được nghiệm
()t
γ
xác định với mọi thời điểm t thì trường vector ban đầu sẽ là đầy đủ.
Tuy nhiên, nói chung thì đó là về phương diện lý thuyết, về thực tế thì dù có sự tồn tại
của đường cong tích phân nhưng thông thường thì ta không thể tìm được một cách chính
xác nghiệm
()t
γ
, và vì thế ta khó mà kết luận gì về tính đầy đủ của trường vector chỉ
dựa vào sự giải nghiệm của phương trình (3.1).

Trong phần này, ta sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chứng minh rằng “tất cả các trường
vector trên một đa tạp compact đều đầy đủ”.

Bổ đề 5.2 (Bồ đề thoát) Cho M là một đa tạp trơn, và V là một trường vector (có thể

không trơn) trên M. Nếu
γ
là một đường cong tích phân của V sao cho tập xác định lớn
nhất của nó không phải là tập thì ảnh của nó không thể nằm trên bất kỳ tập con
compact nào của M.
\

Chứng minh. Giả sử như tập xác định lớn nhất của
γ
có dạng (a,b), và ta giả sử rằng
( trường hợp thì tương tự) và không mất tính tổng quát, ta chỉ xét a = 0.
b <∞
a >−∞
Ta dùng phương pháp phản chứng, cụ thể là ta sẽ chứng minh rằng nếu
[0, )b
γ
nằm trong
một tập compact, thì
γ
có thể được thác triển khỏi b, đó là mâu thuẫn.
Đặt
(0)p
γ
=
và gọi
θ
là flow của V, do Định lý duy nhất của dường cong tích phân nên
()p
γ
θ

= . Nếu { là một dãy bất kỳ hội tụ tăng về b, thì dãy {}
i
t ( )}
i
t
γ
nằm trong một tập
con compact của M, và do đó sẽ có một dãy con hội tụ về một điểm
qM
∈
. Và do đó,
khi ta chọn một lân cận U của q thì sẽ chọn được một số thực dương
ε
sao cho
θ
được
xác định trên
(,)U.
ε
ε
−×
Với k đủ lớn thì
()
k
i
tU
γ
∈
và
k

i
tb
ε
>−
, ta định nghĩa
:[0, ]
(), 0
()
(), .
k
ii k k
kk
i
tt t i i
tM
tt
tt
pttt
b
σ
ε
γ
σ
θ
θε
−
+→
≤≤
⎧
⎪

=
⎨
<
<+
⎪
⎩
6
D

Bởi vì Bổ đề về các tính chất của flow nên
() () ().
ii
kk
tt t t
p
pt
θ
θθγ
−
=
=D
Do đó đường cong
σ
σ
là sự thác triển của
γ
tại p. Vì thế mà chính là sự thác triển của
γ
với tập xác định vượt ra khỏi b( vì
k

i
tb
ε
+
>
). Đây là điều vô lý, vậy ta có được điều
cần chứng minh.
□



18
Định lý 5.3. Giả sử M là một đa tạp compact . Khi đó mọi trường vector V trên M đều
là đầy đủ.
Chứng minh. Bởi vì ảnh của bất kỳ đường cong tích phân nào của trường vector V đều
nằm trên M, mà M compact nên theo Bổ đề thoát thì tập xác định lớn nhất của bất kỳ
đường cong tích phân nào cũng phải là , và do đó trường vector V là đầy đủ.
□\




19
MỤC LỤC Trang

Giới thiệu 1
Phần 1 2
Đường cong tích phân
Phần 2 6
Flows
Phần 3 9
Các Định lý cơ bản về nghiệm của phương trình vi phân trên đa tạp
Phần 4 15
Định lý cơ bản trên flows
Phần 5 18
Trường vector đầy đủ
Mục lục 19


Tài liệu tham khảo :
Introduetion to Smooth Manifolds . Join M.Lee .

20