Tài liệu ôn thi vao 10(Cơ bản+Nâng cao Có đáp án)(Hay cực)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.96 MB, 84 trang )
PHÂN I: LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Chđ ®Ị I:
rót gän biĨu thức
A/ Phơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phÐp biÕn ®ỉi ®ång nhÊt nh:
+ Quy ®ång(®èi víi phÐp cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu
thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên;
tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích
hợp cho từng loại bài.
*S dng cỏc hng ng thức đáng nhớ:
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2
(A − B) 2 =A 2 − 2AB+B 2
A 2 − B 2 =(A+B)(A − B)
(A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3
(A − B) 3 =A 3 − 3A 2 B+3AB 2 − B 3
A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 − AB+B 2 )
A 3 − B 3 =(A − B)(A 2 +AB+B 2 )
AkhiA ≥ 0
− AkhiA < 0
2
8. A = A =
*Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử:
+Phương pháp đặt nhân tử chung
+Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+Phương pháp nhóm các hạng tử
+Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
*Căn bậc hai: x là một số không âm a ⇔ x 2 = a ⇔ x = a .
*Điều kiện xác định của biểu thức
A :Biểu thức
A xác định ⇔ A ≥ 0 .
*Hằng đẳng thức căn bậc hai:
AkhiA ≥ 0
A2 = A =
− AkhiA < 0
*Các phép biến đổi căn thức
1
+) A.B = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0)
+)
A
=
B
A
( A ≥ 0; B > 0)
B
+) A2 B = A B ( B ≥ 0)
+)
+)
+)
A 1
=
B B
A.B ( A.B ≥ 0; B ≠ 0)
m
m.( A m B )
=
( B ≥ 0; A2 ≠ B + )
A2 − B
A± B
n
n( A m B )
=
( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )
A− B
A± B
+ A ± 2 B = m ± 2 m.n + n = ( m ± n ) 2 =
m+n=A
m ± n voi
m.n=B
a + bva a − b ;
+) a + bva a 2 − ab + b 2 ;
a − bva a 2 + ab + b 2 .
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
(
)(
) (
)
A = 3 − 3 −2 3 + 3 3 + 1
B=
3+ 2 3 2+ 2
+
− 2+ 3
3
2 +1
(
2
)
C = 3−2 2 − 6+ 4 2
D= 2+ 3 + 2− 3
Giải
A = −6 3 + 6 + 27 + 6 3 + 1 = 34
B=
3
(
3+2
3
) + 2(
) −2−
2 +1
2 +1
C = 2 − 2 2 +1 − 4 + 2 8 + 2 =
D. 2 = 2.
(
)
3 = 3+2+ 2 −2− 3 = 2
(
)
2
2 +1 −
(
2+ 2
)
2+ 3 + 2− 3 = 4+2 3 + 4−2 3 =
2
= 2 + 1 − 2 − 2 = −1
(
)
2
3 +1 +
(
)
3 −1
2
⇒ D. 2 = 3 + 1 + 3 − 1 = 2 3 ⇒ D = 6
x2 + x
2x + x
+1−
VD2.Cho biểu thức y =
x − x +1
x
2
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh y − y = 0
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
( )
3
x x + 1
a) y =
+1− x 2 x +1 = x x +1 +1− 2 x −1 = x − x
x − x +1
x
y = 2 ⇔ x − x = 2 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ x +1 x − 2 = 0
(
)
(
(
)
)(
)
⇔ x −2=0⇔ x =2⇔x =4
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có y − y = x − x − x − x
Do x > 1 ⇒ x > x ⇒ x − x > 0 ⇒ x − x = x − x
⇒ y− y =0
( )
( )
2
1 1 1
1 1
1
c) Có: y = x − x = x − x = x − 2. x. + − = x + ÷ − ≥ −
2 4 4
2 4
4
1
1
1
1
Vậy Min y = − khi x = ⇔ x = ⇔ x =
4
2
2
4
VD3.So sánh hai số sau
a = 1997 + 1999 và b = 2 1998
Giải
Có
2
a = 1998 − 1 + 1998 + 1 =
(
2
1998 − 1 + 1998 + 1
)
2
= 2.1998 + 2 19982 − 1 < 2.1998 + 2 19982 = 2 1998
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A = 4 3 + 2 2 − 57 + 40 2
B = 1100 − 7 44 + 2 176 − 1331
C=
(
)
2
1 − 2002 . 2003 + 2 2002
1
2
D = 72 − 5 + 4,5 2 + 2 27
3
3
3
2
3 2
E=
6+2
−4
− 12 − 6 ÷. − 2
÷. 3
3
2 3
2
(
)
3
F = 8 − 2 15 − 8 + 2 15
G = 4+ 7 − 4− 7
H = 8 + 60 + 45 − 12
I= 9−4 5 − 9+4 5
(
)(
K = 2 8 +3 5 −7 2 .
2 + 5 − 14
12
L=
(5
M=
)(
3 + 50 5 − 24
72 − 5 20 − 2 2
)
)
75 − 5 2
3+ 5 3− 5
N=
+
3− 5 3+ 5
3 8 − 2 12 + 20
P=
3 18 − 2 27 + 45
Q=
(
1
2+ 3
2
)
2
5−2 5
−
÷
2− 5
R = 3 + 13 + 48
2.Tính giá trị của biểu thức
1
1
1
1
A=
−
khi a =
;b=
a +1 b +1
7+4 3
7−4 3
1
B = 5x 2 − 4 5x + 4 khi x = 5 +
5
1 + 2x
1 − 2x
3
C=
+
khi x =
4
1 + 1 + 2x 1 − 1 − 2x
3.Chứng minh
1
1
1 5
1
3
+
+
−
=
a)
2
3 3 2
3 12
6
b)
c)
3
2 + 5 + 3 2 − 5 =1
2+ 3
+
2− 3
= 2
2 + 2+ 3
2 − 2− 3
1
1
1
+
+ ... +
d) S =
là một số nguyên.
1+ 2
2+ 3
99 + 100
4
( x)
x −2
; B=
3
− x + 2x − 2
4.Cho A = 2x − 3
x −2
x +2
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
x +1
5.Cho A =
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
x −3
6.Tìm x, biết:
x + x +1
2
a) ( 4 − x ) . 81 = 36
b)
=3
c)
x
x −5
=1
x−4
________________________________________________
Chủ đề II : HÀM SỐ y=ax+b và HÀM SỐ y= ax 2
Hàm số y=ax+b
-Vẽ đồ thị hàm số.
-Lập phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.
-Xác định các yếu tố liên quan đến tính chất và đồ thị hai hàm số trên.
Phương pháp:
(1) Hàm số y=ax+b (a #0) xác định trên với mọi x và có tính chất sau:
-Hàm số đồng biến trên R : khi a>o
-Hàm số nghịch biến trên R : khi a
+Trong trường hợp b=0, đồ thị hàm số luôn đi gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b. -Đồ thị hàm
số ln tạo với trục hồnh một góc α mà tgα = a .
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x A ,y A ) ⇔ y A = ax A + b .
(2) Với hai đường thẳng : y = ax+b (d)
y = a , x + b, (d , )
Ta có: - a ≠ a , ⇔ (d) va (d , ) cắt nhau
+Nếu b = b, thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung;
- a = a , ; b ≠ b, ⇔ d va (d , ) song song với nhau
- a = a , ; b = b, ⇔ d va (d , ) trùng nhau
- a.a , = −1 ⇔ d va (d, ) vng góc với nhau
5
+Đường thẳng y=ax+b có tung độ gốc là b, hồnh độ gốc là –b/a
+Giao điểm của hai đường thẳng y=kx+bvà y=k’x+b’ là nghiệm của hệ:
y=kx+b = k’x+b’
y=kx+b
2
Hàm số y=ax (a ≠ 0)
*Hàm số y=ax2 (a ≠ 0) có đồ thị là parabol (P),có đỉnh là(0;0)
-Nếu a>0 thì (P) có điẻm thấp nhất là gốc tọa độ;
-Nếu a<0 thì (P) có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
- Quay bề lõm lên trên nếu a>0; Hàm số nghịch biến khi x<0, đồng biến
khi x>0
- Quay bề lõm xuống dưới nếu a<0; Hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0.
*Đường thẳng y=kx+b tiếp xúc với porabol y=ax2 khi và chỉ khi phương trình ax2=-kxb=0 có nghiệm kép.
*Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị y=kx+b và y=ax2 là nghiệm phương trình ax2=kx+b.
*Vị trí của đường thẳng và Parabol:
-Xét đường thắng x=m và (P) y=ax 2 .Ln có giao điểm có tọa độ là (m;am 2 )
-Xét đường thẳng y=m và (P) y=ax 2
.Nếu m=0 thì có một giao điểm là gốc tọa độ;
.Nếu am>0 thì có hai giao điểm là hồnh độ là x = ±
m
n
.Nếu am<0thì khơng có giao điểm.
-Xét đường thẳngy=mx+n (m ≠ 0) và (P) y=ax 2
.Hoành độ giao điểmcủa chúng là nghiệm của phương trình hồnh : ax 2
=mx+n.
A/ Đồ thị y = ax + b( a ≠ 0) & y = a ' x 2 ( a ' 0) và tơng quan giữa chúng
I/ Tìm hệ số a - Điểm thuộc hay khơng thuộc đồ thị
a=
y
x2
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
yA = f(xA).
Ví dụ :
a/Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số ca nú i qua im A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không?
Gii:
a/Do th hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22
a=1
2
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x
Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 = 9. VËy B thuéc ®å thị hàm số y = x2
II/Quan h gia (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = 0 (1)
6
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung
độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tỡm điều kiện (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (1) ta có: a ' x 2 − ax − b = 0 ⇒ ∆ = (−a) 2 + 4a ' .b
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
a) (d) và (P) cắt nhau
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau
c) (d) và (P) khơng giao nhau
phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0
phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < 0
3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số:
+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: ax2 = ax + b cã :
+ ∆ > 0 víi mäi gi¸ trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ vỊ d¹ng:
∆ = ( A ± B) 2 + m với m > 0 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= ( A B) 2 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ < 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biĨu thøc ∆ vỊ d¹ng:
2
∆ = − [( A ± B ) + m] với m > 0 thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
Bài tập luyện tập:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x2.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
1
2
Bµi 2: Cho (P): y = x 2 vµ đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P) y = x 2 và ®êng th¼ng (d) y = 2x + m
1. VÏ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
2
Bài 4: Cho (P) y = x và (d): y = x + m
4
1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Bài 5: Cho hàm số (P): y = x 2 vµ hµm sè(d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm toạ ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) khi m = 2
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. §iĨm A cã thc ( d1 ) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P): y = a.x 2 đi qua A
1
4
Bài 7: Cho hµm sè (P): y = − x 2 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx − 2m − 1
1. VÏ (P)
7
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
CH III/ PHNG TRèNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A/ Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình: (Bậc nhất)
I-Phương pháp:
1-Phương trình ax+b=0(a ≠ 0),với a,b là các số đã cho,x là ẩn số là phương trình bậc
nhất một ẩn.
+Biện luận:
.Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm x =
−b
a
.Nếu a=0, b ≠ 0 phương trình vơ nghiệm.
.Nếu a=0, b=0 phương trình có vơ số nghiệm.
*Phương trình bật nhất một ẩn:
-Quy đồng và khử mẫu
. -Đưa về dạng ax+b=0(a ≠ 0).
-Nghiệm duy nghiệm duy nhất: x =
−b
a
*Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
-Tìm điều kiện xác định của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa nhận được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với điều kiện xác định (ĐKXĐ) rồi kết luận.
*Phương trình tích:
Để giải phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần của nó.Chẳng hạn
với:Phương trình A(x).B(x).C(x)=0 khi và chỉ khi:A(x)=0 hoặc B(x)=0 hoặc C(x)=0.
*Phương trình có chứa hệ số chữ(Giải và biện luận phương trình).( Đã trình bày ở trên
rồi!)
*Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối(| |) của một biểu thức:
AkhiA ≥ 0
A =
− AkhiA < 0
2-Bất phương trình bậc nhất ax+b>0(a#0) hoặc ( ax+b<0;ax+b ≥ 0;ax+b ≤ 0 )
.Nếu a>0 bất phương trình có nghiệm x>-b/a.
.Nếu a<0 bất phương trình có nghiệm x<-b/a.
*Chú ý khi nhân cả hai với cùng với một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
8
ax+by=c
3-Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
,
,
,
a x+b y = c
*Cách giải:
+Phương pháp thế:
.Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ phương trình mới,trong
đó có một phương trình là một ẩn.
.Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
+Phương pháp cộng đại số:
.Nhân hai vế cua mỗi phương trình với một số thích hợp(nếu cần) sao cho các hệ số
của cùng ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
. Áp dụng quy tắc cộng(hoặc trừ) đại số để được một hệ phương trình mới trong
đó,một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0(tức là phương trình một ẩn).
.Giải phương trình một ẩn vừa có từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
*Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức
giống nhau ở cả hai phương trình
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
−b
-Nghiệm duy nhất là x =
a
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
A ( x ) = 0
⇔ B ( x ) = 0
C x = 0
( )
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
−b
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
.
a
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vơ số nghiệm.
9
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vơ nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A ≥ 0
A =
−A khi A < 0
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a) 2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9
c)
Giải
13
1
6
+
= 2
2x + x − 21 2x + 7 x − 9
2
b)
7x
20x + 1,5
− 5( x − 9) =
8
6
d) x − 3 + 3 x − 7 = 10 (*)
a) 2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9 ⇔ 2x − 5 = 2x − 7 ⇔ −5 = −7 (Vơ lý)
Vậy phương trình vơ nghệm.
7x
20x + 1,5
− 5( x − 9) =
⇔ 21x − 120x + 1080 = 80x + 6 ⇔ −179x = −1074 ⇔ x = 6
8
6
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
b)
13
1
6
13
1
6 ⇔
+
=
+
= 2
( x − 3) ( 2x + 7 ) 2x + 7 ( x − 3) ( x + 3)
2x 2 + x − 21 2x + 7 x − 9
7
ĐKXĐ: x ≠ ±3; x ≠ −
2
⇒ 13 ( x + 3) + ( x − 3) ( x + 3) = 6 ( 2x + 7 ) ⇔ 13x + 39 + x 2 − 9 = 12x + 42
c)
x = 3 ∉ DKXD
⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 4 ) = 0 ⇔
x = −4 ∈ DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x
3
7
x–3
0
+
+
10
x-7
-Xét x < 3:
-
-
0
+
(*) ⇔ 3 − x + 3 ( 7 − x ) = 10 ⇔ 24 − 4x = 10 ⇔ −4x = −14 ⇔ x =
7
(loại)
2
-Xét 3 ≤ x < 7 :
(*) ⇔ x − 3 + 3 ( 7 − x ) = 10 ⇔ −2x + 18 = 10 ⇔ −2x = −8 ⇔ x = 4 (t/mãn)
-Xét x ≥ 7 :
17
(*) ⇔ x − 3 + 3 ( x − 7 ) = 10 ⇔ 4x − 24 = 10 ⇔ 4x = 34 ⇔ x =
(loại)
2
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
x + a − b x + b − a b2 − a 2
a)
−
=
(1)
a
b
ab
a ( x 2 + 1)
ax − 1
2
b)
(2)
+
=
x −1 x +1
x2 −1
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
(1) ⇔ b ( x + a − b ) − a ( x + b − a ) = b 2 − a 2
⇔ bx + ab − b 2 − ax − ab + a 2 = b 2 − a 2
⇔ ( b − a ) x = 2( b − a ) ( b + a )
2( b − a ) ( b + a )
= 2( b + a )
b−a
-Nếu b – a = 0 ⇒ b = a thì phương trình có vơ số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm
-Nếu b – a ≠ 0 ⇒ b ≠ a thì x =
b) ĐKXĐ: x ≠ ±1
(2) ⇒ ( ax-1) ( x + 1) + 2 ( x − 1) = a ( x 2 + 1)
⇔ ax 2 + ax − x − 1 + 2x − 2 = ax 2 + a
⇔ ( a + 1) x = a + 3
a +3
a +1
-Nếu a + 1 = 0 ⇒ a = −1 thì phương trình vơ nghiệm.
Vậy:
-Nếu a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ −1 thì x =
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
a +3
a +1
11
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vơ nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1
5
1
+
=
x + y x − y 8
x + 5y = 7
a)
b)
3x − 2y = 4
1 − 1 =3
x − y x + y 8
Giải
x + 2y − 3z = 2
c) x − 3y + z = 5
x − 5y = 1
x = 7 − 5y
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
x = 7 − 5y
x = 2
a)
⇔
⇔
⇔
⇔
3x − 2y = 4 3 ( 7 − 5y ) − 2y = 4 21 − 17y = 4 y = 1
y = 1
x + 5y = 7
3x + 15y = 21 17y = 17
y = 1
⇔
⇔
⇔
hoặc
3x − 2y = 4 3x − 2y = 4
3x − 2y = 4 x = 2
b) ĐK: x ≠ ± y
1
1
= u;
=v
đặt
x+y
x−y
5
1
u+v=
v=
2v = 1
8
2
⇔
⇔
Khi đó, có hệ mới
5
−u + v = 3
u + v = 8
u = 1
8
8
x + y = 8
x = 5
⇔
Thay trở lại, ta được:
x − y = 2 y = 3
x + 2y − 3z = 2 x = 1 + 5y
x = 1 + 5y
x = 6
c) x − 3y + z = 5 ⇔ 1 + 5y + 2y − 3z = 2 ⇔ 7y − 3z = 1 ⇔ y = 1
x − 5y = 1
1 + 5y − 3y + z = 5
2y + z = 4
z = 2
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
12
a) 3 ( x + 4 ) − 5 ( x − 2 ) = 4 ( 3x − 1) + 82
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
+
=
+
65
64
63
62
x+2 1
2
e)
− =
x − 2 x x ( x − 2)
c)
x + 17 3x − 7
−
= −2
5
4
x −1
x
7x − 3
d)
−
=
x + 3 x − 3 9 − x2
b)
f) x +3 =5
g) 3x − 1 = 2x + 6
h) 2 − x − 3 2x + 1 = 4
i) 5 + 3x ( x + 3 ) < ( 3x − 1) ( x + 2 )
k)
4x + 3 x − 1 2x − 3 x + 2
−
>
−
3
6
2
4
2.Giải và biện luận các phương trình sau
x −a
x−b
a)
+b=
+a
a
b
b) a 2 ( x − 1) − 3a = x
ax-1 x + a a 2 + 1
c)
−
=
a+1 1 − a a 2 − 1
a
1
a −1 a +1
d)
+
=
+
x − a x +1 x − a x +1
3.Giải các hệ phương trình sau
x + y = 24
a) x y
8
9 + 7 = 29
3x + 4y − 5 = 0
b)
2x − 5y + 12 = 0
2u − v = 7
c) 2
2
u + 2v = 66
2
2
( m + 1) x − y = 3
4.Cho hệ phương trình
mx + y = m
a) Giải hệ với m = - 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
m + n + p = 21
n + p + q = 24
d)
p + q + m = 23
q + m + n = 22
B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0) (1)
II-Các dạng và cách giải:
Dạng 1: c=0 khi đó (1) ⇔ ax 2 +bx = 0
⇔ x(ax+b) = 0
x = o
⇔
x = −b
a
13
Dạng 2:b=0 khi đó (1) ⇔ ax 2 +c=0 ⇔ x=
−c
a
−c
c
≥ 0 thì x= ±
a
a
−c
-Nếu
<0 thì phương trình vơ nghiệm.
a
-Nếu
Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2+ bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: giải phơng trình:
3x = 0 x = 0
3 x 2 − 6 x − 0 ⇔ 3x ( x 2) = 0
x2=0 x =2
Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2+ c = 0
+ Phơng pháp:
-Biến đổi về dạng x 2 = m ⇔ x = ± m
2
- Hc x 2 − m = 0 ⇔ ( x + m )( x − m ) = 0 ⇔
x+ m =0⇔ x=− m
x− m =0 x= m
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
4x 2 8 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2 B
Bµi tËp lun tËp Giải các phương trình bậc hai khuyết sau:
a) 7x2 - 5x = 0 ;
d) -3x2 + 15 = 0 ;
g) 4x2 - 16x = 0
b) 3x2 +9x = 0 ;
e) 3x2 - 53 = 0 ;
h) -7x2 - 21 = 0
c) 5x2 – 20x = 0
f) 3x2 + 6 = 0
h) 4x2 + 5 = 0
Dạng 3: Công thức nghiệm tổng quát,công thức nghiệm thu gọn
CTN TỔNG QUÁT ∆ = b 2 − 4ac
∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm
phân biệt: x1,2 =
−b ± ∆
2a
∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép
−b
x1 = x 2 =
2a
∆ < 0 :Phương trình vô nghiệm.
b
CTN THU GỌN ∆ = b, − ac ( b, = )
2
,
∆ > 0 :Phương trình có hai nghiệm
2
phân biệt: x1,2 =
−b, ± ∆,
a
∆ , = 0 :Phương trình có nghiệm kép
−b,
x1 = x2 =
a
,
∆ < 0 :Phương trình vơ nghiệm.
Dạng 4:Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai:
*Chú ý:dạng phương trình trùng phương.Phương trình vơ tỷ và dạng đặt ẩn phụ.
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc
nhất một ẩn
III-Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
14
−b
S = x1 + x2 = a
c
-Nếu phương trình (1) có hai ghiệm thì:
P = x1. x2 =
a
-Nếu có hai số u và v sao cho:
u + v = S
u.v = P
( S 2 ≥ 4 P ) thì u,v là hai nghiệm của phương trình: X 2 − SX + P = 0
-Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 =
c
a
-Nếu a+b+c = 0 thì phương ttrình có nghiệm là: x1 = −1; x2 =
−c
a
IV-Điều kiện có nghiệm của phương trình ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0)
∆ ≥ 0
P > 0
-Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu
-Pt (1) có hai nghiệm ∆ ≥ 0
có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0
∆ ≥ 0
-Pt(1) có hai nghiệm dương P > 0
S > 0
∆ ≥ 0
-Pt (1) có hai nghiệm âm P > 0
S < 0
-Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ac<0 hoặc P<0.
V-Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào
đó:
x12 + x22 = m
*Các dạng cụ thể là 1;2;3:
1 1
+ =n
x1 x2
x12 + x22 = h
*Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là:
1, x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P
2, x12 − x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P
3, x12 − x2 2 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ).
vÝ dụ giảI p.t bằng công thức nghiệm:
Giải phơng trình:
x 2 − 3x − 4 = 0
( a =1; b = - 3; c = - 4)
15
Ta cã: ∆ = (−3) 2 − 4.1.(−4) = 9 + 16 = 25
⇒ ∆ = 25 = 5 > 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
(3) + 5
=4
2.1
x2 =
− (−3) − 5
= −1
2.1
Bµi tËp lun tËp Dùng công thức nghiệm tổng quát để giải các phương trình sau:
Bµi1:
a) 2x2 - 7x + 3 = 0 ;
b) y2 – 8y + 16 = 0 ;
c) 6x2 + x - 5 = 0
2 + x + 5 = 0 ;
2 + 4x +1 = 0 ;
d) 6x
e) 4x
f) -3x2 + 2x +8 = 0
Bµi2:
a/ 2x2 – 5x + 1 = 0
b/ 5x2 – x + 2 = 0
c/ -3x2 + 2x + 8 = 0
2 – 4x + 1 = 0
2 – 3x + 1 = 0
d/ 4x
e/ - 2x
f/ 5x2 – 4x + 6 = 0
2 - 9x + 2 = 0
2 - 9x - 32 = 0
g/ 7x
h/ 23x
i/ 2x2 + 9x + 7 = 0
k/ 2x2 - 7x + 2 = 0
l/ x2 - 6x + 8 = 0
m/ x2 + 6x + 8 = 0
Bµi3:
a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x)
b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2)
c/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15
d/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
2 - 5x - 3
d/ 2x
= (x+ 1)(x - 1) + 3
e/ 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
Bµi 4:
a, 2x2 – 2 2 x + 1 = 0
b, 2x2 – (1-2 2 )x - 2 = 0
c,
1 2
2
x - 2x - = 0
3
3
d, 3x2 + 7,9x + 3,36 = 0
e, -7x2 + 4x = 3
f, 3x2 – 2 2 x = ×nh: ax2+ bx + c = 0
Bài tập luyện tập Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau:
a) 5x2 - 6x - 1 = 0 ;
b) -3x2 +14x – 8 =0 ; c) 4x2 + 4x + 1 = 0
2 – 12x +1 = 0 ; e) 3x2 – 2x – 5 = 0 ;
d) 13x
f) 16x2 – 8x +1 = 0
Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng P2đặc biệt:
1. Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm
c
x 1 = 1 và x 2 =
a
2. Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a - b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm
c
x 1 = - 1 và x2 =
a
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm
c
x 1 = 1 và x 2 =
a
3. Ví dụ:
Giải phơng tr×nh: 2 x 2 − 5 x + 3 = 0
Ta cã: a + b + c = 2 + (−5) + 3 = 0 ⇒ x1 = 1; x 2 =
Giải phơng trình:
3
2
x 2 3x 4 = 0
Ta cã: a − b + c = 1 − (−3) + (−4) = 0 ⇒ x1 = −1; x2 =
(4)
=4
1
Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt:
16
a) 7x2 - 9x + 2 = 0 ;
b) 23x2 – 9x – 32 = 0 ;
2 – 39x – 40 = 0 ;
c) x
d) 24x2 – 29x + 4 = 0 ;
* Các dạng toán về biện luận phơng trình bậc hai:
1. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ Điều kiện: > 0 ; (hc ∆/ > 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x – 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải: (a = 1; b = 2; c = −2m) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.(−2m) = 4 + 8m
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 4 + 8m > 0 ⇔ 8m > −4 ⇔ m >
−1
2
Bµi tËp lun tËp
Bài 1. Tìm m để mỗi phương trình sau có 2 nghiệm.
a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0
b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0
2 + 4x + m + 2 = 0
c/ - x
d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0
2 + 4mx + 4m - 1 = 0
Bµi 2: Cho phơng trình : x
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng trỡnh: x2 + kx + 3 = 0
1/Tìm k để phương trình có hai nghiệm ph©n biƯt?
2/Tìm k để phương trình có nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 4: Cho phơng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + 2m2 + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng tr×nh : (m – 4)x2 – 2mx + m – 2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phơng trình với k = 3
b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm kép:
+ Điều kiƯn: ∆ = 0 ; (hc ∆/ = 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x – k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiƯm kÐp ?
Gi¶i: (a = 1; b = 2; c = −k ) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.(−k ) = 4 + 4k
Phơng trình (1) có hai ngiệm ph©n biƯt ⇔ ∆ = 0 ⇔ 4 + 4k = 0 ⇔ 4k = −4 ⇔ m = −1
Bµi tËp lun tËp
Bài1. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép.
a/ x2 – 4x + k = 0
b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0
2 - 5x + 3m + 1 = 0
c/ - x
d/ x2 – (k + 2)x + k2 + 1 = 0
Bµi2: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phng trỡnh cú nghim kộp.
Bài3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài4:: Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài5: Cho phương trình: kx2 – (2k-1)x + k + 1 = 0
17
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó ?
3. T×m điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm :
+ Điều kiện: < 0 ; (hoặc ' < 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?
Giải: (a = 1; b = 2; c = n) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.n = 4 4n
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt ⇔ ∆ = 0 ⇔ 4 − 4n < 0 ⇔ −4n < −4 ⇔ n > 1
Bµi tËp lun tËp
Tìm m để mỗi phương trình sau vơ nghiệm ?
2 + 2x + m + 3 = 0
a/ x
b/ - x2 - 3x + 2m - 1 = 0
2 – (2m – 1)x + m + 1 = 0
c/ mx
d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc
.Tìm nghiệm thứ 2
Cách tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiƯm x = x1 cho tríc
+) Ta thay x = x1 vào phơng trình đà cho, rồi tìm giá trị của tham số
Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng tr×nh
VÝ dơ: Cho phương trình: x2 – x + 2m 6 = 0. (1)
a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x1 = 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:
a/ Thay x1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 12 1 + 2m − 6 = 0 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3
Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) cã mét nghiÖm x1 = 1.
b/ Thay m = 3 vµo PT (1) ta cã:
x 2 − x + 2.3 − 6 = 0
⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x( x − 1) = 0
⇔
x=0
x =1
VËy nghiÖm thø hai cđa Pt (1) lµ x = 0
Bµi tËp lun tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2: Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1.
(Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của
phơng trình
Trình bày ở mục 61)
5. chứng minh phơng trình luôn luôn có nghiệm :
Phơng pháp:
18
- LËp biĨu thøc ∆
- BiƯn ln cho ∆ ≥ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về
dạng:
= ( A B) 2 + m víi m ≥ 0
VÝ dơ: Cho phơng trình x 2 (m 2) x + m 5 = 0
Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị cđa m
Gi¶i:
Ta cã: a = 1; b = −(m − 2); c = m − 5 ⇒ ∆ = [ − (m − 2)] 2 − 4.1.(m − 5) = (m 2 − 4m + 4) − 4m + 20
= m 2 − 8m + 24 = m 2 − 2.m.4 + 4 2 + 8
= (m − 4) 2 + 8 > 0
Vì > 0 với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập
Bi 1. Cho phng trỡnh: 2x2 – mx + m – 2 = 0
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bµi 2:
Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0
1/Giải phương trình khi k = 2
2/Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi k.
Bµi 3:
Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0
2.Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi m.
2 Toán ứng dụng định lý Viét
1. Tìm nghiệm thứ 2; biết phơng trình có một nghiệm
x = x1
Phơng pháp:
+Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để tính nghiêm thứ hai.
Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ 2
Ví dụ:
Biết rằng phơng tr×nh : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Giải: Cách1:
Thay x = 1 vµo pt ta cã: 1 − 2.1 + 5m − 4 = 0 ⇔ m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = −
b
⇒ 1 + x2 = 2 ⇔ x2 = 1
a
Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 − 2.1 + 5m − 4 = 0 ⇔ m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta cã: x1 .x 2 =
c
⇒ 1.x 2 = 1 ⇔ x 2 = 1
a
VËy nghiƯm thø hai cđa ph¬ng trình là x = 1.
19
Bµi tËp lun tËp:
Bµi 1:
Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0
Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm cịn lại.
Bµi 2 BiÕt r»ng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = -1 . T×m nghiệm còn lại
LP PHNG TRèNH BC HAI Khi biết hai nghiƯm x1;x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Gi¶i:
S = x1 + x2 = 5
P = x1 x2 = 6
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
Vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
Bµi tËp ln tập:
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm:
1/
x1 = 8
và
x2 = -3
2/
x1 = 36
vµ
x2 = -104
BTBS thêm phần Giải các phương trình sau
1
a) 3x 2 + 2x = 0
b) − x 2 + 8 = 0
2
d)
2x 2 +
(
)
2 −1 x +1− 2 2 = 0
c) x 2 + 3x − 10 = 0
e) x − 4 x + 3 = 0 f ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) = 3
Giải
x = 0
a) 3x + 2x = 0 ⇔ x ( 3x + 2 ) = 0 ⇔
2
x = −
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
1
b) − x 2 + 8 = 0 ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = ±4
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
c) a = 1; b = 3; c = −10
2
∆ = b 2 − 4ac = 32 − 4.1.( −10 ) = 49 > 0
−b + ∆ −3 + 7
− b − ∆ −3 − 7
=
= 2;
x2 =
=
= −5
2a
2.1
2a
2.1
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
d) a = 2; b = 2 − 1; c = 1 − 2 2
x1 =
Có a + b + c = 2 + 2 − 1 + 1 − 2 2 = 0
20
c 1− 2 2
2 −4
=
=
a
2
2
2
e) Đặt t = x ≥ 0 , ta có pt mới: t – 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t1 = 1; t2 = 3.
Suy ra: x1 = 1; x2 = 9.
2
2
f) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) = 3 ⇔ ( x + 5x + 4 ) ( x + 5x + 6 ) = 3
Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x 2 =
Đặt x2 + 5x + 4 = t, ta có:
t = 1
2
t .(t + 2) = 3 ⇔ t + 2t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t + 3) = 0 ⇔
t = −3
x 2 + 5x + 4 = 1
x 2 + 5x + 3 = 0
−5 + 13
−5 − 13
⇔ 2
⇔ x1 =
; x2 =
Suy ra: 2
2
2
x + 5x + 4 = −3 x + 5x + 7 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm cịn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện
sau:
1. 2x1 + 3x2 = 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x12 + x22 = 11.
1 1
e) Chứng tỏ rằng ;
là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0. Trong đó x1,
x1 x 2
x2 là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
c
Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = = −4
a
2
b) có: ∆ = b − 4ac = 9 + 4m
9
∆ > 0 ⇔ 9 + 4m > 0 ⇔ m > −
4
−b + ∆ −3 + 9 + 4m
−b − ∆ −3 − 9 + 4m
x1 =
=
; x2 =
=
2a
2
2a
2
21
∆ = 0 ⇔ 9 + 4m = 0 ⇔ m = −
x1 = x 2 =
9
4
−b
3
=−
2a
2
9
phương trình vơ nghiệm.
4
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)2 + 3(-2) – m = 0 ⇔ m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + 2 = 0
−c
= −2
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x1 = -1; x2 =
a
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
b
b
Cách 2: Ta có x1 + x2 = − ⇒ x 2 = − − x1 = −3 − ( −2 ) = −1
a
a
c
c
−m
⇒ x 2 = : x1 =
= −1
Cách 3: Ta có x1x2 =
a
a
−2
∆ ≥ 0
b
x1 + x 2 = −
a
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13 ⇔
x1x 2 = c
a
2x + 3x = 13
1
2
9
m≥−
4
x + x = −3
⇔ 1
2
giải hệ tìm được x1 = -22; x2 = 19; m = 418.
x1x 2 = −m
2x1 + 3x 2 = 13
-Tương tự ta tìm được (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1)
1 x1 + x 2 3
1
+
x x = x x = m
2
1
4 9 + 4m
2
1 2
3
1 9
e) Ta có
mà ÷ − 4 − ÷ = 2 + =
≥0
m
m2
m
m m
1 . 1 = 1 =− 1
x1 x 2 x1.x 2
m
1 1
3
1
Vậy ;
là hai nghiệm của phương trình x 2 − x − = 0 ⇔ mx 2 − 3m − 1 = 0
x1 x 2
m
m
∆ < 0 ⇔ 9 + 4m < 0 ⇔ m < −
22
9
∆ ≥ 0 m ≥ −
9
⇔
4 ⇔− ≤m<0
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔
4
P > 0
−m > 0
Hai nghiệm này ln âm. Vì S = - 3.
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
a) x 2 − 5x = 0 b) 2x 2 + 3 = 0 c) x 2 − 11x + 30 = 0 d) x 2 − 1 + 2 x + 2 = 0
(
e) x 4 − 7x 2 + 12 = 0
g)
f)
( x − 2)
2
1
x−4
−
+
=0
x − 4 x ( x − 2) x ( x + 2)
2
2
)
−5 x −2 +6 =0
h) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x − 2 ) = −20
1
1
− 4,5 x + ÷+ 7 = 0
x2
x
2.Cho phương trình x 2 − 2 3x + 1 = 0 , có hai nghiệm x1, x2. Khơng giải phương trình. Hãy
tính giá trị các biểu thức sau:
3x12 + 5x1x 2 + 3x 2 2
2
2
3
3
A = x1 + x 2 ;
B = x1 + x 2 ;
C=
4x13 x 2 + 4x1x 23
3.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m.
d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10.
e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm cịn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
4.Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm cịn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có)
cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2.
+) Chứng minh A = m2 – 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
i) 2x 2 − 8x − 3 2x 2 − 4x − 5 = 12
k) x 2 +
23
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2.
b) Lập phương trình nhận hai số ( x1 + α ) ; ( x 2 + α ) làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số αx1; αx 2 làm nghiệm.
1 1
d) Lập phương trình nhận hai số ;
làm nghiệm.
x1 x 2
x1 x 2
;
e) Lập phương trình nhận hai s
lm nghim.
x 2 x1
-----------------------------------------------------------------------------
Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
A.Lý Thuyết.
I.Phơng pháp giải chung.
Bớc 1. Lập PT hoặc hệ PT:
-Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
-Biểu đạt các đại lợng khác theo ẩn ( chú ý thống nhất đơn vị).
-Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phơng trình hoặc hệ
phơng trình.
Bớc 2 Giải PT hoặc hệ PT.
Bớc 3. Nhận định so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời ( bằng câu viết )
nêu rõ đơn vị của đáp số.
II.các dạng toán cơ bản .
1.Dạng toán chuyển động;
2.Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học;
3.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng;
4.Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nớc;
5.Dạng toán tìm số;
6.Dạng toán sử dụng các kiến thức về %;
7.Dạng to¸n sư dơng c¸c kiÕn thøc vËt lý, ho¸ häc.
III.c¸c Công thức cần l u ý khi gbt bc lpt hpt.
1.S=V.T; V=
S
S
;T=
( S - qu·ng ®êng; V- vËn tèc; T- thời gian );
T
V
2.Chuyển động của tàu, thuyền khi có sự tác động của dòng nớc;
VXuôi = VThực + VDòng nớc
VNgợc = VThc - VDßng níc
3. A = N . T ( A Khối lợng công việc; N- Năng suất; T- Thời gian ).
B.Bài tập áp dụng .
Bài toán 1.( Dạng toán chuyển động)
24
Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng
2
3
vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quÃng đờng AB mất
bao lâu.
Lời Giải
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x ( h ). ( x>0 );
Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là :
Vận tốc Ô tô đi tõ B vỊ A lµ:
AB
( km/h);
x
2 AB
( km/h);
3 x
AB
(km);
x
2 AB
Sau 5 giờ Ô tô đi từ B đến A đi đợc quÃng đờng là; 5. .
(km);
3
x
AB
2 AB
Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phơng trình: 5.
+ 5. .
= AB;
x
3
x
25
Giải phơng trình ta đợc: x =
.
3
25
25
Vậy thời gian Ô tô đi từ A đến B là
, thời gian Ô tô đi từ B đến A là
.
3
2
Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi đợc quÃng đờng là; 5.
-----------------------------------------------------------------------------
Bài toán 2. ( Dạng toán chuyển động)
Một Ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một Ô tô
vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai Ô tô gặp nhau tại C. Hỏi Ô tô du lịch đi từ A đến B mất
bao lâu , biết rằng vận tốc của Ô tô tải bằng
3
vận tốc của Ô tô du lịch.
5
Lời Giải
Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là x ( h ). ( 0 < x< 5 ).
Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B ®Õn C lµ ( 5 – x) ( h ).
VËn tốc xe ô tô du lịch là:
BC
( km/h).
5 x
BC
(km/ h).
5
3
BC
Vì vận tốc của Ô tô tải bằng vận tốc của Ô tô du lịch, nên ta có phơng trình:
=
5
5
3 BC
.
5 5 x
Ta có vận tốc xe tải là:
Giải phơng trình ta đợc: x = 2.
Vậy Ô tô du lịch đi từ A đến B mất 2 giờ.
----------------------------------------------------------------------------Bài toán 3 ( Dạng toán chuyển động)
Đờng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đờng bộ 10 km để đi từ thành
phố A đến thành phố B Ca nô đi hết 3 giờ 20 phút Ô tô đi hết 2 giờ.Vận tốc Ca nô kém
vận tốc Ô tô 17 km /h. Tính vận tốc của Ca nô.
Lời Giải
Gọi vận tốc của Ca nô là x ( km/h).(x> 0).
Ta có vận tốc của Ô tô là x + 17 (km/h).
25
