bộ đề thi thpt quốc gia môn TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (33.79 MB, 335 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+
a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(
C
) c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho.
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(
C
), bi
ế
t ti
ế
p
đ
i
ể
m có hoành
độ
1.
x
=
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa mãn:
π
α π
2
< <
và
3
sin
α .
5
=
Tính
2
tan
α
.
1 tan
α
A
=
+
b) Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c:
(1 ) (3 ) 2 6 .
i z i z i
+ + − = −
Tính mô
đ
un c
ủ
a
z
.
Câu 3.
(
0,5 điểm
) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 3
log ( 2) 1 log .
x x
+ = −
Câu 4.
(
1,0 điểm
) Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 2
2 3( 2 2).
x x x x x+ + − ≥ − −
Câu 5.
(1,0
đ
i
ể
m) Tính tích phân:
2
3
1
(2 ln ) d .
I x x x
= +
∫
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, AC = 2a,
o
30 ,
ACB =
Hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a
đỉ
nh S trên m
ặ
t
đ
áy là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh AC và
2 .
SH a
=
Tính theo
a th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB).
Câu 7.
(1,0
đ
i
ể
m) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy
, cho tam giác OAB có các
đỉ
nh A và B thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 3 12 0
x y
∆ + − =
và
đ
i
ể
m
(6; 6)
K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O. G
ọ
i C là
đ
i
ể
m
n
ằ
m trên
∆
sao cho
AC AO
=
và các
đ
i
ể
m C, B n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ
i
đ
i
ể
m A. Bi
ế
t
đ
i
ể
m C có
hoành
độ
b
ằ
ng
24
,
5
tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a các
đỉ
nh A, B.
Câu 8.
(1,0
đ
i
ể
m) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m
(2; 0; 0)
A và
(1; 1; 1).
B
−
Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c (P) c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB và ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc
v
ớ
i (P).
Câu 9.
(0,5
đ
i
ể
m) Hai thí sinh A và B tham gia m
ộ
t bu
ổ
i thi v
ấ
n
đ
áp. Cán b
ộ
h
ỏ
i thi
đư
a cho m
ỗ
i thí
sinh m
ộ
t b
ộ
câu h
ỏ
i thi g
ồ
m 10 câu h
ỏ
i khác nhau,
đượ
c
đự
ng trong 10 phong bì dán kín, có hình
th
ứ
c gi
ố
ng h
ệ
t nhau, m
ỗ
i phong bì
đự
ng 1 câu h
ỏ
i; thí sinh ch
ọ
n 3 phong bì trong s
ố
đ
ó
để
xác
đị
nh
câu h
ỏ
i thi c
ủ
a mình. Bi
ế
t r
ằ
ng b
ộ
10 câu h
ỏ
i thi dành cho các thí sinh là nh
ư
nhau, tính xác su
ấ
t
để
3
câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và 3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng nhau.
Câu 10.
(1,0
đ
i
ể
m) Xét s
ố
th
ự
c x. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c sau:
2
2 2
3 2 2 1
1 1
3
2 3 3 3 2 3 3 3
+ +
= + +
+ − + + + +
( )
.
( ) ( )
x x
P
x x x x
HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
●
Tập xác định:
{
}
\ 1 .
D
= −
»
●
Giới hạn và tiệm cận:
( 1)
lim
x
y
+
→ −
= − ∞
,
( 1)
lim
x
y
−
→ −
= + ∞
;
lim lim 2.
x x
y y
→ −∞ → +∞
= =
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
1
x
= −
và một
tiệm cận ngang là đường thẳng
2.
y
=
0,25
●
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' =
2
3
( 1)
x +
> 0
∀
x
∈
D.
Suy ra, hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng
(
)
; 1
− ∞ −
và
(
)
1;
− + ∞
.
- C
ự
c tr
ị
: Hàm s
ố
đ
ã cho không có c
ự
c tr
ị
.
0,25
Lưu ý:
Cho phép thí sinh không nêu k
ết luận về cực trị của hàm số.
- Bảng biến thiên:
x
–
∞
– 1 + ∞
y' + +
y
+
∞
2
2 – ∞
0,25
●
Đồ thị (C):
0,25
O
x
y
−1
−
1
2
½
b) (1,0 điểm)
Tung độ
0
y
của tiếp điểm là:
0
1
(1) .
2
y y
= =
0,25
Suy ra h
ệ
s
ố
góc
k
c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3
'(1) .
4
k y
= =
0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3 1
( 1) ;
4 2
y x
= − +
0,25
hay
3 1
.
4 4
y x
= −
0,25
Câu 2
(
1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Ta có:
2
2
tan α 3
tan
α.cos α sin α.cos α cos α.
1 tan α 5
A = = = =
+
(1)
0,25
2
2 2
3 16
cos
α 1 sin α 1 .
5 25
= − = − =
(2)
Vì
α ;
2
π
π
∈
nên
cos
α 0.
<
Do đó, từ (2) suy ra
4
cos
α .
5
= −
(3)
Thế (3) vào (1), ta được
12
.
25
A = −
0,25
b)
(
0,5 điểm
)
Đặt
z
=
a
+
bi
, (
,a b
∈
»
); khi đó
z a bi
= −
. Do đó, kí hiệu (
∗
) là hệ thức cho
trong đề bài, ta có:
(
∗
)
⇔
(1 )( ) (3 )( ) 2 6
i a bi i a bi i
+ + + − − = −
⇔
(4 2 2) (6 2 ) 0
a b b i
− − + − =
0,25
⇔
{
4 2 2 0
6 2 0
a b
b
− − =
− =
⇔
{
2
3.
a
b
=
=
Do đó
2 2
| | 2 3 13.
z = + =
0,25
Câu 3
(
0,5 điểm)
●
Điều kiện xác định:
0.
x
>
(1)
●
Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là phương trình đã cho, ta có:
(2)
⇔
3 3
log ( 2) log 1
x x
+ + =
⇔
3 3
log ( ( 2)) log 3
x x + =
0,25
⇔
2
2 3 0
x x
+ − =
⇔
1
x
=
(do (1)).
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
● Điều kiện xác định:
1 3.
x ≥ +
(1)
● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:
(2) ⇔
2 2
2 2 2 ( 1)( 2) 3( 2 2)
x x x x x x x
+ − + + − ≥ − −
0,25
⇔
( 2)( 1) ( 2) 2( 1)
x x x x x x
− + ≥ − − +
⇔
(
)
(
)
( 2) 2 ( 1) ( 2) ( 1) 0.
x x x x x x
− − + − + + ≤
(3)
Do với mọi x thỏa mãn (1), ta có
( 2) ( 1) 0
x x x
− + + >
nên
(3) ⇔
( 2) 2 ( 1)
x x x
− ≤ +
0,50
⇔
2
6 4 0
x x
− − ≤
⇔
3 13 3 13.
x− ≤ ≤ +
(4)
K
ế
t h
ợ
p (1) và (4), ta
đượ
c t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là:
1 3 ; 3 13 .
+ +
0,25
Câu 5
(1,0
đ
i
ể
m)
Ta có:
2 2
3
1 1
2 d ln d .
I x x x x
= +
∫ ∫
(1)
0,25
Đặ
t
2
3
1
1
2 d
I x x
=
∫
và
2
2
1
ln d .
I x x
=
∫
Ta có:
2
4
1
1
1 15
.
2 2
I x= =
0,25
2 2
2 2
2
1 1
1 1
.ln d(ln ) 2ln 2 d 2ln 2 2ln 2 1.
I x x x x x x
= − = − = − = −
∫ ∫
V
ậ
y
1 2
13
2 ln 2.
2
I I I= + = +
0,50
Câu 6
(1,0
đ
i
ể
m)
Theo gi
ả
thi
ế
t,
1
2
HA HC AC a
= = =
và SH ⊥ mp(ABC).
Xét
∆
v. ABC, ta có:
o
.cos 2 .cos 30 3 .
BC AC ACB a a
= = =
0,25
Do
đ
ó
o 2
1 1 3
. .sin .2 . 3 .sin 30 .
2 2 2
ABC
S AC BC ACB a a a
= = =
V
ậ
y
3
2
.
1 1 3 6
. . 2 . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V SH S a a= = =
0,25
Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)). (1)
G
ọ
i N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, ta có HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
∆
ABC.
Do
đ
ó HN // BC. Suy ra AB ⊥ HN. L
ạ
i có AB ⊥ SH nên AB ⊥ mp(SHN). Do
đ
ó
mp(SAB) ⊥ mp(SHN). Mà SN là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ừ
a nêu, nên
trong mp(SHN), h
ạ
HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB).
Vì v
ậ
y d(H, (SAB)) = HK. K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK. (2)
0,25
Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN. Xét
∆
v. SHN, ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
2
HK SH HN a HN
= + = +
Vì HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
∆
ABC nên
1 3
.
2 2
a
HN BC= =
Do
đ
ó
2 2 2 2
1 1 4 11
.
2 3 6
HK a a a
= + =
Suy ra
66
.
11
a
HK =
(3)
Th
ế
(3) vào (2), ta
đượ
c
( )
2 66
, ( ) .
11
a
d C SAB =
0,25
Câu 7
(1,0
đ
i
ể
m)
Trên
∆
, l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho BD = BO và D, A n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ
i B.
G
ọ
i E là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng KA và OC; g
ọ
i F là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng KB và OD.
Vì K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O c
ủ
a
∆
OAB nên KE là phân giác c
ủ
a góc
.
OAC
Mà OAC là tam giác cân t
ạ
i A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE c
ũ
ng
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a OC. Do
đ
ó E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OC và KC = KO.
Xét t
ươ
ng t
ự
đố
i v
ớ
i KF, ta c
ũ
ng có F là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OD và KD = KO.
Suy ra
∆
CKD cân t
ạ
i K. Do
đ
ó, h
ạ
KH ⊥
∆
, ta có H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD.
Nh
ư
v
ậ
y:
+ A là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
1
d
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OC; (1)
+ B là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
2
d
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OD, v
ớ
i D là
đ
i
ể
m
đố
i
x
ứ
ng c
ủ
a C qua H và H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a K trên
∆
. (2)
0,50
Vì C ∈
∆
và có hoành
độ
0
24
5
x =
(gt) nên g
ọ
i
0
y
là tung
độ
c
ủ
a C, ta có:
0
24
4. 3 12 0.
5
y
+ − =
Suy ra
0
12
.
5
y = −
T
ừ
đ
ó, trung
đ
i
ể
m E c
ủ
a OC có t
ọ
a
độ
là
12 6
;
5 5
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng OC có
ph
ươ
ng trình:
2 0.
x y
+ =
Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
1
d
là:
2 6 0.
x y
− − =
Do
đ
ó, theo (1), t
ọ
a
độ
c
ủ
a A là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
2 6 0.
x y
x y
+ − =
− − =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c A = (3; 0).
0,25
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua K(6; 6) và vuông góc v
ớ
i
∆
, ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a
d là:
3 4 6 0.
x y
− + =
T
ừ
đ
ây, do H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
và d nên t
ọ
a
độ
c
ủ
a H là
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
3 4 6 0.
x y
x y
+ − =
− + =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c
6 12
; .
5 5
H
=
Suy ra
12 36
; .
5 5
D
= −
Do
đ
ó, trung
đ
i
ể
m F c
ủ
a OD có t
ọ
a
độ
là
6 18
;
5 5
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng OD có
ph
ươ
ng trình:
3 0.
x y
+ =
Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
2
d
là:
3 12 0.
x y
− + =
Do
đ
ó, theo (2), t
ọ
a
độ
c
ủ
a B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
3 12 0.
x y
x y
+ − =
− + =
Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c B = (0; 4).
0,25
Câu 8
(1,0
đ
i
ể
m)
G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, ta có
3 1 1
; ; .
2 2 2
M
= −
Vì (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a AB nên (P)
đ
i qua M và
( 1; 1; 1)
AB
= − −
là
m
ộ
t vect
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a (P).
0,25
Suy ra, ph
ươ
ng trình c
ủ
a (P) là:
3 1 1
( 1) ( 1) 0
2 2 2
x y z
− − + − + − + =
hay:
2 2 2 1 0.
x y z
− + − =
0,25
Ta có
2 2 2
| 1| 1
( , ( )) .
2 3
2 ( 2) 2
d O P
−
= =
+ − +
0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) là:
2 2 2
1
12
x y z+ + =
hay
2 2 2
12 12 12 1 0.
x y z
+ + − =
0,25
Câu 9
(0,5
đ
i
ể
m)
Không gian m
ẫ
u Ω là t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các c
ặ
p hai b
ộ
3 câu h
ỏ
i, mà
ở
v
ị
trí
th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ
3 câu h
ỏ
i thí sinh A ch
ọ
n và
ở
v
ị
trí th
ứ
hai c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ
3 câu h
ỏ
i thí sinh B ch
ọ
n.
Vì A c
ũ
ng nh
ư
B
đề
u có
3
10
C
cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i t
ừ
10 câu h
ỏ
i thi nên theo quy
t
ắ
c nhân, ta có
(
)
2
3
10
( ) C .
n Ω =
0,25
Kí hi
ệ
u X là bi
ế
n c
ố
“b
ộ
3 câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và b
ộ
3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng
nhau”.
Vì v
ớ
i m
ỗ
i cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i c
ủ
a A, B ch
ỉ
có duy nh
ấ
t cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i
gi
ố
ng nh
ư
A nên
(
)
3 3
10 10
C .1 C .
X
n Ω = =
Vì v
ậ
y
(
)
( )
3
10
2
3
3
10
10
C
1 1
( ) .
( ) C 120
C
X
n
P X
n
Ω
= = = =
Ω
0,25
Câu 10
(1,0
đ
i
ể
m)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
th
ự
c x, xét các
đ
i
ể
m
( ; 1)
A x x
+
,
3 1
;
2 2
B
−
và
3 1
; .
2 2
C
− −
Khi
đ
ó, ta có
,
OA OB OC
P
a b c
= + +
trong
đ
ó a = BC, b = CA và c = AB.
0,25
G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm
∆
ABC, ta có:
. . . 3 . . .
. . . 2 . . .
a b c
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
P
a GA b GB c GC a m b m c m
= + + = + +
,
trong
đ
ó
,
a b
m m
và
c
m
t
ươ
ng
ứ
ng là
độ
dài
đườ
ng trung tuy
ế
n xu
ấ
t phát t
ừ
A,
B, C c
ủ
a
∆
ABC.
0,25
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô si cho hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
. . 3 2 2
2 3
3 2 2
1
. .
2
2 3 2 3
a
a m a b c a
a b c a
a b c
= + −
+ + −
+ +
≤ =
B
ằ
ng cách t
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có:
2 2 2
.
2 3
b
a b c
b m
+ +
≤
và
2 2 2
. .
2 3
c
a b c
c m
+ +
≤
Suy ra
( )
2 2 2
3 3
. . . .
P OAGA OB GB OC GC
a b c
≥ + +
+ +
(1)
0,25
Ta có:
. . . . . . .
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
+ + ≥ + +
(2)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
. . .
. . .
.
4
. (3)
9 3
a b c
OA GA OB GB OC GC
OG GA GA OG GB GB OG GC GC
OG GA GB GC GA GB GC
a b c
m m m
+ +
= + + + + +
= + + + + +
+ +
= + + =
T
ừ
(1), (2) và (3), suy ra
3.
P ≥
H
ơ
n n
ữ
a, b
ằ
ng ki
ể
m tra tr
ự
c ti
ế
p ta th
ấ
y
3
P =
khi x = 0.
V
ậ
y
min 3.
P =
0,25
SỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO KÌTHITHỬTHPTQUỐCGIA2015
PHÚYÊN MÔN:TOÁN
Ngàythi :02/4/2015
Thờigian :180phút(khôngkểthờigiangiaođề)
Câu1. (2,00điểm) Chohàmsố
3
3 2y x x = - - .
a)Khảosátsựbiếnthiên vàvẽđồthị (C)củahàmsố.
b)Gọi A,B làcácđiểmcựctrịcủađồthị hàmsốđãcho.Hãytìm tọađộđiểm Mthuộc
đồthị (C)saochotamgiácMABcântại M.
Câu2. (1,00điểm) Giảiphươngtrình
2 8
log ( 2) 3log (3 5) 2 0x x - + - - = trêntậphợpsốthực.
Câu3. (1,00điểm) Tính tíchphân:
3
2
1
2
2 3 2
I dx
x x
=
+ -
ò
.
Câu4.(1,00điểm)Mộtlớphọccó33họcsinh,trongđócó10họcsinhgiỏi,11họcsinhkhá
và12họcsinhtrungbình.Chọnngẫunhiêntronglớphọc4họcsinhthamdựtrạihè.Tínhxác
suấtđểnhómhọcsinhđượcchọncóđủhọcsinhgiỏi,họcsinhkhávàhọcsinhtrungbình.
Câu5.(1,00điểm)ChotứdiệnSABCcóđáyABClàtamgiácvuôngcântại A,SAvuônggóc
vớimặtphẳngđáy.TínhthểtíchtứdiệnbiếtđườngcaoAHcủatamgiácABCbằngavàgóc
giữamặtphẳng(SBC)vàmặtphẳng(A BC)là60
0
.
Câu6.(1,00điểm)TrongmặtphẳngOxycho hìnhvuôngABCDcóM,Nlần lượt làtrung
điểmcủa cáccạnh BC, CD. Tìm tọa độ đỉnhB, điểmM biết N(0;2), đườngthẳng AM có
phươngtrình x+2y–2=0 vàcạnhhìnhvuôngbằng4.
Câu7. (1,00điểm) Trongkhônggian Oxyzchođiểm A(4;2;4)vàđườngthẳngd:
3 2
1 ( ).
1 4
x t
y t t
z t
= - +
ì
ï
= - Î
í
ï
= - +
î
¡
Viếtphươngtrình đườngthẳng DđiquaA,cắtvàvuônggócvớiđườngthẳngd.
Câu8. (1,00điểm) Giảihệphươngtrình:
( )
3
2
2
27 3 9 7 6 9 0
( , )
109
2 3 0
3 81
x x y y
x y
x
y x
ì
+ + - - =
ï
Î
í
+ + - - =
ï
î
¡ .
Câu9.(1,00điểm) Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrị nhỏnhấtcủabiểuthức
2
5 5
x y
P = + ,biếtrằng
0, 0, 1x y x y ³ ³ + = .
Hết
Cảm ơnthầyDươngBìnhLuyện()
đãgửitớiwww.laisac.page.tl
ĐỀCHÍNHTHỨC
HNGDNCHMTHI
(Gmcú04 trang)
1. Hngdnchung
Nuthớsinhlmbikhụngtheocỏchnờutrongỏpỏnmvnỳngthỡchoim
tngphnnhhngdnquynh.
Vicchitithúathangim(nucú)sovithangimchmphibomkhụngsai
lchvihngdnchmvcthngnhtthchintrongHingchmthi.
imbithikhụnglmtrũns.
2. ỏpỏn vthangi m
CU PN IM
1
Chohms
3
3 2y x x = - -
2,00
a)Khosỏtsbinthiờnvvth(C)cahms.
Tpxỏcinh: Ă .
Sbinthiờn:
+Chiubinthiờn:
2 2
' 3 3 3( 1).y x x = - = -
2
1
' 0 3( 1) 0
1
x
y x
x
= -
ộ
= - =
ờ
=
ở
.
Hmsngbintrờncỏckhong
( )
1 -Ơ - v
( )
1+Ơ
Hmsnghchbintrờnkhong
( )
11 - .
+Cctrvgiihn:
H/stcciti 1x = - y
C
=
( )
1 0y - = .
H/stcctiuti 1x = y
CT
=
( )
1 4y = - .
Cỏcgiihn: lim lim
x x
y y
đ-Ơ đ+Ơ
= -Ơ = +Ơ .
+Bngbinthiờn:
x -Ơ 11+Ơ
y +0 0 +
y
0+Ơ
Ơ 4
thiquacỏcim(20),(02):nhhỡnhv.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
b)Tỡmtaim Mthucth (C)saocho DMABcõnti M.
M(xy)cntỡmlgiaoimcangtrungtrccaon ABvth(C).
TacúcỏcimcctrlA(10),B(14),trungimcaon AB lI(02).
ngtrung trcon ABnhn (2 4)AB = -
uuur
lmvtcpcúp/t 2 4 0x y - - = .
HonhgiaoimcaMlnghimcaphngtrỡnh:
3
4
3 2
2
x
x x
-
- - = .
Giiratac
7
2
x = v
0x =
(loi).
Vi
7 14 8
2 4
x y
-
= ị = ,tacúim
1
7 14 8
2 4
M
ổ ử
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
Vi
7 14 8
2 4
x y
- -
= - ị = ,tacúim
2
7 14 8
2 4
M
ổ ử
- -
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
f(x)=x^33x 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8
6
4
2
2
4
6
8
x
f(x)
2
Giiphngtrỡnh
2 8
log ( 2) 3log (3 5) 2 0x x - + - - =
1,00
iukin
2 0
2
3 5 0
x
x
x
- >
ỡ
>
ớ
- >
ợ
.
Phngtrỡnhtngng:
2 2
log ( 2) log (3 5) 2x x - + - =
[ ]
2
2
log ( 2)(3 5) 2 3 11 6 0x x x x - - = - + = .
Giipttrờnvichiuiukintatỡm cnghimptóchol
3x =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tớnhtớchphõn
3
2
1
2
2 3 2
I dx
x x
=
+ -
ũ
1,00
Tacú:
3
1
2
(2 1)( 2)
I dx
x x
=
- +
ũ
3 3
1 1
2 2 1
5 2 1 2
dx dx
x x
ổ ử
= -
ỗ ữ
- +
ố ứ
ũ ũ
3 3
1 1
2 (2 1) ( 2)
5 2 1 2
d x d x
x x
ổ ử
- +
= -
ỗ ữ
- +
ố ứ
ũ ũ
( )
3 3
1 1
2 2
ln | 2 1| ln | 2 | ln 3
5 5
x x = - - + = .
0,50
0,25
0,25
4 1,00
Gi Albinc:4HScchncúHSgii,HSkhỏvHStrungbỡnh.
Sphntkhụnggianmu:
4
33
C W = =40920.
Tacúcỏctrnghpcchnsau:
(1)Cú2HSgii,1HSkhỏv1HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
2 1 1
10 11 12
. . 5940C C C =
(2)Cú1HSgii,2HSkhỏv1HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
1 2 1
10 11 12
. . 6600C C C =
(3)Cú1HSgii,1HSkhỏv2HStrungbỡnh.Scỏchchnl:
1 1 2
10 11 12
. . 7260C C C = .
Tac
A
W =5940+6600+7260=19800.
Doú
15
( )
31
A
P A
W
= =
W
.
0,25
0,25
0,25
0,25
5 1,00
DABCvuụngcõnti Anờn BC=2AH =2a.
Tú
2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AH BC a a a = = = (vdt).
Vỡ SA^(ABC)vAH ^ BCsuyraSH^ BC
Doú((SBC),(ABC))=
ã
0
60SHA =
Suyra
0
tan 60 3SA AH a = = .
Vy
3
2
1 1 3
. 3.
3 3 3
SABC ABC
a
V SA S a a = = = (vtt).
0,25
0,25
0,25
0,25
6 1,00
Gi I=AM ầB N. DBIMngdng DABM
suyraAM^BNnờn BN:2x y+c=0.
N(02)
2c ị = - ị
BN:2x y 2=0.
Taim Ilnghimhpt:
0,25
O
12
2M
2A
B
1
1
1
I
y
x
B
C
A
H
S
6
2 2 0
6 2
5
2 2 0 2
5 5
5
x
x y
I
x y
y
ộ
=
ờ
+ - =
ỡ
ổ ử
ị
ờ
ớ
ỗ ữ
- - =
ố ứ
ợ
ờ
=
ờ
ở
.
T DABMvuụng:
2 2
. 4
5
AB BM
BI
AB BM
= =
+
.
Taim B(xy)thamón
2 2
2 2 0
4
6 2 16
5
5 5 5
x y
B BN
B I
x y
- - =
ỡ
ẻ
ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
ổ ử ổ ử
=
- + - =
ỗ ữ ỗ ữ ù ù
ợ
ố ứ ố ứ
ợ
.
Giihtac
2
2
x
y
=
ỡ
ớ
=
ợ
v
2
5
6
5
x
y
ỡ
=
ù
ù
ớ
-
ù
=
ù
ợ
,suyra (22)B (loi
2 6
5 5
-
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
).
Taim M(xy)tha
2 2
2 2
2 2 0
6 2 4
5 5 5
x y
M AM
x y
IM BM BI
+ - =
ỡ
ẻ
ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
ổ ử ổ ử
- + - =
= -
ù
ỗ ữ ỗ ữ ù
ợ
ố ứ ố ứ
ợ
.
Giihtac
2
0
x
y
=
ỡ
ớ
=
ợ
v
2
5
4
5
x
y
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
,suyra
1 2
2 4
(20),
5 5
M M
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
0,25
0,25
0,25
7 1,00
Do DiquaAvvuụnggúcvi dnờn Dphinmtrongmtphng(P)iqua
Avvuụnggúcvi d.
Mtphng(P)nhnvtcp (2 14)u = -
r
cadlmvtpt,iquaA(424)cú
phngtrỡnh:2xy+4z 10=0.
Gi Mlgiaoimcadv(P)thỡ M(3+2t1 t1+4t) ẻ d vMẻD.
TacngcúMẻ(P) 2(3+2t) (1 t)+4(1+4t)10=0
21t 21=0 t=1.Vy M(103).
Khiú (32 1)AM = -
uuuur
,ngthng DquaA vMcúphngtrỡnh:
4 2 4
3 2 1
x y z + + -
= =
-
.
0,25
0,25
0,25
0,25
8
Giihphngtrỡnh:
( )
3
2
2
27 3 9 7 6 9 0(1)
109
2 3 0 (2)
3 81
x x y y
x
y x
ỡ
+ + - - =
ù
ớ
+ + - - =
ù
ợ
.
1,00
Viiukin:
2 2
,
3 3
x y Ê Ê ,(1)vitlil:
( )
( )
2
9 1 3 6 9 1 6 9x x y y + = - + - .
0,25
Đặt 3 , 6 9u x v y = = - ,tacó:
( ) ( )
2 2
1 1u u v v + = + .
Xéth/s:
( )
2
( ) 1f t t t = + có
2
'( ) 3 1 0f t t = + > nênh/sluônđồngbiếntrên ¡ ,
Suyra
2
0
3 6 9
2
(3)
3
x
u v x y
y x
³
ì
ï
= Û = - Û
í
= -
ï
î
.
Thế(3)vào(2)tađược:
2
2
2
2 109
2 3 0
3 3 81
x
x x
æ ö
+ - + - - =
ç ÷
è ø
(4).
Nhậnxét:
2
0,
3
x x = = khôngphảilànghiệmcủa(4).
Xéthàmsố:
2
2
2
2 109
( ) 2 3
3 3 81
x
g x x x
æ ö
= + - + - -
ç ÷
è ø
Tacó:
( )
2
3 2
'( ) 2 2 1 0, 0;
3
2 2 3
g x x x x
x
æ ö
= - - < " Î
ç ÷
-
è ø
Nênhàmsốg(x)nghịchbiếntrên
2
0;
3
æ ö
ç ÷
è ø
.
Dễthấy
1
3
x = lànghiệmcủa(4),suyra
5
9
y = nênhệcónghiệmduynhất
1 5
;
3 9
æ ö
ç ÷
è ø
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
9
TìmGTLN,GTNNcủabiểuthức
2
5 5
x y
P = + ,biết 0, 0, 1x y x y ³ ³ + =
1,00đ
Do 1 1x y y x + = Þ = - ,nên
2 1 2
5
5 5 5
5
x x x
x
P
-
= + = + .
Đặt 5
x
t = thì
1 5t £ £
(do
0 1x £ £
).
Xéthàmsố
2
5
( )f t t
t
= + ,với
1 5t £ £
.Tacó
3
2 2
5 2 5
'( ) 2
t
f t t
t t
-
= - = .
Dođócóbảngbiếnthiên:
t
1
3
5
2
5
f’(t) 0+
f(t)
626
3
25
3
4
Vậy
3 3
1 5 1 5
5 25
min min ( ) 3 ;max max ( ) (5) 26
2 4
t t
P f t f P f t f
£ £ £ £
æ ö
= = = = = =
ç ÷
ç ÷
è ø
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Cảm ơnthầyDươngBìnhLuyện()
đãgửitới www.laisac.page.tl
THỬSỨCTRƯỚCKỲTHI
ĐềSố6,số453,tháng4năm2015.
ĐỀ
(Thờigianlàmbài:180phút)
Câu1(2,0điểm).Gọi
( )
m
C làđồthịcủa hàmsố
3
3y x x m = - + (mlàthamsốthực).
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốkhi
2m =
.
b) Địnhthamsốmđểquađiểmuốncủađồthị
( )
m
C kẽđượcmộtđườngthẳng
( )
d tạovớiđồthị
( )
m
C một
hìnhphẳng(H)và
( )
d tiếptụcchắntrênhaitrụctọađộmộttamgiác(T)saochodiệntíchcủa(H)và(T)
bằngnhauđềubằng2(đvdt) .
Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình
( )
( )
2
tan .cot 2 1 sinx 4cos 4sin 5 .x x x x = + + -
Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân
( )
( )
3
4
ln 4tan
sin 2 .ln 2t anx
x
I dx
x
p
p
=
ò
.
Câu4(1,0điểm).
a) TrogtrườnghợpkhaitriểntheonhịthứcNewton củabiểuthức
( )
2
1
n
x + tacóhệsốchứa
8
x bằng210
Tínhtổngcáchệsốcủacácsốhạngđượckhaitriểntừbiểuthứctrêntheotrườnghợpđó.
b)Chocácsốphứczthỏamãn 1 34z - = và 1 2z mi z m i + + = + + .Địnhthamsố
mÎ ¡
đểtồntạihai
sốphức
1 2
,z z đồngthời thỏamãnhaiđiềukiệntrên saocho
1 2
z z - làlớnnhất.
Câu5(1,0điểm). TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,quahaiđiểm
( ) ( )
1; 1;1 , 0; 1;0M N - - lập
phươngtrìnhmặtphẳng
a
cắtmặtcầu
( )
2
2 2
( ) 2 ( 1) ( 1) 5S x y z + + + + - = mộtthiếtdiệnđườngtrònmàdiện
tíchhìnhtrònsinhbỡiđườngtròn đócódiệntích
S
p
=
.
Câu6(1,0điểm). ChohìnhchóptứgiácS.ABCD,đáyABCDlàhìnhvuôngcạnha,cạnhbên ( )SA ABCD ^
vàSA=a.QuaAdựngmặtphẳng
a
vuônggócvớiSCsaocho
a
cắtSC,SB,SDlầnlượttạiG,M,N.
Tínhtheoathểtích khối nón(H),biếtrằngđườngtròn đáy của(H)ngoạitiếptứgiácAMGNvàđỉnhOcủa
(H)nằmtrên đáyABCDcủahìnhchópS.ABCD.
Câu7(1,0điểm). TrongmặtphẳngvớihệtrụctọađộOxy,hãytínhdiệntíchtamgiácABCbiếtrằnghai
điểm (5;5)H ,
( )
5;4I lầnlượtlàtrựctâmvàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABCvà 8 0x y + - = là
phươngtrình đườngthẳngchứacạnhBCcủatamgiác.
Câu8(1,0điểm). Giảiphươngtrìnhnghiệmthực
( )
2
x ln x 2x 2 x 1 - + = + .
Câu9(1,0điểm). Chobasốdươngx,y,zthỏamãn0 x y z < < < .
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
( ) ( )
3 4 3 3
2
2 2 2 2
15x z y z x
P
x z
y xz y z xz y
+
= + +
+ +
.
NguyễnLái
( GVTHPTChuyênLươngVănChánh.
TuyHòa,PhúYên.)
HNGDNGII.
Cõu1.
a)Bnctgii.
b)Taimuncath
( )
m
C l
( )
0I m nờnngthng
( )
d cúdng y kx m = +
Phngtrỡnhhonhgiaoimcahms
( )
m
C vphngtrỡnhngthng
( )
d l
3
3x x m - +
kx m = +
( )
3
3 0x k x - + = (1)
( )
d chnctrờnth
( )
m
C mtdintớchthỡphngtrỡnh(1)phicú3nghim
3k ị > -
,
lỳcú3nghimcaphngtrỡnh(1)l 0, 3, 3x x k x k = = - + = + .
VỡIltõm ixngcangcong
( )
m
C nờndintớchcahỡnhphng(H)l:
( )
3
2
3
0
1
2 3 3
2
k
S kx m x x m dx k
+
ộ ự
= + - + - = +
ở ỷ
ũ
( )
2
1
2 3 2 1
2
S k k ị = + = ị = - (vỡ
3k > -
).
Lỳcnyngthng
( )
d vitli y x m = - + nờn(d)cthaitrctatihaigiaoim
( ) ( )
0 , 0A m B m .Vỡ(T)ltamgiỏcvuụngcõnnờndintớchca(T)l
2
1
2
S m =
theogithit 2 2, 2S m m = ị = = - .Vycúhaigiỏcntỡml 2, 2m m = = - .
Cõu2. iukin:
cos 0
sin 2 0
2
x
k
x
x
p
ạ
ỡ
ị ạ
ớ
ạ
ợ
.
Tacú
( )
( )
2 3
tan .cot 2 1 sinx 4cos 4sin 5 tan .cot 2 3sin 4sin 1x x x x x x x x = + + - = - -
sin3 1
1 tan .cot 2 sin3 sin 3 sin 3 1 0
cos .sin 2 cos .sin 2
x
x x x x x
x x x x
ổ ử
+ = = - =
ỗ ữ
ố ứ
Nghimphngtrỡnhxyra:
hocsin 3 0
3
n
x x
p
= = ,soviiukinphngtrỡnhcúnghiml
2
,
3 3
x m x m
p p
p p
= + = +
hoc
sin 2 1 sin 2 1
sin 2 .cos 1
cos 1 cos 1
x x
x x
x x
= = -
ỡ ỡ
= "
ớ ớ
= = -
ợ ợ
vụnghim
Vynghimcaphngtrỡnhtrờnl
( )
2
, ,
3 3
x m x m m Z
p p
p p
= + = + ẻ .
Cõu3.Tacú:
( )
( ) ( )
3 3 3
4 4 4
ln 2 ln 2t anx
ln 2.
sin 2 .ln 2t anx sin 2 .ln 2t anx sin 2
dx dx
I dx
x x x
p p p
p p p
+
= = +
ũ ũ ũ
Tớnh
( )
( )
( )
( )
3 3
3
4
4 4
ln 2t anx
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3
ln 2. . . ln ln(2 tan ) .ln
sin 2 .ln 2t anx 2 ln 2t anx 2 2 ln 2
d
dx
x
x
p p
p
p
p p
ộ ự
ổ ử
ở ỷ
ộ ự
= = =
ỗ ữ
ở ỷ
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
.
Tớnh
3
3
4
4
1 1
ln(t anx) ln 3
sin 2 2 2
dx
x
p
p
p
p
= =
ũ
.
Vy
ln 2 ln 2 3 1
.ln ln 3
2 ln 2 2
I
ổ ử
= +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
Câu4.
a).Khaitriểnbiểuthứctrêncósốhạngthứ(k+1) là
( )
2
,
k k
n
C x k n < .
Theogiảthiết,tacó
2 8
210
k
n
k
C
=
ì
í
=
î
( )
4
!
4, 210 210
4! 4 !
n
n
k C
n
Þ = = Þ =
-
( )( )( )
( )( )
2 2
3 2 1 5040 3 3 2 5040n n n n n n n n Û - - - = Û - - + = .
Đặtẩnphụvàgiảiphươngtrìnhnàytađượcn=10.
Khaitriểnbiểuthức
( )
10
2 0 2 1 4 2 2.10 10
10 10 10 10
1 x C x C x C x C + = + + + + .
Dođótổngcáchệsố:
( )
10
0 1 2 10 10
10 10 10 10
1 1 2C C C C + + + + = + =
b). Giảsử
( )
;M a b làđiểmbiểudiễnsốphức
( )
, ,z a bi a b R = + Î ,vì
( )
2
2
1 34 1 34z a b - = Þ - + =
Þ
Mthuộcđườngtròn
( )
2
2
( ): 1 34C x y - + = .Vì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 2 3 0z mi z m i a b m a m b m a m b + + = + + Þ + + + = + + + Þ - + - - =
Þ
Mnằmtrênđườngthẳng( ):d
( ) ( )
2 1 2 2 3 0m x m y - + - - =
Đểtồntạihaisốphức
1 2
,z z đồngthờithỏamãnhaiđiềukiệnđãchonghĩalàtồntạihaiđiểmbiểu
diễn
1 2
,M M củahaisốphứclầnlượtnằmtrênhaigiaođiểmcủa ( )C và(d),vàđể
1 2
z z - lớnnhất
khivàchỉkhi
1 2
M M làđườngkínhcủa(C)hay(d)quatâm (1;0)I của(C)
( ) ( )
1
2 1 .1 2 2 .0 3 0
2
m m m Þ - + - - = Þ = - .
Lúcnầyđườngthẳng(d)viếtlại3 5 3 0x y - - = .Dođó
1 2
,M M lànghiệmcủahệ
( )
( ) ( )
2
2
1 2
1 34
6;3 , 4; 3
3 5 3 0
x y
M M
x y
ì
- + =
ï
Þ - -
í
- - =
ï
î
.
Vậyhaisốphứccầntìmlà
3 4
6 3 , 4 3z i z i = + = - - .
Câu5.Mặtcầu(S)cótâm ( 2; 1;1)I - - vàbánkính 5R = .
Gọirlàbánkínhđườngtrònthiếtdiện,theogiảthiếttacó
2
. 1S r r
p p p
= Û = Þ = .
GọidlàkhảngcáchtừIđếnmặtphẳng
a
tacó
2 2 2
5 1 2d R r d = - = - Þ = .
Mặtphẳng
a
qua
( )
0; 1;0N - códạng
( )
( )
2 2 2
Ax 1 0 Ax 0 0B y Cz By Cz B A B C + + + = Û + + + = + + ¹ .
Mặtkhác
a
qua
( )
1; 1;1M - nênthỏa 0 : Ax 0A C By Az B
a
+ = Þ + - + = .
Vì
2 2
2 2
3
( , ) 2 4 2
2
A
A
d d I A B
B
A B
a
-
= = = Û = Þ = ±
+
(vì
2 2 2
0A B C + + ¹ )
Dođócóhaimặtphẳng
a
cầntìmlà: 2 2 1 0x y z + - + = , 2 2 1 0x y z - - - = .
Câu6. Tacó
( )
BC SA
BC SAB BC AM
BC AB
^
ì
Þ ^ Þ ^
í
^
î
(vì ( )AM SAB Ì )(1)
Mặtkhác
SC SC AM
a
^ Þ ^
(vì
AM
a
Ì
)(2)
Từ(1)và(2)suyra ( )AM SBC AM MG ^ Þ ^ (vì ( )MG SBC Ì )
AMG Þ D
vuôngtạiM,tươngtựtacũngcótamgiác
A NG D
vuông
tạiN
Þ
tâmHđườngtrònđáycủa(H)làtrungđiểmAG,cóbán
H
N
G
M
O
S
D
CB
A
kính
2
AG
R = .XéttamgiácvuôngSACtạiAcó
. 6 6
3 6
SA AC
AG a R a
SC
= = Þ = .
VìOHlàđườngcao(H)
/ /OH OH SC O
a
Þ ^ Þ Þ
làgiaođiểmhaiđườngchéoAC,BD
1
2
OH CG Þ = .XéttamgiácvuôngSACcóAGlàđườngcao,nên
2
2 3
3
3
AC
CG a OH a
SC
= = Þ =
Vậythểtíchhìnhnónlà
( )
2 3
1 3
.
3 54
H
V R OH a
p p
= = .
Câu 7 KéodàiđườngcaoAHlầnlượtcắtBCvàđườngtrònngoạitiếptamgiácABCtạihaiđiểm
EvàK,tadễdàngchứngminhđượcElàtrungđiểmHK.
Đườngcao
AH BC ^
nêncóphươngtrình 0x y - = ,ElàgiaođiểmcủaBCvàAH (4;4)E Þ vàHlà
trungđiểmHK (3;3)K Þ ,suyrabánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABClà 5R IK = =
Þ
phươngtrìnhđườngtrònlà
( ) ( )
2 2
5 4 5, ( )x y C - + - =
VậyhaiđiểmB,ClànghiệmcủahệhaiphươngtrìnhđườngthẳngBCvàđườngtròn
( ) (3;5), (6;2)C B C Þ vàđỉnhAlànghiệm hệcủađườngcaoAHvàđườngtròn ( ) (6;6)C A Þ
Diệntíchtamgiác ABClà
( )
6 6 8
1 1
, . .3 2 6
2 2
2
ABC
S d A BC BC
+ -
= = = (đvdt).
Câu8.Điềukiện
0x >
tacó
( ) ( )
2
2
x 1
x ln x 2x 2 x 1 x ln x
2x 2
+
- + = + Û - =
+
Xéthàmsố
2
x 1
f(x)
2x 2
+
=
+
/ /
2 2
1 x
f (x) f (x) 0 x 1
(x 1) 2x 2
-
Þ = Þ = Û =
+ +
Lậpbảng biếnthiêntacó ( ) 1, 0f x x £ " > ,đẳngthứcxảyrakhix=1.
Xéthàmsố
1 1
( ) ln '( ) 1 '( ) 0 1
x
g x x x g x g x x
x x
-
= - Þ = - = Þ = Û = .
Lậpbảng biếnthiêntacó ( ) 1, 0g x x ³ " > ,đẳngthứcxảyrakhix=1.
Vậyphươngtrìnhcóđúngmộtnghiệmx=1.
Câu9 Tacó
3
3
2
15
x
y
y
z
z
P
x y x y z
x
y z y z x
æ ö
æ ö
ç ÷
ç ÷
æ ö
è ø è ø
= + + +
ç ÷
è ø
+ +
. Đặt
, , . . 1, 1.
x y z
a b c a b c c
y z x
= = = Þ = >
Biểuthứcviếtlại
3 3
2
15a b
P c
a b a b c
= + + +
+ +
Tacó
( )
3 3
3 3
1a b
a b ab a b ab
a b a b c
+ ³ + Þ + ³ =
+ +
(vìa,b>0).
Vậy
( )
2 2
1 15 16
( ), 1;P c c f c c
c c c
³ + + = + = " Î +¥
Tacó
2
16
'( ) 2 '( ) 0 2f c c f c c
c
= - Þ = Û =
Lậpbảngbiếnthiêntacó ( ) (2) 12,f c f ³ = khivàchỉkhi
1
2 2 2
2
c a b z y x = Þ = = Þ = =
.
Vậygiátrịnhỏnhất 12P = khivàchỉkhi 2 2z y x = = .
Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế
Trng THPT 80 Nguyn Hu
đề chính thức
Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA
Năm học 2014-2015
Mụn thi : Toán
(120 phút, không kể thời gian giao đề)
Cõu I (3,0 im) Cho hm s
2
32
x
x
y
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th hm s(C)
2. Cho ng thng d:
mxy
2
. Chng minh rng d ct (C) ti hai im A, B phõn bit
vi mi s th c m . G i
,
1
k
2
k
ln l t l h s gú c c a t ip tu y n ca (C )
ti A v B. Tỡm m P =
2014 2014
1 2
k k
t giỏ tr nh nht.
Cõu II (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh lng giỏc:
cos 2x sin x cosx 0
2. Gii h phng trỡnh:
10)1(4)19(
1
1
1913
223
2
xxyx
xx
yxy
Cõu III (2,0 im) Cho khi chúp
.
S ABC
cú SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,
0
AS 90 ,
B SAC
0
120
BSC
. Gi M, N ln lt trờn cỏc on SB v SC sao cho SM = SN = 2a. Chng minh
tam giỏc AMN vuụng. Tớnh th tớch S.ABC v khong cỏch t im
C
n mt phng
( )
SAB
theo a.
Cõu IV (2,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai im
1;2
A
v
4;3
B
. Tỡm
ta im M trờn trc honh sao cho gúc AMB bng
0
45
.
Cõu V (1,0im) Chng minh rng nu
,
x y
l cỏc s thc dng thỡ
2 2
1 1 1
1
1 1
xy
x y
- Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
- H v tờn thớ sinh S bỏo danh
Câu I
1. Khảo sát tự làm
2.
N
ội dung
Điểm
Xét phương tr
ình hoành
đ
ộ giao điểm của đồ thị (C) v
à d:
mx
x
x
2
2
32
(*)023)6(2
2
2
mxmx
x
0,5
Xét phương trình (*), ta có:
Rm
,0
và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
0,5
H
ệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B
l
ần l
ư
ợt
là
2
2
2
2
1
1
)1(
1
,
)1(
1
x
k
x
k
, trong đó
1
x
,
2
x
là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
4
422
1
22
1
.
2
2121
2
2
2
1
21
xxxxxx
kk
(k
1
>0, k
2
>0)
0,5
Có P =
2014 2014 2014
2015
1 2 1 2
k k 2. k k 2
, do dó MinP = 2
2015
đạt được khi
2
2
2
1
2
2
2
1
21
)2()2(
)2(
1
)2(
1
xx
xx
kk
do
1
x
,
2
x
phân biệt nên ta có x
1
+2 = - x
2
- 2
x
1
+ x
2
= - 4
m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
0,5
Câu II
1. Nội dung
Điểm
2 2
cos 2x sinx cosx 0 cos x sin x (cosx sin x) 0
0,5
(cos x sin x)(cosx sin x 1) 0
0,5
2.cos x 0
cosx sinx 0
4
cosx sinx 1 0
2 cos x 1
4
0,5
x k
x k
4 2
4
3
x k2 x k2
4 4
3
x k2
x k2
2
4 4
0,5
2.
N
ội dung
Điểm
ĐK:
0
x
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
PT (1)
x
xx
yyy
1
1933
2
1
111
1)3(33
2
2
xxx
yyy
(3)
0,5
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t.
1
2
t
, t > 0.
Ta có: f’(t) = 1 +
1
1
2
2
2
t
t
t
>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
PT(3)
f(3y)= f
x
1
3y =
x
1
0,5
Thế vào pt(2) ta được PT:
10).1(4
223
xxxx
Đặt g(x)=
10).1(4
223
xxxx
, x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0
g(x) là hàm số đồng biến trên kho
ảng (0,+∞)
0,5
Ta có g(1) = 0
Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Với x =1
y =
3
1
KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
3
1
).
0,5
Câu III
Dùng Đlý hàm số Cosin
tính được: MN =
32a
0,25
AM=
22a
, AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc
ASC
= 60
0
)
tam
giác AMN vuông tại A.
0,25
N
M
S
C
B
A
H
N
M
A
S
G
ọi H l
à trung đi
ểm của MN, v
ì SA = SM = SN và
tam giác AMN vuông t
ại A.
)(AMNSH
; tính được SH = a.
0,5
Tính được
3
22
3
.
a
V
AMNS
0,25
3
1
.
.
.
.
SCSB
SNSM
V
V
ABCS
AMNS
3
.
22 aV
ABCS
0,25
Vậy
3
.
2
3 6 2
( ;( )) 2 2
3
S ABC
SAB
V a
d C SAB a
S a
0,5
Câu IV
Giả sử tọa độ của
;0
M x
. Khi đó
1 ;2 ; 4 ;3
MA x MB x
.
Theo gi
ả thiết ta có
0
. . .cos 45
MA MB MA MB
0,25
2 2
2 2 2
2
1 4 6 1 4. 4 9.
2
2
5 10 2 5. 8 25.
2
x x x x
x x x x x x
0,25
2
2 2 2 2
4 3 2
2
2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0)
10 44 110 75 0
1 5 4 15 0 1; 5
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
0,25
Vậy ta có hai điểm cần tìm là
1;0
M
hoặc
5;0
M
0,25
Câu V
Do
, 0
x y
nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
2 2 2 2
1 1 1 1 1
x y xy x y
0,25
2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 1 2
x y x y xy x x y y
0,25
2 2
1 0
xy x y xy
, bất đẳng thức này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi
1
x y
0,25
0,25
TRNG THPT S 3 BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2015
Ngy Thi : 19
-
03
-
2015
Mụn: TON
THI TH LN 1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu 1 (2,0 im) Cho hm s
2 1
1
x
y
x
-
=
- +
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th ca hm s (C)
2. Tỡm m ng thng
2y x m= - +
ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh
1 2
,
x x
sao cho
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x- + =
Cõu 2 (1,0 im) Gii phng trỡnh
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0
2sin 3
c
x
-
=
+
Cõu 3 (1,0 im) Tớnh tớch phõn
( )
2
1
ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
Cõu 4(1,0 im)
1. Cho s phc z tha món iu kin
1 3
(1 2 ) 2
1
i
i z i
i
-
- + = -
+
. Tớnh mụ un ca z .
2. Tỡm h s khụng cha x trong khai trin
15
3
2
( )f x x
x
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 5 (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
( 1;2; 1)A - - v mt phng
( )
: 2 2 1 0x y za + - - =
. Vit phng trỡnh mt phng
( )
b
song song vi mt phng
( )
a
sao cho
khong cỏch t im A ti mt phng
(
)
a bng khong cỏch t im A ti mt phng
(
)
b
Cõu 6 (1,0 im)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng a . SAB l tam giỏc vuụng cõn ti
S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy ,
gúc gia cng SC v
mt phng (ABCD) bng
0
60
,c
nh AC = a
.
Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch t A n mt phng (SBC).
Cõu
7 (
1
,0 i
m)
Gi
i h phng trỡnh:
3 3 2
2 1 3 1 2
3 2 2
x y y x x y
x x y y
ỡ
- - + + = + +
ù
ớ
- + = -
ù
ợ
Cõu
8(1
,0 i
m) Trong m
t phng ta Oxy c
ho hỡnh vuụng
ABCD
cú tõm
7 3
;
2 2
O
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. i
m
( )
6;6M
thuc cnh AB v
( )
8; 2N - thuc cnh BC . Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng.
Cõu 9 (1,0 im)
Cho
x, y, z l cỏc s thc thuc
( )
0;1 tha món iu kin
( )
3 3
( ) (1 )(1 )x y x y xy x y+ + = - - .Tỡm giỏ tr
ln nht ca biu thc :
2 2
2 2
1 1
3 ( )
1 1
P xy x y
x y
= + + - +
+ +
HT
C
m
n
b
n
N
g
ụ
Q
u
a
n
g
N
g
h
i
p
(
n
g
h
i
ep
b
t
3
@g
m
a
i
l
.
co
m
)
ó
g
i
t
i
w
w
w
.
l
a
i
s
a
c
.
p
a
g
e
.
t
l
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Đáp án Điểm
I
1
1,0
−
TXĐ : D = R
− Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
- +
Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
¥
;1) và (1 ; +
¥
)
0,25
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :
lim 2; lim 2 2
x x
y y y
®-¥ ®+¥
= - = - => = -
là đường tiệm cận ngang
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= +¥ = -¥ => =
là đường tiệm cận đứng
0.25
+ Bảng biến thiên :
0,25
· Đồ thị:
− Đồ thị :
Đồ thị hàm số giao với Ox: (
1
2
;0)
Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;-1)
0,25
2
1,0
2
2 ( 4) 1 0 (1)
2 1
2
1
1
x m x m
x
x m
x
x
ì
- + + + =
-
= - + Û
í
- +
¹
î
Đường thằng 2
y x m
= - +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt khác 1
0,25
( )
2
2
4 8( 1) 0
8 0,
1 0
m m
m m
ì
+ - + >
ï
Û Û + > "
í
- ¹
ï
î
0,25
Vậy
m
"
đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 1 2
, ,
x x x x
¹
Theo vi-et :
1 2 1 2
4 1
, .
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
0.25
1 2 1 2
7 1 4 7 22
4( ) 4( )
2 2 2 2 3
m m
x x x x m
+ +
- + = Û - = Û = -
Vậy
22
3
m = - thì đường thẳng 2
y x m
= - +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ
1 2
,
x x
và
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x
- + =
0,25
2
1.0
ĐK :
3
sin
2
x ¹ ;
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0 sinx 3 osx=0
2sin 3
c
c
x
-
= Û -
+
0.25
1 3
sinx osx=0 os x + 0
2 2 6
c c
p
æ ö
Û - Û =
ç ÷
è ø
0.25
x = ,
3
k k Z
p
p
Û + Î
0.25
Kết hợp ĐK ta có
x k2 ,k Z
3
p
= + p Î
là nghiệm của phương trình
0.25
3
1.0
( )
(
)
( )
2
1 1 1
2ln 1
1 4ln 1 1 1 1
4 1 2ln 4 4 1 2ln
e e e
x dx
x dx
I dx
x x x x x
-
- +
= = +
+ +
ò ò ò
0.25
( ) ( )
(
)
( )
1 1
2ln 1
1 1
2ln 1 2ln 1
8 8 1 2ln
e e
d x
x d x
x
+
= - - +
+
ò ò
0.25
( ) ( )
2
1 1
1 1
2ln 1 ln 1 2ln
16 8
e e
x x
æ ö
= - + +
ç ÷
è ø
0.25
1
ln3
8
=
0.35
4
1.0
1 3 1 7
(1 2 ) 2
1 5 5
i
i z i z i
i
-
- + = - Û = +
+
0,25
2
z=> =
0,25
15
15 5
15 15
5
3
3 62
15 15
0 0
2
( ) . .2 .2 . ,(0 15, )
k kk
k k k k
k k
f x x C x x C x k k Z
x
-
= =
æ ö
= + = = £ £ Î
ç ÷
è ø
å å
0,25
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn :
5
5 0 6
6
k
k
- = Û = =>
hệ số : 320320
0,25
5
1,0
( )
4
( , )
3
d A
a =
0,25
Vì
(
)
b
//
(
)
a
nên phương trình
(
)
b
có dạng :
2 2 0, 1
x y z d d
+ - + = ¹ -
0,25
( ) ( )
5
4
( , ) ( , )
3 3
d
d A d A
+
a = b Û = Û
0,25
1
9
9
d
d
d
= -
é
Û = -
ê
-
ë
(d = -1 loại) =>
(
)
b
:
2 2 9 0
x y z
+ - - =
0,25
6
1,0
Gi I l trung im ca on AB =>
,( ) ( ) ( )
SI AB SAB ABCD SI ABCD
^ ^ => ^
nờn
ã
( )
ã
0
, ( ) 60 ,
SCI SC ABCD= =
0
3 3
tan60
2 2
a a
CI SI CI= => = =
Gi M l trung im ca on BC , N l trung im ca on BM
3 3
2 4
a a
AM IN= => =
Ta cú
2 2 3
.
3 1 3 3 3
2 . .
2 3 2 2 4
ABCD ABC S ABCD
a a a a
S S V
D
= = => = =
0.5
ta cú
, ( )
BC IN BC SI BC SIN
^ ^ => ^
Trong mt phng (SIN) k ( ),
IK SN K SN
^ ẻ
. Ta cú
( ) ( ,( ))
IK SN
IK SBC d I SBC IK
IK BC
^
ỡ
=> ^ => =
ớ
^
ợ
Li cú :
2 2 2
1 1 1 3 13 3 13 3 13
( ,( )) ( ,( ))
26 26 13
IS
a a a
IK d I SBC d A SBC
IK IN
= + => = => = => =
0.5
7
1.0
K :
2 1 0
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
- -
ỡ
ù
+
ù
ù
>
ớ
ù
ù
-
ù
ợ
(1) 2 1 3 1 2 0
1 1
0
2 1 3 1 2
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
- - - + + - + =
- - - -
- =
- - + + + +
( )
1 1
1
2 1 3 1 2
x y
x y x y x y
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + + +
ố ứ
1 (3)
2 1 3 1 2 (4)
y x
x y x y x y
= -
ộ
ờ
- - + = + + +
ờ
ở
0,25
1
(4) 2 1 3 1 2 3 1 (5)
3
x
x y x y x y x y y
-
- - + = + + + = + =
0,25
A
B
C
D
S
I
M
N
K
T (3) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
1
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x x x x x x
x
=
ộ
- + = - - - - - =
ờ
=
ở
1 0; 5 4
x y x y
= => = = => =
0,25
T (5) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
2 1
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1
27 9
x x x x x x x
- + = - - - - + = =
(do x > 0)
Vy h ó cho cú nghim :
( ; ) (1;0);( ; ) (5;4)
x y x y
= =
0,25
8
1
1,0
Gi G l im i xng ca M qua O (1; 3)
G CD
=> = - ẻ
Gi I l im i xng ca N qua O ( 1;5)
I AD
=> = - ẻ
0,25
Phng trỡnh cnh MO qua M v cú VTCP
MO
uuuur
l :
9 5 24 0
x y
- - =
=> Phng trỡnh cnh NE qua N v vuụng gúc MO l :
5 9 22 0
x y
+ - =
Gi E l hỡnh chiu ca N trờn MG =>
163 39
;
53 53
E NE MG E
ổ ử
= ầ => =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Li cú
( 0, ) ( 1;3)
NJ MG
NE MG k k R J
NE k NJ
=
ỡ
ù
^ => ạ ẻ => -
ớ
=
ù
ợ
uuur uuur
;(Vỡ
,
NE NJ
uuur uuur
cựng chiu )
Suy ra phng trỡnh cnh AD :
9
1 0
2
x OK
+ = => =
. Vỡ KA = KO = KD nờn
K,O,D thuc ng trũn tõm K ng kớnh OK
ng trũn tõm K bỏn kớnh OK cú phng trỡnh :
( )
2
2
3 81
1
2 4
x y
ổ ử
+ + - =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Vy ta im A v D l nghim ca h :
( )
2
2
1
3 81
6
1
2 4
1
1 0
3
x
y
x y
x
x
y
ộ = -
ỡ
ỡ
ớ
ờ
ổ ử
=
+ + - =
ù ợ
ờ
ỗ ữ
ớ
ố ứ
ờ
= -
ỡ
ù
ờ
+ =
ớ
ợ
= -
ờ
ợ
ở
Suy ra
( 1;6); ( 1; 3) (8; 3); (8;6)
A D C B
- - - => -
. Trng hp
( 1;6); ( 1; 3)
D A
- - -
loi do M thuc CD .
0,25
