Phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

hoctoancapba.com kho kiến thức toán cấp 3, đề thi có đáp án
BÀI TẬP : XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA
DIỆN:
I.KiẾN THỨC CẦN NHỚ:
Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình đa diện (H) khi các đỉnh của (H) nằm trên mặt cầu
-Môt hình chóp nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được.
-Môt hình lăng trụ đưng nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình lăng trụ là các đa giác
nội tiếp được.
-Hình tứ diện ,Lăng trụ đều , hình chóp đều và các khối đa diện đều đều nội tiếp được :
Chú ý :
–Trong không gian tập hợp của những điểm các đều các đỉnh của một đa giác là một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm của đa giác đó.
–Trong không gian tập họp những điểm cách đều 2 điểm A và B là mặt phẳng trung trực của AB.
Dạng 1: HÌNH ĐA DIÊN CÓ CÁC MẶT LÀ NHỮNG TAM GIÁC VUÔNG CÓ CHUNG CẠNH
HUYỀN:
Phương pháp:
Gọi I là trung điểm của cạnh huyền chung.
Tâm của mặt cầu là I và bán kính là nửa cạnh huyền đó
Thí dụ :
Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với đáy .Gọi H và K là
hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.Chứng minh hình đa diện AHKBC nội tiếp được trong mặt cầu
(S) , tìm tâm và bán kính của (S) theo a ,Với SA=AB= a

BBài tập:
1.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy , hai
mặt bên còn lại tạo với đáy góc 60
0
.

BÀI GIẢI
SA (ABC)=>SA BC
BC AB=>BC (SAB)
=>(SAB) (SBC)
AHSB=>AH(SBC)=>AH CH
=>AHC vuông tại H
AKC vuông tại K
ABC vuông tại B
=>Hình đa diện AKCBH nội tiếp trong mặt cầu
đường kính AC , tâm I là trung điểm của AC và bán
kính R=
2
2a


hoctoancapba.com kho kiến thức tốn cấp 3, đề thi có đáp án
a.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD.
b.Gọi B’ ; C’ là hình chiếu của A lên SB và SDClà ;D’ là giao điểm của DS và mp(AB’C’). Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDB’C’D’. hoctoancapba.com
2.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối bát diện đều cạnh a.
3.Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’) có đoạn vng góc chung là AA’ (A thuộc (d) và A’ thuộc (d’).
Gọi (P) là mp qua AA’ và vng gó với (d’) .Cho biết AA’=a .Một đường thẳng (l) song song với (P) cắt (d)

và (d’) tại M và M’ .Hình chiếu vng góc của M lên (P) là là N.Xác định tâm I của mặt cầu đi qua 5 điểm
A ;A’ ; M ; M’ ; N. biết b=A’M’ và  =(d;d’)
ĐS:
222
2
222
1
2
1
bcosa
cos
M'A
cos
b
AMmà
AMAA'MA' N tại vuông MN'A
b'M'AMNvàAMN
)P(vớigócvuôngCùng()'d//(MN:HD
bcosacos r kínhbán
MA' điểm trung là O tâm có (S) cầuMặt
2









Dạng 2: Hình chóp S.A
1
A
2
…A
n
Gọi O là tâm của đa giác đáy , và I là tâm của
mặt cầu (S) .
Dựng (d)

(A
1
A
2
…An)
=>IA
1
=IA
2

=….=IA
n
=> I thuộc (d).
IA
1
=IS => I thuộc mặt phẳng trung trực của
SA
1
.Vậy I là giao điểm của mp trung trực của
SA
1
và (d).
Thí dụ 1:
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là a và
cạnh bên tạo với đáy các góc 60
0
.Tìm tâm và
bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
trên



hoctoancapba.com kho kiến thức tốn cấp 3, đề thi có đáp án









(2)ASAI
(1)CIBIAI
(S) cầumặt của tâm là I Gọi
SCOSBOSAO(ABC).SO
BC. của điểm trung làM
ABC của tâm trọng là OABC của tâm là O Gọi
60
hoctoancapba.com
R
a
a
a
SI
a
cos
a
SAvàatan
a
SO
a
AMOAmà
cos
OA
SAvàOAtanSOSAO và OtạivuôngSAO
SO
SA
SI
SO
SK

SA
SI
dạng đồng SOA;SKI
SAIKSA của điểm trung là K Gọi
SO(d)I
mp(SAO) trong SA của trực trung (d)là với)d(I)(SOI)(






3
2
18
12
3
32
603
3
60
3
3
3
3
3
2
60
60
2

21
2
0
0
0
0
2

Thí dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh b và SA =a vng góc với đáy .Xác định tâm và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.


hoctoancapba.com kho kiến thức tốn cấp 3, đề thi có đáp án
6
129
49
3
3
3
2
3
3
2
3
2
2
2
1
22

22
222
ba
IAR
ab
OAIOIAOtạivuôngIOM
bb
AMOA
a
2
SA
IOnhật chữhìnhlàOIJA giác Tứ
SAIJSA của điểm trung là JGọi
mp trong)(d'(d)I
mp trong
SA của )(d' trực trung đườngvềthuộcI)(
.)d(I)(
(2)SIAI
(1)CIBIAI
ABC.S tiếp ngoại cầumặt tâm là I Gọi
d)mp(SA,mp(d)//SA O. tại (ABC) với
góc vuông (d) dựng ,ABC giác tam của tâm là O Gọi


















Thí dụ 3:
Cho hình chóp O.ABC biết AOB=90
0
;BOC=60
0
và COA=120
0
và OA =OB =OC =a.
a.Chứng minh tam giác ABC vng.
b.Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC
GIẢI
ABC giác tam của tâm là H
ACcủiểmtrungHlàGọi.BtạivuôngABCaCA;aBC;aAB

 32

hoctoancapba.com kho kiến thức tốn cấp 3, đề thi có đáp án
aOIR
a
OH
OH

OA
OI
OH
OJ
OA
OI
dạng đồngOAH;OIJ
OAIJ OA của điểm trung là JGọi
(d)OH I Vậy
mp(OAH) trongOA
của(d) trực trung ĐườngI)(;OHI)(
)(IOIA
)(ICIBIA
)S(cầumặttâmlàIGọi
)ABC(OHOCOBOA













2
2

21
2
1
2

Dạng 3: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
Phương pháp:
–Gọi O và O’ là 2 tâm của 2 đáy.
-Nối OO’ =>OO’

hai đáy.
–Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lặng trụ đứng
=>





)(I'AIA
)(I'A I'AI'AIA IAIA
nn
2
1
11
2121

(1)=>I

OO’ (2)=>I


(d) (với (d) là đường trung trục của AA
1
’ trong mp (AA’
1
;OO’)
=> I là giao điểm của (d) và OO’=>I là trung điểm của OO’,
Thí dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A và AC = b , C=60
0

.Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp (AA’C’C) góc 30
0
.
a.Tính thể tích của khối lăng trụ . b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.
GIẢI:
b
cos
b
BCvàb'BC
bACtan60AB A tại vuông ABC
AB
sin30
AB
BC'A tại vuông 'BAC
.30BA'
C)C'mp(AA' lên BC' của chiếu hìnhlà AC'
C)C'(AA'BAAA'BA;ACBA
)C'B'(A' OO' và (ABC) OO'//AA'OO'
C'.B'A' và ABC của tâm là O' ; O
C'B' và BC của điểm trung làlượt lần O' và O 1.Gọi
0

0
0
2
60
32
3
2
0












hoctoancapba.com kho kiến thức tốn cấp 3, đề thi có đáp án
228412
222
bbbb'CC 

3
2
3
2
6

2
1
3
b
BC'
R vàBC' của điểm trung là I Tâm
BC' kínhđường cầumặt trong tiếp nội C'B'ABC.A' trụ Lăng
A' tại vuông C'BA' ; A tại vuôngBAC'; C tại vuông BCC'
: khácCách
b
2
BC'
IBROO' của điểm trung là I
O)O'mp(AA' trong AA' của trực trung đường là (d) (với)d('OOI
IA'AI
IC'IB'IA'
CIBIAI
trụ lăng tiếp ngoại S cầumặt tâm là I Gọi.
b'CC.AC.AB'CC.dtABCV


















BÀI TẬP:
1.Cho hình chop tam giác đều có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB =AC =a BAC =  . SA = a3 và
SA vng góc với đáy.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.
2.Cho hình chop tứ giác đều S,ABCD có chiều cao SO =2a , góc giữa cạnh bên và đáy là  . Xác định tân
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S,ABCD.
3.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SAB à tam giác vng cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC).Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop
trên.
4.Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA ; OB; OC đơi một vng góc và OA = a ; OB = b ;OC =c. Xác định
tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện trên.
5.Cho hình vng ABCD cạnh a .Trên đường vng góc với (ABCD) dựng từ tâm O của hình vng lấy
một điểm S sao cho OS = a/2. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD
6.Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a Trên đương vng góc
với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 45
0
. Xác định tâm và tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.
7.Cho tứ diện SABC có SBC và ABC là 2 tam giác đều cạnh a và SA= a2
a.Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện SABC
b.Gọi O là trung điểm của BC .Trên tia đối của tia AO lấy điểm D sao cho OD=OA.Tính các cạnh của tứ
diện S,BCD.