De cuong on tap toan 7 kII

Đề cơng ôn tập học kỳ 2
Đề CƯƠNG ôn tập học kỳ II toán 7
Phn 1: I S:
CHNG III: THNG Kấ
A. KIN THC CN NH:
1/ Bng s liu thng kờ ban u.
2/ n v iu tra.
3/ Du hiu ( kớ hiu l X ).
4/ Giỏ tr ca du hiu ( kớ hiu l x ).
5/ Dóy giỏ tr ca du hiu (s cỏc giỏ tr ca du hiu kớ hiu l N).
6/ Tn s ca giỏ tr (kớ hiu l n).
7/ Tn sut ca mt giỏ tr ca du hiu c tớnh theo cụng thc
=
n
f
N
. Tn sut f thng c
tớnh di dng t l phn trm.
8/ Bng tn s (bng phõn phi thc nghim ca du hiu).
9/ Biu ( biu on thng, biu hỡnh ch nht, biu hỡnh qut).
10/ S trung bỡnh cng ca du hiu.
11/ Mt ca du hiu.
B. K NNG:
- Bit c du hiu cn tỡm hiu ca mi bi toỏn v s cỏc giỏ tr l bao nhiờu?
- Tỡm c s cỏc giỏ tr khỏc nhau v tn s tng ng ca chỳng.
- Bit lp bng tn s, v biu on thng, biu hỡnh ch nht, biu hỡnh qut v t ú
rỳt ra mt s nhn xột.
- Bit tớnh s trung bỡnh cng v tỡm mt ca du hiu.
C. BI TP:
Bi 1: Mt bn hc sinh ó ghi li mt s vic tt (n v: ln ) m mỡnh t c trong mi ngy
hc, sau õy l s liu ca 10 ngy.

Ngy th 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S vic tt 2 1 3 3 4 5 2 3 3 1
a) Du hiu m bn hc sinh quan tõm l gỡ ?
b) Hóy cho bit du hiu ú cú bao nhiờu giỏ tr ?
c) Cú bao nhiờu s cỏc giỏ tr khỏc nhau ? ú l nhng giỏ tr no ?
d) Hóy lp bng tn s.
Bi 2: Nm hc va qua, bn Minh ghi li s ln t im tt ( t 8 tr lờn ) trong tng thỏng ca
mỡnh nh sau:
Thỏng 9 10 11 12 1 2 3 4 5
S ln t im tt 4 5 7 5 2 1 6 4 5
a) Du hiu m bn Minh quan tõm l gỡ ? S cỏc giỏ tr l bao nhiờu ?
b) Lp bng tn s v rỳt ra mt s nhn xột.
c) Hóy v biu bng on thng.
Bi 3: Mt ca hng bỏn Vt liu xõy dng thng kờ s bao xi mng bỏn c hng ngy ( trong
30 ngy ) c ghi li bng sau.
GV: Nguyễn Thuỵ Hoa TRờng THCS Sơn Tiến
1
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
20
35
15
20
25
40
25
20
30
35
30
20

35
28
30
15
30
25
25
28
20
28
30
35
20
35
40
25
40
30
a) Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ?
b) Lập bảng “tần số”.Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
c) Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt của dấu
hiệu.
Bài 4: Điểm kiểm tra Toán ( 1 tiết ) của học sinh lớp 7B được lớp trưởng ghi lại ở bảng sau:
Điểm số
(x)
3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số (n) 1 2 6 13 8 10 2 3 N = 45
a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ?
b) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút ra một số nhận xét.
c) Tính điểm trung bình đạt được của học sinh lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu.

Bài 5: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi
lại như sau:
6,5
7,3
5,5
4,9
8,1
5,8
7,3
6,5
5,5
6,5
7,3
9,5
8,6
6,7
9,0
8,1
5,8
5,5
6,5
7,3
5,8
8,6
6,7
6,7
7,3
6,5
8,6
8,1

8,1
6,5
6,7
7,3
5,8
7,3
6,5
9,0
8,0
7,9
7,3
5,5
a) Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ?
b) Lập bảng “tần số”. Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ?
c) Tính điểm trung bình môn Toán cả năm của học sinh lớp 7A . Tìm mốt của dấu hiệu.
.CHƯƠNG IV: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Khái niệm về biểu thức đại số, khái niệm về biến và cho ví dụ về biểu thức đại số.
2/ Tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của biến.
3/ Các khái niệm về đơn thức, bậc của đơn thức. Nhân hai đơn thức và viết một đơn thức thành
đơn thức thu gọn.
4/ Khái niệm về đơn thức đồng dạng. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
5/ Khái niệm về đa thức. Thu gọn một đa thức. Bậc của một đa thức. Cộng, trừ đa thức.
6/ Đa thức một biến, sắp xếp một đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do, khái niệm hằng số.
7/ Cộng, trừ đa thức một biến.
8/ Nghiệm của một đa thức.
B. KĨ NĂNG:
- Biết tìm bậc của một đơn thức và đa thức.
- Thực hiện thành thạo phép nhân hai đơn thức, cộng, trừ các đơn thức đồng dạng, cộng, trừ đa
thức.

- Biết tìm nghiệm của một đa thức.
C. BÀI TẬP:
* Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số:
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
2
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
Bài 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
2 3
1
A x y.2xy
3
= −
2 2 3
3
B 2xy z. x yz
4
= −
2
1 3
C xy .( yz)
3 4
= −
3 2 3
3
D ( x y z)
5
= −
5 2
1
E ( x y).( 2xy )

4
= − −
3 2
1 2
F (xy) . x
5 3
=
K =
3 2 3 4
5 2
. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
L =
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   
Phương pháp:
Bước 1: Dùng quy tắc nhân đơn thức để thu gọn.

Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn.
Bài 2: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
15 7 8 12 11 12A x y x x y x x y x y= + − − + −
5 4 2 3 5 4 2 3
1 3 1
3 2
3 4 2
B x y xy x y x y xy x y= + + − + −
2 2 2 2
1 1 2
C x y xy x y xy 1
2 3 3
= − + + +
2 2 2 2
1 1
D xy z 3xyz xy z xyz 2
5 3
= + − − −
Phương pháp:
Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng.
Bước 2: Xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn.
* Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
a) A = 3x
3
y + 6x
2
y
2

+ 3xy
3
tại
1 1
;
2 3
x y= = −
b) B = x
2
y
2
+ xy + x
3
+ y
3
tại x = –1; y = 3

2 2 2 2
c)C 0, 25xy 3x y 5xy xy x y 0, 5xy= − − − + +
tại x =0,5 và y = -1.
2 3 2 3
1 1
d) D xy x y 2xy 2x x y y 1
2 2
= − + − + + +
tại x = 0,1 và y = -2.
Phương pháp :
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số.
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số.
Bước 3: Tính giá trị biểu thức số.

Bài 2 : Cho đa thức
P(x) = x
4
+ 2x
2
+ 1; Q(x) = x
4
+ 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 1;
Tính : P(–1); P(
1
2
); Q(–2); Q(1);
* Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến
Bài 1 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được .
a) A = 4x
2
– 5xy + 3y
2
; B = 3x
2
+ 2xy - y
2
3 2 2 4 3 2 2 4
1 1
b) C x 2x y xy y 1 ; D x x y xy y 2
3 2

= − + − + = − − + − −
2 2 2 2
2 2 1
c) E 5xy x y xyz 1 ; F 2x y xyz xy x
3 5 2
= − + − = − − + +
Phương pháp :
Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức.
Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc.
Bước 3: Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để kết hợp các hạng tử đồng dạng lại với nhau.
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
3
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng.
Bài 2 : Tìm đa thức M, biết :
a. M + (5x
2
– 2xy) = 6x
2
+ 9xy – y
2
b)
3 2 2 3 2
3
M (x y x y xy) 2x y xy
2
− − + = −
Phương pháp :
a) M + ( Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu

⇒
M = ( Đa thức tổng ) - ( Đa thức đã biết )
⇒
M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ )
c) ( Đa thức bị trừ ) – M = Đa thức hiệu
⇒
M = ( Đa thức bị trừ ) – ( Đa thức hiệu )
* Dạng 4: Cộng , trừ đa thức một biến:
Bài 1: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau:
a) A(x) = 3x
4
–
3
4
x
3
+ 2x
2
– 3 ; B(x) = 8x
4
+
1
5
x
3
– 9x +
2
5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
b)

3 2 3 2
1 2
C(x) 2x x x 9 ; D(x) 2x 3x x 5
3 3
= − + − − = − − +
Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x)
c)
6 5 3 5 4 3 2
1
P(x) 15x 0,75x 2x x 8 ; Q(x) x 3x x x 5
2
= − + − + = − + − −
Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x)
Phương pháp:
Cách 1:
- Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
- Sau đó thực hiện tương tự như các bước ở phép cộng, trừ đa thức nhiều biến.
Cách 2: ( Thực hiện theo cách sắp xếp )
Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau.
Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột.
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
* Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến
1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không
Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x
4
+ 2x
3
– 2x
2

– 6x + 5
Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Phương pháp :
Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó.
Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức.
2. Tìm nghiệm của đa thức một biến
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
F(x) = 3x – 6; H(x) = –5x + 30 G(x)=(x-3)(16-4x)
K(x)=x
2
-81 M(x) = x
2
+7x -8 N(x)= 5x
2
+9x+4
Phương pháp :
Bước 1: Cho đa thức bằng 0.
Bước 2: Giải bài toán tìm x.
Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức.
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
4
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
Chú ý :– Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
* Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x
0
) = a
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x
2
+mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.

Phương pháp : Bước 1: Thay giá trị x = x
0
vào đa thức.
Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a.
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết.
Phần II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG II: TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Định lí tổng ba góc trong một tam giác. Tính chất góc ngoài của tam giác.
+
ABC
∆
có
CBA
∠+∠+∠
=180
0
(đ/I tổng ba góc trong một tam giác)
+ Tính chất của góc ngoài Acx:

BAACx ∠+∠=∠
2/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân.
* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC
⇒

VABC
cân tại A.
* Tính chất:
+ AB = AC +
2

180
0
A
CB
∠−
=∠=∠
+
CB
∠=∠
+
A∠
= 180
0
- 2
B∠
3/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều:
* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC
⇒

∆
ABC là tam giác đều.
* Tính chất:
+ AB = AC = BC
+
A∠
=
B∠
=
C
∠

= 60
0

4/ Tam giác vuông:
* Định nghĩa: Tam giác ABC có
A∠
= 90
0

⇒

∆
ABC là tam giác vuông tại A.
* Tính chất: +
B∠
+
C
∠
=90
0
* Định lí Pytago:
∆
ABC là tam giác vuông tại A
⇒
BC
2
= AB
2
+ AC
2

* Định lí Pytago đảo:
ABC
∆
có BC
2
= AB
2
+ AC
2

⇒

∆
ABC là tam giác vuông tại A
5/ Tam giác vuông cân:
* Định nghĩa:
Tam giác ABC có
A∠
= 90
0
và AB = AC
⇒

ABC
∆
là vuông cân tại A.
* Tính chất: + AB = AC = c
+ BC
2
= AB

2
+ AC
2

⇒
BC =
2c
+ =
C
∠
= 45
0
6/ Ba trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác:
+ Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c).
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
5
x
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C

B
A
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
ABC∆
và
DEF∆
có:
=


=


=

AB DE
AC DF
BC EF
⇒

ABC
∆
=
DEF∆
( c-c-c)
+Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c).
ABC∆
và
DEF∆
có:






=
∠=∠
=
EFBC
EB
DEAB
⇒

ABC
∆
=
DEF∆
( c-g-c)
+Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g).
ABC
∆
và
DEF∆
có:





∠=∠

=
∠=∠
FC
EFBC
EB
⇒

ABC
∆
=
DEF∆
( g-c-g)
7/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
+ Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông.
∆
ABC(
∠
A = 90
0
) vµ
∆
DEF(
∠
D = 90
0
)
có:
=



=

AB DE
AC DF

⇒

∆
ABC =
∆
DEF ( Hai cạnh góc vuông )
+ Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.
∆
ABC(
∠
A = 90
0
) vµ
∆
DEF(
∠
D = 90
0
)
có:



∠=∠
=

FC
DFAC
hoặc



∠=∠
=
EB
DEAB

⇒

ABC∆
=
DEF∆
( Cạnh góc vuông- góc nhọn )
+ Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn.
∆
ABC (
∠
A = 90
0
) và
∆
DEF(
∠
D = 90
0
)

có:



∠=∠
=
FC
EFBC
hoặc



∠=∠
=
EB
EFBC

⇒

ABC∆
=
DEF∆
( Cạnh huyền - góc nhọn )
+ Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông.
∆
ABC (
∠
A = 90
0
) và

∆
DEF(
∠
D = 90
0
)
có:
=


=

CB EF
AC DF
hoặc
=


=

CB EF
AB DE

⇒

ABC
∆
=
DEF∆
( Cạnh huyền - cạnh góc vuông )

B. KĨ NĂNG:
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
6
D
E
F
C
B
A
D
E
F
C
B
A
D
E
F
C
B
A
D
E
F
C
B
A
D
E
F

C
B
A
D
E
F
C
B
A
D
E
F
C
B
A
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
- Biết vận dụng các trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác bằng
nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
- Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán.
CHƯƠNG III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết,
kết luận.
Xét
∆
ABC có




=⇔∠=∠
>⇔∠>∠
ABACCB
ABACCB
2. Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi
giả thuyết, kết luận.
, ,A d B d AH d∉ ∈ ⊥
. Khi đó AB > AH
hoặc AB = AH ( điều này xảy ra
B H
⇔ ≡
).
, , ,A d B d C d AH d∉ ∈ ∈ ⊥
. Khi đó
AB AC HB HC
AB AC HB HC
> ⇔ >


= ⇔ =

3. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
* Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có :
AB + AC > BC
hoặc AB + AC = BC ( điều này xảy ra
⇔
A nằm giữa B và C ).
4. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Trong
∆
ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại
điểm G và
2
3
GA G B GC
AD BE CF
= = =
* Điểm G là trọng tâm của
∆
ABC.
5. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ
hình, ghi giả thuyết, kết luận.
* Trong
∆
ABC, ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm
I cách đều ba cạnh :
IK = IL = IM
* Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp
∆
ABC.
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
7
C
B
A
d
H
B

A
C
d
H
B
A
C
A
B
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
I
K
L
M
C
B
A
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
8. Tam giác ABC cân tại A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung trực, cũng là
đường trung tuyến và cũng là đường phân giác.
9. Tam giác ABC đều thì đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh cũng là đường trung trực, cũng là

đường trung tuyến và cũng là đường phân giác. Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách đều
ba đỉnh và ba cạnh của tam giác đều.
B. KĨ NĂNG:
- Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học ở chương III vào giải toán.
Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III
1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
- Cách1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v.
2. Chứng minh tam giác cân:
- Cách1: Chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.
- Cách 2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác …
- Cách 3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v.
3. Chứng minh tam giác đều:
- Cách 1: Chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau.
- Cách 2: Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 60
0
.
4. Chứng minh tam giác vuông:
- Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông.
- Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo.
- Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam
giác đó là tam giác vuông”.
5. Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:
- Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz.
- Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy.
6. Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường
đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng).
C. BÀI TẬP:
Bài 1 : Cho
∆

ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?
c) Chứng minh:
∠
ABG =
∠
AOG?
( Học sinh tự làm )
Bài 2: Cho
∆
ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh :
∆
ABM =
∆
ACM
b) Từ M vẽ MH
⊥
AB và MK
⊥
AC. Chứng minh BH = CK
c) Từ B vẽ BP
⊥
AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh
∆
IBM cân.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh :
∆

ABM =
∆
ACM
( Theo trường hợp c-c-c hoặc c-g-c hoặc g-c-g )
b) Chứng minh BH = CK
Chứng minh
∆
BHM =
∆
CKM( Cạnh huyền – góc nhọn )
⇒
BH = CK ( Hai cạnh tương ứng )
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
8
I
P
K
H
M
C
B
A
Đề cơng ôn tập học kỳ 2
c) Chng minh

IBM cõn.
Bi 3 : Cho

ABC vuụng ti A. T mt im K bt k thuc cnh BC v KH

AC. Trờn tia
i ca tia HK ly im I sao cho HI = HK. Chng minh :
a) AB // IK
b)

AKI cõn
c)
ã
ã
BAK AIK=
d)

AIC =

AKC
Hng dn:
a) Chng minh AB v IK cựng vuụng gúc vi AC.
b) Xột

AKI cn c/m AH va l ng trung tuyn va l
ng cao.



AKI cõn ti A.
hoc c/m

AHI =

AHK ( Hai cnh gúc vuụng )

AI = AK


AKI cõn ti A
c) C/m

BAK và

AIK cựng bng vi

AKI
d) C/m

AIC =

AKC ( c-g-c)
( AI = AK(.),

IAC =

KAC, AC là cạnh chung)
Bi 4 : Cho

ABC cõn ti A (

A = 90
0
), v BD

AC v CE

AB. Gi H l giao im ca BD
v CE.
a) Chng minh :

ABD =

ACE
b) Chng minh

AED cõn
c) Chng minh AH l ng trung trc ca ED
d) Trờn tia i ca tia DB ly im K sao cho DK = DB. Chng minh
ã
ã
ECB DKC=
Hng dn:
a) Chng minh :

ABD =

ACE ( Cnh huyn gúc
nhn )
b) T cõu a

AE = AD ( hai cnh tng ng )

AED cõn ti A.
c) Cn c/m HE = HD ( C/m nhiu cỏch )


H thuc ng trung trc ca ED.(1)
V AE = AD ( cmt )


A thuc ng trung trc ca ED.(2)
T (1) v (2) suy ra AH l ng trung trc ca ED.
d) C/m

ECB và

DKC cựng bng vi

CBD
( C/m nhiu cỏch ).
Bi 5 : Cho

ABC cõn ti A. Trờn tia i ca tia BA ly im D, trờn tia i ca tia CA ly
im E sao cho
BD = CE. V DH v EK cựng vuụng gúc vi ng thng BC. Chng minh :
a) HB = CK
b)

AHB =

AKC
c) HK // DE

d)

AHE =

AKD
e) Gi I l giao im ca DK v EH. Chng minh AI

DE.
GV: Nguyễn Thuỵ Hoa TRờng THCS Sơn Tiến
9
H
K
B
A
I
C
H
E
D
K
C
B
A
Đề cơng ôn tập học kỳ 2
Hng dn:
a) C/ m

BHD =

CKE( Cnh huyn gúc nhn)

=
=
( )
( )
CKEHBD
CEBD


HB = CK ( Hai cnh tng ng )
b) C/m

ABH =

ACK ( c-g-c ) d) C/m

AHE =

AKD ( c-g-c )






=
=
=

( )
( )
( )
KCHB
KCAHBA
ACAB




AHB =

AKC( Hai gúc tng ng )
c) C/ m : DH l khong cỏch t D n HK.
EK l khong cỏch t E n HK
M DH = EK (

BHD =

CKE cõu a )

HK // DE ( D v E nm cựng phớa i vi HK ).
Do ú: AI l ng trung trc ca DE.

AI

DE.
Bi 6: Cho gúc xOy; v tia phõn giỏc Ot ca gúc xOy. Trờn tia Ot ly im M bt k; trờn cỏc tia
Ox v Oy ln lt ly cỏc im A v B sao cho OA = OB gi H l giao im ca AB v Ot.
Chng minh:

a) MA = MB
b) OM l ng trung trc ca AB.
c) Cho bit AB = 6cm; OA = 5 cm. Tớnh OH?
Hng dn:
a) C/m

OAM=

OBM(c-g-c)


MA = MB ( hai cnh tng ng )
b) C/m tng t nh cõu c bi 4 hoc ỏp dng tam
giỏc cõn ng phõn giỏc xut phỏt t nh nờn
cng l ng trung trc.
c) p dng nh lớ Pytago tớnh OH.
Bi 7: Cho tam giỏc ABC cú B = 90
0
, v trung tuyn AM. Trờn tia i ca tia MA ly im E
sao cho ME = MA. Chng minh:
a)

ABM =

ECM
b) EC

BC
c) AC > CE
d) BE //AC

Hng dn:
a) C/m

ABM =

ECM ( c-g-c )
b)


ABC =

ECM ( vỡ

ABM =

ECM cõu a )
M

ABC = 90
0
(gt)


ECM = 90
0

EC

BC
GV: Nguyễn Thuỵ Hoa TRờng THCS Sơn Tiến

10
E
D
I
K
H
C
B
A
ã ã
( )
( )
( )
AH AK
HAE KAD
AE AD
=


=


=

) / : ( )
ộc đ ờng ực ủa
à ( )
ộcđ ờng ực ủa
e C m ID IE
I thu trung tr c DE

V AD AE
Athu trung tr c DE
=

=

t
M
A
x
y
B
O
M
E
C
B
A
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
c) AB = EC ( . . . )
Mà AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
AC là đường xiên kẻ từ A đến BC.
⇒
AC > AB ( Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên )
Do đó AC > EC
d) C/m
∆
BME =
∆
CMA ( c-g-c )

⇒

∠
MEB =
∠
MAC ở vị trí so le trong
⇒
BE //AC
Bài 8 : Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC)
a) Chứng minh BH = HC và
∠
BAH =
∠
CAH
b) Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.
c) Kẻ HD ⊥ AB ( d ∈ AB), kẻ EH ⊥ AC (E ∈ AC).Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?
( Học sinh tự làm )
Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh rằng
∆
ADE là tam giác cân .
b) Kẻ BH
⊥
AD ( H
∈
AD ), kẻ CK
⊥
AE ( K
∈

AE ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.
c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
e) Khi
∠
BAC = 60
0
và BD = CE = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác ADE và xác định
dạng của tam giác IBC.
( Xem lại bài giải của bài tập 70/ sgk/ 141 tập 1 )
Bài 10: Cho
∆
ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng
∆
AMN là tam giác cân .
b) Kẻ BH
⊥
AM ( H
∈
AM ), kẻ CK
⊥
AN ( K
∈
AN ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Khi
∠
MAN = 60
0

và BM = MN = CN, hãy tính số đo các góc của tam giác ABC.
( Cách chứng minh và tính toán tương tự như bài 9 )
Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.Chứng minh:
a) Các hình chiếu của BD và CE trên BC bằng nhau.
b) BE = CD.
c)
BMD∆
=
CME
∆
d) AM là tia phân giác của góc BAC.
e)
2
BC DE
BE
+
>
Hướng dẫn:
a) Vẽ
;DH BC EK BC⊥ ⊥
⇒
BH và CK là hai hình chiếu của BD và
CE trên cạnh BC.
C/m
∆
BDH=
∆
CEK( cạnh huyền –góc
nhọn )

⇒
BH = CK
b) C/m
∆
ABE =
∆
ACD( c-g-c )
⇒
BE =
CD
c) C/m
∆
BMD =
∆
CME ( g-c-g )
Cần C/m BD = CE ;
∠
MDB =
∠
MEC
Và
∠
MDB =
∠
MEC (vì
∆
ABE =
∆
ACDở
câu b )

d) C/m
∆
AMB =
∆
AMC ( c-c-c hoặc c-g-c )
⇒
∆
MAB =
∆
MAC
⇒
AM là tia phân giác của góc BAC.
e) C/m DE // BC
⇒
DE = HK (tính chất đoạn
chắn)
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
11
M
E
D
K
H
C
B
A
§Ò c¬ng «n tËp häc kú 2
Ta có BE > BK ; CD > CH ( quan hệ giữa
đường xiên và đường vuông góc )
Mà BE = CD ( cmt )

Suy ra: BE + CD > BK + CH
hay BE + BE > (BH + HK) + CH

⇒
2BE > ( BH + CH ) + HK

⇒
2BE > BC + DE

⇒
2
BC DE
BE
+
>
Bài 12 : Cho ∆ ABC (AB <AC ) . Có AD là phân giác của góc A ( D
∈
BC ). Trên tia AC lấy
điểm E sao cho AE = AB
a) Chứng minh : BD = DE
b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED.C/m
AEKABC
∆=∆
và ∆ DBK = ∆ DEC .
c) ∆ AKC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó?
d) Chứng minh AD
⊥
KC .
Hướng dẫn:
a) C/m

ADEADB ∆=∆
( c-g-c )
⇒
BD = DE ( hai cạnh tương ứng )
b) C/m
AEKABC
∆=∆
( g-c-g )
* Xét ∆ DBK và ∆ DEC
Ta đã có BD = DE ( cmt) và
CDEBDK
∠=∠
( đối đỉnh )
Cần C/m:
DECDBK
∠=∠

⇒
∆ DBK = ∆ DEC ( g-c-g ).
c) ∆ AKC là tam giác cân tại A
Cần C/m: AK = AC ( dựa vào tính chất cộng đoạn thẳng )
d) Áp dụng ∆ AKC cân tại A
Mà AD là đường phân giác nên cũng là đường cao.
⇒
AD
⊥
KC
Bài 13 : Cho ∆ ABC có
A∠
= 90° . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F

a) Chứng minh FA = FB
b) Từ F vẽ FH
⊥
AC ( H
∈
AC ) Chứng minh FH
⊥
EF
c) Chứng minh FH = AE
d) Chứng minh EH =
2
BC
; EH // BC
Hướng dẫn:
a) C/m
BEFAEF ∆=∆
( Hai cạnh góc vuông )
⇒
FA = FB ( hai cạnh tương ứng )
b) Ta có AB
⊥
AC, FH
⊥
AC
⇒
AB // FH
Mà EF
⊥
AB ( vì EF là đường trung trực của AB )
⇒

EF
⊥
FH
c) FH = AE ( Áp dụng tính chất đoạn chắn )
d) C/m
BEFHFE ∆=∆
( hai cạnh góc vuông )
⇒
EH = BF (1)
C/m
HFEFHC
∆=∆
( cạnh góc vuông – góc nhọn )
⇒
EH = FC (2)
Mà BC = BF + FC ( tính chất cộng đoạn thẳng ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EH =
2
BC

* C/m: EH // BC Có
HEF∠
=
EFB∠
( vì
BEFHFE ∆=∆
ở câu d )
Mà
HEF∠
vµ

EFB∠
vở vị trí so le trong.
⇒
EH // BC
HẾT
GV: NguyÔn Thuþ Hoa TRêng THCS S¬n TiÕn
12
D
K
E
C
B
A
H
F
E
B
A
C