Các dạng Toán - Luyen thi vao 10

Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức
a 2 5 1
A
a 3 a a 6 2 a
+
= − +
+ + − −
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của a để A < 1.
Bài 2: Cho biểu thức
x x 3 x 2 x 2
B 1 :
x 1 x 2 3 x x 5 x 6
   
+ + +
= − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
a) Rút gọn biểu thức B. b) Tìm giá trị của x để B < 0.
Bài 3: Cho biểu thức
x 1 1 8 x 3 x 2
C : 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
   
− −
= − + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

a) Rút gọn biểu thức C. b) Tìm giá trị của x để
6
C
5
=
.
Bài 4: Cho biểu thức
a 1 2 a
D 1 :
a 1
a 1 a a a a 1
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   

a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị của a để A < 1.
c) Tính giá trị của D nếu
3819 −=a
Bài 5: Cho biểu thức

2 3 3
a (1 a) 1 a 1 a
E : a . a
1 a
1 a 1 a
 
   
− − +
 
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− +
 
   
 
a) Rút gọn biểu thức E. b) Xét dấu của biểu thức W = a.(E –
2
1
)
Bài 6: Cho biểu thức
x 1 2x x x 1 2x x
F 1 : 1
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
   
+ + + +
= + − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

+ − + −
   
a) Rút gọn biểu thức F. b) Tìm giá trị của F khi
( )
1
x . 3 2 2
2
= +
Bài 7: Cho biểu thức
2 x 1 x
G : 1
x 1
x x x x 1 x 1
   
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ − − −
   
a) Rút gọn biểu thức G. b) Tìm giá trị của x để G ≤ 0.
Bài 8: Cho biểu thức
3
3
2a 1 a 1 a
H . a
a a 1 1 a
a
 
 

+ +
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
a) Rút gọn biểu thức H. b) Xét dấu của biểu thức:
W H. 1 a= −
.
Bài 9: Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
K 1:
x 1
x x 1 x x 1
 
+ + +
= + −
 ÷
 ÷
−
− + +
 
a) Rút gọn biểu thức K. b) So sánh K với 3.
Bài 10: Cho biểu thức
1 a a 1 a a
L a . a
1 a 1 a

   
− +
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +
   
a) Rút gọn biểu thức L. b) Tìm giá trị của a để L <
347 −
.
Bài 11: Cho biểu thức
2 x x 3x 3 2 x 2
M : 1
x 9
x 3 x 3 x 3
   
+ −
= + − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 1 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M <
2
1
. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 12: Cho biểu thức

x 3 x 9 x x 3 x 2
N 1 :
x 9
x x 6 2 x x 3
   
− − − −
= − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của x để L < 1.
Bài 13: Cho biểu thức
15 x 11 3 x 2 2 x 3
O
x 2 x 3 1 x x 3
− − +
= + −
+ − − +
a) Rút gọn biểu thức O.
b) Tìm giá trị của x để O =
2
1
.
c) Chứng minh P
3
2
≤
.

Bài 14: Cho biểu thức
2
2
2 x x m
P
4x 4m
x m x m
= + −
−
+ −
với m > 0.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thỏa mãn điều kiện x > 1.
Bài 15: Cho biểu thức
2
a a 2a a
Q 1
a a 1 a
+ +
= − +
− +
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm a để Q = 2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
Bài 16: Cho biểu thức
a 1 ab a a 1 ab a
R 1 : 1
ab 1 ab 1 ab 1 ab 1
   

+ + + +
= + − − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − + −
   
a) Rút gọn biểu thức R.
b) Tính giá trị của R nếu
a 2 3= −
và
3 1
b
1 3
−
=
+
c) Tính giá trị nhỏ nhất của R nếu
4=+ ba
Bài 17: Cho biểu thức
a a 1 a a 1 1 a 1 a 1
S a
a a a a a a 1 a 1
 
 
− + + −
= − + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +

 
 
a) Rút gọn biểu thức S. b) Với giá trị nào của a thì S = 6; S > 6.
Bài 18: Cho biểu thức
2
a 1 a 1 a 1
T
2
2 a a 1 a 1
   
− +
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
a) Rút gọn biểu thức T. b) Tìm các giá trị của a để P < 0; P = −2.
Bài 19: Cho biểu thức
( )
2
a b 4 ab
a b b a
U .
a b ab
− +
−
=
+
a) Tìm điều kiện để U có nghĩa.
b) Rút gọn U.

c) Tính giá trị của U khi
a 2 3=
và
b 3=
Bài 20: Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
V :
2
x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
= + +
 ÷
 ÷
− + + −
 
a) Rút gọn biểu thức V. b) Chứng minh rằng V > 0
∀
x
1≠
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 2 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 21: Cho biểu thức
2 x x 1 x 2
X : 1
x x 1 x 1 x x 1
   
+ +
= − −
 ÷  ÷

 ÷  ÷
− − + +
   
a) Rút gọn biểu thức X. b) Tính
X
khi
x 5 2 3= +
Bài 22: Cho biểu thức
3x
1 2 1
2
Y 1: :
4 x
2 x 4 2 x 4 2 x
 
 ÷
= + −
 ÷
−
+ − −
 ÷
 ÷
 
a) Rút gọn biểu thức Y. b) Tìm giá trị của x để Y = 20.
Bài 23: Cho biểu thức
( )
2
3 3
x y xy
x y

x y
A :
y x
x y x y
  − +
−
−
 ÷
= +
 ÷
−
− +
 
a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng A ≥ 0.
Bài 24: Cho biểu thức
1 3 ab 1 3 ab a b
B . :
a b a a b b a b a a b b a ab b
 
   
−
= + −
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + − − + +
 
   
 
a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính B khi a = 16 và b = 4

Bài 25: Cho biểu thức
2a a 1 2a a a a a a
C 1 .
1 a
1 a a 2 a 1
 
+ − − + −
= + −
 ÷
 ÷
−
− −
 
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a.
c) Chứng minh rằng P >
3
2
Bài 26: Cho biểu thức
x 5 x 25 x x 3 x 5
D 1 :
x 25
x 2 x 15 x 5 x 3
   
− − + −
= − − +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Với giá trị nào của x thì D < 1.
Bài 27: Cho biểu thức
( )
( )
a 1 . a b
3 a 3a 1
E :
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b
− −
 
= − +
 ÷
 ÷
+ + − − + +
 
a) Rút gọn biểu thức E.
b) Tìm những giá trị nguyên của a để E có giá trị nguyên.
Bài 28: Cho biểu thức
1 1 a 1 a 2
G :
a 1 a a 2 a 1
 
 
+ +

= − −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
a) Rút gọn biểu thức G. b) Tìm giá trị của a để P >
6
1
Bài 29: Cho biểu thức
3 3
3 3
x y x x y y
1 1 2 1 1
H . :
x y
x y x y
x y xy
 
 
+ + +
= + + +
 
 ÷
 ÷
+
 
+
 

 
a) Rút gọn biểu thức H.
b) Cho x.y = 16. Xác định x; y để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 30: Cho biểu thức
3
x 2x 1 x
I .
xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x
−
= −
− + − − −
a) Rút gọn biểu thức I.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và I < 0,2.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 3 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10

Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 4 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Bài 31: Cho phương trình ẩn x:
( )
2
2
2122 mxxm +−=−−
a) Giải phương trình khi
12 +=m
b) Tìm m để phuơng trình có nghiệm
23 −=x
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 32: Cho phương trình ẩn x:

( )
0224
2
=−+−− mmxxm
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
2=x
. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tính
2
2
2
1
xx +
theo m.
Bài 33: Cho phương trình ẩn x:
( )
0412
2
=−++− mxmx
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m.
c) Chứng minh biểu thức M =
( ) ( )
1221
11 xxxx −+−
không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Tìm m để các phương trình ẩn x:
a)
( )

012
2
=−+− mxx
có hai nghiệm dương phân biệt.
b)
0124
2
=−++ mxx
có hai nghiệm âm phân biệt.
c)
( )
( )
012121
22
=−++−+ mxmxm
có hai nghiệm trái dấu.
Bài 35: Cho phương trình ẩn x:
( )
021
22
=−+−−− aaxax
a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu với mọi a.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
và x
2
. Tìm giá trị của a để
2
2
2

1
xx +
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 36: Cho b và c là hai số thỏa mãn hệ thức:
2
111
=+
cb
.
Chứng minh rằng một trong hai phương trình ax
2
+ bx + c = 0; x
2
+ cx + b = 0 phải có
nghiệm:
Bài 37: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

( ) ( )
2 2
2x 3m 2 x 12 0 (1) 4x 9m 2 x 36 0 (2)− + + = − − + =

Bài 38: Cho phương trình ẩn x:
0222
22
=−+− mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm kkhông âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của
phương trình.
Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m:

014
2
=+++ mxx
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện
10
2
2
2
1
=+ xx
Bài 40: Cho phương trình ẩn x:
( )
05212
2
=−+−− mxmx
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài 41: Cho phương trình ẩn x:
( )
010212
2
=+++− mxmx
(với m là tham số).
a) Giải và biện luận về số nghiẹm của phương trình.
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt phân biệt là x

1
; x
2
. Hãy tìm
một hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
mà không phụ thuộc vào m.
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 42: Cho phương trình ẩn x:
( )
0121
2
=++−− mmxxm
với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1≠∀m
.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 5 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương
trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x
.
Bài 43: Cho phương trình ẩn x:
01
2
=−+− mmxx
(với m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
; x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của
phương trình và giá trị của m tương ứng.
b) Đặt

2 2
1 2 1 2
A x x 6x x= + −
1) Chứng minh
2
A m 8m 8= − +
2) Tìm m để A = 8.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
Bài 44: Cho phương trình ẩn x:
0122
2
=−+− mmxx
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Đặt A =
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx −+
1) Chứng minh rắng
2
A 8m 18m 9= − +
2) Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia?

Bài 45: Giả sử pt
2
ax bx c 0+ + =
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Đặt
n n
n 1 2
S x x= +
(n ∈ Z
+
).
a) Chứng minh rằng:
n 2 n 1 n
a.S bS cS 0
+ +
+ + =
b) Áp dụng: Tính giá trị của biểu thức: A=
55
2
51
2
51









−
+








+
Bài 46: Cho f
(x)
= x
2
− 2(m + 2)x + 6m + 1
a) Chứng minh phương trình f
(x)
= 0

có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f
(x)
theo t. Tìm điều kiện đối với m để pt f
(x)
= 0

có hai nghiệm lớn
hơn 2.
Bài 47: Cho phương trình ẩn x:
( )
2 2
x 2 m 1 x m 4m 5 0− + + − + =

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trài dấu
nhau.
d) Gọi x
1
; x
2
là hia nghiệm nếu có của phương trình. Tính
2
2
2
1
xx +
theo m.
Bài 48: Cho phương trình
0834
2
=+− xx
có hai nghiệm là x
1
; x
2

. Không giải phương trình,
hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6x 10x x 6x
W
5x x 5x x
+ +
=
+
Bài 49: Cho phương trình ẩn x:
( )
x
x 2 m 2 x m 1 0− + + + =

a) Giải phương trình khi m =
2
1

b) Tìm các giá trị của m của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để:
2
1 2 2 1
x (1 2x ) x (1 2x ) m− + − =

Bài 50: Cho phương trình ẩn x:
2
x mx n 3 0+ + − =
(1) (n, m là tham số).
a) Cho n = 0. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m và n để hai nghiệm x
1
; x
2
của phương trình (1) thỏa mãn hệ:



=−
=−
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 6 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 51: Cho phương trình ẩn x:
( )
2
x 2 k 2 x 2k 5 0− − − − =

(k là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho:
18
2
2
2
1
=+ xx
Bài 52: Cho phương trình ẩn x:
( )
2
2m 1 x 4mx 4 0− − + =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Giải phương trình (1) khi m bất kì.
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m.
Bài 53: Cho phươngtrình ẩn x:
( )
2 2
x 2m 3 x m 3m 0− − + − =
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa

61
21
<<< xx
.

PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 54: Tìm giá trị của m để hpt
( )
( )
m 1 x y m 1
x m 1 y 2

+ − = +


+ − =


có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y
nhỏ nhất.
Bài 55: Giải hệ phương trình và minh họa bằng đồ thị các hệ phương trình sau:
a)



=−
=+
xy
yx
52

1
b)





=+
=−
1
44
2
yx
yx
c)



−=
−=+
123
11
xy
xy
Bài 56: Cho hệ phương trình:
2x by 4
bx ay 5
+ = −



− = −

a) Giải hệ phương trình khi
a b=
b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm: (1; −2); (
2;12 −
); có vô số nghiệm.
Bài 57: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:
mx y 2m
4x my 6 m
− =


− = +


Bài 58: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình:
x ay 1
ax· y 2
+ =


+ =

a) Có nghiệm duy nhất. b) Vô nghiệm.
Bài 59: Giải hệ phương trình:
2 2
x xy y 19
x xy y 1


+ + =

− + = −

Bài 60: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
2
x 1 y 2 1
x y m x y 1 x y 0

− + − =


− + − − − + =


Bài 61: Giải hệ phương trình:



−=−−
=+−
624
1332
22
22
yxyx
yxyx
Bài 62: Cho a và b thỏa mãn hệ phương trình:
3 2

2 2 2
a 2b 4b 3 0
a a b 2b 0

+ − + =

+ − =

.Tính
2 2
a b+

Bài 63: Cho hệ phương trình:
(a 1)x y 3
a.x y a
+ − =


+ =

a) Giải hệ phương trình khi a = −
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 7 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10

Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 8 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
PHẦN 4: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài 64: Cho hàm số (d) : y = (m − 2)x + n. Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:

a) Đi qua hai điểm A(−1; 2) và B(3; −4).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 −
2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 +
2
.
c) Cắt đường thẳng −2y + x − 3 = 0.
d) Song song với đường thẳng 3x + 2y = 1.
Bài 65: Cho hàm số: (P) : y = 2x
2
.
a) Vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục tọa độ.
c) Xét số giao điểm của (P) với đuờng thẳng (d): y = mx – 1 theo m.
d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0; −2) và tiếp xúc với (P).
Bài 66: Cho (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y = 2x + m.
1. Xác định m để hai đường đó:
a) Tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, một điểm có hoành độ x = −1. Tìm hoành
độ điểm còn lại. Tìm tọa độ A và B.
2. Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm tọa
độ trung điểm I của đoạn MN theo m và quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 67: Cho đường thẳng (d):
2(m 1)x (m 2)y 2− + − =

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P)
2
xy =

tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m.
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
d) Tìm điểm cố đ?nh mà (d) đi qua khi m thay đổi.
Bài 68: Cho (P): y = −x
2
.
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với
nhau và tiếp xúc với (P).
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2
.
Bài 69: Cho đường thẳng (d) :
3
4
3
−= xy

a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d).
b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ.
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d).
Bài 70: Cho hàm số (d):
1−= xy
.
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị đường thẳng (d).
b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình
x 1 m− =
.
Bài 71: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng: (d)
y (m 1)x 2= − +

; (d')
y 3x 1= −
a) Song song với nhau.
b) Cắt nhau.
c) Vuông góc với nhau.
Bài 72: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng:
1 2 3
(d ) :y 2x 5;(d ) : y x 2;(d ) : y ax 12= − = + = −

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ.
Bài 73: Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d): 2x + (m − 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 74: Cho (P):
2
1
y x
2
=
và đường thẳng (d): y = ax + b. Xác định a và b để đường thẳng (d)
đi qua điểm A(−1; 0) và tiếp xúc với (P).
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 9 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 75: Cho hàm số
y x 1 x 2= − + +
a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Dùng đồ thị (câu a) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
mxx =++− 21
Bài 76: Cho (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y = 2x + m.
a) Vẽ đồ thị (P). b) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d) .

Bài 77: Cho (P):
2
x
y
4
= −
và (d): y = x + m.
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại
điểm có tung độ bằng −4.
d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông g?c với (d') và đi qua giao điểm của (d') và
(P).
Bài 78: Cho hàm số (P): y = x
2
và hàm số (d): y = x + m.
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P).
c) Thiết lập công thức t?nh khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng
23
.
Bài 79: Cho điểm A(−2; 2) và đường thẳng (d) y = −2(x + 1)
a) Điểm A có thuộc (d)? Vì sao?
b) Tìm a để hàm số (P): y = ax
2
đi qua A.
c) Xác định phương trình đường thẳng (d
1
) đi qua A và vuông góc với (d).

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d
1
); C là giao điểm của (d) với trục tung. Tìm toạ
độ của B và C. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 80: Cho (P):
2
1
y x
4
=
và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là −2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Viết phương trình đường thẳng (d).
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ
[ ]
4;2−∈x
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý : cung AB của (P) tương ứng hoành độ
[ ]
4;2−∈x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;y
B
)
⇒
tính y
A

; y
B
)
Bài 81: Cho (P):
4
2
x
y −=
và điểm M(1; −2).
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m.
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
c) Gọi x
A
; x
B
lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để
2 2
A B A B
x x x x+
đạt giáỉtị nhỏ
nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác
AA'B'B.
1) Tính S theo m.
2) Xác định m để S =
)28(4
22
+++ mmm
Bài 82: Cho hàm số
2

xy =
(P)
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1 và 2. Viết phương trình đường
thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 10 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 83: Trong hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P):
2
4
1
xy −=
và đường thẳng (d):
y mx 2m 1= − −

a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm.
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 84: Cho (P)
2
4
1
xy −=
và điểm I(0; −2). Gọi (d) là đường thẳng qua I và hệ số góc m.
a) Vẽ (P). Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B,
Rm ∈∀
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất.
Bài 85: Cho (P):
4

2
x
y =
và đường thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m.
a) Vẽ (P) và viết phương trình (d).
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P).
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
Bài 86: Cho (P):
4
2
x
y =
và đường thẳng (d):
2
2
+−=
x
y
a) Vẽ (P) và (d).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đ? đường ti?p tuy?n của (P) song song với
(d).
Bài 87: Cho (P): y = x
2

a) Vẽ (P)

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1 và 2. Viết pt đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và ti?p xúc với (P).
Bài 88: Cho (P): y = x
2
a) Vẽ (P).
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2. Xác định các giá
trị của m và n để đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 89: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình (d
1
): x + y = m và
(d
2
): mx + y = 1 cắt nhau tại một điểm trên (P):
2
y 2x= −

PHẦN 5 : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1. CHUYỂN ĐỘNG
Bài 90: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe
máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe
máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với
vận tốc không đổi
Bài 91: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất
cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận
tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài 92: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược dòng
từ B trở về A.Thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng 1 giờ 20 phút. Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 11 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10

Bài 93: Một người chuyển động đêu trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một
đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h
và 20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để
người để đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Bài 94: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30 Km/h,
xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được
4
3
quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm
5 Km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe
tải 2giờ 20 phút.
Bài 95: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định. Khi tới B
về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi 3 Km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 96: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau
1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi
lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h.
Bài 97: Hai địa điểm A, B cách nhau 56 Km. Lúc 6 giờ 45 phút một người đi xe đạp từ A với
vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h. Hỏi đến
mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km?
Bài 98: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h. Sau đó một thời gian, một người
đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp
người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt
vận tốc 3 Km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 Km. Tính quãng đường AB.
Bài 99: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h. Khi đến B người
đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h. Tính quãng đường AB
biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 100: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó
ngược dòng từ bến B về bến A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính
khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của

ca nô là không đổi.
Bài 101: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 Km/h. Lúc đầu
ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe
tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so
với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 102: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận
tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau
đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.
Bài 103: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người
đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của
xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 104: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một
lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km. Tính vận
tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô.
Bài105: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính
vận tốc của tầu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h.
Bài 106: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chếc ca nô
chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc
của thuy?n, bi?t rằng ca nô chạy nhanh hơn thuy?n 12 Km/h.
Bài 107: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km
trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 12 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe
lăn bánh trên đường.
Bài 108: Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định. Sau
khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải
tăng vận tốc thêm 6 Km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 109: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 Km,
người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu

tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp tren quãng
đường đã đi lúc đầu.
2. NĂNG SUẤT
Bài 110: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội
làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai
là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 111: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải
tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế
hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm
theo kế hoạch.
Bài 112: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã
vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn
vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định.
Bài 113: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ xung
thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe?
Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
Bài 114: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ thì
hoàn thành được
3
2
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì
mỗi tổ phải làm trong bao lâu?
Bài 115: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm
chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc
còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 116: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc
đó trong mấy giờ thì xong.
3. THỂ TÍCH
Bài 117: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ

50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu
chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 118: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48
phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 119: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì
mỗi giờ phải bơm được 10 m
3
. Sau khi bơm được
3
1
thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với
công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m
3

. Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy
trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 13 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 120: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút
sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20
phút thì sẽ được
5
1
bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 121: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ
đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
PHẦN 6: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC

Bài 122: Cho hai đường tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C. Kẻ các đường kính
COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB, dựng DE ⊥ AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
b) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’ tại F. CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng.
c) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’ tại G. CMR EC đi qua G.
d) Xét vị trí của MF đối với đường tròn tâm O’, vị trí của AE với đường tròn ngoại tiếp tứ
giác MCFE.
Bài 123: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R. Dựng Cx, Dy vuông góc với CD. Từ
điểm E bất kì trên nửa đường tròn, dựng tiếp tuyến với đường tròn, cắt Cx tại P, cắt Dy tại Q.
a) Chứng minh ∆POQ vuông; ∆POQ ∽ ∆CED.
b) Tính tích CP.DQ theo R.
c) Khi
R
PC
2
=
. Chứng minh rằng
POQ 25
CED 16
∆
=
∆
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn tâm O và hình thang vuông CPQD
khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD.
Bài 124: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB, COD vuông góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với
đường tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey.
a) Chứng minh I, F, E, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào?

Bài 125: Cho đường tròn tâm O và một điểm A trên đường tròn. Qua A dựng tiếp tuyến Ax.
Trên Ax lấy một điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB.
a) Chứng minh rằng tứ giác QBOA nội tiếp được.
b) Gọi E là trung điểm của QO, tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK ⊥ Ax, BK cắt QO tại H. CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H.
Bài 126: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BK cắt
nhau tại H, BK kéo dài cắt đường trong tại F. Vẽ đường kính BOE.
a) Tứ giác AFEC là hình gì? Tại sao?
b) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng OI =
BH
OI
2
=
và H; F đối xứng nhau qua AC.
Bài 127: Cho (O; R) và (O; R’
)
(với R > R’) tiếp xúc trong tại A. Đường nối tâm cắt đường
tròn O’ và đường tròn O tại B và C. Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với
BC. Nối A với M cắt đường tròn O’ tại E.
a) So sánh
·
AMO
với
·
NMC
.
b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng và O’P = R; OP = R’.
c) Xét vị trí của PE với đường tròn tâm O’.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 14 -

Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 128: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB.
Đường tròn này cắt đường tròn O tại C và D.
a) Tứ giác ODBC là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh rằng OC ⊥ AD; OD ⊥ AC.
c) Chứng minh rằng trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B.
Bài 129: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn đó tại hai điểm cố định
A và B. Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp
tuyến với đường tròn là MP và MQ (P, Q là các tiếp điểm).
a) Tính các góc của ∆MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45
0
.
b) Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng 5 điểm M, P, Q, O, I cùng nằm trên một
đường tròn.
c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ khi M chạy trên d.
Bài 130: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại
E và cắt đường tròn tại M.
a) Chứng minh rằng OM ⊥ BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A. Chứng minh rằng Ax đi qua một điểm cố định.
c) Kéo dài Ax cắt CB, kéo dài tại F. Chứng minh rằng FB. EC = FC. EB
(Hướng dẫn: áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác)
Bài 131: Cho ∆ ABC (AB = AC, Â < 90
0
), một cung tròn BC nằm trong ∆ ABC và tiếp xúc
với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK
xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của
MC, IH.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.
b) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
c) Chứng minh rằng tứ giác MPIQ nội tiếp. Suy ra PQ // BC

Bài 132: Cho ∆ ABC (AC > AB;
·
BAC
> 90
0
). Gọi I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB,
AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn
(K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tứ giác BFEC nội tiếp.
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy.
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF. Hãy so sánh độ
dài các đoạn thẳng DH, DE.
Bài 133: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với
OA R 2=
, một đường thẳng (d) quay quanh
A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN.
a) Chứng minh rằng OI ⊥ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai
điểm giới hạn B, C thuộc (O).
b) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A, O, B, C là bốn đỉnh của hình vuông.
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB, AC và cung nhỏ BC của (O).
Bài 134: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C là trung điểm của cung AB. Trên cung
AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) ∆AFC và ∆BEC có quan hệ với nhau như thế nào? Tại sao?
b) Chứng minh rằng ∆FEC vuông cân.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn.
Chứng minh rằng tứ giác BECD nội tiếp.
Bài 135: Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. E là một
điểm bất kì trên cung nhỏ BD (E ≠ B; E ≠ D). EC cắt AB ở M, EA cắt CD ở N.
a) Chứng minh rằng ∆AMC ∽ ∆ANC.

Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 15 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
b) Chứng minh rằng AM.CN = 2R
2

c) Giả sử AM = 3MB. Tính tỉ số
CN
ND
Bài 136: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB. Gọi H, I lần lượt là hai điểm
chính giữa các cung AM, MB; gọi Q là trung điểm của dây MB, K là giao điểm của AM, HI.
a) Tính độ lớn góc HKM.
b) Vẽ IP ⊥ AM tại P, Chứng minh rằng IP tiếp xúc với đường tròn (O).
c) Dựng hình bình hành APQR. Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường
tròn (O) đường kính AB.
Bài 137: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ∆ABC đều. Vẽ góc xOy = 60
0
sao cho tia Ox, Oy
cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng ∆OBM ∽ ∆NCO, từ đó suy ra BC
2
= 4BM.CN.
b) Chứng minh rằng MO, NO theo thứ tự là tia phân giác của các góc BMN, MNC.
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, khi góc
xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC.
Bài 138: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R (M ≠ AB).
Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đường tròn đó. Đường Mz cắt Ax, By lần lượt tại N và
P. Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D. Chứng minh:
a) Tứ giác AOMN nội ti?p đường tròn và NP = AN + BP.
b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC.
c) AD.BC = 4R

2
.
d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 139: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(cung AB không chứa C và D). Dây ID, IC cắt AB lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn.
b) IC và AD cắt nhau tại E; ID và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng EF // AB.
Bài 140: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (B ≠ C) và vẽ
đường tròn tâm (O’) đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung
DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn (O’) tại I.
a) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng
c) Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI
2
= MB.MC.
Bài 141: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa
đường tròn. Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc
với đường k?nh AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D
a) Chứng minh CD // AB.
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.
c) Chứng minh rằng tích KM.KN không đổi
Bài 142: Cho một đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D
không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa
các cung AC, AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm
của MD với CN là K
a) Chứng minh rằng ∆NKD; ∆MAK cân.
b) Chứng minh rằng tứ giác MCKH nội tiếp. Suy ra KH // AD.
c) So sánh góc CAK với góc DAK.
Bài 143: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông

góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 16 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
đường thẳng d tại D; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn tại điểm
thứ hai P.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M
di động.
Bài 144: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm M nằm trên cung AB; gọi H là
điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O) tại điểm K. Các tia AH; BM cắt nhau tại S.
a) Tam giác BAS là tam giác gì? Tại sao? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với đường tròn (B; BA)
c) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N. Chứng minh rằng
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trícủa M sao cho
·
0
ˆ
MKA 90=
.
Bài 145: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung
AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC
kéo dài cắt nhau tại I; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a) Góc CID bằng góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK // AB
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A.

Bài 146: Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, kẻ tiếp tuyến chung
Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O
1
), (O
2
) lần lượt tại các điểm B, C và cắt Ax tại điểm M.
Kẻ các đường kính BO
1
D và CO
2
E.
a) Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
b) Chứng minh
∆
O
1
MO
2
vuông
c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc với đường thẳng d.
Bài 147: Cho (O; R) trên đó có một dây AB = R

2
cố định và một điểm M di động trên cung
lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB; P, Q lần
lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S là giao điểm
của các đường thẳng PB, QA.
a) Chứng minh rằng PQ là đường kính của đường tròn (O).
b) Tứ giác AMBS là hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi.
d) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH, PQ. Chứng minh I chạy trên một đường
tròn cố định.
Bài 148: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng BM // OP.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì? Tại sao?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP; I là giao điểm của ON với PM; J là giao điểm của
PN với OM. Chứng minh rằng K, I, J thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O).
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 17 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10
Bài 149: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Trong đoạn
thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.
Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P.
a) Chứng minh rằng tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Tứ giác CMPO là hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh rằng tích CM.CN không đổi.
d) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố
định.
Bài 150: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO,
AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại
các điểm thứ hai E, F.

a) Chứng minh rằng B, F, C thẳng hàng.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp.
c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O’).
Bài 151: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn
(M khác A và B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực
của đoạn AB tại I. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong
góc BOM).
a) Chứng minh rằng các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM.
b) Chứng minh rằng CA và DB vuông góc với AB
c) Chứng minh rằng ∆AMB ∽ ∆ COD.
d) Chứng minh rằng AC.BD = R
2
.
Bài 152: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn. Gọi
các điểm chính giữa của các cung AM, MB lần lượt là H, I. Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K.
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi.
b) Hạ IP ⊥ AM. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. Chứng minh S thuộc
đường tròn (O; R)
d) Chứng minh rằng khi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một
đường tròn cố định.
Bài 153: Cho nửa đường tròn (O) đường k?nh AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao
cho cung AC < 90
0
và
·
0
COD 90=
. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm

chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lượt tại E và F.
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh rằng D là điểm chính giữa của cung MB.
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt
tại I, K. Chứng minh rằng các tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K,
S cùng thuộc một đường tròn
Bài 154: Cho ∆ABC (AB = AC), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc
với AB, AC tại B, C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC. Trên cung BC
lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA,
AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.
b) Chứng minh rằng MI
2
= MH. MK
c) Chứng minh rằng tứ giác IPMQ nội tiếp. Suy ra PQ
⊥
MI.
d) Chứng minh rằng nếu KI = KB thì IH = IC.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 18 -
Các dạng Toán Luyện thi vào lớp 10

Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – Giáo viên Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 19 -