Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur

Cao Văn Dũng
SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN
Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng
dụng để giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi
mới được áp dụng. Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh,
mong bạn đọc có them nhiều cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết
trở nên phong phú hơn.
Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta
luôn có bất đẳng thức sau:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
≥−−+−−+−−
bcaccabcbbcabaa
.
CM:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba
≥≥
.
Đặt
0;0
≥−=≥−=
cbybax
nên bất đẳng thức được viết lại thành:
( ) ( ) ( ) ( )
.0
≥+++++−+
yxxyxcxyycyyxc

( )
( )
02
222
≥++++⇔
yxxyxyxc
luôn đúng do x,y,c là các số không âm.
Dấu “=” xảy ra khi
cba
==
hoặc
0;
==
cba
hoặc các hoán vị của nó.
Cách 2:
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba
≥≥
.
TH: 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
TH:
cba
>>
ta chia vế trái bất đẳng thức cho
( )( )( )
0
>−−−
cacbba
nên bất đẳng

thức tương đương:
0
>
−
+
−
−
−
ba
c
ca
b
cb
a
bất đẳng thức trên luôn đúng do
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
−
>
−




⇒
−<−<
>>
Cách 3: (Khảo sát hàm)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba
≥≥
.
Bất đẳng thức trên được viết lại:
( ) ( ) ( )
.03
333
≥+−+−+−+++
accacbbcbaababccba
.
Ta xét hàm số sau:
( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbaaf
+−+−+−+++=
3)(
333

1
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
02222
22222233)(

2222222'
≥−+−++−=−+−−−++−=
−+−+−+−=−−−−+=
cbccababacbcbacbaababa
cbcacbcababacacbabbcaxf
Nê
n
)(xf
đồng biến
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
.023
2
23
≥−=+−+=≥
caccaaccacbfaf
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
cba
≥≥
.
Khi đó ta có:
( )( )
0
≥−−
bcacc
.
Ta xét:
( ) ( ) ( )( )

0
22
≥−+−=+−−=−−−
cbababcbacacbbcaa
.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
00
≥−−+−−⇔≥−−−−−⇒
abcbbcabaabacbbcabaa
.
Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh .
Cách 5: (Dồn biến)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
.cba
≤≤
Ta xét hàm số :
( ) ( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbacbaf
+−+−+−+++=
3,,
333
Ta có
( ) ( ) ( )
.
2
,
2
,,,0
4

5
2
,
2
,,,
2






++
≥⇒≥−






−+=






++
−
cbcb

afcbafcbacb
cbcb
afcbaf
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh
( )
0,,
≥
bbaf
Mà
( ) ( )
.02,,
2
223
≥−=−+=
baabaababbaf
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong.
Tài liệu tham khảo.
[1]. Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
[2]. Cao Văn Dũng, Nhiều cách để chứng minh cho bất đẳng thức Schur, Tạp chí
toán học tuổi thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.

2