Các cách chứng minh một bất đẳng thức hay

hoctoancapba.com
Trang 1
CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I) Để làm được các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh cần có tối thiểu các kỷ
năng sau:
1) Nắm vững các lý thuyết cơ bản như Côsi, Bunhiacopski, Trêbưsep…và các cách chứng
minh thông thường.
2) Biết phân tích các bài toán theo những khía cạnh sau:
+ Vai trò các số hạng, nhân tử có bình đẳng không?
+ Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không; nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả
mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bất đẳng thức hợp với giả thiết của bài toán.
3) Biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc, đặc biệt là bất đẳng thức:
Với hai số dương x và y ta có:
1 1 1 1
()
4x y x y


(1)
Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

yx 
,2 xy

1 1 1 1 2
2.
x y x y
xy
  

Từ đó:
()xy
(
1 1 1 1 1 1
) 4 ( )
4x y x y x y
    


Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Tổng quát: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có:
 
2
22
()
ab
ab
x y x y



hay
 
2
22
()
ab
ab
x y x y




.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ab
xy

.
4) Sau khi giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công cụ khác nhau ta nên xem có tổng quát
được bài toán hay không…


II) Một số bài toán vận dụng bất đẳng thức (1):

Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, chứng minh:

1 1 1 1 1 1 1
()
2a b b c c a a b c
    
  
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

 Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh.
 Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

1 1 1 1 1 1 1
()

2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
(3)
 Kết hợp (2) và (3) ta có:

hoctoancapba.com
Trang 2
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:

1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
    
     
(4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.


▼Chú ý: Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005:

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
abc
  
. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c

    
     

►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết:
1 1 1
4
abc
  


Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:

1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
(5)

Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c
  
        


1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a
  
        

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b
  
        

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
32
32
32
a b b c a
b c c a b a b c
c a a b c
   


      


   



Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:

tan tan tan
1
2 2 2

1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 4.tan .tan .tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B A B C
  



Giải: Đặt
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z  
thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
1
1 1 1 4
x y z
yz zx xy xyz
  
  

hoctoancapba.com
Trang 3
Ta có:

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4

1 1 1 1 1
4 4 4
x y z
yz zx xy
x y z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z x
  
  
   
        
     
      
     
     
     
   
    
      
   
  
   
1
4yz xyz


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay

ABC
đều.

Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:

0, 1 0, 1 0, 4 0x y z x y z        
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 4
x y z
Q
x y z
  
  


Giải: Đặt
1 0, 1 0, 4 0a x b y c z        
.
Ta có:
6abc  
và
1 1 4 1 1 4
3
abc
Q
a b c a b c
  

      




Theo bất đẳng thức (1) ta có:

1 1 4 4 4 16 8
()
3
81
3
33
a b c a b c a b c
Q
     
  
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
31
22
31
6
ab
a b x y
a b c
cz
abc




   
  
   
  
  
  
  



Vậy:
1
3
MaxQ 
đạt được khi
1
2
1
xy
z







.

Bài toán 6. Chứng minh rằng :

2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
    
  

Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Giải:
 
2
2
1
1 1 1 4
4 4 6 4 6 4 6 4
x
xx
x y x y x y x y

    

.
Tương tự ta có:
hoctoancapba.com
Trang 4
1 1 4 1 1 4
;
4 4 6 4 4 4 6 4

yz
y z y z z x z x
   

.
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 1.

Bài toán 7. Cho 3 số thực dương a, b và c thoả:
ab bc ca abc  
. Chứng minh rằng:

     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  

Giải: Ta có:
ab bc ca abc  
1 1 1
1
abc
   
. Đặt
1 1 1

;;x y z
a b c
    x+y+z=1
.
Khi đó ta có:



















 


11
2
33

4 4 4 4 6 6
44
33
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2
1 1 1
33
2
22
3 3 4 4 2 2
22
2 2 2 2 2 2
2
xy
a b x y x y
xy
xy
ab a b x x y y x y x y x y
xy
xy
xy
x y x y x y x y
xy
xy
x x y y x y x y x y








    

    


  
     


   

Tương tự ta có:
   
4 4 4 4
3 3 3 3
;
22
y z z xb c c a
bc b c ca c a






Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
     
4 4 4 4 4 4
1

3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z
ab a b bc b c ca c a
  
     
  
.
Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 8. Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
   
   
   


Giải: Ta có:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
1 1 1 1
4 ( ) ( ) 4
4 4 4( )
( ) ( ) 4 4 0
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t

x y t z y x z t
x y t z
t y y z z x x t t y z x y z x t
x y z t
x y t z
x y z t x y z t z y z t
   
         
   
   
   
            
   
       
   
  
       
        

Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t.

hoctoancapba.com
Trang 5
III) Một số bài tập tương tự áp dụng (1)

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:

1 1 1 1 1 1 1
1/ .
2 3( ) 2 3( ) 2 3( ) 4

1 1 1 1 1 1 1
2/
2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
a b c b c a c a b a b b c c a
a b c b c a c a b a c b a c b

    

        


    

        



Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
abc = ab + bc + ca thì:
1 1 1 17
2 3 2 3 2 3 96a b c b c a c a b
  
     

Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
12
4
22

A xy
xy
xy
  



Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
ab bc ca
T
a b c b c a c a b
  
     

Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a+b+c (a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác). Chứng minh
rằng:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

    

  




IV. Mở rộng.

Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:
 
1 1 1 1 1
( ) 6
9x y z x y z
  



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x y z


Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:

yx 
+ z
3 xyz
;
1 1 1 1 1 1 3
3 . .
x y z x y z
xyz
   

Từ đó:
()x y z
1 1 1 1 1 1 1 1
9
9x y z x y z x y z

   
      
   

   

Đẳng thức xảy ra khi
x y z
.

Tổng quát: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có:

 
 
2
2 2 2
7
abc
abc
x y z x y z

  

. (Bất đẳng thức sơ-vac).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c
x y z

.
hoctoancapba.com

Trang 6
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
 
     
 
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
.
a b c a b c
x y z x y z
x y z
x y z
abc







        














  

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

V. Áp dụng

Bài toán 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
abc
abc
b c a
    
với a, b, c là các số thực dương.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
 
2
2 2 2
abc
abc
abc

b c a a b c

     

. Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
abc
b c a
    


Bài toán 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
  
  

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:
1abc  



Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
 
 
2

3 3 3
6 6 6 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
2
abc
a b c a b c
B
b c c a a b
abc


    
  

. Mặt khác theo bất đẳng thức
Bunhiacovski ta có:
 
 
 
 
     
2
2
4
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3
1

99
9
a b c a b c aa a bb b cc c
a b c a b c a b c a b c


        


           
.
Vậy
1
18
B 


Bài toán 3. Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng :

       
3 3 3 3
1 1 1 1 4
3x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
   
       



hoctoancapba.com
Trang 7

Giải: Đặt
1 1 1 1
; ; ; y z t=x
a b c d
  
, theo bài ra ta có abcd = 1 và

 
2
3
3
11
1 1 1 1
a
x yz zt ty b c d
a bc dc bd

   




; tương tự ta có :
     
2 2 2
3 3 3
1 1 1
;;
b c d
y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c

  
           

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:

       
 
 
3 3 3 3
2
2 2 2 2
4
1 1 1 1
3
44
3 3 3
x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d abcd
  
       
  
    
          
  
  

(Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số)

Dấu bằng xảy ra khi
1a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c
   



  

       



Bài toán 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
     
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c b a
  
  

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện
1ab bc ca  


Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:

     
 
     
 
   
2
4 4 4
8 8 8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2
22
abc
a b c
B
b c a c b a b c a c b a
abc
a b c a b b c a c

   
       


    

Xét biểu thức
2 2 2 2 2 2
a b b c a c

. Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có :
2 2 2 2 2 2 4 4 4
a b b c a c a b c    
. Do đó:
 
   
 
 
22
4 4 4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4
2 2 4
a b c a b c
abc
B
a b c a b c a b c
   

  
      
.
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski
 
2
4 4 4
1 ab bc ca a b c     
.

Bài toán 5. Cho x,y, z > 0 và thoả:
2 2 2
1
3
x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
hoctoancapba.com
Trang 8

3
33
2 3 5 2 3 5 2 3 5
y
xz
x y z y z x z x y

     


Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng
nhau và bằng
1
3
.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :




 











3 3 3 4 4 4
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 10
1
2 2 2
30
x y z x y z
x y z y z x z x y
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z x y z
x y z xy yz zx x y z x y z x y z
x y z
    
     
     

     
  
           
   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
1
3
1
2 2 2
3
x y z
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z
x y z













     
     
  
.

Bài toán 6. Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1
Chứng minh rằng:
 
 
 
222
3
3 3 3
a b c b c a c a b
  
  


Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng
nhau và bằng 1.
- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt
1 1 1
;; b c . a
x y z
  

Giải: Đặt
1 1 1
;; b c . a
x y z

  
Theo giả thiết ta có: xyz = 1
Ta có
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
x
a b c y z
x y z






; tương tự ta có:
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
y
b a c x z
y x z







;
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
z
c b a y x
z y x






.
Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :

hoctoancapba.com
Trang 9
 
 
 
 
 

 
2
22
2
22
2
2 2 2 2 2
2
22
3
33
22
y
xz
y z x z y x
b c a
a b c c a b
x y z x y z
xyz
x y z
     
  


   
  


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1x y z  

Bài toán 7. Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả:
3x y z  
. Tìm GTNN của biểu thức:
A =
2
22
y
xz
x yz y zx z xy

  


Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
 
2
2
22
x y z
y
xz
x yz y zx z xy x y z yz zx xy


       
.Ta
có
yz zx xy x y z    

.
Do đó
 
2
2
22
3
22
x y z
y x y z
xz
x y z x y z
x yz y zx z xy


    
    
  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
x y z
x y z x y z
x y z
x yz y zx z xy


  



     





  



Bài toán 8. Với x, y, z là các số dương và
. . 1x y z 

Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
  
  

(1)


Hướng dẫn: Đặt
,,a x b y c z  

Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và
. . 1abc

Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a bc b ac c ab
  
  

(2)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
abc
a b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab

  
       

Bình phương hai vế bất đẳng thức:
hoctoancapba.com
Trang 10

   
   
   
 
 
2
24
2
2
2 2 2
2 2 2
44
2
2 2 2
4
2
(3)
3( )
33
33
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
a b c a b c
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
abc
abc


   


    


    


   

    

    




  


( Vì
 
2
3
33ab bc ac abc   
)

Đặt
 

2
t abc  
thì
9t 
( vì
3
33a b c abc   
)
Ta có:
2
3 15 3 3 3.9 15 3 3 9
2.
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2
t t t t
t t t
   
     
  


2
93
(5') (4')
22
VT VT   

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

điều phải chứng minh

Tổng quát: Ta có bài toán sau: với
 
12
, , , 2
n
x x x n 
là số dương và
12
. 1
n
x x x 

Chứng minh rằng:
12
1 2 3 2 3 4 1 2 1

2
. . .
n
n n n n
x
xx
n
x x x x x x x x x x x x

   
  

Bài toán 9. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
abc ab bc ca  
thì
3
16
111
2 3 2 3 2 3a b c b c a c a b

     


Giải:
Từ
abc ab bc ca  
suy ra
1 1 1
1
abc
  
.
đặt
1 1 1
;; y z x
a b c
  
thì
1x y z  
. Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
1 2 3 36 1 2 3

23
2 3 2 3 36
x y z
a b c
x y z x y z a b c

       
   

Tương tự ta cũng có:
2 3 2 3
;;
36 36
11
2 3 2 3

y z x z x y
b c a c a b
   

   

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
 
6
13
36 6 16
111
2 3 2 3 2 3
x y z

a b c b c a c a b

  
     

hoctoancapba.com
Trang 11
Cách 2:
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
.
2 3 9 9 4a b c a c b c b c a c b c b c a b c
   
      
   
         
   

Tương tự ta có:

     
     
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.;
2 3 9 9 4
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.
2 3 9 9 4
b c a a c a c b a a c a c b a a b c
c a b b c b a b a b c a b b a b c a

   
      
   
         
   
   
      
   
         
   

cộng vế với vế ta có:
1 1 1 1 6 6 6 3
2 3 2 3 2 3 36 16a b c b c a c a b a b c

     

     


suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

Bài toán 10. Cho

, , 0
1
x y z
x y z


  
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
P
x y z
   
  


Giải:
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2
2 2 2
4 4 4
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
11
x y z
P x y z
x y z

x y z
x y z
x y z
x y z
x x y y z z x y z x y z

   
      

   
  
   


    

  



     

       


Đặt
2 2 2
t x y z  
từ điều kiện
1

3
t

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có:
 
 
 
3 3 3 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3 1
13
2 3 2 2 3
x y z x y z x y z xy yz zx xyz
x y z t
x y z x y z t t
           



          




2 2 2
2
2

2
2 2 3 10 3 9 9
11
3 10 3 10 10
31
1 3 3
3
3
1
( )(57 9)
99
3
3 10 3 10 10
t t t t
P
t
tt
t
tt
tt
tt
P
tt
  
       

  


  



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3


đpcm.

hoctoancapba.com
Trang 12
Bài toán 11. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN
của biểu thức: P =
     
2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
y y z z z z x x x x y y


  


Giải:
     
2 2 2
22
2
22
2

2 2 2 2 2 2
2
22
2 2 2
x y z y z x z x y
x yz z xy
y xz
P
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
yy
x x z z
y y z z z z x x x x y y

     
     
  
  

Đặt
; ; ; b c a x x y y z z  

Ta cú

     
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
4
33
abc
a b c a b c
P
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
abc
ab bc ca

      
       
      


  
     




Mặt khác ta có
2 2 2
a b c ab bc ca    
. Nên ta có:
2P 
. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
. Hay
x=y=z=1 x x y y z z  