Ch1: Ma trận - Định thức

Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Nguyễn Minh Trí
Ngày 25 tháng 2 năm 2011
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1
Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận
2
Định thức.
3
Ma trận nghịch đảo
4
Hạng của ma trận.
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1
Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận
2
Định thức.
3
Ma trận nghịch đảo
4
Hạng của ma trận.
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1
Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận
2
Định thức.
3
Ma trận nghịch đảo

4
Hạng của ma trận.
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1
Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận
2
Định thức.
3
Ma trận nghịch đảo
4
Hạng của ma trận.
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1. Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp m × n(m, n ∈ N
∗
) trên trường K (K là R hay
C) là một bảng gồm m × n số được sắp xếp thành m dòng, n
cột như sau:
A =





a
11
a

12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn






Ta cũng kí hiệu ma trận A có m hàng và n cột là
A = (a
ij
)
m×n
; phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma
trận A được kí hiệu là a
ij
Tập hợp các ma trận cấp m × n trên K kí hiệu là M
m×n
(K)
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp m × n(m, n ∈ N
∗
) trên trường K (K là R hay
C) là một bảng gồm m × n số được sắp xếp thành m dòng, n
cột như sau:
A =





a
11
a
12

. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn






Ta cũng kí hiệu ma trận A có m hàng và n cột là
A = (a
ij
)
m×n
; phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma
trận A được kí hiệu là a
ij
Tập hợp các ma trận cấp m × n trên K kí hiệu là M
m×n
(K)
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp m × n(m, n ∈ N
∗
) trên trường K (K là R hay
C) là một bảng gồm m × n số được sắp xếp thành m dòng, n
cột như sau:
A =





a
11
a
12
. . . a

1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn






Ta cũng kí hiệu ma trận A có m hàng và n cột là
A = (a
ij
)
m×n
; phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma
trận A được kí hiệu là a
ij
Tập hợp các ma trận cấp m × n trên K kí hiệu là M
m×n
(K)
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột.
A =




1
2
4
5




Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
B =


1 3 4 5

Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột.
A =




1
2
4
5




Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
B =

1 3 4 5

Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột.
A =





1
2
4
5




Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
B =

1 3 4 5

Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột.
A =




1
2
4
5





Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
B =

1 3 4 5

Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột.
A =




1
2
4
5




Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
B =

1 3 4 5


Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận không nếu mọi phần tử của nó đều bằng 0.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử a
ii
= 1 còn
các phần tử còn lại bằng 0, kí hiệu I
n
I
n
=





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
0 0 . . . 1





Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận không nếu mọi phần tử của nó đều bằng 0.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử a
ii
= 1 còn
các phần tử còn lại bằng 0, kí hiệu I
n
I
n
=





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận không nếu mọi phần tử của nó đều bằng 0.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử a
ii
= 1 còn
các phần tử còn lại bằng 0, kí hiệu I
n
I
n
=





1 0 . . . 0

0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận chéo là ma trận vuông mà các phần tử a
ij
= 0 với
i = j
D =






a
1
0 . . . 0
0 a
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
n





Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Ma trận chéo là ma trận vuông mà các phần tử a
ij

= 0 với
i = j
D =





a
1
0 . . . 0
0 a
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
n






Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Các ma trận vuông cấp n có dạng





a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
0 0 . . . a
nn





hay





a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn





được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Các ma trận vuông cấp n có dạng





a
11
a
12

. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn





hay






a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn






được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.1. Một số định nghĩa
Các ma trận vuông cấp n có dạng





a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
0 0 . . . a
nn





hay





a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn





được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1. Ma trận bằng nhau
Hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
được gọi là bằng

nhau nếu chúng có cùng cấp m × n, và các vị trí tương ứng
cũng bằng nhau a
ij
= b
ij
, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1. Ma trận bằng nhau
Hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
được gọi là bằng
nhau nếu chúng có cùng cấp m × n, và các vị trí tương ứng
cũng bằng nhau a
ij
= b
ij
, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
2. Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = (a
ij
)

m×n
, ma trận chuyển vị của A kí hiệu
là A
T
= (b
ij
)
n×m
với
b
ij
= a
ji
A =

1 2 5
−9 7 4

⇒ A
T
=


1 −9
2 7
5 4


Nguyễn Minh Trí Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC