Tài liệu luyện thi vào 10

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
Chủ đề: ĐA THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Nhân đơn, đa thức
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
m n p q m p n q m p n q
) ax y .bx y a.b x .x y .y abx y .
) A B C D A.B A.C A.D
) A B C D A.C A.D B.C B.D
+ +
+ = =
+ + − = + −
+ + − = − + −
2. Cộng, trừ đơn, đa thức
Thực chất của việc làm này là cộng, trừ đơn thức đồng dạng dựa vào quy tắc sau cùng
tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức.
( )
( )
m n m n m n
m n m p m n m n m p
ax y bx y a b x y
ax y bx y cx y a c x y bx y
± = ±
+ + = + +
3. Hằng đẳng thức đáng nhớ
( )
( ) ( )

2
2 2
2 2
A B A 2AB B
A B A B A B
± = ± +
+ − = −
( )
( )
( )
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± + ±
± + = −m
Mở rộng:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4. Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai hay nhiều

đa thức khác đơn giản hơn.
* Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm, bớt cùng một hạng tử.
- Đặt ẩn phụ.
Trong thực hành thông thường ta dùng kết hợp các phương pháp với nhau. Song nên đi
theo thứ tự các phương pháp như trên để thuận lợi trong quá trình xử lý kết quả.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính
( )
( ) ( )
3 2
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x ; B x 1 x. x 2 1
2
 
= − − + − = + − − −
 ÷
 
Giải
( )
2 3 2 3 4 5 3 5 3 5 3
3
A 2x y. x y xy . 4x 3x y 4x y x y
2
 

= − − + − = − = −
 ÷
 
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 2
B x 1 x. x 2 1 x 3x 3x 1 x 2x 4x 1 5x x= + − − − = + + + − + − − = −
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 1 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
( )
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
 
= − − + −
 ÷
 
với x = - 2; y =
1
2
.
( ) ( )
3 2
B x 1 x. x 2 1= + − − −
với x =
2
1

3
−
Giải: - Thu gọn biểu thức. (đã làm ở ví dụ 1) - Thay số, tính:
( ) ( )
3
5
1 1
A 2 . 32 . 4
2 8
 
= − − = − − =
 ÷
 
2
5 5 25 5 125 15 140
B 5 5
3 3 9 3 9 9 9
     
= − − − = + = + =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Ví dụ 3. Chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
+ − = −
= + − − + ∀ ∈M

2
c) B x 2x 2 0 x.= + + > ∀
Giải: a) Có VT = a
2
+ 2ab + b
2
– 4ab = a
2
– 2ab + b
2
= (a – b)
2
= VP. (đpcm)
b) Có A = n
2
+ 5n – n
2
+ n + 6 = 6n + 6 = 6. (n + 1)
do
( )
n Z n 1 Z 6 n 1 6∈ ⇒ + ∈ ⇒ + M
. (đpcm)
c) Có B = (x
2
+ 2x + 1) + 1 = (x + 1)
2
+ 1.
Do (x + 1)
2

≥
0
x∀

⇒
(x + 1)
2
+ 1 > 0
x∀
. (đpcm)
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
– 4x b) x
2
– 5x + 4 c) x
4
+ 4.
Giải: a) x
3
– 4x = x. (x
2
– 4) = x. (x – 2) . (x + 2) .
b) x
2
– 5x + 4 = (x
2
– 4x) – (x – 4) = x. (x – 4) – (x – 4) = (x – 4) . (x – 1) .
c) x
4

+ 4 = (x
2
)
2
+ 2x
2
. 2 + 2
2
– 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+ 2 – 2x) . (x
2
+ 2 + 2x) .
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
a) 3x. x 1 2x. x 3 . x 3 4x. x 4 x 2x 5x− − − + + − = − +
.
( ) ( )
2 3

b) A x. 2x 1 x 2x 2 2x x 15= + − + + − +
không phụ thuộc vào biến x.
( )
( )
2
c) B 2a a 5 5 a 2a 1 0 a= − − − + < ∀
.
2. Tính giá trị của biểu thức
A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) với x = 1,5.
B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) với y = -1,5.
3. Tìm x
a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x) . 3x = 7. b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0.
4. Chứng minh:
a) (1 – 2a) (5a
2
+ 2a + 1) = 1 – 10a
3
.
b) (5x
3
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
) (2x – 10y) = 10(x
4
– y
4

) .
c) a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0
⇔
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
d)
x,y 0∀ >
thì
x y
2
y x
+ ≥
.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính T = (x – 1)
1991
+ y
1992
+ (z + 1)
1993
.
6. Tìm max, min của các biểu thức sau:A = x
2
– 4x + 1; B = 2 + x – x
2

; C = x
2
– 2x

+ y
2
– 4y + 6.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 2 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
Chủ đề: PHÂN THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khái niệm
Dạng
A
B
trong đó A, B là các đa thức, B
≠
0.
2. Điều kiện xác định
Cách tìm:
- Giải B = 0.
- Kết luận: Loại đi các giá trị tìm được của ẩn ở trên.
3. Rút gọn
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung:
A C.M C
B D.M D
= =
4. Quy đồng mẫu các phân thức

- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
- Lập tích = (BCNN của các hệ số) . (các nhân tử với số mũ lớn nhất) .
- Tìm thừa số phụ = MTC : MR.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng của nó.
5. Các phép tính
( )
A B A B A C A.D C.B
a) b)
M M M B D B.D
A C A C A C A.C A C A D
c) d) . e) : . C 0
B D B D B D B.D B D B C
+ +
+ = + =
−
− = + = = ≠
Chú ý:
- Ở phần b, MTC có thể khác.
- Cần rút gọn kết quả nếu có thể.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2
x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải: a) Phân thức
3

x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1. Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

⇔
x = 0 hoặc 4x – y = 0
⇔
x = 0 hoặc y = 4x. Vậy ĐKXĐ:
x 0; y 4x≠ ≠
.
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau
2 2
2
4x 1 x x 20
A B

2x 1 x 5x
− + −
= =
− +
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2x 1 2x 1 2x 1
4x 1 1
A 2x 1; x
2x 1 2x 1 2x 1 2
− − +
−
 
= = = = + ≠
 ÷
− − −
 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x

+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3. Thực hiện phép tính
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 3 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
a) x 1; x 1
x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
− +
−
+ = − = = = + ≠
− − − − − −

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
x 2 x 3 x 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1
b)
x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
2 x 3
x 3x 2x 6 x x 2x 6 2
x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3
x 3; x 0
+ + − +
+ + + +
− = − =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
( )

2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
− + + +
− − − +
+
2. Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1
A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x
− − + −
= − ∀ ≠ ≠ −
− +
= + + ∀ ≠ ±
− + −
3. Chứng minh
2 2 x y x y 2x
x y :
3x x y 3x x x y
 

+ −
 
− − − =
 ÷
 
+ −
 
 
.
4. Cho biểu thức
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+ − −
=
−
a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b) Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c) Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d) Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 4 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
Ch : CN BC HAI
A. KIN THC C BN
1. Khỏi nim
x l cn bc hai ca s khụng õm a

x

2
= a. Kớ hiu:
x a=
.
2. iu kin xỏc nh ca biu thc
A
Biu thc
A
xỏc nh


A 0
.
3. Hng ng thc cn bc hai
2
A khi A 0
A A
A khi A 0


= =

<

4. Cỏc phộp bin i cn thc
+ )
( )
A.B A. B A 0; B 0=
+ )
( )

A A
A 0; B 0
B
B
= >
+ )
( )
2
A B A B B 0
=
+ )
( )
A 1
A.B A.B 0; B 0
B B
=
+ )
( )
( )
2
2
m. A B
m
B 0; A B
A B
A B
=


m

+ )
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
=


m
+ )
( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n = + = =
vi
m n A
m.n B
+ =


=

B. MT S V D, BI TP MU V BI TP T LUYN.
Rút gọn Các căn thức sau:
Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,
9
196

49
16
81
25
b,
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3
c.
567
3,34.640
d,
22
511.8106,21
Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:
a, 8 + 2
15
; b, 10 - 2
21
; c, 12 -
140

d, 5 +
24

; e, 14 + 6
5
; g, 8 -
28
Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau:
a, 1 +
1553 ++
b,
21151410 +++
c,
6141535 +
d, 3 +
8318 ++
e, xy + y
1xx ++
g, 3 +
x
+ 9 - x
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a, (
10238 +
) (
4,032
)
b, ( 0,2
3.)10(
2

+ 2
2

)53(
c, (
714228 +
) .
7
+ 7
8
d, ( 15
+50
5
4503200
) :
10
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 5 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
e, 2
422
)1(5)3(2)32( +
g, (
6:)
3
216
28
632



h,
57

1
:)
31
515
21
714
(


+


i,
1027
1528625
+
++
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a,
ba
ba
1
:
ab
abba
=

+
( a, b > 0 và a

b )

b, ( 1 +
a1)
1a
aa
1)(
1a
aa
=



+
(a > 0 và a

1) ;c,
1
1
a a
a
a


+
ữ
ữ


2
1
1

a
a


ữ
ữ


= 1 (a > 0 và a

1)
d,
a
bab2a
ba
.
b
ba
22
42
2
=
++
+
(a + b>0, b

0)
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a,
2

a4a129a9 ++
với a = - 9 ; b, 1 +
4m4m
2m
m3
2
+

với m<2
c,
a4a25a101
2
+
với a =
2
; d, 4x -
1x6x9
2
++
với x = -
3
e, 6x
2
- x
6
+ 1 với x =
2
3
3
2

+
Bài 7: Rút gọn Các biểu thức sau:
42
44
2

+
=
x
xx
A

144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++

+
=
xx
x
x
x
x
x
B
xy
y
yx
yx
yx
yx
C


+



+
=
2

2222

xxxxx
D

+








+










+
+

=
1

1
1
1
1
1
:
1
1
1
1









+
+

=
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
E

a
x
xa
a
x
xa
F 22
22
+
+
+
+
=

Gợi ý:

Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?
- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đợc
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix




=


<


2
1 2
B
x
=

2 y
C

x y
=

1
D
x
=
1x
E
x

=
Một số loại toán thờng kèm theo bài toán rút gọn
I.Tính toán một biểu thức đại số
Ph ơng pháp:
Để tính giá trị của biểu thức P(x) , biết x = a, ta cần:
+ Rút gọn biểu thức P(x) .
+ Thay x = a vào biểu thức vừa rút gọn
*Ví dụ:
xx
xxx
A
32
96
2
2

++
=
Tính giá trị của A biết

18=x
.
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 6 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
22
1
22
1


+
=
aa
B
Tính giá trị của B biết(a - 6) (a - 3) =
0
4
5
:
2
3
2
2
22

+


+
=
xxx
x
x
x
x
C
Tính giá trị của C biết 2x
2
+ 3x = 0
12
12
:
1
1
.
1
1
1
2
2
3
++

+








+
++

+

=
xx
x
x
xx
x
x
x
D
Tính giá trị của D biết x =
2007
2005
( )
9
961
2

2

++
=
x
xxx
E
Tính E biết
16=x
4
4ã2
2
2


=
xx
xa
F
Tính F biết x =
a
a
+
1
.

Đáp án:
1
khi 3

3
3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x

=
<

;
4
2
B
a

=
+
& B = - 4/5
( 2) 2
&
5 5
x
C C
x
+
= =
1

1
x
D
x
+
=

1
x -3
3

1- x
khi x < -3
x -3
x
khi
x
E



=
II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:
Ph ơng pháp:
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) = a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải phơng trình P(x) = a.
Ví dụ:

+

+









=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a

a
a
a
a
a
A
a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A = 0








+











+
+

=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B
Tìm x khi B = 6/5








+

+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C
a) Tính C biết x =
324 +
b) Tìm x khi C >1.

+


+






+



+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1
2

x
x
x
xx
x
x
x
D
a) Tính D khi x =
324 +
b) Tìm x để D = - 3
E =















+
1
1

1:
1
1
3
x
x
x
x

a) Tính E khi x =
14012 +
b) Tính x khi E >5
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x
+
= +
+ +
a) Rút gọn F b) Tính x để F = 1/2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 2 3
1 3
x x x
G
x x

=
+
a) Rút gọn G
c) Tính G khi
223 +=x
b) Tìm x để G >1

Đáp án:
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 7 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
1
; 1
a
A a
a

= <
;a = 1
1
; 4;
4
3 1
x x
B x x
x
+
= = =

1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
1 3
x x
C C x
x
+ + +
= = >

2
;
1
x
D
x

=
+
2 1
; 0
2
x
E x
x

= < <
;
7 9 5
2 3
x x

F
x x
+
=
+

2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G =
1
2 2 1
x
G x or
x
+
= > =
+
+
III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó
Ph ơng pháp:
Trớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của
bài toán mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
Ta cần đa biểu thức rút gọn về dạng : R(x) = f(x) +
( )
a
g x
sau đó lập luận:

( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay M
là ớc của a (a là hằng số)

Ví dụ :
1)
( ) ( )
2
2
4 2 3
6 9
x x x
A
x x

=
+
a) Rút gọn A
b) Tính xZ để AZ?
2)
xxxx
x
B

+
+

+
+
=
2
1
6
5

3
2
2
Rút gọn B, Tính xZ để BZ?
3)
2
2
:
11

+








+
+



=
a
a
aa
aa
aa

aa
C
a) Tìm a để biểu thức C không xác định
b) Rút gọn C
c) Tính aZ để C Z?
4)
11
1
1
1
3


+
+
+

=
x
xx
xxxx
D

a) Rút gọn và tính giá trị của D khi x = 5
b) Tìm giá trị nguyên dơng của x để DZ ?
5) E =

+
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
:
x
x 2+
Tính xZ để E Z?


Đáp án:
4

3
3
A
x
=

;
4 2
1
2 2
x
B
x x

= =

;
2 4 8
2
2 2
a
C
a a

= =
+ +
;
( )
2
1 1D x= +

;
2 4
1
2 2
x
E
x x

= =
+ +
B. MT S V D
VD1. Thu gn, tớnh giỏ tr cỏc biu thc
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 3 2 2
A 3 3 2 3 3 3 1 ; B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2; D 2 3 2 3
+ +
= + + = + +
+
= + = + +
Gii:
A 6 3 6 27 6 3 1 34= + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + = + + =

+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= + + + = + + = + =
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 8 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1= + + − = + + − = + + −
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6⇒ = + + − = ⇒ =
VD2. Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải: a)
( )
( )
( )
3

x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x y y 0> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = − ⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷

 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3. So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải: Có
( )
2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1= − + + = − + +
2 2
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998= + − < + =
Vậy a < b.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2

E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 9 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5

+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =

+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
Bài 3. Chứng minh
a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −

d)
1 1 1
S
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
Bài 4. Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B. b) Tìm x để A = B.
Bài 5. Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 6. Tìm x, biết:
( )
2

x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
Bài 7. Khai triển các hằng đẳng thức
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)−
3)
2
( 3 2)−
4)
2
( 3 2)−
5)
2
( 3 2)+
6)
2
( 3 2)−
7)
2
(2 2 2)+
8)
2

(2 2 2)−
9)
2 2 1+
10)
2 2 1−
11)
( 2 1)( 2 1)+ +
12)
2 2 8−
Bài 8. Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21−
3)
5 24+
4)
12 140−
5)
14 6 5+
6)
8 28−
7)
9 4 2+
8)
28 6 3+
9)
17 18 2+
Bài 9. Phân tích thành nhân tử
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 10 -

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
1)
1 3 5 15+ + +
2)
10 14 15 21+ + +
3)
35 14 15 6+ − −
4)
3 18 3 8+ + +
5)
2
36x 5−
6) 25 – 3x
2
7) x – 4 (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0)
9) 31 + 7x (x < 0) 10)
x y y x+
Bài 10. Tính:
A 21 6 6 21 6 6= + + −
HD: Ta có:
6 6 2. 3.3 2=
và và
2 2
21 ( 3) (3 2)= +
. Từ đó suy ra:
A 6 2=
Bài 11. Tìm giá trị của x để
1) x
2

− 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2)
2
1
x 2x 5+ +
có giá trị lớn nhất
3)
2
2
2x 5
2x 1
+
+
có giá trị lớn nhất 4)
2
2
x 2x 1
x 4x 5
− +
+ +
có giá trị nhỏ nhất
Bài 12 Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A =
6
x 1−
2) B =
14
2x 3+
3) C =
x 5
x 2

+
+
4) D =
4x 3
2x 6
+
−
Bài 13. Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1) (x + 2)
3)
5x 2 1 2x
4 12
− −
>
4)
11 3x 5x 2
10 15
− +
<
Bài 15. Cho biểu thức:
2
x 1 x 1 2 x 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
+ −
   
= − − +
 ÷  ÷
− + − +

−
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
x 3 8= +
c) Tìm giá trị của x khi A =
5
HD: a) ĐK: x ≠ ±1:
2
4x
A
1 x
=
−
;
b)
x 3 8 1 2= + = +
. Khi đó: A = −2 ; c)
1
x 5= −
;
2
5
x
5
=
Bài 16. Cho biểu thức:
2
x 1 10 5
A

x 3 x 2
x x 6
+
= − +
+ −
+ −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2; b)
x 1
A
x 2
+
=
−
; c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
Bài 17. Cho biểu thức
2 2
2
2a a a 2 a 2 4a
C
a 3 a 2 a 2
4 a
 
− − +
= − +
 ÷
+ + −
−

 
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C
b) Tìm các giá trị của a để C = 1
c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 11 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)
2
4a
C
a 3
=
+
; c) C = 1 ⇔
a 1
3
a
4
=



= −

; d) C > 0 ⇔
a 0
a 2
a 3
≠



≠ ±


> −

; C < 0 ⇔ a <
−3
Bài 18. Cho biểu thức
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20= +
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b)
x 2
C
x 2
−
=

+
; c)
C 5 2= −
; d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 19. Cho biểu thức:
a a 1 a a 1 a 2
A :
a 2
a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2)
A
a 2
−
=
+
;
c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.

Bài 20. Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi
x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
;
c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1 .
Bài 21. Cho biểu thức
a 3 3 a
B
2 a 6 2 a 6
+ −
= −
− +
a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
a 9

B
a 9
+
=
−
;
b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9;
c) B = 4 ⇔ a = 15
Bài 22. Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 12 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−

b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
;
c) min A = 4 khi
1
x
4
=
Bài 23. Cho
2
x 2 x 2 1 x
P .
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
1) Rút gọn P .

2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả:
P x(1 x)= −
2) Nếu 0 < x < 1 thì :
0 x 1< <
⇔ P > 0.
3)
2
1 1 1
P x
4 2 4
 
= − − ≤
 ÷
 
. Dấu " = " xảy ra ⇔
1 1
x x
2 4
= ⇔ =
. Vậy:
1 1
max P x
4 4
= ⇔ =

Bài 17: Cho biểu thức
3
1 1 x x

B
x 1 x x 1 x x 1
−
= + +
− − − + −
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị của x khi B = 4
d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > 1 b)
B x 2 x 1= − −
c) B = 4 ⇔ x = 10 d) B nguyên x = m
2
+ 1 (m ∈ Z)
Bài 18: Cho biểu thức:
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2 x 1
  +
= +
 ÷
− − − +
 
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
b) So sánh A với 1
HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:
2
1 x ( x 1) x 1
A .
x( x 1) x 1 x

+ − −
= =
− +
b) Xét hiệu: A – 1 =
x 1 x 1 x 1
1 0
x x x
− − −
− = = − <
. Vậy: A < 1
Cách 2: Dễ thấy: A =
1
1 1
x
− <
vì:
1
0
x
>
d. Mét sè thÓ lo¹i kh¸c
Bµi 1. Chøng minh r»ng:
a)
( )
2004200522006.20051
2
=+−
b)
2725725
3

3
=−−+
c)
ab
a
a
b
a
b
abaabb
a
bba
aba 11
1.
2
23223
2
32
2
+
=






−
−
−









−+−
−
+
−
Bµi 2. Cho B =








−
+
−
++
+
+
−
−
1

1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
a) Rót gän B
b) CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x
1≠
.
Bµi 3. Cho C =
632ab
6
632
32
+++
−
−
−−+
+
ba
ab
baab
ba

Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 13 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
a) Rút gọn C b) CMR nếu C =
81
81

+
b
b
thì
3
b
a
.
Bài 4. Cho
( )
xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D
+
+

=
2
.
a) Rút gọn D b) So sánh D với
D
.
Bài 5. Cho












+

= 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
E
a) Rút gọn E. b) Tìm x để
2
EE >
. c) Tìm x để
4

1
>E
Bài 6. Cho
ab
ba
bab
b
bab
a
F
+


+
+
=

a) Tính F khi a =
324;324 =+ b
b) CMR nếu
5
1
+
+
=
b
a
b
a
thì F có giá trị không đổi.

Bài 7. Cho biểu thức: A
1
= (
x1
1
x1
1
+
+

) : (
x1
1
x1
1
+


) +
x1
1

a) Rút gọn A
1
. b) Tính giá trị của A
1
khi x = 7 + 4
3
.
c) Với giá trị nào của x thì A

1
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 8. Cho biểu thức: A
2
=
22
2
)2x()1x2(
4)1x(
++


a) Tìm x để A
2
xác định. b) Rút gọn A
2
. c) Tìm x khi A
2
= 5.
Bài 9. Cho biểu thức: A
3
= (
1x
1x
1x
1x
+

+
) :(
1x
1
1x
x
1x
2
2
+
+



)
a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị của A
3
khi x =
83+
c) Tìm x khi A3 =
5

Bài 10. Cho biểu : A
4
= (
aa
1aa
aa
1aa
+

+



) :
2a
2a

+

a) Với giá trị nào của a thì A
4
không xác định. b) Rút gọn A
4
.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A
4
có giá trị tự nguyên ?
Bài 11. Cho biểu thức: B
1
=
xx
xx2
1x
x




a) Rút gọn B

1
b) Tính giá trị của B
1
khi x = 3 +
8
c) Tìm x để B
1
> 0 ? B
1
< 0? B
1
= 0
Bài 12. Cho biểu thức: B
2
=
6a2
a3
6a2
3a
+



+
a) Rút gọn B
2
b) Tìm a để B
2
< 1? B
2

> 1?
Bài 13. Cho biểu thức: B
3
= ( 1 +
1x
x
+
) :(
1xxxx
x2
1x
1
+


)
a) Rút gọn B
3
b) Tìm x để B
3
> 3? c) Tìm x để B
3
= 7.
Bài 14. Cho biểu thức: B
4
= (
xx
1
1x
x

) :(
1x
2
1x
1

+
+
)
a) Rút gọn B
4
b) Tính giá trị của B
4
khi x = 3 + 2
2
c) Giải phơng trình B
4
=
5
Bài 15. Cho biểu thức: B
5
= (
ab
a
ba
a

+
+
) :(
ab2ba
aa
ba
a
++

+
)
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 14 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
a) Tìm điều kiện của a để B
5
xác định. b) Rút gọn B
5
.
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b.
Bài 16. Cho biểu thức: C
1
=
4x4x4x4x ++
a) Rút gọn C
1
b) Tìm x để C
1
= 4
Bài 17. Cho biểu thức: C

2
=
ab
ba
aab
b
bab
a +


+
+
a) Rút gọn C
2
b) Tính giá trị của C
2
khi a =
324 +
, b =
324
c) Chứng minh rằng nếu a/b = a + 1/b + 5 thì C
2
có giá trị không đổi
Bài 18. Cho biểu thức: C
3
=
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2

+++


+
+
a) Chứng minh rằng
0b

thì C
3
có giá trị không phụ thuộc vào b
b) Giải phơng trình C
3
= - 2.
c) Tìm a để C
3
< 0? C
3
> 0?
d) Tìm giá trị nguyên của a để C
3
có giá trị nguyên.
e) Chứng minh rằng nếu C
3
= b + 81/b - 81,
khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 19. Cho biểu thức: C
4
= (
1x2x

2x
1x
2x
++
+



) .
2
1x2x
2
+
a) Xác định x để C
4
tồn tại. b) Rút gọn C
4

c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C
4
> 0.
d) Tìm giá trị của C
4
khi x = 0,16.
e) Tìm giá trị lớn nhất của C
4
.
g) Tìm x thuộc Z để C
4
thuộc Z.

Bài 20. Cho biểu thức: C
5
=
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx
+
+
a) Rút gọn C
5
.
b) Tính giá trị của C
5
khi x =
3
, y =
2
.
c) Với giá trị nào của x, y thì C
5
= 1.
Bài 21. Cho biểu thức: D
1
= (
x1
1
1xx
x
1xx

2x

+
++
+

+
) :
2
1x
a) Rút gọn D
1
.
b) Chứng minh D
1
> 0 với
1x,0x
.
Bài 22. Cho biểu thức: D
2
= (
xy
yx
yx
yx
33


+

) :
yx
xy)yx(
2
+
+
a) Xác định x, y để D
2
có nghĩa. b) Rút gọn D
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
2
. d) So sánh D
2
và
2
D
.
e) Tính giá trị của D
2
khi x = 1,8 và y = 0,2.
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 15 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
Ch : PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
A. KIN THC C BN
1. Phng trỡnh bc nht mt n
- Quy ng kh mu.

- a v dng ax + b = 0 (a 0)
- Nghim duy nht l
b
x
a

=
2. Phng trỡnh cha n mu
- Tỡm KX ca phng trỡnh.
- Quy ng v kh mu.
- Gii phng trỡnh va tỡm c.
- So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3. Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng hn:
Vi phng trỡnh A(x) . B(x) . C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

=


=

4. Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th ca

a, b ta khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
- Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht
b
x
a

=
.
- Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
- Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
5. Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc
A khi A 0
A
A khi A 0


=

<

6. Phơng trình dạng
)()( xgxf =
(1)
Sơ đồ giải:
[ ]
2
( ) 0(2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)

g x
f x g x
f x g x



=

=


Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp,
nghiệm thích hợp là nghiệm của phơng trình đã cho.
VD:Giải phơng trình: a)
783 =x
b)
xxx =+ 21
2
c)
( )
2
2 3 3 1x x =
7. Phơng trình dạng
)()()( xhxgxf =+
Sơ đồ giải: - Đặt đk có nghĩa của phơng trình
f (x) 0
g(x) 0
h(x) 0

- Bình phơng 2 vế , rút gọn đa về dạng(1)
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 16 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
VD:Giải phơng trình:
a)
xx =+ 15
b)
xx =+ 11
c)
22 10 2x x =
d)
3 1 1 2x x+ =
e)
5 1x x = +
f)
3 1 10 1 5x x+ + =
9. Phơng trình dạng
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
Sơ đồ giải:
- Đặt đk có nghĩa của phơng trình
0)(
0)(
0)(

xh
xg
xf
- Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải
đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện!
VD:Giải phơng trình:a)
5 3 2 7x x x+ + + = +
b)
1 7 12x x x+ =
10. Bất phơng trình: Vi bt phng trỡnh bc nht thỡ vic bin i tng t nh vi phng
trỡnh bc nht. Tuy nhiờn cn chỳ ý khi nhõn v c hai v vi cựng mt s õm thỡ phi i chiu
bt phng trỡnh.
*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x + b>0 hoặc a.x + b<0
+ Phơng pháp: ax + b>0

ax> - b

x> - b/a nếu a>0
x< - b/a nếu a<0
VD: Cho phơng trình:
32
16
3
1
52
xxx
x +

<


a) Giải bất phơng trình b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất phơng trình.
Dạng 2: BPT phân thức
B
A
>0 ,BPT tíchA.B>0
*Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :
0
0
0
0
A
B
A
B
<



<



>

>



VD: Giải các phơng trình sau:
1) 2x(3x - 5) <0 2)
1
1
2
2
>
++

xx
xx
3) (x - 1)
2
- 4 <0
Dạng 3:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
=

=

=

VD: Giải phơng trình:
14 += xx
Dạng 4:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
>

>

<

hoặc
axfaaxf <<< )()(
VD: Giải phơng trình:
1
2
4
2
2

++

xx
xx
11. H phng trỡnh bc nht

Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 17 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt
ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD

x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + ║ +
x - 7 - ║ - 0 +
- Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
- Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
- Xét
x 7≥

:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2. Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 18 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =

− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
- Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
- Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
- Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a) .

- Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
- Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
- Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy: - Với a ≠ - 1 và a ≠ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1

+
=
+
- Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3. Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8
+ − =
+ =
+ =
+ −
− + =
− =
− =
− =
− +




 
  

 




Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −
+ = = − = − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− − =
− = − = = =

   
    
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − = − = =
   
   
   
b) ĐK:

x y≠ ±
; đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 19 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
8
8


=

+ =
=



  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2

+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6 h) 2 x 3 2x 1 4
i) x 2 x 3 2x 1 k) 5 3x x 3 3x 1 x 2
4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)
3 6 2 4
+ −
+ − − = − + − = −

+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = + − − + =
− + − = + + < − +
+ − − +
− > −
2. Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b
a) b a b) a x 1 3a x
a b
ax-1 x a a 1 a 1 a 1 a 1
c) d)
a+1 1 a a 1 x a x 1 x a x 1
− −
+ = + − − =
+ + − +
− = + = +
− − − + − +
3. Giải các hệ phương trình sau
2 2
2 2
m n p 21

x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =


  


+ + =

4. Cho hệ phương trình

( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
5. Hệ phương trình bậc nhất
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

3)
x 7y 2

2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2
+ =


− =

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 20 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




− =



b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

− =




+ =


c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+ −




− = −

+ −

d)
4 5
2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

− +



− =

+ −

HD: a) ĐS:
10
(x ; y) 2 ;
3
 
=
 ÷
 

;b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
 
 ÷
 
;c) (x ; y) = (5 ; 3) ;d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
 
=
 ÷
 
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx y 1
x y
334
2 3
− =



− =


a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) . b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔

3
m
2
=
Bài 4: Cho hệ phương trình:
x my 1
mx 3my 2m 3
+ =


− = +

a) Giải hệ phương trình với m = –3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ 0 và m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ phương trình:
mx y 1
x y m
− =


− + =

Chứng tỏ khi m = –1, hpt có vô số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm
Bài 6: Cho hệ phương trình:
2mx y 5
mx 3y 1
− + =



+ =

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1) ; b) m ≠ 0
6. Phương trình bậc hai
Bài 7: Giải các phương trình:
1) x
2
– 4x + 3 = 0 2) x
2
+ 6x + 5 = 0 3) 3x
2
– 4x + 1 = 0
4) x
2
– 5x + 6 = 0 5)
2
( 2 1)x x 2 0− + − =
6)
2
2x ( 2 1)x 1 0− + + =
7)
2
x ( 2 1)x 2 0+ − − =
8) x
4
– 11x
2

+ 10 = 0
9) 3x
4
– 11x
2
+ 8 = 0 10) 9x
4
– 22x
2
+ 13 = 0
11) (2x
2
+ x – 4)
2
– (2x – 1)
2
= 0 12) (x – 3)
2
+ (x + 4)
2
= 23 – 3x
13)
2
2
2x x x 8
x 1
x 3x 4
− +
=
+

− −
14)
1 1 1
x 4 x 4 3
+ =
− +
15) 3(x
2
+ x) – 2(x
2
+ x) – 1 = 0 16) (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
– 4x – 4 = 0
Bài 8: Cho phương trình
2
x 3x 5 0+ − =
và gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
, x
2
. Không
giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
1 1
x x

+
b)
2 2
1 2
x x+
c)
2 2
1 2
1 1
x x
+
d)
3 3
1 2
x x+
HD: Đưa các biểu thức về dạng x
1
+ x
2
và x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x
2
– 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một
nghiệm x
1 =
2. Tìm nghiệm x

2
.
HD: m = 2, x
2
= 2
Bài 10: Cho phương trình x
2
+ 2(m + 1) x + m
2
= 0 (1)
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 21 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
1
m
2
> −
; b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 11: Cho phương trình (m + 1) x
2
− 2(m − 1) x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0; b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc
m > 3
Bài 12: Cho phương trình x

2
− 2(m + 1) x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1) . Chứng minh rằng A = x
1
(1 − x
2
) + x
2
(1
− x
1
) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm
x 2 2 7= ±
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
− 2(m − 1) x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x
1

)
2
+ (x
2
)
2
theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
= 4(m − 1)
2
− 2(m − 3) = 4m
2
− 10m + 10
c) P =
2
15 15
(2m 5)
4 4
− + ≥
. Dấu " = " xảy ra ⇔

5
m
2
=
Bài 14: Cho phương trình x
2
− 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
thỏa mãn 3x
1
+
2x
2
= 20
HD: a) Với m = 5 ⇒ x
1
= 1, x
2 =
5; b) Đáp số: m = −16 (x
1
= 8, x
2
= −2)
Bài 15: Cho phương trình x
2
− 4x + k = 0

a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x
1
= 1, x
2
= 3; b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4. ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}
Bài 16: Cho phương trình : x
2
− (m + 5) x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2.
HD: a) ĐS: x
1
= 1, x
2
= 5; b) ĐS: m = − 20
Bài 17: Cho phương trình: (m − 1) x
2
+ 2mx + m − 2 = 0. (*)
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
HD: a) Khi m = 1:
1
x
2
=
; b) ĐS:
2
m , m 1

3
> ≠
.
Bài 18: Cho phương trình x
2
− 2mx + (m − 1)
3
= 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng
bình phương của nghiệm còn lại.
HD: a) Với m = −1 ⇒ x
1
= 2, x
2
= −4 b) m = 0 hoặc m = 3
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 22 -
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10 – Năm học: 2009 - 2010)
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất
một ẩn.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó:
( ) ( )
2

x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó:
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
- Nếu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a

−
= ±
.
- Nếu
c
0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: a ≠ 0. Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a

− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng
chứa ẩn ở mẫu và dạng tích.
3. Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1

, x
2
thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =


- Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )

2
S 4P≥
thì u, v là hai nghiệm của phương
trình x
2
– Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
Biên soạn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG – GIÁO VIÊN THCS SỐ 2 BÌNH NGUYÊN Trang - 23 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
- Nu a b + c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim l x
1
= - 1; x
2
=
c
a

.
4. iu kin cú nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
- (1) cú 2 nghim

0
; cú 2 nghim phõn bit
0 >
.
- (1) cú 2 nghim cựng du
0
P 0



>

.
- (1) cú 2 nghim dng
0
P 0
S 0



>


>

- (1) cú 2 nghim õm
0
P 0
S 0

>


<

- (1) cú 2 nghim trỏi du ac < 0 hoc P < 0.
5. Tỡm iu kin ca tham s 2 nghim ca phng trỡnh tha món iu kin no ú.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
+ = + = + =
+ + =
Trong nhng trng hp ny cn s dng h thc Viet v PP gii h phng trỡnh.
6.Bài toán liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi - ét
Ph ơng pháp:
Nếu pt bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích các nghiệm đó

là:
1 2
b
x x
a
+ =
và
1 2
c
x .x
a
=

Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện
cho trớc. Nếu đk cho trớc có chứa biểu thức x
1
2
+ x
2
2
hoặc x
1
3
+ x
2
3
thì cần áp dụng
các hằng đẳng thức đáng nhớ: x
1
2

+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x)
3
- 3x
1
x
2
(x
1
+ x

2
) .
Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mãn đk
0

VD1:Cho phơng trình bậc hai: x
2
- 2(m + 1) x + m
2
+ 3 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có 2 n
0
dơng?
b) Tìm m để (1) có 2 n
0
x
1
,x
2
thỏa mãn
22
77
1
2
2
1
=+
x
x
x

x
VD 2:Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 - 5k = 0 (2) k: tham số
a) Tìm k để pt(2) có n
0
kép?
b) Tìm k để (1) có 2 n
0
x
1
,x
2
thỏa mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10
VD 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
- (2m + 3) x + m - 3 = 0 (1)
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x.
b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?
VD 4: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 2) x + m + 1 = 0 (x là ẩn)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?
b) Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để: x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
2
)
= m
2
.
VD 5:Cho phơng trình mx
2
- (m - 4) x + 2m = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 2(x
1
2
+ x
2
2
) - x
1

.x
2
= 0.
VD 6:Cho phơng trình x
2
- (m - 1) x + 5m - 6 = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 4x
1
+ 3x
2
= 1
VD 7:Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1) x + m
2
+ 3 = 0.
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 24 -
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho hc sinh lp 9 luyn thi vo lp 10 Nm hc: 2009 - 2010)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2(x
1
+ x

2
) - 3x
1
.x
2
+ 9 = 0.
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?
Ph ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để
thu đợc biểu thức không phụ thuộc vào tham số
VD 1:Cho phơng trình: x
2
- (k - 3) x + 2k + 1 = 0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm độc lập với k.
VD 2:Cho phơng trình bậc hai: x
2
- (2m + 3) x + m - 3 = 0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với k.
VD 3: Cho phơng trình bậc hai: (m + 1) x
2
- 2(m - 1) x + m = 0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm độc lập với m?.
VD 4: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1) x

2
- 2(m - 2)
2
x + m + 3 = 0. Tìm một hệ thức liên hệ
giữa các nghiệm độc lập với m?.
Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng
Ph ơng pháp:
- Lập tổng x
1
+ x
2
- Lập tích x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là X
2
- SX + P = 0.
VD 1:Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là:a)
3
1
và
2
1
;b)
3
và
5
; c)
25 +

và
25
VD 2: Cho phơng trình: x
2
+ px + q = 0 (1)
a) Không giải phơng trình, hãy tính biểu thức:
( ) ( )
2
2
2
1
322
1
322
1
+
+
+
=
xx
A
theo p và q
b) Không giải phơng trình, hãy lập phơng trình bậc 2 theo y có hai nghiệm là:

1
1
1
1
1

+
=
x
x
y
;
1
1
2
2
2

+
=
x
x
y
c) Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) và phơng trình x
2
+ mx + n = 0 có nghiệm chung
thì: (n q)
2
+ (m p) (mq np) = 0
Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
mx + m 1 = 0 (1)
a) CMR: (1) có nghiệm với mọi m.Tìm nghiệm kép nếu có của (1) và giá trị tơng ứng của
m.
b) Đặt A = x

1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
. - CMR: A = m
2
8m + 8. Tìm m để A = 8
Bài 2:Cho phơng trình: (m - 4) x
2
- 2mx + m - 2 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 18
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tính x
1
3
+ x
2
3
theo m?
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 2) x + m + 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = - 3/2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x

1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) =
m
2
.
Bài 4: Cho phơng trình : x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) - 5x
1
x
2
1.CMR: A = 8m

2
- 18m + 9
2. Tìm m để A = 27
3. Tìm m sao cho phơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?
B. MT S V D
VD1. Gii cỏc phng trỡnh sau
Biờn son: Vế HONG CHNG GIO VIấN THCS S 2 BèNH NGUYấN Trang - 25 -