đề thi thử toán chung khoa học tự nhiên lần 1 năm 2015 (có đáp án)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

M«n: to¸n (To¸n chung)
Câu I. 1) Giải phương trình

√
3+ 6 −
√
2 − =
√
2+ 2.
2) Giải hệ phương trình

2

+ 3

=30
+ 2− 3=6.


Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên
(
,
)
thỏa mãn



− − 2

+ − 2=3.
2) Với các số thực a,b thỏa mãn điều kiện + +=3, tìm giá trị nhỏ nhất của
=

+ 

.
Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là phân giác
∠
BAC
với
D nằm giữa B, C. AD cắt (O) tại E khác A. EF là đường kính của (O). P là một
điểm nằm giữa A, D. FP cắt (O) tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc
AD cắt CA, AB lần lượt tại M , N.
a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN , PQCM nột tiếp.
b) Giả sử QN và PC cắt nhau trên (O). Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt
nhau trên (O).
Câu IV. Cho ,, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng



 +− 
+ 


+ − 
+ 



+− 
≥ + + 

HẾT



ĐÁP ÁN Toán chung ( tóm tắt )
Câu I. 1) Đk 2≥≥1 khi đó 3 + 6≥2 −  nên pt tương đương 3 + 6 + 2 − −
2

(
3+ 6
)(
2 − 
)
=2+ 2 (0.5đ)
hay

(
3+ 6
)(
2 − 
)
=3 (0.5đ)
Từ đó =±1 ( thỏa mãn ). (0.5đ)
2) 
2


+ 3

=30
 + 2− 3=6

.Phương trình thứ hai tương đương
(
−3
)(
 + 2
)
=0 (0.5đ)
TH1. =3 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3; 2) và (3; −2) (0.5đ)
TH2. = −2 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3;−2) và (−3;−2)
KL:
(
3;2
)
,
(
3;−2
)
,
(
−3;−2
)
(0.5đ)
Câu II. a) 


−  − 2

+ − 2=3⇔
(
 −2
)(
 ++ 1
)
=3 (0.5đ)
TH1. − 2=3,+  + 1=1⟹=1,=−1.
TH2.  − 2=1,++ 1=3⟹ =


,=


loại (0.5đ)
TH3.  − 2=−3,+  + 1=−1⟹=−


,=


loại
TH4.  − 2=−1,+  + 1=−3⟹=−3,=−1.
KL:
(
1;−1
)
,

(
−3;−1
)

(
0.5đ
)
.
b) Ta có
(


+ 1
)
+
(


+ 1
)
+
(


+ 

)
≥2 + 2 + 2=6 (1.0đ)
Suy ra 


+ 

≥2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==1. Vậy min
(


+ 

)
=2
(0.5đ)
Câu III. a) EF là đường kính của (O) nên AF ⊥ AE ⊥ MN do đó AF ‖ MN. Suy ra
∠QPN = ∠AFQ = 180° – ∠ABQ suy ra PQBN nội tiếp. Lại có ∠FPM = ∠AQF =
∠ACQ suy ra PMCQ nội tiếp.
.
b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại R thuộc (O). Từ PQBN nội tiếp ta thấy
∠NPB = ∠
NQB
= ∠BCP. Từ tứ giác PMCQ ta có ∠
PBC
= ∠
RPB
– ∠
PCB
=
∠
RPN
+ ∠
NPB
– ∠

NPB
= ∠
RPN
= ∠
MPC
= ∠
MQC
. Từ đó nếu
QM
cắt
BP
tại
S
dễ suy ra tứ giác
SBQC
nội tiếp hay
S
thuộc
(O).

Câu IV. =



()
+



()

+



()
≥


()
+


()
+


()
(0.5đ)
=



+



+




≥2
(

)


=+  + . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==. (0.5đ)