Hệ thống các bài toán cơ bản về phương trình mặt phẳng,đường thẳng hệ oxyz

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
- 1 - Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG

HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ,
ĐƯỜNG THẲNG .
MẶT PHẲNG (A)
ĐƯỜNG THẲNG (B)
1.Mp qua điểm A(x
o
, y
o
, z
o
) có VTPT
n
(A,B,C)
.
1.Đgth dqua điểm A(x
o
, y
o
,z
o
), có VTCP
u
(a, b, c)
- Pt: A(x-x
o
)

+B(y-y

o
)

+ C(z – z
o
) = 0
Hoặc Ax +By +Cz +D =0 ,
thay toạ độ A vào thoả , giải tìm
D.

x = x
o
+at

PTTS d : y = y
o
+bt

Z = z
o
+ct
2.Mp(

) qua A(x
o
, y
o
, z
o
) , vuông góc với đgth d

2.Đgth d qua A(x
o
, y
o
, z
o
), vuông góc với mp(

)
- Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d ,
tìmVTCP
u
.
- Mp(

) có VTPT là
u
.
- Giải tiếp như bài toán 1.


- Từ PTTQ của (

) tìm VTPT
n
.
- VTCP của d là
n
.
- Giải tiếp như bài toán 1.

3. Mp(

) qua A(x
o
, y
o
, z
o
), và song song với
mp(P)
3.Đgth d qua A(x
o
, y
o
, z
o
), song song với đgth a.
- Tìm VTPT của (P) là
n
.
- VTPT của (

) cũng là
n
.
- Giải tiếp như bài toán 1.

- Tìm VTCP của a là
u

.
- VTCP của d cũng là
u
.
Giải tiếp như bài toán 1.
4. Mp(

) qua A,B,C cho trước.
4. Đgth d qua A, B cho trước.
- VTPT của (

) là
n
=
,AB AC


. B. .C
- (

) qua A cho trước. A.
- Giải tiếp như bài toán 1.
- VTCP của d là
AB
. A
- d qua A cho trước.
- Giải tiếp như bài toán 1. B
5. Mp(

) chứa 2 đgth cắt nhau a,b.

5. Đgth d là giao tuyến của 2 mp cắt nhau (

),(

).
- Tìm VTCP của a,b lần lượt là
u
,
v
.
- VTPT của (

) là
n
=
,uv


.
- Lấy điểm A trên a, thì Athuộc(

).
- Giải tiếp như bài toán 1.

- Tìm VTPT của (

),(

) lần
lượt là

1
n
,
2
n
.
- VTCP của d là
u
=
12
,nn


.
- Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả
phương trình (

),(

)thì A

d.
- Giải tiếp như bài toán 1.
6. Mp(

) chứa điểm A và song song với 2 đgth a,
b chéo nhau.
6. Đgth d qua A và song song với 2 mp (

),(


) cắt
nhau.
- Tìm VTCP của a,b lần lượt là
u
,
v
.
- VTPT của (

) là
n
=
,uv


.
- Giải tiếp như bài toán 1.
< Bài toán: Viết pt mp (

) chứa a
và song song b ( chéo a), giải tương
tự. Khi đó điểm cho trước A

(

),
được lấy bất kỳ trên a >

- Tìm VTPT của (

),(

) lần
lượt là
1
n
,
2
n
.
- VTCP của d là
u
=
12
,nn


. .
- Giải tiếp như bài toán 1.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
- 2 - Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG


7. Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp (


),(

)
cắt nhau.
7. Đgth d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo
nhau.

- Tìm VTPT của (

),(

)
là
1
n
,
2
n
.
- VTPT của (P) là
n
=
12
,nn


.
- Giải tiếp như bài 1.
< Bài toán này có thể đưa về
dạng bài B5, và A2: Viết ph

trình mp (P) vuông góc với
giao tuyến của (

),(

) >

- Tìm VTCP của a,b là
1
u
và
2
u
.
- VTCP của d là
u
=
12
,uu


.
- Giải tiếp như câu 1.
8. Mp(

) qua đgth d và vuông góc với mp(

)
cho trước.
8. Đgth d nằm trong mp (


) cho trước, vuông góc và
cắt đường xiên a.
- Tìm VTCP của d là
u
.
- Tìm VTPT của (

) là
1
n
.
- VTPT của (

) là
n

=
1
,un


.
- Tìm điểm A

d thì A

(

).

- Giải tiếp như bài toán 1.
- Tìm VTCP của a là
1
u
.
- Tìm VTPT của (

) là
n
.
- VTCP của d là
u
=
1
,.un



- Tìm giao điểm của a và (

)
là A.
- Đgth d phải qua A và có
VTCP
u
, viết được PTTS.


CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

9. Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2
đường a, b.
9. Đường thẳng d song song với một đgth

và cắt
cả 2 đường a, b.
- Viết phương trình
mp(A,a), đặt là (

).
- viết phương trình
mp(B,a), đặt là (

).
- Viết PTTS của d là
giao tuyến của (

),
(

)


- Viết phương trình mp(

)
qua a và song song

.
<Bài toán A6’>

- Viết phương trình mp
(

) qua b và song song

.
- Viết PTTS của d là
giao tuyến của (

),
(

).

10. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b.
- Tìm VTCP
u
của d <Bài toán B7>.(
u
=
12
,uu


với
1
u
và
2
u

là VTCP của a,b ).
- Viết phương trình mp (

) qua a và d < Bài toán A5 >.
- Viết phương trình mp (

) qua b và d < Bài toán A5 >.
- Viết phương trình đgth d là giao tuyến của (

),(

).




hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
- 3 - Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG


CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG.
12. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên mp
(

).
12. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đgth d.
- Viết phtrình đgth d qua A và
vuông góc với (

)(Bài toán

B2 ). .A
- Tìm toạ độ giao điểm I của d
và (

) ( Giải hệ gồm phtrình
d và (

).

- Viết phtrình mp (

) qua A và
vuông góc với d (Bài toán A2 )
- Tìm toạ độ giao điểm I của (

)
và d ( Giải hệ gồm phtrình (

)
và d .
.A
13. Viết phtrình hình chiếu d’ của đgth d trên mp (

).
- Viết phtrình mp (

) qua d và vuông góc với (

) d
( Bài toán A8 )

- d’ là giao tuyến của mp (

) và mp (

) .
- Viết PTTS của d’ ( Bài toán B5 ).




CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ SỰ TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG.
A. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
1. Mặt cầu (S) có tâm I
 
0 0 0
,,x y z
bán kính R .
2.Mặt cấu (S) có đường kính AB cho trước.
Phương trình:
 
2
22
0 0 0
( ) ( ) 0x x y y z z     

- Tìm trung điểm của AB là I., I là tâm của mặt cầu.
- Tính độ dài IA=R.
- Làm tiếp như bài toán 1.
3. Mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B.C,D không đồng phẳng cho trước.

- Gọi phương trình mặt cầu là
2 2 2
2Ax 2 2 0x y z By Cz D      
(1)
- Do A, B.C.D thuộc (S) nên thế toạ độ từng điểm vào (1) sẽ thoả, cho ta môt hệ phương trình 4 ẩn A,B,C,D (2).
- Giải hệ (2) được A,B,C.D.
( Mặt cầu (S) có tâm I (-A,-B,-C) và bán kính
2 2 2
R A B C D   
)

4. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mp (P) và đi qua 3
điểm A, B, C cho trước.
4’. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đgth d cho trước và đi
qua 2 điểm A, B cho trước.
- I cách đều A,B,C nên I thuộc trục d của
ABC
.
Viết phương trình trục d =
 
()


, với (

),(

)
lần lượt là mp trung trực của AB và AC .<Viết
phương trình (


),(

) và PTTS của d (quy về bài
toán A2, B5) .>
- I là giao điểm của mp(P) và d : tìm toạ độ I bằng
cách giải hệ gồm phương trình của (P) và d.


I

C
A


B

- I cách đều A,B nên I thuộc mp trung trực (

) của AB.
Viết phương trình (

) ( Bài toán A2)
- I là giao điểm của d và (

), tìm toạ độ I là nghiệm của
hệ phương trình gồm phương trình d và (

).

d
I


A



B


d’
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
- 4 - Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG



B. TIẾP DIỆN, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU.
1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẰU CÓ TÂM I VÀ
TIẾP XÚC VỚI MP(

)
1’. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM I VÀ
TIỀP XÚC VỚI ĐGTH

.
- Tính khoảng cách từ I đến (

) : d(I,


)
- Bán kính mặt cầu R = d(I,

).
- Giải tiếp như bài A1.

- Tính khoảng cách từ I đến (

) : d(I,

)
- Bán kính mặt cầu R = d(I,

).
- Giải tiếp như bài A1.
2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT
CẦU TẠI TIẾP ĐIỂM A CHO TRƯỚC.
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU
SONG SONG MẶT PHẲNG (

)CHO TRƯỚC.
- Tìm toạ độ tâm I của mặt cầu.
- Tiếp diện (

) đi qua A, và có VTPT là
IA
. Giải
tiếp như bài toán A2.
- Tìm toạ độ tâm I , bán kính R của mặt cầu.

- Giả sử (

) có phương trình Ax +By +Cz +D = 0 ,thì
tiếp diện (

) có phương trình Ax +By +Cz +D’ = 0 (1)
- Theo điều kiện đề : d(I,

) = R ; giải tìm D’.
- Thế vào (1) được phương trình tiếp diện (

).