TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.63 MB, 60 trang )
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bi 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác
27
nằm trên đ-ờng thẳng x y 2 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
2
Hng dn: Vì G nằm trên đ-ờng thẳng x y 2 0 nên G có tọa độ G (t; 2 t ) . Khi ®ã
AG (t 2;3 t ) , AB (1; 1) VËy diÖn tích tam giác ABG là
2t 3
1
2 (t 2) 2 (3 t ) 2 1 =
2
2
27
27 9
Nếu diện tích tam giác ABC bằng
thì diện tích tam gi¸c ABG b»ng
.
2
6 2
2t 3 9
VËy
, suy ra t 6 hc t 3 . VËy cã hai ®iĨm G : G1 (6;4) , G 2 (3;1) . Vì G là trọng tâm
2
2
tam giác ABC nªn
xC 3xG ( xA xB ) vµ yC 3 yG ( y A yB ) .
S
1
AG 2 . AB 2 AG. AB
2
2
Víi G1 (6;4) ta cã C1 (15;9) , víi G 2 (3;1) ta cã C2 (12;18)
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn: Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
664
4 2
Ta có d A,
E
2
Vì là đường trung bình của ABC
d A; BC 2d A; 2.4 2 8 2
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x y a 0
B
H
C
a 4
8 2 12 a 16
Từ đó:
2
a 28
Nếu a 28 thì phương trình của BC là x y 28 0 , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và
66a
, vơ lí. Vậy a 4 , do đó phương trình BC là: x y 4 0 .
Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : x y 4 0 nên có phương trình là
x y 0.
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
x y 0
x 2
Vậy H (-2;-2)
x y 4 0 y 2
Vì BC có phương trình là x y 4 0 nên tọa độ B có dạng: B(m; -4-m)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m)
Suy ra: CE 5 m; 3 m , AB (m 6; 10 m) ;Vì CE AB nên
AB.CE 0 a 6 a 5 a 3 a 10 0
a 0
2a 2 12a 0
Vậy
a 6
www.nguoithay.org
B 0; 4
C 4;0
hoặc
B 6; 2
.
C 2; 6
Page 1
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;2 và đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Tìm trên đường thẳng (d)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC 3BC .
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Từ yêu cầu của bài tốn ta suy ra C là hình chiếu vng góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng qua A và vng góc với (d) là: 2x y m 0
A 1;2 2 2 m 0 m 0
3
x 5
3 6
2x y 0
Suy ra: : 2x y 0 .Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
C ; .
x 2y 3
6
5 5
y
5
Đặt B 2t 3; t (d) , theo giả thiết ta có: AC 3BC AC 2 9BC 2
16
2
2
t
4 16
12 6
9 2t t 45t 2 108t 64 0 15 .
4
25 25
5 5
t
3
16
4
13 16
1 4
Với t
Với t B ;
B ; ;
15
3
15 15
3 3
13 16
1 4
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B ; hoặc B ; .
3 3
15 15
A 2;1
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
và các đường thẳng
d1 : x 2 y 1 0, d2 : x 2 y 8 0
B d1 , D d2
. Tìm
và C sao cho ABCD là hình vng.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Tịnh tiến gốc tọa độ về điểmA, tìm pt đường (d1),(d2) trong hệ trục mới
B(m; n) d1 => D(n; m) d 2
(do ABCD là hình vng từ đó tìm được điểm B,D,C
C : x2 y 2 2 x 6 y 6 0 và điểm M 3;1 . Gọi
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
C . Viết phương trình đường thẳng T1T2 .
T1
T
và 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Tính phương tích của điểm M đối với đường trịn(C),
Viết phương trình đường trịn tâm M ,bk
PM
(C )
15 ( MT1 )2
r 15 x 3 y 1 15 x 2 y 2 6x 2 y 5 0
2
2
x2 y 2 2x 6 y 6 0
8 x 4 y 11 0
2
2
T1
T2
x y 6x 2 y 5 0
Tọa độ
và là các nghiệm của hê.
.Suy ra phương trình
T1T2
đường thẳng
là: 8x 4 y 11 0
www.nguoithay.org
Page 2
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 6 Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d: 2x+y+3=0 và
đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0. PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ. Viết phương trình
đường thẳng PR.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên đường
thảng QR. Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P. Có điểm Q và từ hệ thức
RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận.
Bài 7. Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9
A(-1,1); B(2 ,-2) tìm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;3) và bán kính R = 3. Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C)
Ta có AB = (3;3) AB = 3 2
CD // AB CD có vtpt n =(1;1) CD: x y + m = 0
2
2
3 2
3 2
CD
R
32
2 2
2
2
ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 3 2 d(I, CD) =
4m 3 2
2 m 4 = 3 m = 1 m = 7
2
CD: x y 1 = 0 hoặc x y 7 = 0
( x 1)2 ( y 3) 2 9 ( x 1)2 ( x 2)2 9
y x 1
x y 1 0
Th1: CD: x y 1 = 0 tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
2 x 2 2 x 4 0 x 1 x 2
y x 1
y 0 y 3 C(1;0), D(2;3) hoặc C(2;3), D(1;0)
( x 1)2 ( y 3) 2 9
x y 7 0
( x 1)2 ( x 4) 2 9
y x 7
Th2: CD: x y 7 = 0 tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
9 17
x
4
2 x 2 9 x 8 0
9 17 19 17
9 17 19 17
y 19 17
y x7
4
4
4
C( 4
;
), D( 4
;
)
9 17 19 17
9 17 19 17
4
4
hoặc C( 4
;
), D( 4
;
)
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A và D, phương trình cạnh AD là
2 x y 6 0 , điểm M 2;5 là trung điểm của BC và CD BC 2 2 AB . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang biết A có tung độ dương
+ ngồi lề : thơng thường tìm tọa độ của 1 điểm :
giao của hai đường thẳng. (1)
vecto này bằng k lần vecto kia. (2)
Hướng dẫn:
12
10
E
8
B
6
M(2;5)
A
4
C
2
www.nguoithay.org
15
10
5
5
2
D
10
15
Page 3
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Gọi E là trung điểm của CD.
N …………………. AD;
F là giao của AD và BC
Pt MN : x – 2y + 8 = 0, suy ra N( -4 ; 2)
Dễ dàng nhận ra tam giác BEC vng cân nên góc DFC = 450 = góc hai đường thẳng AD và BC.
n (k ;1) ; của AD : n2 (2;1)
Giả sử VTPT của BC là 1
n1.n2
2k 1
1
2
n .n
2 suy ra k = 1/3 ; k = -3.
Cos(AD ;BC) = 1 2 = k 1. 5
Với k = -3 : PT BC : 3x – y – 1 = 0 => Suy F ( - 1 ; -4). Gỉa sử điểm A( a; -6 – 2a)
dễ thấy FA 2 AN suy ra A ( nhớ là tung độ A dương mới nhận, không dương ta xét nốt
k = 1/3) , từ đây bạn suy ra D. tới đây mình nghĩ có nhiều cách để suy ra C và B
C1 : Lập PT tìm giao điểm
C2 : vecto = k lân nhau
Bài 9
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn:
B(b; 0), C(0; c) ĐK: b, c > 0
+ ABC vuông tại A nên: 2b + c - 5 = 0 (1)
1
2
S ABC AB. AC b 2 1 1
2
+
=> b =2 và c = 1.
Bài 10
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn:
A(a; 0), B(0; b) ĐK: a, b > 0
x y
1
AB có pt: a b
3 2
1 (*)
+ AB qua M nên: a b
(*) 1
1. Ta có:
www.nguoithay.org
3 2
6
2
ab 24
a b
ab
…..
Page 4
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
3 2
a b
2. ta có: OA + OB = a+b = a b
Tự tìm dấu bằng xảy ra => KQ.
3. Áp dụng bunhia
2
3 2
www.nguoithay.org
2
BĐT bunhia.
1
1
1
1
1
3 2
1
1
1 32 2 2 2 2 13
2
2
2
2
8
b
13 …Tự tìm ra dấu = xảy ra => KQ.
a b
a
OA OB OA OB
Bài 11
6
4
Hướng dẫn
Gọi C là giao của AB và d ,BH d ,
1
thì ta có Sin α = α = 30°
2
Bài toán đưa về viết pt đường thẳng đi
15
10
qua A và tạo với d góc 30°
2
A (1;
3)
α
B
d
O
5
H
C
5
2
4
Bài 12.
6
8
8
6
Hướng dẫn:
Hướng dẫn:
* Từ giả thiết viết được pt AC và KH
* Xác định được tọa độ của A ε đtAc
và Bε đt KH nhận M làm trung điểm
* Viết được pt đt BC (đi qua
B,vng góc AH )
10
5
4
A
K(0;2)
2
M(3;1)
8
C
H(1;0)
5
O
2
B
6
4
Bài 13
4
6
8
Hướng dẫn:
* Dễ dàng xác định được đỉnh C đối xứng
với A qua tâm I(1,-2) => C(0;2)
* Do diện tích ABC bằng 4 suy ra
4
10
5
d(B;AC)=
. B là giao điểm của
5
đường thẳng song song với AC và cách
4
AC 1 khoảng bằng
; với đường tròn
5
(C).
Kết quả ta có 4 điểm B có tọa độ là
(0.00, 0.00);;(2.00, –4.00) .......
www.nguoithay.org
2
A(2;0)
O
E
5
10
I
2
I
4
C(0;-4)
H
Page 5
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
8
Bài 14
6
Hướng dẫn:
* Dễ thấy các điểm M, C thuộc các
đường thẳng song song với AB và có
các pt tương ứng là : x-y-1=0 ;x-y-2=0
* Diện tích ΔABC là 2 thì diện tích
1
2
ΔIMC là ; do d(C;d2)=d(I;d)=
2 10
2
5
1
nên IM=
. Từ đó dễ dàng tìm được
2
tọa độ của M ( Có hai điểm M thoả
mãn đk)
d
4
d2
B
2
d1
I(2;1)
5
10
C
2
M
A
4
Bài 15
6
8
10
độ các đỉnh của tam giác.
8
6
Hướng dẫn:
* Viết pt đường thẳng (D) đi qua M
và tạo với đt d 1 góc 45°, Đỉnh B là
giao của (D) và d
* Viết pt đường thẳng (D') đi qua N
và vng góc với (D). Đỉnh C là
giao của d và (D')
* Từ đó suy10ra đỉnh A
5
C
C' x+7y-31=0
4
B
2
N
A'
5
( Bài tốn có nhiều hướng giải khác nhau)
A
2
Bài 16.
10
M
4
6
www.nguoithay.org
Page 6
30
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
28
26
24
22
Hướng dẫn:
* tìm M' là điểm đối xứng của M qua BD
* Viết pt đường cao AH . (Đi qua H, có
vtpt:n =HM'
* Tìm các điểm A và B thuộc các đường
phân giác BD và đường cao AH ,đối xứng
nhau qua M
20
18
x+y-5=0
16
14
D
12
M
10
8
6
4
2
c
35
30
25
20
M'
15
10
5
H
5
B
2
10
15
Bài 17
6
4
Hướng dẫn:
*Do tam giác ABC cân tại A, nên khi
dựng hình bình hành AMEM' thì
AMEM' là hình thoi và tâm I là hình
chiếu của M trên đường cao AH.
15
10
* Từ đó ta có cách xác định các đỉnh
A,B,C như sau:
+viết pt đt EM ( đi qua M,//d ); Xác
dịnh giao điểm E cảu ME và đường
cao AH.
+Xác định hình chiếu I của M trên
AH,và xác định tọa độ của A
+ xác định B là giao của MA và d
+Xác định C là điểm đối xứng của B
qua AH
.
2
M(1;1)
x+y+3=0
E
5
5
B
x-4y-2=0
I
2
H
4
A
M' C
6
8
8
Bài 18
6
A
Hướng dẫn:
*Dễ thấy đỉnh B có tọa độ: B(1;0)
* Đỉnh Aεd thì Ax;2 2(x-1); thì trung
điểm H của BC có tọa độ H(x;0)
* Chu vi ABC bằng 16 thì BA+BH=8
<=>3x-1+x-1 = 8 => x-1=2 <=>
10
5
4 2
x=3 =>A(3;4 2) => G 3;
3
4 2
hoặc x=-1 =>A(-1;-4 2) G -1;3
4
2
G
B
H
C5
10
2
4
Bài 19
6
www.nguoithay.org
Page 7
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
16
14
12
10
Hướng dẫn:
* Đường trịn (C) có tâm H(1;-2); bán kính
R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) tại A'(4;2)
* Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B và
C thuộc (d) thì A' là chân đường cao thuộc BC
và A thuộc (C) nên AA' là đường kính và
A(-2;-5)
* do trung 20
điểm F của 15
AB thuộc (C) nên
25
10
5
1
HF//= A'B =>A'B=10 .Từ đây ta tìm được
2
tọa độ của B= (12;-4)
* Do C thuộc (d) nên tọa độ của C thỏa mãn
hệ thức:CA' =tA'B và CH . AB =0 => C(0;5).
Tọa độ các đỉnh của tam giác là :
8
6
C
4
A'
2
E
5
10
15
2
H
4
B
F
6
A
8
A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5)
10
12
Bài 20
6
4
Hướng dẫn:
*Từ giả thiết ta có B là chân
đường vng góc kẻ từ A đến
dường thẳng x-2y-2=0 =>B(0;-1)
* Do tam giác ABC vuông cân
10
tại B nên C là giao của đường 5
thẳng đi qua B vng góc với
BA, ta tìm được hai điểm C có
tọa độ C=2;0) hoặc C'=-2;-2)
2
C
O
B
x-2y-2=0
5
10
2
C'
A
4
Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 , B 2; 4 , C 1; 4 , D 3;5 và đường thẳng
d : 3x y 5 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam6 giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn:
M thuộc d thi M(a;3a-5 )
x 1 y 8
4x 3y 4 0
3
4
x 1 y 4
CD 4;1 CD 17; CD :
x 4 y 17 0
4
1
4a 3 3a 5 4 13a 19
a 4 3a 5 17 3 11a
- Tính : h1 M , AB
, h2
5
5
17
17
- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
11
5. 13a 19
17. 3 11a
13a 19 3 11a
1
1
a 12
AB.h1 CD.h2
2
2
5
17
13a 19 11a 3 a 8
- Mặt khác : AB 3; 4 AB 5, AB :
www.nguoithay.org
Page 8
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
11 27
- Vậy trên d có 2 điểm : M1 ; , M 2 8;19
12 12
Bài 22.
Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’.
Hướng dẫn:
A
Gọi H là trực tâm
ABC,Dễ c/m dược
A'H,B'H,C'H là các đường
phân giác trong của tam
giác
A'B'C'. và viết được
phương trình của A'H, ,Từ
đó suy ra phương trình của
BC.
B'
C'
H
B
A'
C
Bài 23. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C
Hướng dẫn:
02
2.
- Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có : d B, d
2
1
4
2
2
- Theo giả thiết : S AC.d B, d 2 AC
2a 2 2a 0
2
2
1 3
a
2
8 8a 2 8a 4 2a 2 2a 1 0
1 3
a
2
1 3 1 3
1 3 1 3
- Vậy ta có 2 điểm C : C1
;
, C2
2
2 ; 2
2
Bi 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B(2; 5) , đỉnh C nằm trên đ-ờng
thẳng x 4 0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 2 x 3 y 6 0 . TÝnh diƯn tÝch tam
gi¸c ABC.
Hướng dẫn:
AB 5
- Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB 3; 4
AB : x 1 y 1 4 x 3 y 7 0
3
4
xA xB xC
1 2 4
1
xG
xG
3
3
- Theo tính chát trọng tâm ;
y y A yB yC
y 1 5 a a 6
G
G
3
3
3
a6
- Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên : 2.1 3
6 0 a 2.
3
4.4 3.2 7
1
1
15
3 S ABC AB.d C , AB 5.3
- Vậy M(4;2) và d C , AB
(đvdt)
2
2
2
16 9
www.nguoithay.org
Page 9
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bi 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác
nằm trên đ-ờng thẳng x y 2 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
3 1
Hướng dẫn: Ta có : M là trung điểm của AB thì M ; . Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam
2 2
a3
xG
a 3 b3
3
giác :
; Do G nằm trên d :
2 0 a b 6 1
b3
3
3
y
G
3
3a b 5
x 2 y 1
3x y 5 0 h C , AB
- Ta có : AB 1;3 AB :
1
3
10
2a b 5 2a b 5
1
1
10.
13,5
- Từ giả thiết : S ABC AB.h C , AB
2
2
2
10
2a b 5 27
2a b 32
2a b 5 27
2a b 5 27
2a b 22
- Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :
20
b 3
a b 6
a b 6
38
2a b 32
3a 38
38 20
a
C1 ; , C2 6;12
a b 6
a b 6
3
3
3
b 12
2a b 22
3a 18
a 6
Bài 26 Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0
.Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích
ABC .
Hướng dẫn: - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vng góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ
x 2 t
phương n 1; 3 AC :
t R
y 1 3t
x 2 t
- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : y 1 3t
x y 1 0
Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của
3a 9 a 1
AB M
;
.
2
2
3a 9 a 1
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
1 0 a 3 B 1; 2
2
2
12
x 2 y 1
3x y 5 0, h C; AB
- Ta có : AB 1; 3 AB 10, AB :
1
3
10
1
1
12
Vậy : S ABC AB.h C , AB
10.
6 (đvdt).
2
2
10
Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực
cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
www.nguoithay.org
Page 10
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
a5 b2
M
Hướng dẫn: - Gọi B(a;b) suy ra M
;
.
2
2
A(5;2)
nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1).
- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :
2x-y+3=0
x a t
BC :
t R .
y b t
M
Từ đó suy ra tọa độ N :
N
6a b
B
C
t
x+y-6=0
2
x a t
3a b 6
x
y b t
2
x y 6 0
6ba
y
2
3a b 6 6 b a
N
;
. Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
2
2
- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)
2a b 14 0
a 37
- Từ (1) và (2) :
B 37;88 , C 20; 31
5a 2b 9 0
b 88
Bài 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x 3 y 8 0 , ' :3x 4 y 10 0 và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với
đường thẳng ’.
x 2 3t
Hướng dẫn: : - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc :
I 2 3t; 2 t
y 2 t
3t 3 t R (1)
3 2 3t 4 t 2 10
- A thuộc đường tròn IA
2
2
- Đường tròn tiếp xúc với '
13t 12
5
R . (2)
13t 12
2
2
2
25 3t 3 t 13t 12
5
Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x2 y 2 – 2 x – 2 y 1 0, (C ') : x2 y 2 4 x – 5 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
đường thẳng qua M cắt hai đường trịn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
- Từ (1) và (2) :
3t 3 t
5
R
2
2
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: * Cách 1.
x 1 at
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u a; b d :
y bt
- Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 1. C2 : I 2 2;0 , R2 3 , suy ra :
C1 : x 1 y 1
2
- Nếu d cắt
C1
2
1, C2 : x 2 y 2 9
2
t 0 M
2ab
2b 2
tại A : a b t 2bt 0
A 1 2
; 2
2
2
t 2 2b 2
a b a b
a b
www.nguoithay.org
2
2
2
Page 11
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
t 0 M
6a 2
6ab
- Nếu d cắt C2 tại B : a b t 6at 0
; 2
6a B 1 2
2
t 2
a b2
a b
2
a b
2
2
- Theo giả thiết : MA=2MB MA 4MB *
2
2
2
2
2
2
6a 2 2 6ab 2
2ab 2b
2 2 4 2 2 2 2
- Ta có : 2
2
a b a b
a b a b
2
2
b 6a d : 6 x y 6 0
4b
36a
2
4. 2
b2 36a 2
2
2
a b
a b
b 6 a d : 6 x y 6 0
* Cách 2.
1
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= . ( Học sinh tự làm )
2
Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: - Theo tính chất đường cao : HK vng
góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp
tuyến
KH 1; 2 AC : x 2 y 2 0 x 2 y 4 0 .
M(3;1)
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương
KH 1; 2 B 1 t; 2t .
B
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 ,
suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
BC 2t 2; 4 t , HA 3; 4 . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
A
K(0;2)
H(1;0)
C
HA.BC 0 3 2t 2 4 4 t 0 t 1 . Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương BA 2;6 // u 1;3 AB :
3x y 8 0
x4 y4
1
3
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA 3;4 BC : 3 x 2 4 y 2 0
3x 4 y 2 0 .
Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình C1 : x2 y 2 4 y 5 0 và
C2 : x2 y 2 6 x 8 y 16 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của C1
Hướng dẫn: : - Ta có :
2
C1 : x2 y 2 9 I1 0; 2 , R1 3,
- Nhận xét : I1I 2 9 4
C2 : x 3 y 4
13 3 3 6 C1 không cắt C2
2
2
và C2 .
9 I 2 3; 4 , R2 3
- Gọi d : ax+by+c =0 ( a 2 b2 0 ) là tiếp tuyến chung , thế thì : d I1 , d R1 , d I 2 , d R2
www.nguoithay.org
Page 12
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
2b c
3 1
2
2b c
3a 4b c
3a 4b c 2b c
a b2
2b c 3a 4b c
a 2 b2
a 2 b2
3a 4b c 2b c
3a 4b c 3 2
a 2 b2
a 2b
2
. Mặt khác từ (1) : 2b c 9 a 2 b2
3a 2b 2c 0
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :
2b 3 5c
b
4
2
2b c 9 4b2 b2 41b2 4bc c 2 0. 'b 4c 2 41c 2 45c 2
23 5 c
b
4
- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :
2 3 5 x 2 3 5 y 1 0 2 2 3 5 x 2 3 5 y 4 0
2
4
2 3 5 x 2 3 5 y 1 0 2 2 3 5 x 2 3 5 y 4 0
d :
2
4
d1 :
1
- Trường hợp : c
2b 3a
, thay vào (1) :
2
2b
2b 3a
2
a b
2
2
3 2b a a 2 b 2
a
b 0, a 2c
b 0 c 2
2
2
2
2
2b a a b 3b 4ab 0
b 4a , a 6c
4a
a
b
c
3
3
6
- Vậy có 2 đường thẳng : d3 : 2 x 1 0 , d4 : 6 x 8 y 1 0
Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với
đường thẳng d : x y 2 0 tại điểm A có hồnh độ bằng 4.
Hướng dẫn: - Do A thuộc d : A(4;2)
x2 y 2
16 4
- Giả sử (H) : 2 2 1* A H 2 2 11
a b
a b
- Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :
b2 a 2 x 2 4a 2 x 4a 2 a 2b 2 0
b2 x 2 a 2 x 2 2 a 2b 2
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
y x 2
y x 2
y x 2
'a 4a 4 b2 a 2 4a 2 a 2b2 4a 2b2 a 2b4 a 4b2 a 2b2 4 b2 a 2 0 a 2 b2 4
2
16b2 4a 2 a 2b 2
4
2
x2 y 2
b 8b 16 0
b 4
- Kết hợp với (1) : 2
2
2
H :
1
2
2
8
4
a b 4
a b 4
a 8
Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y +
1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh
của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
x 2 y 1 0
21 13
B ;
5 5
x 7 y 14 0
www.nguoithay.org
Page 13
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vng góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21
x t
5
u 1; 2 BC :
y 13 2t
5
- Ta có : AC, BD BIC 2 ABD 2 2 AB, BD
- (AB) có n1 1; 2 , (BD) có n2 1; 7 cos =
- Gọi (AC) có n a, b cos AC,BD cos2 =
n1.n2
n1 n2
1 14
15
3
5 50 5 10
10
4
9
2cos 2 1 2 1
5
10
50 a b
a-7b
2
2
- Do đó : 5 a 7b 4 50 a 2 b2 a 7b 32 a 2 b2 31a 2 14ab 17b2 0
2
17
17
a b AC : x 2 y 1 0 17 x 31y 3 0
31
31
- Suy ra :
a b AC : x 2 y 1 0 x y 3 0
21
x 5 t
13
7
14 5
- (AC) cắt (BC) tại C y 2t t C ;
5
15
3 3
x y 3 0
x 2 y 1 0
x 7
- (AC) cắt (AB) tại A :
A 7; 4
x y 3 0
y 4
x 7 t
- (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) :
y 4 2t
x 7 t
7
98 46
t D ;
- (AD) cắt (BD) tại D : y 4 2t
15
15 15
x 7 y 14 0
- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự .
Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và
C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường trịn
có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
Hướng dẫn: : - B thuộc d suy ra B :
A(2;3)
x t
x 7 2m
, C thuộc d' cho nên C:
.
y 5 t
y m
x+2y-7=0
- Theo tính chất trọng tâm :
t 2m 9 2, y m t 2 0
G(2;0)
xG
G
3
3
C
M
B
mt 2
m 1
- Ta có hệ :
x+y+5=0
t 2m 3 t 1
- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG)
qua
(BG):
G(2;0) có véc tơ chỉ phương u 3; 4 , cho nên
www.nguoithay.org
Page 14
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
20 15 8 13
x2 y
4 x 3 y 8 0 d C; BG
R
3
4
5
5
13
169
2
2
- Vậy đường trịn có tâm C(5;1) và có bán kính R= C : x 5 y 1
5
25
Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1
Hướng dẫn: - Đường (AB) cắt (BC) tại B
A
2 x 5 y 1 0
12x-y-23=0
12 x y 23 0
M(3;1)
Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng
2
(BC) có hệ số góc k'= , do đó ta có :
H
5
B
C
2
2x-5y+1=0
12
5 2 . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta
tan B
2
1 12.
5
2
m
2 5m
có : tan C 5
. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
2m
5 2m
1
5
8
2 5m 4m 10
2 5m
m 9
2 2 5m 2 2m 5
5 2m
2 5m 4m 10
m 12
9
9
- Trường hợp : m AC : y x 3 1 9 x 8 y 35 0
8
8
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .
Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có
phương trình : ax+by+c=0 ( a 2 b2 0 ).
5a 12b c
a 2b c
15 1 , h J , d
5 2
- Khi đó ta có : h I , d
a 2 b2
a 2 b2
5a 12b c 3a 6b 3c
- Từ (1) và (2) suy ra : 5a 12b c 3 a 2b c
5a 12b c 3a 6b 3c
a 9b c
. Thay vào (1) : a 2b c 5 a 2 b2 ta có hai trường hợp :
2a 3 b c
2
2
- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a 2 b2 21a 2 28ab 24b2 0
14 10 7
14 10 7
175 10 7
d :
0
a
x y
21
21
21
Suy ra :
a 14 10 7 d : 14 10 7 x y 175 10 7 0
21
21
21
www.nguoithay.org
Page 15
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
3
2
- Trường hợp : c 2a b 1 : 7b 2a 100 a 2 b2 96a 2 28ab 51b2 0 . Vô nghiệm . (
2
Phù hợp vì : IJ 16 196 212 R R ' 5 15 20 400 . Hai đường tròn cắt nhau ) .
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y2 2x 8y 8 0 . Viết phương
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trịn theo một dây cung có độ dài
bằng 6.
Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0
A
3 4 m m 1
- IH là khoảng cách từ I đến d' : IH
K
5
5
x+2y-5=0
AB 2
- Xét tam giác vuông IHB : IH 2 IB 2
25 9 16
4
m 1
C
m 19 d ' : 3x y 19 0
B(2;-1)
H
16 m 1 20
25
m 21 d ' : 3x y 21 0
3x-4y+27=0
Bài 38. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong
qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0
x 2 3t
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vng góc với (AH) suy ra (BC):
, hay :
y 1 4t
x 2 y 1
4 x 3 y 7 0 n 4;3
3
4
x 2 3t
- (BC) cắt (CK) tại C : y 1 4t t 1 C 1;3
x 2 y 5 0
2
- (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n a; b
Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi KCB KCA cos =
- Tương tự : cos =
a+2b
a+2b
46
10
2
5 16 9 5 5
5
2
2
a 2b 4 a 2 b2
5
5 a 2 b2
5 a 2 b2
a 0 b y 3 0 y 3 0
2
3a 4ab 0
a 4b 4 x 1 y 3 0 4 x 3 y 5 0
3
3
y 3
y 3 0
x 5
3x 4 y 27 0
31 582
- (AC) cắt (AH) tại A :
x 31 A1 5;3 , A2 ;
4 x 3 y 5 0
25 25
25
582
3x 4 y 27 0
y
25
- Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).
Bài 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng tại A, phương
trình đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường trịn nội
tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
www.nguoithay.org
Page 16
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là
đỉnh của góc vng ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C : a; 3 a 1 .
- Độ dài các cạnh : AB a 1 , AC 3 a 1 BC AB AC BC 2 a 1
2
2
2
- Chu vi tam giác : 2p= a 1 3 a 1 2 a 1 3 3 a 1 p
3 3 a 1
2
1
1
3
S
2
.(*) Nhưng S= AB. AC a 1 3 a 1
a 1 . Cho nên (*) trở thành :
2
2
2
r
a 3 2 3
1
3
2
3 3 1 a 1
a 1 a 1 2 3 1
2
4
a 1 2 3
- Trọng tâm G :
2 3 2 3 1 7 4 3
2a 1
xG
xG
74 3 2 36
3
3
3
G1
;
3
3
3 a 1
3 22 3
y
2 36
G
yG
3
3
3
2 1 2 3 1
2a 1
1 4 3
xG
xG
1 4 3 2 3 6
3
3
3
G2
;
3
3
3 a 1
3 2 2 3
y
2 36
G
yG
3
3
3
Bài 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x 2 y 2 4 x 2 y 1 0
và đường thẳng d : x y 1 0 . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến
Hướng dẫn:
- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vng góc với
nhau thì MAIB là hình vng ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó
AB=MI= IA 2 =R 2 = 6 2 2 3 .
- Ta có : S=pr suy ra p=
- Ta có : MI
2 t 2 t
2
2
A
2t 2 8 2 3
- Do đó :
I(2;1)
t 2 M1 2; 2 1
M
.
2t 2 8 12 t 2 2
t 2 M
2; 2 1
2
x+y+1=0
* Chú ý : Ta còn cách khác
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có
phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) .
2k kt t 2
6
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R
1 k 2
B
2 t k t 2 6 1 k 2 t 2 4t 2 k 2 2 t 2 2 t k t 2 4t 2 0
2
www.nguoithay.org
Page 17
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
t 2 4t 2 0
- Từ giả thiết ta có điều kiện : ' 4 t 2 t 2 2 4t t 2 2 4t 0
2
t 4t 2 1
t 2 4t 2
t 2 6
1
k1 k2
2
2
- ' t 19 t 0 t 2
2 k1; k2 M
2
k k 1
1 2
t 2
Bài 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : x 2 4 y 2 4 0 .Tìm những điểm N trên elip
ˆ
(E) sao cho : F1NF2 600 ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) )
x2
y 2 1 a 2 4, b2 1 c 2 3 c 3
Hướng dẫn: : - (E) :
4
2
2
x0 4 y0 4
3
3
x0 ; MF2 2
x0 . Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức hàm số cos
- Gọi N x0 ; y0 E MF1 2
2
2
F1 F2 2 3
: F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2cos600
2
2
2
3
3
3
3
2 3 2
x0 2
x0 2
x0 2
x0
2
2
2
2
4 2
1
x0
y0 3
3 2
3 2
9 2
32
1
3
2
2
12 8 x0 4 x0 x0 8 x0
y0
2
4
4
9
9
4 2
y 1
x0
0 3
3
4 2 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
- Như vậy ta tìm được 4 điểm : N1
; , N2
; , N3
; , N4
3
3
3
3 ;3
3
3
3
Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 =0
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450.
Hướng dẫn: - Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến n a; b thì d có phương trình
2
dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có n 2;3 .
- Theo giả thiết : cos d,
2a 3b
cos450
1
2
2 2a 3b 13 a 2 b 2
2
13 a 2 b2
1
1
2
2
a 5 b d : 5 x 1 y 1 0 x 5 y 4 0
5a 24ab 5b 0
a 5b d : 5 x 1 y 1 0 5 x y 6 0
- Vậy B là giao của d với cho nên :
x 5 y 4 0
5 x y 6 0
32 4
22 32
B1
B1 ; , B2 :
B2 ;
13 13
13 13
2 x 3 y 4 0
2 x 3 y 4 0
www.nguoithay.org
Page 18
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x y 5 0 .
d2: 3x +6y
– 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng
d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Hướng dẫn: : - Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
2x y 5
3x 6 y 7
3 5
9 x 3 y 8 0
5
3x 6 y 7 2 x y 5
3x 9 y 22 0
3 5
5
- Lập đường thẳng 1 qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 .
x 2 y 1
1 :
x 3y 5 0
9
3
x 2 y 1
- Lập 2 qua P(2;-1) và vng góc với : 3x-9y+22=0 2 :
3x y 5 0
3
9
x2 y2
Bài 44. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
1 . Viết
16 9
phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ
sở của (H).
Hướng dẫn: : - (H) có a 2 16, b2 9 c2 25 c 5 F1 5;0 , F2 5;0 . Và hình chữ nhật cơ sở
của (H) có các đỉnh : 4; 3 , 4;3 , 4; 3 , 4;3 .
x2 y 2
1 . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :
a 2 b2
c 2 a 2 b2 25 1
- Giả sử (E) có :
- (E) đi qua các điểm có hoành độ x 2 16 và tung độ y 2 9
16 9
1 2
a 2 b2
x2 y 2
1
40 15
Bài 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x 2 y 2 4 3x 4 0
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngồi với (C) tại A
Hướng dẫn: - (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường trịn cần tìm :
- Từ (1) và (2) suy ra : a 2 40, b2 15 E :
J(a;b) C ' : x a y b 4
-Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ
2
=R+R'
a 2 3
2
2
y
A(0;2)
b2 4 2 6 a 2 4 3a b2 28
- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên : 0 a 2 b 4 2
2
2
I(-2
;0)
x
a 2 3 2 b 2 36
2
2
a 4 3a b 24
- Do đó ta có hệ :
2
2
a 4b b 0
a 2 2 b 2 4
- Giải hệ tìm được : b=3 và a=
3 C ' : x 3 y 3 4 .
2
2
* Chú ý : Ta có cách giải khác .
- Gọi H là hình chiếu vng góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b
IA IO OA
4
2 3
2
- Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
IJ IH HJ
6 a2 3 b
www.nguoithay.org
Page 19
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= 3 .
Bài 46. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Hình vẽ : ( Như bài 12 ).
x 2 y 1 0
- Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :
B 7;3 .
x 7 y 14 0
x 7 t
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và AB uBC 1; 2 BC :
y 3 2t
1 1
1
1
1
1
2 x y 17 0 kBC . Mặt khác : k BD , k AB tan 7 2
11 3
7
2
2
1
72
1
2
k
7 7k 1 2 tan 3 3
- Gọi (AC) có hệ số góc là k tan 2
k
7 k 1 tan 2 1 1 4
1
7
9
17
28k 4 3k 21 k
- Do đó : 4 7k 1 3 k 7
31
28k 4 3k 21
k 1
- Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 .
x 7 t
- C là giao của (BC) với (AC) : y 3 2t t 1, C 6;5
x y 1 0
x 7 t
t 0, A 1;0
- A là giao của (AC) với (AB) : y 3 2t
x 2 y 1 0
- (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương
trình : 2x+y-2=0 .
2 x y 2 0
- D là giao của (AD) với (BD) :
D 0; 2
x 7 y 14 0
17
- Trường hợp : k=cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ).
31
Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
B (3;4). Tìm điểm M () sao cho 2MA 2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn: - M thuộc suy ra M(2t+2;t )
2
2
- Ta có : MA2 2t 3 t 2 5t 2 8t 13 2MA2 10t 2 16t 26
Tương tự : MB2 2t 1 t 4 5t 2 12t 17
2
2
- Do dó : f(t)= 15t 2 4t 43 f ' t 30t 4 0 t
2
641
. Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) =
15
15
2
2
26
M ;
15
15 15
Bài 48. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
đạt được tại t
www.nguoithay.org
Page 20
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của
AB
2
2
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : x 1 y 3 4 I 1;3 , R 2, PM /(C ) 1 1 4 2 0 M
nằm trong hình trịn (C) .
x 2 at
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương u a; b d :
y 4 bt
- Nếu d cắt (C) tại A,B thì : at 1 bt 1 4 a 2 b2 t 2 2 a b t 2 0 1 ( có 2 nghiệm t ) .
2
2
Vì vậy điều kiện : ' a b 2 a 2 b2 3a 2 2ab 3b2 0 *
2
- Gọi A 2 at1;4 bt1 , B 2 at2 ;4 bt2 M là trung điểm AB thì ta có hệ :
4 a t1 t2 4
a t1 t2 0
t1 t2 0 . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
8 b t1 t2 8
b t1 t2 0
2 a b
x2 y4
t1 t2 2
0 a b 0 a b d :
d : x y6 0
2
a b
1
1
x2 y 2
Bài 49. Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E):
1 , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3)
16 9
Hướng dẫn: - Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n a; b qua A(4;3) thì d có phương trình là
:a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) .
2
- Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là : a 2 .16 b2 .9 4a 3b
a 0 d : y 3 0
16a 2 9b2 16a 2 24ab 9b2 24ab 0
b 0 d : x 4 0
Bài 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt đường trịn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2
2
Hướng dẫn: - (C) : x 1 y m 25 I (1; m), R 5 .
m
y 4 x
- Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì 2
2
m 16 x 2 2 4 m x m 2 24 0 1
16
4
m
m
- Điều kiện : ' m2 25 0 m R . Khi đó gọi A x1 ; x1 , B x2 ; x2
4
4
m2
m2 16
m2 25
2
AB x2 x1
8
x2 x1 x2 x1
16
4
m2 16
m 4m
5m
- Khoảng cách từ I đến d =
2
m 16
m2 16
5m
1
1
m2 25
m2 25
.
4 5m
12
- Từ giả thiết : S AB.d .8
2
2
m2 16
m2 16 m2 16
2
2
m2 25
5m
3 25m2 m2 25 9 m2 16
2
m 16
- Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp .
www.nguoithay.org
Page 21
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0,
phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC
Hướng dẫn:
x y 2 0
- (AB) cắt (AC) tại A :
A 3;1
x 2 y 5 0
- B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m)
t 2m 8
3
xG
t 2m 1 m 2 C 1; 2
3
- Theo tính chất trọng tâm :
t m 7
t 5 B 5;3
y t m 1 2
G
3
Bài 52. Viết phương trình đường trịn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 .
- Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (*)
3 2t 3 t 9
5t
10
- Nếu (C) tiếp xúc với d thì h I , d R
t R . (1)
2
10
10
- Mặt khác : R=IA=
5 2t 5 t
- Thay (2) vào (1) :
5 2t 5 t
2
2
2
2
. (2) .
10
t 4 5t 2 30t 50 10t 2
2
t 6 34
. Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R
t 2 12t 2 0
t 6 34
của (C) .
* Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : x2 y 2 2ax 2by c 0 ( có 3 ẩn a,b,c)
- Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Cịn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d :
khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .
Bài 53. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C')
A
ắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 3 .
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
H
2
2
x 1 y 2 3 I 1; 2 , R 3 .
I
M
- Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường trịn (C') tâm
M
B
có bán kính R' = MA . Nếu AB= 3 IA R , thì tam giác
3. 3 3
( đường cao
2
2
3 7
tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM= 5 .
2 2
AB 2 49 3
13 R '2
- Trong tam giác vuông HAM ta có MA2 IH 2
4
4 4
2
2
- Vậy (C') : x 5 y 1 13 .
IAB là tam giác đều , cho nên IH=
Bài 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và
đ-ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc hai
tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
www.nguoithay.org
Page 22
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Hướng dẫn:
- (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC
vng góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến
tới (C) và 2 tiếp tuyến vng góc với nhau ) khi đó
ABIC là hình vng . Theo tính chất hình vng ta có
IA= IB 2 (1) .
- Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra :
IA
t 1 t 2 m
2
2
www.nguoithay.org
x+y+m=0
B
A
. Thay vào (1) :
t 1 t 2 m 3 2
2t 2 2 m 1 t m2 4m 13 0 (2). Để trên d có
2
I(1;-2)
2
C
đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều
kiện : m2 10m 25 0 m 5 0 m 5 .Khi đó (2) có nghiệm kép là :
2
m 1 5 1
3 A 3;8
2
2
Bài 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
4 x 3 y 12 0
Hướng dẫn: - Gọi A là giao của d1 , d 2 A :
A 3;0 Ox
4 x 3 y 12 0
- Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của d1 với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của
t1 t2 t0
d 2 với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC
là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường trịn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0).
IA AC 5
IA IO 5 4
OA 9
- Theo tính chất phân giác trong :
IO AO 4
IO
4
IO 4
4OA 4.3 4
4
IO
. Có nghĩa là I( ; 0 )
9
9
3
3
1
1
15 1 AB BC CA 1 5 8 5
18 6
- Tính r bằng cách : S BC.OA .5.3
r .
2
2
2 2
r
2
r
15 5
Bài 56. Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : : 3x 4 y 4 0 . Tìm trên
hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15
Hướng dẫn: - Nhận xét I thuộc , suy ra A thuộc : A(4t;1+3t) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có
tọa độ B(4-4t;4+3t) AB 16 1 2t 9 1 2t 5 1 2t
2
2
- Khoảng cách từ C(2;-5) đến bằng chiều cao của tam giác ABC :
6 20 4
6
5
t 0 A 0;1 , B 4; 4
1
1
- Từ giả thiết : S AB.h 5. 1 2t .6 15 1 2t 1
2
2
t 1 A 4; 4 , B 0;1
x2 y 2
1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm
9
4
trên (E) điểm C có hồnh độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: - A,B có hồnh độ là hồnh độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên
đường thẳng y-2=0 . C có hồnh độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất
- Tam giác ABC có AB=6 cố định . Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn
nhất .
Bài 57. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) :
www.nguoithay.org
Page 23
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trc ln (3;0)
Bi 58. Trong mặt phẳng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diện tích bằng
3
và trọng
2
tâm thuộc đ-ờng thẳng : 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
Hướng dẫn: - Do G thuộc suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) có véc tơ chỉ phương u AB 1;1 ,
x2 y 3
5 5
x y 5 0 . Gọi M là trung điểm của AB : M ; .
1
1
2 2
5
11
5
5
- Ta có : GM t; 3t 8 t; 3t . Giả sử C x0 ; y0 , theo tính chất trọng tâm ta có :
2
2
2
2
cho nên (AB) :
5
x0 t 2 2 t
x0 5 2t
GC 2GM
C 2t 5;9t 19 1
y0 9t 19
y 3t 8 2 11 3t
0
2
3 2t 5 9t 19 8 4 3t
- Ngồi ra ta cịn có : AB= 2 , h C ,
10
10
4 3t 3
1
1
2
2 4 3t 3 10
- Theo giả thiết : S AB.h C ,
2
2
2
10
2 4 3t
2
43 5
76 5
C
; 7 9 5
t
3
3
2
90 9t 24t 29 0
t 4 3 5 C 6 5 7 ;9 5 7
3
3
1
2
Bài 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0)
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hồnh độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật đó
Hướng dẫn: - Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hồnh độ âm cho nên t<1)
- Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C 3 2t; t .
1
x t
- Gọi d' là đường thẳng qua I và vng góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : d ' :
2 , và H có tọa độ là
y 2t
H 0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B 2 2t;2 t .
- Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH
2 2t 1 t
2
2
2 1
1
4
t 1 1 t 0
5
2
5t 2 10t 5 4. t 1 1
4
t 1 1
t 2 1
1
- Vậy khi t = A 2;0 , B 2; 2 , C 3;0 , D 1; 2 .
2
* Chú ý : Ta cịn có cách giải khác nhanh hơn
www.nguoithay.org
Page 24
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
1
02
5
2
- Tính h I ; AB
, suy ra AD=2 h(I,AB)=
2
5
AB
2
2 AD
5
2
5
25
5
5
IA=IB =
4
4
4
4
2
-Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :
x 2 y 2 0
2
2
1
5 A 2;0 , B 2; 2 (Do A có hồnh độ âm
2
x 2 y 2
- Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2)
Bài 60. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x y 1 0 , phân giác
trong BN : 2 x y 5 0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn: - Đường (AB) qua A(1;-2) và vng
x 1 t
C
2x+y+5=0
góc với (CH) suy ra (AB):
.
y 2 t
- Mặt khác : IA IH
2
2
IH
2
IH 2 AD 2
x 1 t
t 5
- (AB) cắt (BN) tại B: y 2 t
2 x y 5 0
Do đó B(-4;3).Ta có :
1 2 1
k AB 1, kBN 2 tan
1 2
3
- Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A'
nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vng góc với
x 1 2t
(BN) d :
y 2 t
N
B
H
A(1;-2)
x-y+1=0
x 1 2t
t 1 H 1; 3 .
- d cắt (BN) tại H : H : y 2 t
2 x y 5 0
- A' đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A' suy ra : u 1; 7
x 4 t
x 4 t
3
13 9
BC :
. (BC) cắt (CH) tại C: y 3 7t t C ;
4
4 4
y 3 7t
x y 1 0
- Tính diện tích tam giác ABC :
AB 2 5
1
1
9
9 10
- Ta có :
9 S ABC AB.h(C , AB) .2 5
2
2
4
2 2
h C , AB
2 2
Bài 61. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d1 : x y 3 0 và d2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm
của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
www.nguoithay.org
Page 25
