BÀI TẬPMÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY pdf

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
1
BÀI TẬP
MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly
1.
cos2 sin 0
y y y

 

2.
cos sin 1
cos sin 1
y y
y
x x
 


 

3.
2 2
2 1
y x xy y


   

4.
1
1
y
x y

 


5.
2
1
1y
y

 

6.
 
2
4 1
y x y

  

7.
2
2

y x y x

  

8.




2 2
1 1 0
x y
y e dx e dy y dy
 
    
 

9.


 
2 2
2 2
1
2 2 2 2 0
xy y x dx
x y xy x y x dy
   
      

10.
 
   
1
m
n p
x y
y
x y x y


 
  

11.
 
2 2
1 1
x
y
x x


  

12.
2
2
2
y y

x

 

13.




2 2 2 4 4
1 0
y x y y x y
 
   

14.
1
1
y
x y


 

15.
1
x y
y e



 

16.
4 2 1
y x y

  

17.




2 2 2 2
0
y xy dx x yx dy
   

18.


2 2
2 1 0
y y y dx x dy
   

19.
 
 
2

2
2 1
1 1
dy x x
dx
x x
 

 

20.
2 2
2
y y xy x

   

1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất
21.
2 2
xdy ydx x y dx
  
22.
y
x
xy y xe

 
23. cos ln
y

xy y
x
 


 
 

24.
2 2 2
3 2 0
x y xyy y
 
  

25.
 
2
2
xy y yy
 
 
26.
2 2
2 0
xyy x y

  

27.

2 2 2 2
(3 ) ( ) 0
x y y y x xy

   

28.


2 2 2 2
2 ( 2 ) 0
x xy y dx y xy x dy
     

29.




2 1 4 2 3 0
x y dx x y dy
     

30.
sin
y y
y
x x

  , với

 
1
2
y



31.




1 ln ln , 1
xy y y x y e

   

32.
2 2
y x y xyy
 
 
33.




2 4 6 3 0
x y dx x y dy
     

34.




1 2 0
x y y x y

     

35.
2 2 2
2 2 2 4
dx dy
x xy y y xy

  

36.
dx dy
y x y x

 

37.





2 2
2 0
x x y dx x y dy
   

38.




2 2 4 0
y dx x y dy
    

39.
 
ln
x y
xy y x y
x


  
40.
cos cos 0
y y
x y dx x dy
x x
 
  

 
 

1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính
41.
2
arctan
xy y x x

 
42.
2 2 2
(1 ) 2 (1 )
x y xy x

   
43.
2
2
x
y xy xe


 

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
2
44.





2 2
1 1 2 0
x x y x y x

    

45.
sin 1 cos
y x y x

  

46.


2
sin cot 1
y x y y

 

47.


2 1
y
e x y


 

48.


1 2
xy y


( 1)
y y
 

49.
3
y xy x

 

50.
2
1
0
2
y
x y

 


51.


3
2 ,
y y
ye y y xe

 
52.


2
0
x y dx xdy
  

53.
 
2
2 3
, 1 1
y y y
x x

  

54.
1
2

1
xy y
x

 


55.




2 1 3 4 2 1 0
x x y x y x x

     

56.
2
sin
xy y x x

 
57.
2
cos tan
y x y x

  thỏa mãn điều
kiện y(0)=0.

58.
2
1 arcsin
y x y x

   thỏa mãn
điều kiện y(0) =0.
1.4 Giải các phương trình Becnuli
59.
2
ln
xy y y x

 
60.
2 3
3 1
y y ay x

  

61.


2 3
1
xy x y y

 

62.
3
sin ' 2
y x y xy y

 

63.


2 3
1 sin 2 cos 2 2
x y y x y x x

   
64.


2
y
x e y

 

65.
2
1
x y
y e



 
66.


2 2
2 2 2( 1) 0
x y x y dx y dy
     

67.


2
x y y x y

 

68.
2
2
2
cos
y x
ydx xdy dy
y
  thỏa mãn
điều kiện



0y
 
.
69.


y xy dx xdy
 

70.


2 2
2 2
x y y xy y
 
 
(coi x = x(y))
71.
tan
cos
x
y y
y

 

72.
y x
y

x y

 

73.
2
2 2
cos
y y y
x x

 
74.
2
2 4
xy x y y

 
75.
2
xyy y x


 
( là tham số)

1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần
76.



2 2
2 1 0
x x y dx x ydy
    
.
77.


4 3 2 2
ln 2 3 0
x x xy dx x y dy
  
.
78.


2
2 3 0
y dx xy dy
  

79.


2
2 2 2 0
x x
e x y dx e ydy
   

80.




2
cos sin cos sin 1
y x x dy y x y x dx
  
81.




2 2 3
2 3 3
x x y dx y x dy
  
82.
2
2 2
1
sin cos 1
1 1
cos sin 0
x y y
dx
y y x x
y x x
dy

x x y y y
 
  
 
 
 
   
 
 

83.




2
cos sin 1 sin cos 0
y x y x dx x y x dy
   

84.
1 0
x x
y y
x
x e dx e dy
y
 
 
   

 
 
 
 
 
thỏa mãn
điều kiện y(0) = 2.
85.
 


3
2 2 2
2
1 3 1 0
y dx y xy y dy
    

86.


2
2
1 cos
2 0
sin 2sin
x y
x
dx
y y


 
  
 
 

87.




sin cos 0
x x
y e y dx x e y dy
   

88.




sin cos sin 0
x y dx x y y dy
   


Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
3
89.
3

2
3 (1 ln ) 2
x
x y dx y dy
y
 
  
 
 

90.
 
2
2
2
2 sin 2
2 cos2 ln 0
y
x y dx
x x
x y x dy
 
  
 
 
  

91.



2
2
1 cos
2
sin 2sin
x y
x
dx dy
y y

 
 
 
 

92.


2
2
2 cos2 ln
2
2 sin2 0
y x y dx
x
y x dy
y y
 
 
   

 
 

93.






2 2 4
x y xdy ydx a x x dx
    (thừa
số tích phân)
94.




cos sin sin cos 0
x y y y dy x y y y dx
   
.(thừa số tích phân)
95. Tìm hằng số a để


2 2
1 sin 2 cos
y x dx ay xdy
  là vi phân

toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải
phương trình vi phân


2 2
1 sin 2 cos 0
y x dx ay xdy
  
với a
tìm được.

1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0,
96.
3
' 1
xy y

 
.
97.
2
.
y
y e y


 .
98.
1
2

'
y
y x e


, coi x là hàm, y là biến.
99.


1 cos
y y y y
  
  .

1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero
100.
2 sin
y xy y
 
 
.
101.
2 3
2
y y x y y
 
 
102.
2
1

y
x
y y
 
 

103.
ln
xy y y
 
 
.
104.


2
2 1
y y xy
 
 
.
105.
3
2 ' '
y xy y
 


Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao
106.
2 2
1
y x

 

107.


2
4 1
y y
 
 
thoả mãn các điều
kiện ban đầu:
a)
0 , 2 0
y y khi x

  
.
b)
0, 1 0
y y khi x

  
.

108.


2 2
1 1 0
x y y
 
   

109.


2
1
y y ay
  
  .
110.


2 2
1 3 0
y y y y
   
  
111.
2
2
1
yy

yy y
x

 
 

dạng thuần
nhất,
112.
2
yy y
 
 .
113.
2
1 1
1
y y y
x x
 
  

114.
2 2 2
2
2
yy
y y y y y
x


  
  
115.
y
y y e
 

116.


2
1
y y y y
  
  

117.
2
1
yy y
 
 

118.
2
2 1
xy y y
  
 

119.
   
2
1
x y x y y
  
  

120.
 
2
cos sin
y y y y y
  
 

121.
yy y
 


122.
2
xy y x
 
 

123.
2
y yy yy

  
 
124.
xy y x
 
 




Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
4
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên
125.
2 3
2 cos
x y y x x

  , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y
1
= x
2

126. Giải phương trình
2 cot
gx
y y y
x x
 

   biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng
1
sin
x
y
x

127. Giải phương trình vi phân:


2
1 2
x x y y

  biết một nghiệm
1
1
1y
x
 

128. Giải phương trình vi phân


0y2y1x
2


 nếu biết một nghiệm của nó có

dạng đa thức.
129. Giải phương trình vi phân




2
2 1 2 1 2
x y x y y x x
 
     
biết nó có hai
nghiệm riêng
2 2
1 2
4 1 1
2 2
x x x
y y
  
 
130. Xác định hằng số  sao cho
2
x
y e

 là nghiệm riêng của phương trình vi
phân



2
4 4 2 0
y xy x y
 
   
. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
131. Giải phương trình
2 cot
xy y xy x
 
  
biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng
1
sin
x
y
x

132. Giải phương trình
2 3
' 4
x y xy y x

   , biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng là y
1
= x
133. Giải phương trình
2

'
xy y x

 

134. Giải phương trình
1
' 1
1 1
x
y y y x
x x

   
 
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
x
y e


135. Giải phương trình


2
ln 1 ' 0
x x y xy y

   

, biết một nghiệm riêng có dạng
,
y x


 là hằng số.
136. Tìm nghiệm riêng của phương trình






2 2
2 2 ' 2 1 0
x x y x y x y

     

thỏa mãn




'
1 0, 1 1
y y
 
, biết một nghiệm riêng của nó là
x

y e


137. Giải phương trình




2
2 2 1 ' 2 2
x x y x y y

     
, biết nó có hai nghiệm
riêng là
1 2
1,
y y x
 

138. Giải phương trình
2 2
2 1
'
1 1
x
y y
x x

 

 
, biết một nghiệm riêng của phương
trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
1
y


139. Giải phương trình




2 1 4 2 ' 8 0
x y x y y

    
, biết một nghiệm riêng có
dạng ,
ax
y e

 


140. Tìm nghiệm riêng của phương trình
2 2
2 2
'
1 1

x
y y y
x x

  
 
thỏa mãn




3 22, ' 1005 2000
y y  , biết một nghiệm riêng của nó là
1
y x



Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
5
141. Giải phương trình
2 3
2 ' 2 cos
x y xy y x x

   , biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
y x


142. Giải phương trình


2
1 2 ' 2
x y xy y x

   
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
y x


143. Giải phương trình
2 2 2
2 2 1
'
1 1 1
x
y y y
x x x

  
  
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
y x



144. Giải phương trình
2
2
'
x
e
y y y
x x

   , biết một nghiệm riêng của phương trình
vi phân thuần nhất tương ứng là
1
x
e
y
x


145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân


2 2
3 1 2 6 4 12
x xy y xy x
 
     biết rằng nó có hai nghiệm riêng
 
2

1 2
2 , 1
y x y x
  

2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
146.
13 12 0
y y y
 
  
.
147.
2 9 18 0
y y y y
  
   
.
148.


4
0
y y
 
.
149.


4

2 3 2 0
y y y y y
  
    
.
150.








7 6 5 4
3 3 0
y y y y
   
.
151.
2 4 cos
x
y y y e x

 
  
152.
2 2
3 2 3 2
x

y y y e x
 
    .
153.
2sin 4cos
y y x x

  
.
154.
2 3
sin
y n y nx

  .
155.
sin sin2
y y x x

 
.
156.
2
2
2 4
x
y y x e

  có nghiệm riêng
2

*
x
y e
 .
157. Với những giá trị nào của
p
và
q
thì tất cả các nghiệm của
phương trình.

y py q
 
 
giới nội
0
x
 



0, 0
p q
 
.
158.
, ?
p q

thì tất cả các nghiệm của

phương trình
0
y py q
 
  
là
những hàm tuần hoàn của
x



0, 0
p q
 
.
159.
2
2 ln
x y xy y x x
 
  
ln
t x

.
160.
   
2
2 1 4 2 1 8 8 4
x y x y y x

 
      



ln 2 1
t x
 
.
161.
 
2
1 1
2sin ln
y y y x
x x
 
  
ln
t x

.
162.
     
2
1 1 4cosln 1
x y x y y x
 
     



ln 1
t x
 
.
163. Dùng phép biến đổi hàm
2
z
y
x

để giải phương trình vi phân:


2 2
4 2
x
x y xy x y e
 
   
.
164.


sin cos
x
y y e x x

 

  
165.


2 3
2 1
x x x
y e y e y e
 
    bằng
đổi biến
x
t e


166.
x
y y x e

 
  
167.


2 2 1
x
y y y x e
 
   

168.
3
cos sin cos 0
y x y x y x
 
  
đặt t
= sinx
169.
2 5 29 sin
y y x x
 
 

170.
1
sin
y y
x

 
171.


2
4 2 4
x
y y x e

  

172.
2 cos
x
e
y y y x
x
 
   
173. 2
x
xy y xy e
 
  
bằng phép đổi
hàm
z xy

.

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
6
174.
2
tan cos 0
y y x y x
 
  
dùng t =
sinx
175.

2 5 sin3
y y y x x
 
  

176. 2(1 ) ( 2)
x
xy x y x y e

 
    
bằng phép đổi hàm
z xy


177.
4 2
2 3
x
y y y xe x
 
   

178.
2
2
2 0
y
x y xy
x

 
  
bằng phép
biến đổi x = 1/t
179. 2 1
x
e
y y y
x
 
   

180.
2
x y xy y x
 
  
bằng biến đổi
t
x e


181.
x
y y xe

 
 
182.
2

4 5 cos
x
y y y e x
 
   
183.
2
4 6 0
x y xy y
 
  
bằng biến đổi
t
x e


184.
2
4 4 1 ln
x
y y y e x

 
   
185.
2
4 8 sin 2
x
y y y e x
 

   

186. 2 sin
x
e
y y y x
x

 
   
187.
2
x x
y y xe e


  
188.
2 cos 3sin
y y y x x
 
   

189.
2
2 2cos
y y x
 
 
190.

sin cos2
y y x x

  


Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.

Giải các hệ phương trình vi phân

191.
5cos
2
dx
y t
dt
dy
x y
dt

 




 



192.
5 3 0
3 0
dx
x y
dt
dy
x y
dt

  




  



193.
2
4
dx
x y
dt
dy
y x
dt

 





 



194.
3
4
dx
x y
dt
dy
y x
dt

 




 



195.
2
dx

x y z
dt
dy
y x z
dt
dz
x z
dt

  



  



 



196.
2
2
2
dx
x y z
dt
dy
x y z

dt
dz
x y z
dt

  



  



  



197.
2
dx
x y z
dt
dy
x y z
dt
dz
x y
dt

  




  



 



198.
dx
x z
dt
dy
y z
dt
dz
x y
dt

 



 




 



199.
2
1 3 1
2 2 2
1 1 5
2 2 2
dx
x y z
dt
dy
x y z
dt
dz
x y z
dt

  



   



  


