Đề thi Học kỳ II lớp 12 có đáp án

SỞ GD – ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
TRƯỜNG THPT LÊ THẾ HIẾU MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm)
Câu 1 ( 3,5 điểm ) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 4 có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Câu 2 ( 2,5 điểm ) Tính các tích phân:
a/
1
sin(ln )
e
x
dx
x
π
∫
b/
4
2
0
cosx xdx
π
∫
II. PHẦN RIÊNG (4 điểm)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn:

Câu 3 ( 1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z
3
+ 1 = 0.
Câu 4 ( 3 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm:
A(-1; -2; 0); B(2; -6; 3) ; C(3; -3; -1) ; D(-1; -5; 3).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua D và vuông góc với (ABC).
c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính
của mặt cầu đó.
Phần 2: Theo chương trình nâng cao:
Câu 3 (1,5 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức sau trên tập số phức:

16 8
(3 ) 256(3 4 )i i+ = −
( trong đó i là số ảo )
b/ Giải bất phương trình sau:

1 1 2
2 4
log 2log ( 1) log 6 0x x+ − + ≤

Câu 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương
trình:
2 2 2
4 2 6 5 0x y z x y z+ + − + − + =
và hai đường thẳng:
(d
1
):

5 1 3
2 3 2
x y z+ − +
= =
−
; (d
2
):
7
1
8
x t
y t
z
= − +


= − −


=

a/ Viết phương trình mặt phẳng (
α
) song song với (d
1
) và (d
2
), đồng thời tiếp xúc
với (S).

b/ Xác định tọa độ tiếp điểm của (S) và (
α
).

Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC KỲ II
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm)
Câu 1
a/ (2 điểm)
i) TXĐ : R (0,25 điểm)
ii) Sự biến thiên :
* Ta có : y' = 3x
2
+ 6x ;
0
y' = 0
2
x
x
=

⇔

= −

(0,25 điểm)
* Các giới hạn tại vô cực

3

3 2
2 3
lim lim ( 1)
x
x
y x
x x
→−∞
→− ∞
= + − = −∞

3
3 2
2 3
lim lim ( 1)
x
x
y x
x x
→+∞
→+ ∞
= + − = +∞

* Bảng biến thiên (0,5 điểm)
x
−∞
– 2 0
+∞
y’ + 0 – 0 +
y 0

+∞


−∞
- 4

* Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 2)−∞ −
và
(0; )+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2; 0 ). (0,25 điểm)
* Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 ; y
CĐ
= y(–2) = 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y
CT
= y( 0) = –4. (0,25 điểm)
iii ) Đồ thị : Ta có
Các giao điểm của (C) với trục Ox là ( –2; 0) và (1; 0).
Giao điểm của (C) với trục Oy là I(0;– 4).
Đồ thị nhận I(–1; 2) làm tâm đối xứng. (0,25 điểm)
Đi qua điểm (–3 ; – 4).

2
-2
-4
-2
x
y

O
1
-1
-3
( Vẽ đúng đồ thị được 0,25 điểm )
b) Tại điểm x = 2 ta có : y = 16 (0,25 điểm)

Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái
y’(2) = 24. (0,25 điểm)
Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 24(x – 2) + 16
Hay y = 24x – 32 (0,25 điểm)
c) Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là :

1
2 3
2
(4 3 )S x x dx
−
= − −
∫
(0,5 điểm)

1
4
3
2
27
4
4 4
x

x x
−
 
= − − =
 ÷
 
(0,25 điểm)
Câu 2
a/ (1,5 điểm) I
1
=
1
sin(ln )
e
x
dx
x
π
∫

Đặt t = lnx. Ta có:
dx
dt
x
=
(0,5 điểm)
Đổi cận: x = 1
⇒
t = 0

x e t
π
π
= ⇒ =
(0,5 điểm)
Khi đó:
1 0
0
sin cos 2I tdt t
π
π
= = − =
∫
(0,5 điểm)
b/ (1 điểm) Ta có:

4 4 4 4
2
2
0 0 0 0
1 1
I = cos = (1 cos2 ) cos2
2 2
x xdx x x dx xdx x xdx
π π π π
 
 ÷
+ = +
 ÷
 

∫ ∫ ∫ ∫
(0,25 điểm)
*
2 2
4
4
0
0
2 32
x
xdx
π
π
π
= =
∫
(0,25 điểm)
* Xét
4
0
cos2J x xdx
π
=
∫

Đặt
cos2
u x
dv xdx
=



=

ta có
1
sin 2
2
du dx
v x
=



=


(0,25 điểm)
Khi đó :

4
4 4
0 0
0
1 1 1
sin 2 sin 2 cos2
2 44
1
82 8
J x x xdx x

π
π π
π π
   
= − = + =
 ÷  ÷
  
−

∫

Vậy
2 2
2
1 1 4 8
2 32 8 4 64
I
π π π π
+ −
 
= + − =
 ÷
 
(0,25 điểm)
II. PHẦN RIÊNG (4 điểm)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu 3: ) Ta có:

Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái

3 2
2
z = - 1
z + 1 = 0 (z + 1)(z - z + 1) = 0
z - z + 1 = 0 (*)

⇔ ⇔


(0,25 điểm)
Xét (*), ta có:
1 4 3 3i∆ = − = − ⇒ ∆ =
. (0,25 điểm)
Suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm:
1,2
1 3
2
i
z
±
=
(0,25 điểm)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là
1,2
1 3
2
i
z
±
=

; z
3
= - 1 . (0,25 điểm)
Câu 4
a/ (1,25 điểm) Ta có:
(3; 4 ; 3); (4; 1; 1)AB AC= − = − −
uuur uuur
. (0,5 điểm)
Mặt phẳng (ABC) có 1 vectơ pháp tuyến là:
(7;15;13)n AB AC= ∧ =
r uuur uuur
(0,25 điểm)
Suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là:
7(x + 1) + 15(y + 2) + 13(z - 0) = 0
⇔
7x + 15y + 13z + 37 = 0. (0,25 điểm)
* Dễ thấy D
∉
(ABC), nên A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện. (0,25 điểm)
b/ (0,75 điểm) Đường thẳng d vuông góc với (ABC) nên d có 1 vectơ chỉ phương là:

(7;15; 13)u n= =
r r
(0,5 điểm)
Suy ra phương trình tham số của d:

1 7
5 15
3 13
x t

y t
z t
= − +


= − +


= +

(0,25 điểm)
c/ (1 điểm) Phương trình mặt cầu có dạng:

2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
(S). (0,25 điểm)
( trong đó a, b, c, d là các số thực thỏa mãn:
2 2 2
0a b c d+ + − >
).
Vì (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:

5 2 4 0 6 8 6 44 1
49 4 12 6 0 8 2 2 14 4
19 6 6 2 0 5 1
35 2 10 6 0 5 2 4 0 9
a b d a b c a
a b c d a b c b
a b c d b c c
a b c d a b d d

− − + = − + − = = −
  
  
+ − + + = − + + = =
  
⇔ ⇔
  
+ − − + = − = = −
  
  
− − + + = − − + = =
  
(0,25 điểm)
Vậy mặt cầu (S) có phương trình là
2 2 2
2 8 2 9 0x y z x y z+ + − + − + =
(0,25 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; -4; 1) và bán kính R = 3. (0,25 điểm)

Phần 2: Theo chương trình nâng cao:
Câu 3
a/ Ta có:
( )
8
2
16
16 8
8
3
(3 )

(3 ) 256(3 4 ) 256 256
(3 4 ) 3 4
i
i
i i
i i
 
+
+
+ = − ⇔ = ⇔ =
 
− −
 
 
(0,25 điểm)
Mà
( )
2
3
8 6 (8 6 )(3 4 ) 50
2
3 4 3 4 25 25
i
i i i i
i
i i
+
+ + +
= = = =
− −

. (0,25 điểm)

Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái
Suy ra
16
8 8 8
8
(3 )
(2 ) 2 . 256
(3 4 )
i
i i
i
+
= = =
−
(đpcm) (0,25 điểm)
b/
1 1 2
2 4
log 2log ( 1) log 6 0x x+ − + ≤
(1)
Điều kiện: x > 0. (0,25 điểm)
Với điều kiện trên:

[ ]
2 2 2 2 2
(1) log log ( 1) log 6 0 log ( 1) log 6x x x x⇔ − − − + ≤ ⇔ − ≥
(0,25 điểm)

2
2
( 1) 6 6 0
3
x
x x x x
x
≤ −

⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔

≥

Kết hợp với điều kiện ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
3x ≥
.(0,25 điểm)
Câu 4
a/ (1,5 điểm) (S) có tâm là điểm I(2; -1; 3) và có bán kính là R = 3 (0,25 điểm)
(d
1
) có 1 vectơ chỉ phương là
1
(2; 3;2)u = −
ur
.
(d
2
) có 1 vectơ chỉ phương là
2
(1; 1;0)u = −

uur
. (0,25 điểm)
Vì (
α
) song song với (d
1
) và (d
2
) nên (
α
) có 1 vectơ pháp tuyến là:

1 2
(2;2;1)n u u= ∧ =
r ur uur
(0,25 điểm)
Do đó phương trình (
α
) có dạng 2x + 2y + z + c = 0 (0,25 điểm)
(
α
) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

2 2
4
4 2 3
( ;( )) 3 5 9
14
2 2 1
c

c
d I R c
c
α
=
− + +

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= −
+ +

(0,25 điểm)
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là:
(
1
α
): 2x + 2y + z + 4 = 0 ; (
2
α
): 2x + 2y + z – 14 = 0 (0,25 điểm)
b/ (1 điểm) Gọi
∆
là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (
α
). Khi đó tiếp điểm của
(S) và (
α
) chính là giao điểm của
∆

với (
α
).

∆
vuông góc với (
α
) nên có 1 vectơ chỉ phương là:
(2;2;1)u n= =
r r
(0,25 điểm)
Do đó
∆
có phương trình tham số là:

2 2
1 2
3
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

(0,25 điểm)

Tham số t ứng với giao điểm của (S) và (
1
α
) là nghiệm của phương trình
2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) + (3 + t) + 4 = 0
⇔
9t + 9 = 0
1t⇔ = −
(0,25 điểm)
Suy ra tiếp điểm của (S) và (
1
α
) là: A(0; -3; 2).
Tương tự tiếp điểm của (S) và (
2
α
) là B(4; 1; 4) (0,25 điểm)
Ghi chú:
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.

Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái